第13卷 圆锥曲线（学生练习卷）内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第13卷 圆锥曲线 （学生练习卷） 一、单选题 1．若椭圆方程为，离心率为，则m的值是（    ） A． B． C．1 D．1或 2．已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 3．到点和的距离之和为的点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 4．已知圆与抛物线的准线相切，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．已知抛物线的焦点在直线上，又经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，则（      ） A．12 B．14 C．16 D．18 6．抛物线的准线方程是（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的焦距为，点在的一条渐近线上，则的方程为（    ） A． B． C． D． 8．双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 9．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 10．已知椭圆的焦点在轴上，且离心率，则实数的值为（     ） A．1 B． C．4 D． 11.（2025·内蒙古·真题T11） 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12.（2024·内蒙古·真题T09）设，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题 13.（2025·内蒙古·真题T18）已知双曲线与椭圆有公共的焦点，点为双曲线与椭圆的交点，且，则双曲线的离心率为__________. 14．已知双曲线的两焦点为，，若点P在双曲线上，且，则的面积为 ． 15．设椭圆的左、右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于A，B两点，若，，则C的离心率为 . 16．已知抛物线的图像上有一点，且（点是该抛物线的焦点），则实数 ． 17．双曲线的渐近线方程为 . 18．已知点在椭圆上，则 . 三、解答题 19.（2025·内蒙古·真题T24）已知圆与直线相切于点. （1）求的值； （2）过圆内一点的直线与圆交于两点，求弦长的最小值. 20．已知椭圆C的一个焦点为点，离心率． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点M是椭圆C上的一点，且与x轴平行，求点M的坐标． 21．已知双曲线E:的左、右焦点分别为，过且垂直于x轴的直线被E截得的弦长为，离心率，过原点且斜率为的直线交E于M，N两点. (1)求双曲线E的标准方程； (2)求四边形的面积. 22．已知椭圆，椭圆的焦点为双曲线的顶点，且双曲线的离心率是椭圆的离心率的2倍. (1)求双曲线的方程； (2)若直线l:与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标大于0，求k的取值范围. 23．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长. 24．已知椭圆：的右顶点恰好为圆：的圆心，且圆上的点到直线：的距离的最大值为． (1)求的方程； (2)：与相交于、两点，弦的长度不超过，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第13卷 圆锥曲线 （学生练习卷） 一、单选题 1．若椭圆方程为，离心率为，则m的值是（    ） A． B． C．1 D．1或 【答案】D 【分析】根据椭圆的方程确定的值，再由离心率公式列方程求解即可. 【详解】当焦点在轴上时，， 由离心率为，则，解得， 当焦点在轴上时，， 由离心率为，则，解得， 所以m的值是1或， 故选：D． 2．已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义以及中位线的性质求解即可. 【详解】 设的中点为，椭圆的左右焦点分别为，则为的中点，为的中点， 所以，同理，所以． 故选：C. 3．到点和的距离之和为的点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义确定的值即可. 【详解】因为和两点间的距离， 所以由椭圆的定义知动点的轨迹是以和为焦点， 长轴长为的椭圆， 所以，，即， 所以，， 所以所求动点的轨迹方程为． 故选：A. 4．已知圆与抛物线的准线相切，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】写出抛物线的准线方程，由圆的方程得圆心和半径，由已知得圆心到准线的距离为半径，从而求出. 【详解】因为 ，所以抛物线准线为， 又圆的圆心坐标为 ，半径为2， 由已知得：圆心到准线的距离为半径，则 ，所以. 故选：C. 5．已知抛物线的焦点在直线上，又经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，则（      ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】求出抛物线及直线的方程，联立方程组，利用韦达定理及焦点弦长公式求解. 【详解】因为直线与轴的交点为， 所以抛物线的焦点坐标为，设， 则，抛物线方程为， 所以过焦点且倾斜角为的直线方程为，即， 设， 由，得， 所以，， 所以. 故选：C.    6．抛物线的准线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线方程求得准线方程，从而得解. 【详解】抛物线的准线方程为， 故选：D. 7．已知双曲线的焦距为，点在的一条渐近线上，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的焦点以及点在渐近线上，求解的值即可得解. 【详解】因为焦距为，故半焦距为，故， 因为在一条渐近线上，故， 则解得， 故双曲线方程为：， 故选：B． 8．双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程即可得解. 【详解】双曲线，则焦点在轴上且， 所以渐近线的方程为， 故选：. 9．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线方程求出值即可得解. 【详解】抛物线的焦点在轴正半轴上，且， 所以焦点坐标为， 故选：. 10．已知椭圆的焦点在轴上，且离心率，则实数的值为（     ） A．1 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程得到，再由离心率即可求解. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上， 所以，， 故， 又，解得. 故选：B. 11.（2025·内蒙古·真题T11） 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义以及题目条件列出等式，求出p，进而得到 【详解】抛物线的准线为. 因为点在抛物线上，所以， 且点到点的距离等于其到准线的距离，即为. 点到直线的距离为. 因为点到点的距离与到直线的距离相等， 所以，解得. 又因为点在抛物线上，所以，解得. 从而. 故选：D. 故答案为：. 12.（2024·内蒙古·真题T09）设，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程以及中点坐标公式求解即可. 【详解】椭圆中，所以，即. 则焦点，， 设，因为线段的中点在轴上， 即，解得，代入， 得到， 又为的中点，所以为的中位线， 即与轴垂直，且点坐标为， 所以. 故选：A. 二、填空题 13.（2025·内蒙古·真题T18）已知双曲线与椭圆有公共的焦点，点为双曲线与椭圆的交点，且，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程求出焦距，设，由椭圆的定义及勾股定理列方程求出，即可求出，进而得出双曲线的离心率. 【详解】椭圆焦点，点为双曲线与椭圆的交点， 设，则， ，又， 所以， 因为，所以， 则， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，且点为双曲线与椭圆的交点， 所以，即， 所以双曲线的离心率为. 14．已知双曲线的两焦点为，，若点P在双曲线上，且，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】利用双曲线的定义和勾股定理建立关于与的等式，进而求出的值，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】已知双曲线方程，则，，可得，， 可得，那么， 由双曲线的定义可知， 两边同时平方可得，即 ①， 因为，根据勾股定理可得 ②， 将②代入①可得，则， 所以. 故答案为：9. 15．设椭圆的左、右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于A，B两点，若，，则C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义及性质分析求解即可. 【详解】由题意知，，轴，如图：    故，又，， 所以，又， 所以，所以椭圆的离心率为． 故答案为：. 16．已知抛物线的图像上有一点，且（点是该抛物线的焦点），则实数 ． 【答案】或4 【分析】根据抛物线的定义求出的值，并写出抛物线方程，再将点代入求解即可解答. 【详解】已知抛物线的图像上有一点， 且，准线方程为， 由抛物线的定义得， 该抛物线的方程为， 将点代入得，解得． 故答案为：或4. 17．双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程，即可判断焦点的位置，并求得a和b的值，即可求得渐近线方程. 【详解】因为双曲线中，，且焦点在x轴上， 所以，， 所以渐近线方程为. 故答案为：. 18．已知点在椭圆上，则 . 【答案】 【分析】将点代入椭圆方程中求解即可. 【详解】已知点在椭圆上， 则，即， 因为，所以， 故答案为：. 三、解答题 19.（2025·内蒙古·真题T24）已知圆与直线相切于点. （1）求的值； （2）过圆内一点的直线与圆交于两点，求弦长的最小值. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（）根据直线与圆相切的性质列出方程组即可得解. （）根据直线时，弦为最小值，结合两点解距离公式及弦长公式即可得解. 【小问1详解】 圆，则圆心坐标为， 圆与直线相切于点， 直线，则直线斜率为， 所以直线的斜率为，即， 又因为点在圆上，则， 联立方程组得，解得， 所以，. 【小问2详解】 因为，， 所以圆， 所以圆心坐标，半径， 当直线时，弦为最小值， ， ， 所以弦长的最小值为. 20．已知椭圆C的一个焦点为点，离心率． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点M是椭圆C上的一点，且与x轴平行，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的离心率和焦点坐标，求得c和a的值，继而求得，即可求得标准方程； （2）根据题意，可设出点M的坐标，代入椭圆标准方程，即可求解. 【详解】（1）因为焦点在轴上，所以， 由离心率得，， 因此，椭圆C的标准方程为． （2）    由于与轴平行，且焦点，所以点的纵坐标为3， 不妨设点，将其代入椭圆C的标准方程得，解得, 因此，点的坐标为或． 21．已知双曲线E:的左、右焦点分别为，过且垂直于x轴的直线被E截得的弦长为，离心率，过原点且斜率为的直线交E于M，N两点. (1)求双曲线E的标准方程； (2)求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由过焦点且垂直于x轴的弦长和离心率求出双曲线的标准方程即可； （2）由（1）知可知焦距，联立直线与双曲线方程得到点M，N的坐标，进而得到四边形的面积即可. 【详解】（1）过且垂直于x轴的直线为， 代入可知， 故被双曲线截得的弦长为，故. 由离心率，得， 结合，代入得： ， 将代入，解得 ， 因此双曲线的标准方程为. （2）由（1）得， 故 . 联立直线l：与双曲线方程， 代入得：， 解得，所以， 取，， 点M到x轴的距离为 所以四边形的面积为： .    22．已知椭圆，椭圆的焦点为双曲线的顶点，且双曲线的离心率是椭圆的离心率的2倍. (1)求双曲线的方程； (2)若直线l:与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标大于0，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据椭圆方程求出其焦点坐标和离心率，再结合双曲线与椭圆的关系求出双曲线的方程； （2）联立直线与双曲线方程，根据判别式和根的分布情况求出的取值范围． 【详解】（1）椭圆即，其中， 则， 因此椭圆的焦点为. 根据题意，椭圆的焦点是双曲线的顶点，故双曲线的实半轴长， 椭圆的离心率为：， 由题意，双曲线的离心率， 双曲线的离心率，故双曲线的半焦距， 则， 因此，双曲线的方程为：，即. （2）将直线代入双曲线方程， 整理得：， 设，因为， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围为. 23．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线定义求出即可； （2）根据弦长公式求解即可. 【详解】（1）根据抛物线定义可知，，所以， 即抛物线C的方程. （2）设， 由，得，所以，， 所以．    24．已知椭圆：的右顶点恰好为圆：的圆心，且圆上的点到直线：的距离的最大值为． (1)求的方程； (2)：与相交于、两点，弦的长度不超过，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出圆的圆心，进而得到；再利用点到直线的距离求出参数即可. （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式列不等式求解即可. 【详解】（1）圆：化为标准方程为，则圆心为，半径. 又因为椭圆：的右顶点为，所以. 圆心到直线：的距离为. 则圆上的点到直线：的距离的最大值为， 解得. 所以椭圆的方程为. （2）直线：与相交于、两点，设， 联立两方程，化简得. 因为直线与椭圆有两个交点，所以， 解得. 因为弦的长度不超过，所以， 展开整理得，解得. 综上，实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $