第9卷 数列（学生练习卷）内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第9卷 数列 （学生练习卷） 一、单选题 1．（2025·内蒙古·真题T08）已知数列是项数相同的等差数列，若，则数列的第25项为（  ） A. 15 B. 50 C. 100 D. 1250 【答案】B 【解析】 【分析】先证明为等差数列，再由等差数列的通项求解即可. 【详解】因为数列是项数相同的等差数列， 设的公差为，的公差为， 则， 即是常数，故数列为等差数列， 因为，所以数列公差为， 所以数列的第25项为. 故选：B. 2．数列为等差数列，为其前项和，，则=（  ） A．40 B．42 C．43 D．45 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式求解. 【详解】∵为等差数列，∴， ∴． 故选：D. 3．公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则等于（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质求出，结合等比数列的通项公式即可得解. 【详解】因为，所以，即， 因此． 故选：. 4．记为等差数列的前项和.若，，则（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据等差数列的前项和的概念以及等差数列的通项公式求值即可. 【详解】已知为等差数列的前项和， 因为，则， 解得，又因为，则， 所以公差，故. 故选：B. 5．已知为数列的前项和，，，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推公式得出通项公式，再将代入求值即可. 【详解】时，，， 可得，化为， 时，． 数列从第二项起为等比数列，公比为2，首项为． 那么． 故选：B. 6．已知递增等差数列，且为与的等比中项，则公差（  ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】根据等差数列以及等比数列的通项公式求解即可 【详解】因为且为与的等比中项， 所以，解得或（舍）. 故选：D. 7．数列的通项公式为，则该数列前10项的和是（  ） A．55 B．100 C．120 D．121 【答案】C 【分析】根据数列的通项公式求出，再利用等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】因为数列的通项公式为， 所以， 因为， 故数列是等差数列， 所以. 故选：C. 8．已知数列是等差数列，是它的前n项和，若，则（  ） A．24 B．20 C．16 D．10 【答案】B 【分析】根据题意，结合等差数列前n项和，及等差中项的性质，可求出，继而求得公差，结合等差数列的前n项和公式，即可代入求解. 【详解】因为数列是等差数列，且， 所以， 所以， 又， 所以， 所以. 故选：B. 9．已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（  ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，先求出，结合等比数列的通项公式和等比中项的性质，求出的值，代入即可求解. 【详解】因为数列成等差数列，设公比为， 所以， 因为成等比数列，设公比为， 所以， 所以，， 所以. 故选：D. 10．设等差数列的前n项和为，已知，，则数列的公差（  ） A．7 B．6 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式进行化简求解. 【详解】由题意， ， 化简得， 解得. 故选：C 11．数列中，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出数列为等比数列，再根据等比数列的通项公式代入即可得解. 【详解】∵， ∴数列是以为首项，2为公比的等比数列， ∴. 故选：A． 12．是等差数列的前项和，且，则时，的最大值为（  ） A．197 B．198 C．199 D．200 【答案】B 【分析】先根据题意判断出，再利用等差数列的性质和前n项和公式求解即可. 【详解】因为， 即， 所以，所以数列的公差， 所以， ， 故时，的最大值为198. 故选：B. 二、填空题 13．若数列的前n项和，则的通项公式 . 【答案】 【分析】把代入之中可得数列的首项，由时，可得改数列为等比数列，且公比为，代入等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为，则当又时，，解得， 当时，，两式相减， 得，所以当时，，即， 故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 则当时，，经验证，当时，也满足式， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 14．记为等比数列的前项和．若，，则= . 【答案】9 【分析】根据题意结合等比数列性质即可得解. 【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，等成比数列， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：. 15．在等差数列中，，其前项和为，若，则 . 【答案】1600 【分析】将用和表示，求出公差，进而利用等差数列的前项和公式求. 【详解】设的公差为， 因为，所以， 即，解得：， 故. 故答案为：1600. 16．在数列中，，则 . 【答案】9900 【分析】利用配凑法推得数列的后项与前项之比，再利用换元法，结合累乘法求出数列的通项，再利用等差数列的求和公式即可得解. 【详解】由题意知，所以（1）， 设，则，且式（1）即为， 所以当时，， 将以上各式累乘可得，化简得：， 所以，又也满足上式，所以，都有， 故 . 故答案为：. 17．已知正项数列满足，若，则 . 【答案】2 【分析】根据数列的周期性求解即可； 【详解】根据题意，数列满足， 若，则，，则数列的周期为； 所以. 故答案为：2. 18．设是数列的前项和，且，则 . 【答案】 【分析】将已知等式进行变形确定所有项均为负数，将两端同除以得出是公差为的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，又0，所以， 同理，由得；由得， 所以所有项均为负数，即， 两端同除以得， 所以, 故是公差为的等差数列，又， 所以，故， 故答案为：. 三、解答题 19．（2025·内蒙古·真题T21）已知数列满足，且前三项和为12. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合等差数列的定义及通项公式即可得解. （）根据题意结合等比数列的定义及前项和公式即可得解. 【小问1详解】 数列满足， 所以该数列为公差为的等差数列， 前三项和为12，则， 解得， 所以， 则数列的通项公式为. 小问2详解】 数列满足， 则，， 所以该数列为等比数列，且首项为，公比为， 则. 20.（2024·内蒙古·真题T21） 已知等差数列满足，. （1）求等差数列的通项公式； （2）设等比数列满足，，求等比数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质可求出和，进而求解； （2）根据等比数列的性质可求出，再根据等比数列前n项和公式即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则， ， 则数列的通项公式 . 【小问2详解】 设等比数列的公比为， 由（1）可知， ，， 则， 等比数列前n项和 . 21．已知公差不为零的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列. (1)求数列通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出公差根据题目条件列出等式求解即可. （2）根据（1）的结果以及等差，等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 因为前四项和为10，且，，成等比数列， 即， 所以，可化为， 解得，， 所以. （2）因为，令， ，所以是首项和公比都为2的等比数列， 又为等差数列， 所以数列的前项和为. 22．已知公差不为0的等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程求解即可. （2）根据裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为是等差数列， 且，， 所以， 即 解得，， 所以. （2）因为， 所以， 所以 . 23．已知每项都是正数的等比数列中，，，求： (1)数列的通项公式； (2)已知数列中，，，求数列的前4项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出等比数列的公比，再根据等比数列的通项公式求解即可. （2）首先根据（1）求出，证明数列为等差数列，再根据等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）由等比数列的定义得. 又等比数列的每项都是正数，则，所以. 则数列的通项公式为：. （2）由（1）知：. 又，即：.    则数列是以首项为3，公差为的等差数列. 则数列中前4项和. 24．已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求得通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的公式公式易得答案； （2）根据分组求和易得答案. 【详解】（1）设是等差数列的公差为，是等比数列的公比为， 且， 所以， 所以 因为， 所以，解得， 所以； （2）因为， 所以数列的前n项和 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第9卷 数列 （学生练习卷） 一、单选题 1．（2025·内蒙古·真题T08）已知数列是项数相同的等差数列，若，则数列的第25项为（  ） A. 15 B. 50 C. 100 D. 1250 2．数列为等差数列，为其前项和，，则=（  ） A．40 B．42 C．43 D．45 3．公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则等于（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．记为等差数列的前项和.若，，则（  ） A． B． C．1 D．2 5．已知为数列的前项和，，，那么（  ） A． B． C． D． 6．已知递增等差数列，且为与的等比中项，则公差（  ） A． B．或 C．或 D． 7．数列的通项公式为，则该数列前10项的和是（  ） A．55 B．100 C．120 D．121 8．已知数列是等差数列，是它的前n项和，若，则（  ） A．24 B．20 C．16 D．10 9．已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（  ） A． B． C．或 D． 10．设等差数列的前n项和为，已知，，则数列的公差（  ） A．7 B．6 C．3 D．2 11．数列中，，则（  ） A． B． C． D． 12．是等差数列的前项和，且，则时，的最大值为（  ） A．197 B．198 C．199 D．200 二、填空题 13．若数列的前n项和，则的通项公式 . 14．记为等比数列的前项和．若，，则= . 15．在等差数列中，，其前项和为，若，则 . 16．在数列中，，则 . 17．已知正项数列满足，若，则 . 18．设是数列的前项和，且，则 . 三、解答题 19．（2025·内蒙古·真题T21）已知数列满足，且前三项和为12. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 20.（2024·内蒙古·真题T21） 已知等差数列满足，. （1）求等差数列的通项公式； （2）设等比数列满足，，求等比数列的前项和. 21．已知公差不为零的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列. (1)求数列通项公式； (2)设，求数列的前项和. 22．已知公差不为0的等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 23．已知每项都是正数的等比数列中，，，求： (1)数列的通项公式； (2)已知数列中，，，求数列的前4项和. 24．已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求得通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $