第10卷 立体几何（教师讲解卷）内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第10卷 立体几何 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形． (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形． 2．旋转体的结构特征 (1)圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到． (2)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到． (3)球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到． 3．空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图． 4．柱、锥、台和球的侧面积和体积 面　积 体　积 圆柱 S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圆锥 S侧＝πrl V＝Sh＝πr2h ＝πr2 圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h 直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh 正棱锥 S侧＝Ch′ V＝Sh 正棱台 S侧＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 5.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和． 6．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 7．空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：. (3)平行公理和等角定理 ①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 8．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 9．直线与平面的位置关系有三种：相交、平行、在平面内． 10．直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b 11．直线与平面垂直 (1)定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α. (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. 12．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． (2)线面角θ的范围：. 13.平面与平面的位置关系有两种情况：平行、相交. 14.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝∅ a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 15．平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β. 16．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． 【真题精讲】 考点01 相关概念、判定与性质 1.（2025·内蒙古·真题T12）如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先找到异面直线和所成角，再根据三角形的性质求解即可. 【详解】如图所示，取的中点T，连接. 因为，所以四边形是平行四边形，进而. 所以为直线和所成角. 在三角形中，, 则三角形为直角三角形，所以. 故选：C. 2.（2024·内蒙古·真题T11）设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面之间的关系可判断C选项正确，A、B、D选项可通过反例进行判断. 【详解】对于A选项，如图，若，，则l不一定在平面内，该选项错误； 对于B选项，如图，若，，则l不一定在平面内，该选项错误； 对于D选项，如图，若，，则l不一定垂直于平面，该选项错误； 对于C选项，若，，根据两平行平面的性质定理证明可得，该选项正确. 故选：C. 3.（2023·内蒙古·真题T10）已知a、b、c表示三条不同的直线，表示平面，则下列命题中正确的是（ ） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则． A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质、线面垂直的性质可证. 【详解】已知a、b、c表示三条不同的直线，β表示平面， 若，，则，根据平行线的传递性可证，故①正确， 若，，则a与c相交、平行或异面，故②不正确； 若，，则a与b相交、平行或异面，故③不正确， 若，，根据线面垂直的性质可证，故④正确. 故选：C 考点02 综合题 4.（2025·内蒙古·真题T22）如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，侧面底面，且. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，由中位线可得，再由线面平行的判定即可证明. （2）根据面面垂直的性质得平面，从而得出，再由勾股定理逆定理得出，由线面垂直的判定即可证明. 【小问1详解】 如图，连接， 因为底面是正方形，分别为的中点， 所以也为的中点，又为的中点， 所以为的中位线，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为底面是正方形，所以， 因为侧面底面，侧面底面，底面， 所以侧面，又侧面， 所以， 因为， 所以， 所以，即， 因为平面，， 所以平面. 5（2024·内蒙古·真题T23） 如图，在四棱锥中，底面是PC的中点． （1）求直线PB和平面PAD所成的角的大小； （2）求证：直线平面PCD. 【答案】（1） （2）见解析. 【解析】 【分析】（1）求PB和平面PAD所成的角的大小，说明就是要求的角即可求解． （2）要证明平面PCD，只要证明，结合，即可证明结论． 【小问1详解】 因为底面，底面，所以. 又因为，平面PAD， 所以平面PAD，从而是直线PB和平面PAD所成的角. 在中，所以. 【小问2详解】 因为，所以是等边三角形，进而. 又因为是PC的中点，，所以. 因为底面，底面，所以. 又因为平面，，所以平面. 又因为平面，所以. 因为，，平面， 所以平面. 6.（2023·内蒙古·真题T22）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，E，F分别是BD，PB的中点. 求证： （1）平面PCD； （2）平面平面PCD. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用中位线的性质，由线线平行证明线面平行即可. （2）先由面面垂直证明线面垂直，再由线面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 因为E，F分别是BD，PB的中点， 所以， 因为平面PCD，平面PCD， 所以平面PCD. 【小问2详解】 因为底面ABCD为矩形，， 平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD， 所以平面， 因为平面PCD，所以， 又因为，，平面PAB， 所以平面PAB， 因为平面PCD，所以平面平面PCD. 【举一反三】 1．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）设是三个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题中为假命题的是 （     ） A．当时，若，则 B．当时，若，则 C．当时，若，则异面 D．当时，若，则 【答案】C 【分析】根据线面关系和面面关系的判定定理和性质定理，结合题意，即可判断求解. 【详解】当时，若，根据面面垂直的性质，则一定成立，故选项A为真命题，不符合题意； 当时，若，根据面面平行的性质，则一定成立，故选项B为真命题，不符合题意； 当时，若，根据面面平行的性质，则异面或平行，故选项C为假命题，符合题意； 当时，则，若，根据面面垂直的判定定理，则一定成立，故选项D为真命题，不符合题意. 故选：C. 2．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知平面，四边形为矩形并且，，．则到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出示意图，连接，作交于，连接，由已知条件证得，求出和，再利用直角即可求解. 【详解】如图所示，连接，作交于，连接， 因平面，平面，则， 又，且两直线在平面内，故平面， 因为平面，所以. 在直角中，因，，则， 则； 由平面，平面知，则为直角三角形， 在直角中，，，则 . 故选：B. 3．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）已知表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据直线与直线，直线与平面的位置关系判断即可. 【详解】对A：若，则可能平行，相交或异面，故A错误； 对B：若，则或，故B错误； 对C：若，根据线面垂直的性质可得，故C正确； 对D：若，则，或，故D错误. 故选：C. 4．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）已知直线平面，直线平面，有下面四个命题： ①   ②  ③   ④ 其中正确的两个命题是（    ） A．①与② B．③与④ C．②与④ D．①与③ 【答案】A 【分析】由空间中直线与平面，平面与平面的位置关系及线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理即可求解. 【详解】①因为直线平面，若，则直线平面， 又因为直线平面，所以，故①正确； ②因为直线平面，若，则，又因为直线平面，所以， 故②正确； ③因为直线平面，若，则直线可能在平面内，也可能与平面平行， 又因为直线平面，所以与可能平行，可能相交，也可能异面，故③错误； ④因为直线平面，若，则直线可能在平面内，也可能与平面平行， 又因为直线平面，所以与可能平行，也可能相交，故④错误； 综上所述，正确的命题是①和②. 故选：A. 5.（2022·内蒙古·真题T10）已知四边形为矩形，，，平面，且，则点到对角线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，连接，由已知条件推出是到的距离，即可求解. 【详解】 作，连接， ∵平面，平面， ∴. 而，且平面，平面 ∴平面，即，故是到的距离. ∵在矩形中，，，平面，且， ∴根据矩形面积公式得，， 即. ∴. 故选：B. 6．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知、表示两条直线，表示平面，且，则下列命题中正确的是（     ）. ①若与不平行，则与一定是异面直线；②若，则与可能垂直； ③若与相交，则与一定相交；④若，则； A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据空间中线、面位置关系逐一判断即可求解. 【详解】①若与不平行，则设， 与可能相交也可能平行.所以①错误. ②若，则与可能平行，可能异面. 所以②正确. ③若与相交，则与可能相交也可能异面. 所以③错误. ④因为，又因为， 所以.所以④正确. 综上，②④正确. 故选：C. 7．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（    ） A．若， ，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由直线与平面，平面与平面的位置关系判断即可. 【详解】对于A：由两平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直这个平面，故A正确， 对于B：由一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直，故B正确， 对于C：由垂直于同一条直线的两个平面是平行的，故C正确； 对于D：，，可以得到直线m与n可能平行，还可能异面，故D不正确. 故选：D. 8．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）如图，在直三棱柱中，点是的中点． (1)求证：平面； (2)若，求异面直线与 所成的角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，然后利用线线平行证线面平行即可； （2）找到异面直线与 所成的角，证明为等边三角形即可. 【详解】（1）连接交于，连接， 因为为直三棱柱，且，则为正方形， 则为中点， 在中点是的中点，为中点，则为中位线， 则，因为不在平面中，而平面， 则平面； （2）由（1）知， 则异面直线与 所成的角为与 所成的角， 因为，且， 则为等腰直角三角形，因为点是的中点， 则， 因为为直三棱柱，所以，且， 则，因为为中位线，则， 因为，则， ， 在中， 则为等边三角形，则， 异面直线与 所成的角为. 9．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）如图1所示，在直角梯形中，，且，，现以为一边向外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2所示．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取中点，连接，，由已知条件证明四边形为平行四边形即可证明. （2）由面面垂直的性质可知⊥平面，则⊥，再由已知条件结合余弦定理和勾股定理可知，即可证明. （3）将异面直线与所成的角的余弦值转化为直线与所成的角的余弦值，再由已知条件结合勾股定理分别求出和的长度，利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）取中点，连接，，如图，    在中，，分别为，的中点， 则，且， 在直角梯形中，，，，则且， 即有，， 因此四边形为平行四边形，有， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）由正方形知，，而平面平面， 且平面平面，平面， 则平面，而平面，则； 在直角梯形中，，，则，， 而，在中，有， 即，因此， 又，，平面， 所以平面. （3）    由（1）知，所以异面直线与所成的角的余弦值 即为直线与所成的角的余弦值. 由（2）知，平面，平面， 所以，在直角三角形中，，所以，所以； 由正方形知，，，所以， 在直角三角形中，， 因为四边形为平行四边形，所以， 在中，由余弦定理可知， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 10.（2022·内蒙古·真题T22）如图，是平行四边形所在平面外一点，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）若，与所成的角为，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，可证得四边形为平行四边形，得，利用线面平行的判定定理可得结论； （2）由题意得为与所成的角，则，得是等边三角形，由求得答案． 【小问1详解】 取的中点，连接， ∵，分别是，的中点，∴，， ∵是平行四边形，是的中点，∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面． 【小问2详解】 ∵是中点，，∴是的平分线， ∵，∴为与所成的角，则， ∴，是等边三角形， ∴． 【拓展提升】 1.（2021·内蒙古·真题T11） 已知a、b、c表示三条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（ ） ①若，，则 ②若，则 ③若，，则 ④若，则 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行公理、线面平行的性质、线面垂直的性质逐一判断即可. 【详解】由平行公理可知，若,则，故①正确. 若则或与相交或与异面，故②错误. 若，则或与相交或与异面，故③错误. 由线面垂直的性质定理可知，若,则，故④正确. 故选：D. 2．（24-25高三下·内蒙古·一模）如图，在空间四边形中，，分别是的中点，若，则与所成角的大小为 . 【答案】 【分析】根据题意，取的中点，连接，结合三角形中位线定理，及余弦定理，即可求得，结合空间中两直线所成角的范围，即可求解. 【详解】 如图，取的中点，连接， 因为分别是的中点， 所以，， 在中，， 所以， 所以, 又两直线所成角的范围是， 所以直线所成夹角为， 即与所成角的大小为. 故答案为：. 3．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）若平面的一条斜线段长为，它在这个平面内的射影长为，则这条线段所在的直线与该平面所成角为 ． 【答案】 【分析】由题意，斜线段与它在这个平面内的射影构成直角三角形，据此即可求解. 【详解】如图所示， 设,AC是斜线段AB在平面内的射影， 则这条线段所在的直线与该平面所成角为,且， 所以. 故答案为：. 4．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）如图，平面，四边形为正方形，，点分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据题意，取的中点E，连接，易证四边形是平行四边形，结合线面平行的判定定理，即可证明结论成立； （2）根据题意，结合异面直线所成角，易得即为直线与所成角，结合解直角三角形和余弦定理，即可求解. 【详解】（1） 取的中点E，连接， 因为点分别是的中点， 所以， 所以, 所以四边形是平行四边形， 所以, 因为平面，平面， 所以平面； （2） 由（1）知， 所以即为直线与所成角， 因为四边形为正方形，， 所以， 因为平面，平面，平面， 所以，， 所以， ， 所以. 即与所成角的余弦值是. 5．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）如图所示，为正方形，所在的平面，，，. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）构造平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）根据直线平行，找到异面直线所成的角，再根据余弦定理即可求解余弦值. 【详解】（1）设与的交点为，连， ∵为正方形，且， ∴，， ∵且，即， ∴为平行四边形，∴， 而平面，平面， ∴平面； （2）∵， ∴即为异面直线与所成的角， ∵平面，平面， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，，，， . 6．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）如图，正方体中，是的中点.求证：      (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于点，可得，利用线面平行的判断定理证明即可； （2）由条件可得，，从而平面，进而可得结论． 【详解】（1）连接交于点，则为的中点，连接， 又为的中点，， 又平面平面， 平面.    （2）是正方体，平面， 平面， ， 又，平面， 平面， 平面， . 7．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知矩形所在平面，M、N分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用由中位线定理推得四边形为平行四边形，可得，再由线面平行的判定定理即可得证. （2）利用线面垂直的判定定理可得平面，再由，即可得证. 【详解】（1）取的中点，连接，， 在中，，分别为，的中点，，. 矩形中，为中点，，. 则，， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面. （2）平面，又平面，. 在矩形中，， 又，且平面，平面， 平面，又平面，. 在中，，，即， 为PD的中点，， 又，且平面，平面，平面， 又，平面. 8．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，， (1)求直线PD与BC所成的角的大小； (2)求证：面PAC 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）先由线线平行找到异面直线所成的角，再由边的关系即可求解角度. （2）应用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）取AB的中点E，连接DE，PE， 因为，所以， 因为， 所以， 因为， 所以四边形BCDE为平行四边形， 所以， 所以为直线与所成的角， 因为面ABCD，面ABCD， 所以，因为， 所以， 因为，， 所以， 所以为等腰直角三角形，， 所以， 因为面，面， 所以，又， 所以， 所以为等边三角形， 所以 所以PD与BC所成的角为. （2）因为面ABCD，面ABCD， 所以， 因为四边形是直角梯形，，， 所以，又， 所以， 由（1）知，又， 在中有，， 所以， 即， 又因为，面PAC，面PAC， 所以面PAC. 9．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）如图，是平行四边形所在平面外一点，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若，与所成的角为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，可证得四边形为平行四边形，得，利用线面平行的判定定理可得结论； （2）由题意得为与所成的角，则，得是等边三角形，由求得答案． 【详解】（1）取的中点，连接， ∵，分别是，的中点，∴，， ∵是平行四边形，是的中点，∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面． （2）∵是中点，，∴是的平分线， ∵，∴为与所成的角，则， ∴，是等边三角形， ∴． 10．（19-20高三下·内蒙古·期末）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，， ，，平面. (1)求证：. (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解. (2). 【分析】（）根据余弦定理求出，根据勾股定理得出，结合线面垂直的性质及判断即可得解. （）根据异面直线的定义找到异面直线与所成角，结合勾股定理及余弦定理即可得解. 【详解】（1） 如图所示，连接， 因为，，， 所以，， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）因为底面为平行四边形，所以， 所以异面直线与所成角为与所成的角，即， 平面，平面，所以， 因为，， 因为平面，所以，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值. 11.（2021·内蒙古·真题T23）如图，在四棱锥P—ABCD底面ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PB，PD中点.求证： （1）MN∥平面ABCD （2）若，求异面直线CN与AD所成角的余弦值. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直求各边长，再由余弦定理求解. 【小问1详解】 如图，连接. 在中，分别为的中点 所以.因为不在平面内，在平面内. 所以平面. 【小问2详解】 由平面,底面为正方形，可得. 因.平面， 所以平面. 因为平面.所以. 又因为. 所以. . 所以. 连接，则. 因为. 所以由余弦定理得：. 又因为.所以与所成角即为与所成角. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第10卷 立体几何 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形． (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形． 2．旋转体的结构特征 (1)圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到． (2)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到． (3)球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到． 3．空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图． 4．柱、锥、台和球的侧面积和体积 面　积 体　积 圆柱 S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圆锥 S侧＝πrl V＝Sh＝πr2h ＝πr2 圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h 直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh 正棱锥 S侧＝Ch′ V＝Sh 正棱台 S侧＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 5.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和． 6．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 7．空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：. (3)平行公理和等角定理 ①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 8．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 9．直线与平面的位置关系有三种：相交、平行、在平面内． 10．直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b 11．直线与平面垂直 (1)定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α. (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. 12．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． (2)线面角θ的范围：. 13.平面与平面的位置关系有两种情况：平行、相交. 14.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝∅ a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 15．平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β. 16．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． 【真题精讲】 考点01 相关概念、判定与性质 1.（2025·内蒙古·真题T12）如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 2.（2024·内蒙古·真题T11）设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3.（2023·内蒙古·真题T10）已知a、b、c表示三条不同的直线，表示平面，则下列命题中正确的是（ ） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则． A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 考点02 综合题 4.（2025·内蒙古·真题T22）如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，侧面底面，且. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 5.（2024·内蒙古·真题T23） 如图，在四棱锥中，底面是PC的中点． （1）求直线PB和平面PAD所成的角的大小； （2）求证：直线平面PCD. 6.（2023·内蒙古·真题T22）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，E，F分别是BD，PB的中点. 求证： （1）平面PCD； （2）平面平面PCD. 【举一反三】 1．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）设是三个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题中为假命题的是 （     ） A．当时，若，则 B．当时，若，则 C．当时，若，则异面 D．当时，若，则 2．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知平面，四边形为矩形并且，，．则到的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）已知表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）已知直线平面，直线平面，有下面四个命题： ①   ②  ③   ④ 其中正确的两个命题是（    ） A．①与② B．③与④ C．②与④ D．①与③ 5.（2022·内蒙古·真题T10）已知四边形为矩形，，，平面，且，则点到对角线的距离是（ ） A. B. C. D. 6．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知、表示两条直线，表示平面，且，则下列命题中正确的是（     ）. ①若与不平行，则与一定是异面直线；②若，则与可能垂直； ③若与相交，则与一定相交；④若，则； A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 7．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（    ） A．若， ，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）如图，在直三棱柱中，点是的中点． (1)求证：平面； (2)若，求异面直线与 所成的角． 9．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）如图1所示，在直角梯形中，，且，，现以为一边向外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2所示．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求异面直线与所成的角的余弦值． 10.（2022·内蒙古·真题T22）如图，是平行四边形所在平面外一点，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）若，与所成的角为，求的长. 【拓展提升】 1.（2021·内蒙古·真题T11） 已知a、b、c表示三条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（ ） ①若，，则 ②若，则 ③若，，则 ④若，则 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 2．（24-25高三下·内蒙古·一模）如图，在空间四边形中，，分别是的中点，若，则与所成角的大小为 . 3．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）若平面的一条斜线段长为，它在这个平面内的射影长为，则这条线段所在的直线与该平面所成角为 ． 4．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）如图，平面，四边形为正方形，，点分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求与所成角的余弦值. 5．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）如图所示，为正方形，所在的平面，，，. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 6．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）如图，正方体中，是的中点.求证：      (1)平面； (2). 7．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知矩形所在平面，M、N分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若，求证：平面. 8．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，， (1)求直线PD与BC所成的角的大小； (2)求证：面PAC 9．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）如图，是平行四边形所在平面外一点，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若，与所成的角为，求的长. 10．（19-20高三下·内蒙古·期末）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，， ，，平面. (1)求证：. (2)求异面直线与所成角的余弦值. 11.（2021·内蒙古·真题T23）如图，在四棱锥P—ABCD底面ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PB，PD中点.求证： （1）MN∥平面ABCD （2）若，求异面直线CN与AD所成角的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $