第11卷 直线的方程（教师讲解卷）内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第11卷 直线的方程 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． (2)直线的斜率 ①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tanα；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 2．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直线 3.线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则 此公式为线段P1P2的中点坐标公式． 4.两点间的距离公式 设，则 5．两直线平行与垂直 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行． (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 6．两直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 7．距离公式 (1)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离为d＝. 可以验证，当A＝0或B＝0时，上式仍成立． (2)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝. 【真题精讲】 考点01 两直线的位置关系 1．（2025·内蒙古·真题T07） 经过点的直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 2.（2024·内蒙古·真题T05）若直线的斜率是一元二次方程的两个根，则直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交且垂直 C. 重合 D. 相交但不垂直 3.（2023·内蒙古·真题T09）已知直线经过点，，经过点，，若直线，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 2或7 D. 0或5 【举一反三】 1．过点且与直线平行的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·云南·职教高考）若直线与直线互相垂直，则的值是（    ） A． B． C． D．2 3．（24-25高三下·四川·职教高考）已知直线与直线垂直，则的倾斜角是（     ） A． B． C． D． 4．（22-23高三下·安徽·对口/高职单招）已知点，，则线段MN中点的坐标是（     ） A． B． C． D． 5．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）圆上的点到直线的距离的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D．5 6．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程可能是（ ） A． B． C． D． 7.（2022·内蒙古·真题T08）已知直线的斜率，则此直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 8．（20-21高三·贵州·对口/高职单招）下列方程中，与表示不是同一直线的有（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高三下·广西·对口/高职单招）过点的直线，且与直线平行，则 ． 10．（22-23高三下·山西·对口/高职单招）过点且与直线垂直的直线方程 . 【拓展提升】 1．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）与直线平行且距离等于的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 2．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）若直线与直线平行，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（    ） A．4和3 B．和3 C．和 D．4和 3．（2024高三·专题练习）若直线l1：与直线l2：互相垂直，则a的值是（    ） A． B．1 C．0或 D．1或 4．（21-22高一下·全国·单元测试）若过点的直线与过点的直线平行，则m的值为（    ） A． B． C．2 D． 5．（23-24高三·内蒙古通辽·一模）若直线，与相互垂直，则a的值为（      ） A．4 B．±2 C．2 D．0 6．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）已知直线的斜率，则此直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 7．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知点共线，则（ ） A． B． C． D． 8．（20-21高三·湖南·对口/高职单招）点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 9．（19-20高三·河北·对口/高职单招）直线l过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 10．（20-21高三·贵州·对口/高职单招）已知点，点，则线段AB的长度为（    ） A． B． C．2 D．5 11．（20-21高三·河北·对口/高职单招）已知直线l1方程为，直线l2的方程为，则这两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交且不垂直 D．重合 12.（2021·内蒙古·真题T18）已知定点，点B在直线上运动，当线段AB最短时点B的坐标是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第11卷 直线的方程 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． (2)直线的斜率 ①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tanα；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 2．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直线 3.线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则 此公式为线段P1P2的中点坐标公式． 4.两点间的距离公式 设，则 5．两直线平行与垂直 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行． (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 6．两直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 7．距离公式 (1)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离为d＝. 可以验证，当A＝0或B＝0时，上式仍成立． (2)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝. 【真题精讲】 考点01 两直线的位置关系 1．（2025·内蒙古·真题T07） 经过点的直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线平行斜率相等及两点间的斜率公式求出，代入两点间距离公式即可得解. 【详解】直线，斜率为， 因为经过点的直线与直线平行， 所以直线的斜率为，则， 则， 故选：. 2.（2024·内蒙古·真题T05）若直线的斜率是一元二次方程的两个根，则直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交且垂直 C. 重合 D. 相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合韦达定理得出两条直线的斜率之积为即可得解. 【详解】设直线的斜率为， 所以是一元二次方程的两个根， 则， 所以直线的位置关系是相交且垂直， 故选：. 3.（2023·内蒙古·真题T09）已知直线经过点，，经过点，，若直线，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 2或7 D. 0或5 【答案】D 【解析】 【分析】当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于求解，若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0，求解两种情况即可. 【详解】由题意知的斜率一定存在， 的斜率可能不存在，当的斜率不存在时，点横坐标相同，即，即， 此时，则，满足题意. 当的斜率存在时，，由斜率公式得： ，， 由，知， 即，得到,解得. 综上所述，a的值为0或5. 故选：D. 【举一反三】 1．过点且与直线平行的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， 将点代入得，解得， 所以所求直线的方程为. 故选：A. 2．（23-24高三下·云南·职教高考）若直线与直线互相垂直，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据两直线垂直，斜率乘积为0，即可求解. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 又直线的斜率， 所以直线的斜率， 因为直线可化为， 所以斜率， 解得. 故选：D. 3．（24-25高三下·四川·职教高考）已知直线与直线垂直，则的倾斜角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合两直线垂直，可求得直线l的斜率，结合直线斜率与倾斜角之间的关系，即可求解. 【详解】因为直线的斜率为， 又直线与直线垂直， 所以直线的斜率为1， 设的倾斜角为，且， 所以，解得. 即直线的倾斜角是. 故选：A. 4．（22-23高三下·安徽·对口/高职单招）已知点，，则线段MN中点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式计算即可. 【详解】点，， 则线段MN中点的坐标是，即. 故选：D. 5．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）圆上的点到直线的距离的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离，结合圆和直线的位置关系和圆的标准方程的基本性质，即可求解. 【详解】由题，圆的一般方程为 ， 化为标准方程为， 可知圆的圆心坐标为：，半径， 故圆心到直线的距离， 故圆与直线的位置关系是相离， 故有圆上的点到直线的距离最大值， 最小值， 则. 故选:C. 6．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分直线过原点和直线不过原点两种情况来讨论直线方程，再逐一分析选项. 【详解】显然直线的斜率存在， 当直线过原点时,此时在轴和轴上的截距都为0，满足截距之和为0. 设直线方程为，因为直线过点，将点代入方程可得， 解得，所以直线方程为，即，选项中没有该答案. 当直线不过原点时， 设直线方程为()，将点代入可得： ， 则直线方程为，即. 故选：A. 7.（2022·内蒙古·真题T08）已知直线的斜率，则此直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的倾斜角的范围以及，分析可得答案． 【详解】设直线的倾斜角为，则， 根据题意，有， 则的取值范围是． 故选：D． 8．（20-21高三·贵州·对口/高职单招）下列方程中，与表示不是同一直线的有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几种直线方程的互相转化即可求解. 【详解】对A，将直线化为一般式， 即， 所以与表示同一直线. 故A错误. 对B，将直线化为一般式， 即. 所以与表示同一直线. 故B正确. 对C，将直线化为一般式， 即， 所以直线与表示同一直线. 对D，将直线化简， 即. 所以与表示同一直线. 故选：A. 9．（23-24高三下·广西·对口/高职单招）过点的直线，且与直线平行，则 ． 【答案】0 【分析】根据直线平行斜率相等，求解参数即可. 【详解】直线平行于， 所以直线的斜率是， 又直线过点， 所以， 解得. 故答案为：0. 10．（22-23高三下·山西·对口/高职单招）过点且与直线垂直的直线方程 . 【答案】 【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式方程，即可求解． 【详解】由题意直线的斜率为， 则所求直线的斜率为， 而所求直线过点， 所以所求直线的方程为，即. 故答案为： 【拓展提升】 1．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）与直线平行且距离等于的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据两平行线之间的距离公式求解. 【详解】所求直线与直线平行，故所求直线可设为. 两平行线之间的距离公式为：. 解得：或. 即直线方程为或. 故选：D. 2．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）若直线与直线平行，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（    ） A．4和3 B．和3 C．和 D．4和 【答案】C 【分析】由直线在y轴上的截距为，可求出n，再根据直线与直线平行，即可求解. 【详解】由题意得：， 又因为直线与直线平行， 所以， 解得：. 故选：C. 3．（2024高三·专题练习）若直线l1：与直线l2：互相垂直，则a的值是（    ） A． B．1 C．0或 D．1或 【答案】D 【分析】利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出a的值即可. 【详解】∵ ∴ 即 解得或， 故选：D. 4．（21-22高一下·全国·单元测试）若过点的直线与过点的直线平行，则m的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由两点式求出直线AB与直线CD的斜率，根据两直线平行的条件列式即可求解. 【详解】因为直线AB与直线CD平行，故， 则，， 所以，解得， 经检验，满足题意. 故选：B. 5．（23-24高三·内蒙古通辽·一模）若直线，与相互垂直，则a的值为（      ） A．4 B．±2 C．2 D．0 【答案】D 【分析】根据两直线垂直的充要条件确定参数的值. 【详解】∵与垂直， 根据垂直的充要条件可得： ， 解得：. 故选:D. 6．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）已知直线的斜率，则此直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的倾斜角的范围以及，分析可得答案． 【详解】设直线的倾斜角为，则， 根据题意，有， 则的取值范围是． 故选：D． 7．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知点共线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三点共线得到，从而列式得解. 【详解】因为点共线，则， 又，所以，则， 所以，解得. 经检验，满足要求，故. 故选：B. 8．（20-21高三·湖南·对口/高职单招）点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式即可得解. 【详解】直线. 所以点到直线的距离为. 故选:. 9．（19-20高三·河北·对口/高职单招）直线l过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知直线得到斜率及对应倾斜角，结合二倍角正切公式计算所求直线斜率，再根据点斜式求直线l的方程，整理成一般式方程即可得到答案. 【详解】直线斜率为，设倾斜角为，则有， 直线l的倾斜角为，则斜率为， 则由可得：. 故选：D. 10．（20-21高三·贵州·对口/高职单招）已知点，点，则线段AB的长度为（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】D 【分析】根据两点间距离公式计算. 【详解】∵点，点， ∴线段AB的长度为. 故选：D. 11．（20-21高三·河北·对口/高职单招）已知直线l1方程为，直线l2的方程为，则这两条直线的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．相交且不垂直 D．重合 【答案】B 【分析】根据直线的一般式转化为斜截式，由斜率的关系确定直线的位置关系即可. 【详解】因为直线可转化为. 直线可转化为. 所以且，则两直线平行. 故选：B. 12.（2021·内蒙古·真题T18）已知定点，点B在直线上运动，当线段AB最短时点B的坐标是 . 【答案】 【解析】 【分析】由题可知，直线与直线垂直时线段最短，求出直线的方程，再联立方程组求解即可. 【详解】当直线与直线垂直时，线段最短. 因为直线的斜率为1. 所以直线的斜率为. 所以直线的方程为，即. 联立方程解得. 所以点的坐标为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $