第10卷 立体几何（学生练习卷）内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第10卷 立体几何 （学生练习卷） 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（    ） A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 B．若四点不共面，则其中任意三点不共线 C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分 【答案】B 【分析】根据题意，结合平面的基本性质及推论，即可判断求解. 【详解】对于A，如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交或重合，所以A错误； 对于B，根据平面的基本定理及推论，若四点不共面，则其中任意三点不共线，故B正确； 空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内， 对于C，如三棱锥，相交于同一点的三条直线不在同一平面内，所以C错误； 对于D，三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以D错误. 故选：B. 2.（2022·内蒙古·真题T10）已知四边形为矩形，，，平面，且，则点到对角线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，连接，由已知条件推出是到的距离，即可求解. 【详解】 作，连接， ∵平面，平面， ∴. 而，且平面，平面 ∴平面，即，故是到的距离. ∵在矩形中，，，平面，且， ∴根据矩形面积公式得，， 即. ∴. 故选：B. 3．已知α、β为平面，A、B、M为点，a为直线，下列推理不正确的是（    ） A．，，， B．，， C．， D．A、B、，A、B、，且A、B、M不共线、β重合 【答案】C 【分析】根据点、线、面的位置关系逐项判断即可得解. 【详解】直线上有两点在一个平面内，则这条直线在这个平面内，所以A选项正确； 两个平面相交于一条直线，则公共部分一定全在这一条直线上，所以B选项正确； 两个平面的公共部分不可能只有一个点，所以C选项错误； 有三个不共线的点属于两个平面的公共部分，则这两个平面重合，所以D选项正确. 故选：. 4．如图，平行四边形的边平面，且，则（    ）    A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用线面垂直得线线垂直，在中用勾股定理求. 【详解】平行四边形中， 又平面， 由线面垂直的性质得：平面， 又平面，所以， 所以. 故选：D. 5．如图，在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（    ）    A．相交 B．垂直 C．平行 D．异面 【答案】D 【分析】作图，根据正方体的性质，以及异面直线的定义，可得答案. 【详解】由题意，作图如下：    显然直线平面，且，则与异面. 故选：D. 6．如图所示，在正方体中，下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D．平面 【答案】C 【分析】由正方体的中线线平行、线线垂直以及线面平行的性质判断ABD的正误；求出异面直线AC与所成角为判断C的正误． 【详解】 对于A选项，由正方体的性质得，故正确； 对于B选项，因为，且，故，故正确； 对于C选项，如图，连接，由正方体的性质易知，由于为等边三角形，故与所成角为，所以异面直线AC与所成角为，故错误； 对于D选项，由正方体的性质可知，侧棱与底面垂直，即平面，故正确； 故选：C 7．已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由长方体性质易知为与面所成的角，进而求其正弦值即可. 【详解】    根据长方体性质知：面， 故为与面所成的角， ， 所以. 故选：. 8．下列说法正确的是（   ） A．三点可以确定一个平面 B．分别位于两个不同平面内的两条直线是异面直线 C．两条相交直线可以确定一个平面 D．平行于同一平面的两条直线互相平行 【答案】C 【分析】由平面的性质，直线与直线的位置关系逐项判断即可得解. 【详解】A选项，不在同一条直线上的三点确定一个平面，A错误； B选项，分别位于两个不同平面内的两条直线可能平行、相交或异面，B错误； C选项，两条相交直线可以确定一个平面，C正确； D选项，平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，D错误. 故选：. 9．底面半径为，母线长为的圆柱体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆柱的体积公式即可求解. 【详解】由题意得，圆柱的体积为：. 故选：B. 10．若一条斜线段的长是它在平面上的射影的2倍，则该斜线段与平面所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面角的定义求解即可. 【详解】设该斜线段与平面所成角为， 则由线面角定义可知，， 且，则. 故选：C. 11．在正方体中，E是的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（    ）    A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据三棱锥的体积公式及等体积法分析求解即可. 【详解】在正方体中，，是的中点， 则，，， ，设点到平面的距离为， 因为，所以，解得：， 故选：B． 12．在正方体中，异面直线与所成角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与直线所成角概念求出答案即可. 【详解】    易知在正方体中，为等边三角形， 所以与所成角为，又因为， 所以异面直线与所成角为. 故选：D. 二、填空题 13．在正方体中，二面角的大小是 . 【答案】 【分析】根据正方体的结构特征结合二面角的定义即可求解. 【详解】在正方体中，平面. 所以，所以是二面角的平面角， 在直角中，，所以. 故答案为：. 14．如图所示，在正方体中，E，F分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为 ． 【答案】/ 【分析】利用，，得到异面直线与所成的角，然后根据为等边三角形可求角. 【详解】连接，，因为为正方体， 所以为等腰三角形，且E，F分别是，的中点， 所以， 又因为与平行且相等， 所以为平行四边形，所以， 所以异面直线与所成的角即与所成的角或其补角， 连接，因为、、都是正方形对角线， 所以为等边三角形， 所以； 故答案为：. 15．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列4个命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则. 其中真命题的是 . 【答案】①④ 【分析】利用线面垂直的性质可判断①④，利用反例可排除②③，从而得解. 【详解】对于①，若，，则由线面垂直的性质可得，故①正确； 对于②，若，，则有可能相交，故②错误； 对于③，若，，则有可能⊂，故③错误； 对于④，若，，则由线面垂直的性质可得，故④正确. 故答案为：①④. 16．在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点，则下列判断正确的是 .    ①为的中点   ②与所成的角为 ③BD⊥平面 ④三棱锥与四棱锥的体积之比等于 【答案】①③④ 【分析】根据线面平行的性质，线面垂直的判定与性质，棱锥的体积公式即可得解. 【详解】    连接，设，连接，因为截面与直线平行， 因为平面平面，平面，所以， 因为是的中点，所以为的中点，故①正确； 因为是正方形，所以，因此是与所成的角， 因为底面，平面，所以，因为，所以，因此②不正确； 因为底面，平面，所以，因为是正方形，所以， 因为平面， 所以⊥平面，因此③正确； ，所以④正确. 故答案为：①③④. 三、解答题 17．如图，在直三棱柱中，，，．    (1)求异面直线与的距离； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明平面，然后取中点，可得即为异面直线与的距离； （2）由（1）可知，证明，则即为所求角，求余弦值即可． 【详解】（1），，，，即． 平面，平面，, 又，平面． 平面． 取的中点，连接，如图所示，    平面，则， 又，为等腰三角形， ， 即为异面直线与的距离． ， ∴． （2）连接，如图所示，    由（1）可知． 又，，，， ． 为等边三角形，， 则即为二面角的平面角． ，，， ． ∴二面角的余弦值为． 18．如图所示，已知正三棱柱的体积为3，的面积为. (1)设点为棱的中点，求二面角的大小； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作的中点，连接，，根据等边三角形中线证明，由题可得，找到二面角的平面角，再由体积公式求，利用等面积公式求，从而得到平面角. （2）利用等体积法可得点到平面的距离. 【详解】（1）如图所示，取的中点，连接，. ，点为的中点， . 又点是棱的中点， ，即是二面角的平面角. ， . 由及等边三角形面积公式可得，， ， 二面角的大小为. （2）由（1）知，，所以 ， ， ，即， ， 即点到平面的距离为. 19．如图所示，已知在长方体中，，，，点P为上的点，且，求： (1)去掉四棱锥后剩余几何体的体积； (2)二面角的平面角的正切值． 【答案】(1)160 (2) 【分析】（1）先求出四棱锥的体积，再由长方体的体积减去四棱锥的体积即可求解. （2）找到二面角的平面角，根据边的关系求解即可. 【详解】（1）因为点P为上的点， 所以点P到平面的距离即为AB的长度， 又因为，，， 所以， 长方体， 所以去掉四棱锥后剩余几何体的体积为. （2）取BC靠近点B的三等分点记作E，连接PE， 过点E作EF平行AB交AD于点F，如图： 因为点P为上的点，且， 所以，且， 又因为平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为，， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又， 所以为二面角的平面角， 在直角中，， 所以二面角的平面角的正切值为. 20．如图所示，已知直三棱柱的底面为等边三角形，底面边长为2，侧棱长为3. (1)求直三棱柱的表面积； (2)设是的中点，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据棱柱的表面积公式即可得解. （）根据线面角的定义找到直线与平面所成角即可得解. 【详解】（1）由题意可知，侧面积为， 底面为边长是2的等边三角形，其高为， 底面积为， . （2） 如图所示，连接， 直三棱柱的底面为等边三角形， 三棱柱为正三棱柱， 侧棱底面，为在平面上的射影， 为与平面所成的角， 为等边三角形，为的中点，， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为. 21.（2025·内蒙古·真题T22）如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，侧面底面，且. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，由中位线可得，再由线面平行的判定即可证明. （2）根据面面垂直的性质得平面，从而得出，再由勾股定理逆定理得出，由线面垂直的判定即可证明. 【小问1详解】 如图，连接， 因为底面是正方形，分别为的中点， 所以也为的中点，又为的中点， 所以为的中位线，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为底面是正方形，所以， 因为侧面底面，侧面底面，底面， 所以侧面，又侧面， 所以， 因为， 所以， 所以，即， 因为平面，， 所以平面. 22.（2024·内蒙古·真题T23） 如图，在四棱锥中，底面是PC的中点． （1）求直线PB和平面PAD所成的角的大小； （2）求证：直线平面PCD. 【答案】（1） （2）见解析. 【解析】 【分析】（1）求PB和平面PAD所成的角的大小，说明就是要求的角即可求解． （2）要证明平面PCD，只要证明，结合，即可证明结论． 【小问1详解】 因为底面，底面，所以. 又因为，平面PAD， 所以平面PAD，从而是直线PB和平面PAD所成的角. 在中，所以. 【小问2详解】 因为，所以是等边三角形，进而. 又因为是PC的中点，，所以. 因为底面，底面，所以. 又因为平面，，所以平面. 又因为平面，所以. 因为，，平面， 所以平面. 23.（2022·内蒙古·真题T22）如图，是平行四边形所在平面外一点，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）若，与所成的角为，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，可证得四边形为平行四边形，得，利用线面平行的判定定理可得结论； （2）由题意得为与所成的角，则，得是等边三角形，由求得答案． 【小问1详解】 取的中点，连接， ∵，分别是，的中点，∴，， ∵是平行四边形，是的中点，∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面． 【小问2详解】 ∵是中点，，∴是的平分线， ∵，∴为与所成的角，则， ∴，是等边三角形， ∴． 24．如图平面，中，，，， 求： (1)直线与平面所成的角. (2)点P到直线的距离. (3)平面与平面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由于平面，故在平面的射影为，即为所求，从而可求解. （2）由已知可证平面，从而，即为所求，在可求解. （3）由（1）可知，且，故是平面与平面所成角.在中可求解. 【详解】（1）由于平面，故在平面的射影为，即为所求角. 在中，，，故， 在，， 所以. （2）因为平面，平面， 所以， 又，，平面PBC， 所以平面， 又因为平面，所以. 即点到直线的距离为， 所以在中，，，故. （3）由（1）知，且， 故平面与平面所成的角， 在中，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第10卷 立体几何 （学生练习卷） 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（    ） A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 B．若四点不共面，则其中任意三点不共线 C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分 2.（2022·内蒙古·真题T10）已知四边形为矩形，，，平面，且，则点到对角线的距离是（ ） A. B. C. D. 3．已知α、β为平面，A、B、M为点，a为直线，下列推理不正确的是（    ） A．，，， B．，， C．， D．A、B、，A、B、，且A、B、M不共线、β重合 4．如图，平行四边形的边平面，且，则（    ）    A．2 B．3 C． D． 5．如图，在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（    ）    A．相交 B．垂直 C．平行 D．异面 6．如图所示，在正方体中，下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D．平面 7．已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（   ） A．三点可以确定一个平面 B．分别位于两个不同平面内的两条直线是异面直线 C．两条相交直线可以确定一个平面 D．平行于同一平面的两条直线互相平行 9．底面半径为，母线长为的圆柱体积为（    ） A． B． C． D． 10．若一条斜线段的长是它在平面上的射影的2倍，则该斜线段与平面所成角为（    ） A． B． C． D． 11．在正方体中，E是的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（    ）    A． B． C． D．3 12．在正方体中，异面直线与所成角的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．在正方体中，二面角的大小是 . 14．如图所示，在正方体中，E，F分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为 ． 15．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列4个命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则. 其中真命题的是 . 16．在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点，则下列判断正确的是 .    ①为的中点   ②与所成的角为 ③BD⊥平面 ④三棱锥与四棱锥的体积之比等于 三、解答题 17．如图，在直三棱柱中，，，．    (1)求异面直线与的距离； (2)求二面角的余弦值． 18．如图所示，已知正三棱柱的体积为3，的面积为. (1)设点为棱的中点，求二面角的大小； (2)求点到平面的距离. 19．如图所示，已知在长方体中，，，，点P为上的点，且，求： (1)去掉四棱锥后剩余几何体的体积； (2)二面角的平面角的正切值． 20．如图所示，已知直三棱柱的底面为等边三角形，底面边长为2，侧棱长为3. (1)求直三棱柱的表面积； (2)设是的中点，求直线与平面所成角的正切值. 21.（2025·内蒙古·真题T22）如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，侧面底面，且. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 22.（2024·内蒙古·真题T23） 如图，在四棱锥中，底面是PC的中点． （1）求直线PB和平面PAD所成的角的大小； （2）求证：直线平面PCD. 23.（2022·内蒙古·真题T22）如图，是平行四边形所在平面外一点，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）若，与所成的角为，求的长. 24．如图平面，中，，，， 求： (1)直线与平面所成的角. (2)点P到直线的距离. (3)平面与平面所成角的正切值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $