第7卷 正弦定理与余弦定理（教师讲解卷）内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第7卷 正弦定理与余弦定理（教师讲解卷） 【概念回顾】 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)． 【真题精讲】 考点01 余弦定理 1.（2025·内蒙古·真题T19）在中，. （1）求的最大内角的度数； （2）求的值. 2.（2023·内蒙古·真题T14）在中，，则 . 考点02 正弦定理 3.（2024·内蒙古·真题T19）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. （1）求； （2）求. 4.（2023·内蒙古·真题T19）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量与平行． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积． 【举一反三】 一、单选题 1．（24-25高三下·四川·职教高考）的内角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·广东·职教高考）在△ABC中，内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·辽宁·对口/高职单招）在三角形中，，，角，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 5.（2021·内蒙古·真题10）在中，已知，则形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、填空题 6.（2022·内蒙古·真题T13） 在中，若，那么 . 7．（24-25高三下·山东·职教高考）在三角形中，已知则 . 8．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）已知在中，，，，则 ． 三、解答题 9．（23-24高三上·江苏·对口/高职单招）在中，. (1)求A； (2)若，求周长的最大值. 10．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. (1)求； (2)求. 11．（24-25高三上·广东·职教高考）在中，内角的对边分别是，已知，，. (1)求的值； (2)求的面积. 【拓展提升】 一、单选题 1．（21-22高三下·吉林·对口/高职单招）的三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,已知，则（    ） A．76 B．28 C． D． 2．（24-25高三下·云南·职教高考）在中，已知，，，则A等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·重庆·职教高考）在中，内角所对应的边分别为，若，则=（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·山西·对口/高职单招）在△ABC中，所对的边分别为，若则（    ） A．4 B． C．2 D． 二、填空题 5．（22-23高三下·山西·对口/高职单招）在中，已知，则 . 6．（22-23高三下·河北·对口/高职单招）在中，a、b、c分别为的对边，且满足则 . 三、解答题 7．（21-22高三上·广东·职教高考）已知的内角A，B，C所对的边分别是，并且满足. (1)求角A的大小； (2)若，求的周长. 8．（25-26高一上·广东·职教高考）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，. (1)求的值； (2)设是边上的点，且，求的长. 9．（24-25高三下·河北·对口/高职单招）记的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)求. 10.（2022·内蒙古·真题T19）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三内角A，C，B成等差数列，.若向量，共线.求a，b的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第7卷 正弦定理与余弦定理（教师讲解卷） 【概念回顾】 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)． 【真题精讲】 考点01 余弦定理 1.（2025·内蒙古·真题T19）在中，. （1）求的最大内角的度数； （2）求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据三角形的性质得出角最大，结合余弦定理即可得解. （）根据题意结合两角和的正切公式即可得解. 【小问1详解】 在中，， 因为边最大，所以角最大， 则， 因为，所以. 【小问2详解】 ，则， 则. 2.（2023·内蒙古·真题T14）在中，，则 . 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为. 所以. 所以. 因为. 所以. 故答案为：. 考点02 正弦定理 3.（2024·内蒙古·真题T19）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的关系式和正弦定理即可得解； （2）由二倍角公式和两角和的余弦公式即可得解. 【小问1详解】 由，且， 得， 由正弦定理， 即. 【小问2详解】 ， ， 所以 . 4.（2023·内蒙古·真题T19）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量与平行． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行和正弦定理边角互化求解角度即可. （2）由三角形面积公式直接求解即可. 【小问1详解】 因为向量与平行， 所以有，即， 由正弦定理得, 又，， 从而, 由于， 所以. 【小问2详解】 因为，， 由（1）知，. 所以三角形的面积为. 【举一反三】 一、单选题 1．（24-25高三下·四川·职教高考）的内角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理将条件等式中的角化成边，再结合余弦定理求解即可. 【详解】设三角形外接圆半径为，则由正弦定理可得： 即， 整理得：， 则， 且，所以. 故选：C. 2．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用余弦定理解三角形即可. 【详解】的内角，，的对边分别为，，， 因为，，， 根据余弦定理， 因为， 所以. 故选：C. 3．（23-24高三上·广东·职教高考）在△ABC中，内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理和条件等式整体代入求角A的余弦值即可求角. 【详解】由可得：， 则，且△ABC中，， 则. 故选：C. 4．（24-25高三下·辽宁·对口/高职单招）在三角形中，，，角，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】根据直角三角形勾股定理结合已知条件即可求解. 【详解】因为在三角形 中， ，， 角， 所以三角形为直角三角形，则. 故选：A. 5.（2021·内蒙古·真题10）在中，已知，则形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理的边化角，再结合两角差的正弦公式化简，进而求解即可. 【详解】由正弦定理可知. 因为 所以 因为和是三角形的内角. 所以即. 则为等腰三角形. 故选：A. 二、填空题 6.（2022·内蒙古·真题T13） 在中，若，那么 . 【答案】## 【解析】 【分析】先由正弦定理边角互化求解边的关系，再由余弦定理求解的值即可. 【详解】因为在中，若， 所以由正弦定理可得， 令，则， 由余弦定理可得. 故答案为：. 7．（24-25高三下·山东·职教高考）在三角形中，已知则 . 【答案】7 【分析】利用余弦定理边角互化，求解即可. 【详解】在三角形中，因为， 所以， 即 ， 因此， 故答案为：. 8．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）已知在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据同角的三角函数关系式求得，然后利用正弦定理求解. 【详解】在中，，可知， 则， 又，， 由正弦定理得，即，解得. 故答案为：. 三、解答题 9．（23-24高三上·江苏·对口/高职单招）在中，. (1)求A； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理，将正弦关系转化成三角形边长，再利用余弦定理得出结论. （2）（解法1）已知，只需要利用基本不等式求出的最大值得出结论.      （解法2）已知，只需要将边转化成三角函数,利用正弦函数的值域求出的最大值得出结论. 【详解】（1）在中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 因为, 由正弦定理得，,即, 由余弦定理得，, 因为,所以; （2）（解法1）由（1）知,因为,即, 由余弦定理得，, 所以, 由基本不等式知, 结合上式得：,所以, 当且仅当,时取等号，所以周长的最大值为. （解法2）由正弦定理得, 所以，, 由知, 所以, , , 因为,所以, 所以，当且仅当, 即时，的周长的最大值为. 10．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角三角函数的关系式和正弦定理即可得解； （2）由二倍角公式和两角和的余弦公式即可得解. 【详解】（1）由，且， 得， 由正弦定理， 即. （2）， ， 所以 . 11．（24-25高三上·广东·职教高考）在中，内角的对边分别是，已知，，. (1)求的值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解即可； （2）由三角形的面积公式可知的面积求解即可. 【详解】（1）因为内角的对边分别是，，，， 由余弦定理可得：， 所以. （2）由三角形的面积公式可知的面积. 【拓展提升】 一、单选题 1．（21-22高三下·吉林·对口/高职单招）的三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,已知，则（    ） A．76 B．28 C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理结合题干中条件求解即可. 【详解】在中，， 由余弦定理得 . 所以. 故选：D. 2．（24-25高三下·云南·职教高考）在中，已知，，，则A等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理列方程求解即可. 【详解】已知，，， 由得，， 解得，因为在中，， 所以， 故选：D. 3．（23-24高三下·重庆·职教高考）在中，内角所对应的边分别为，若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理，结合同角三角函数函数的关系即可求解. 【详解】根据余弦定理得，， ， 显然，所以. 故选：D. 4．（23-24高三下·山西·对口/高职单招）在△ABC中，所对的边分别为，若则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 故选：B. 二、填空题 5．（22-23高三下·山西·对口/高职单招）在中，已知，则 . 【答案】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理，，即， 解得：. 故答案为：. 6．（22-23高三下·河北·对口/高职单招）在中，a、b、c分别为的对边，且满足则 . 【答案】 【分析】利用余弦定理表示出，将已知等式代入计算求出的值，由∠A是的内角，利用特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】因为即 所以 因为∠A是的内角， 所以. 故答案为：. 三、解答题 7．（21-22高三上·广东·职教高考）已知的内角A，B，C所对的边分别是，并且满足. (1)求角A的大小； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和的正弦公式求解角A的大小即可. （2）由余弦定理求解a的长，进而求解的边长即可. 【详解】（1）， ， 在中，，， ， ， ，. （2）在中，由余弦定理得：， ， . 8．（25-26高一上·广东·职教高考）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，. (1)求的值； (2)设是边上的点，且，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理解三角形即可. （2）根据余弦定理解三角形即可. 【详解】（1）已知在中，，，， 由正弦定理得，即， 则，解得. （2）设是边上的点， 则中，，，， 所以 ， 因为，所以.    9．（24-25高三下·河北·对口/高职单招）记的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)求. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合正弦定理得出即可得解. （）根据余弦定理求出，代入正弦定理公式即可得解. 【详解】（1）的内角的对边分别为， 由正弦定理可知，， 由题意可知，所以， 因为，则当时，此时（舍）； 当时，， 综上所述，. （2）因为，，， 由余弦定理可知，， 整理可得，， 解得或（舍）， 由正弦定理可知，，解得. 10.（2022·内蒙古·真题T19）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三内角A，C，B成等差数列，.若向量，共线.求a，b的值. 【答案】 【解析】 【分析】利用三个内角成等差数列，可求得角,再利用两向量共线，可求得角,然后利用正弦定理求解. 【详解】在中，三内角成等差数列，所以有, 又因三角形内角和,所以; 因为共线，所以, 又因, 即,，所以,; 由正弦定理可得， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $