第14卷 概率与统计（学生练习卷）内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第1卷 集合与不等式 （学生练习卷） 一、单选题 1.（2025·内蒙古·真题T10）某工厂生产甲，乙，丙三种型号的产品，产品数量之比为，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有件，则样本容量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样原理计算即可解得. 【详解】甲产品型号所占比例为， 又知抽样中甲产品为件，则样本容量为. 故选：B 2.（2023·内蒙古·真题T11）某省实验中学为预防流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有4个检查项目，需要安排在4间空教室进行检查．学校现有一排7间的空教室供选择使用，但为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（ ）种安排方案． A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由插空法求解即可. 【详解】由题意可知，有三个空教室不需要安排检查项目， 则可以看成三个空教室会产生四个空位， 则将四个检查项目安排在四个空位全排列即可，即有种安排方案. 故选：C. 3．已知的二项展开式中有10项，则倒数第3项的系数是（    ） A．2304 B． C． D．4608 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可得解. 【详解】因为的二项展开式中有10项，所以. ，倒数第3项为顺数第8项，， 倒数第3项的系数为． 故选：C. 4．据《史记》记载，田忌与齐王赛马，马匹实力强弱分明：田忌的上等马强于齐王的中等马，却弱于齐王的上等马；中等马强于齐王的下等马，却弱于齐王的中等马；下等马弱于齐王的下等马。若双方均选出上等、中等、下等马各1匹，两人从各自选出的马匹中随机挑选1匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意写出基本事件，代入古典概型公式即可得解. 【详解】设齐王的上、中、下三个等次的马分别为；田忌的上、中、下三个等次的马分别为， 从双方的马匹中随机选一匹进行比赛有共种情况， 田忌的马获胜的有三种情况， 所以获胜的概率为， 故选：. 5．将4封不同的信投入3个不同的信箱，且4封信全部投完，则不同的投法有（    ） A．81种 B．64种 C．24种 D．4种 【答案】A 【分析】每封信都有3种不同的投法，由分步计数原理直接计算即可. 【详解】每封信可以投入3个不同的信箱，所以每封信都有种投法. 根据分步乘法计数原理可知，不同的投法有：种. 故选:A． 6．展开式中的第4项为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项展开式的通项求解. 【详解】展开式中的第4项为. 故选：D. 7．设为虚数单位，则展开式中的第三项为（      ） A．－20i B．15i C．20 D．－15 【答案】D 【分析】根据二项式定理以及复数的定义求解即可 【详解】 展开式中的第三项为． 故选：D. 8．甲乙丙三条生产线共同生产1800只灯泡，其中甲生产线产量是乙的，丙生产线产量比乙多300只．现采用分层抽样从1800只灯泡中抽取60只进行质量检测，则从甲生产线抽取的灯泡数量是（     ） A．5只 B．10只 C．15只 D．20只 【答案】B 【分析】根据分层抽样比例计算抽取数. 【详解】设乙的产量为只，则甲的产量为只，丙的产量为只， 所以有，解得， 所以甲的产量为300只，抽样比例为， 则甲生产线抽取的灯泡数量为只. 故选：B. 9．关于简单随机抽样，下列说法中正确的是（      ） ①它要求被抽取样本的总体的个数有限；  ②它是从总体中逐个地进行抽取； ③它是一种不放回抽样；                ④它是一种等可能性抽样． A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据简单随机抽样的概念可判断结果. 【详解】对①，简单随机抽样中被抽取样本的总体的个数有限，正确； 对②，简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，正确； 对③，简单随机抽样是一种不放回抽样，正确； 对④，简单随机抽样是一种等可能抽样，即每个个体被抽取的可能性相等，正确． 故选：A 10．某医院计划从3名医生和4名护士中任选3人参与某地的防疫工作，则至少有1名医生被选中的选法共有（    ） A．31种 B．33种 C．34种 D．35种 【答案】A 【分析】根据组合以及对立事件求解即可. 【详解】从7名医护人员中任选3人，有种选法. 没有一名医生的选法有种，因此至少有1名医生被选中的选法共有种. 故选：A． 11．某中职学校高一年级有学生400人，高二年级360人，高三年级240人．现需抽取100人进行学业调研，采用分层抽样的方法，则从高二年级抽取的人数为（    ） A．30 B．36 C．40 D．24 【答案】B 【分析】根据分层抽样的概念计算. 【详解】总人数为人，抽取100人，则抽样比为 ， 高二年级有360人，所以从高二年级抽取的人数为 ， 故选：B. 12．的展开式中第五项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式即可得解. 【详解】二项式的通项为，二项式系数为， 所以二项式的第五项系数为. 故选：A. 二、填空题 13．（2025·内蒙古·真题T15）某校高三年级举行的个人技能比赛中有10名同学参赛，其中一班2名同学参赛，二班3名同学参赛，其它班级有5名同学参赛，若采取抽签的方式确定他们的比赛顺序，则二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】用捆绑法和插空法求出满足条件的事件数，再由古典概型概率公式计算即可. 【详解】将二班的3名同学看作一个整体，共有种情况， 将这个整体与除一班外其他班级的5名同学进行全排列共有种情况， 将上述排列形成的7个空，安排一班的2名同学，共有种情况， 故满足条件的基本事件数为， 而基本事件总数为， 故二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为. 故答案为：. 14．（2024·内蒙古·真题T14）的展开式中的常数项为_________. 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式即可得解. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为， 故答案为：. 15．已知，若，且，则 . 【答案】2 【分析】将已知等式进行变形成，结合二项展开式的通项公式即可得解. 【详解】因为， 又，展开式通项为， 对应的系数，故得到，解得， 其系数为，解得或， 又因为，故实数的值为. 故答案为：2. 16．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有50名，高二年级有30名.现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了10名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ． 【答案】6 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可求解. 【详解】设样本容量为N，则，解得， 所以高二所抽人数为：. 故答案为：. 17．一个不透明的袋子中装有5个红球和3个白球，这些球除颜色外形状和质地完全相同．若从袋子中不放回地依次摸取2个球，则摸出的2个球恰好为1个红球和1个白球的概率是 ． 【答案】 【分析】根据古典概型的概率公式列式，并由组合数的计算法则计算即可. 【详解】已知袋子中装有5个红球和3个白球， 从中摸取2个球，共有中取法， 摸出的2个球恰好为1个红球和1个白球，共有 所以摸出的两个球恰好为1个红球和1个白球的概率是． 故答案为：. 18．某种产品的加工需要经过，，，，，5道工序，如果工序C，D必须不能相邻，那么有 种加工顺序（数字作答） 【答案】72 【分析】根据插空法，首先将其余3人进行排列，再将两人进行插空即可. 【详解】先排其余的3道工序，有种不同的排法， 出现4个空位，再将C，D这2道工序插空， 有种不同的排法， 所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序. 故答案为：72. 三、解答题 19．从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，求： (1)可组成不同的一次函数共有多少个？ (2)不同的二次函数共有多少个？ 【答案】(1)6 (2)18 【分析】（）根据一次函数的定义，结合分步乘法计数原理即可得解. （）根据二次函数的定义，结合分步乘法计数原理即可得解. 【详解】（1）因为只有当且时，函数才是一次函数， 所以可组成不同的一次函数共有个. （2）因为只有当时，函数才是二次函数， 所以可组成不同的二次函数共有个. 20．在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于分为优秀． (1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于分，问这名学生数学成绩为优秀的概率； (2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取名，再从这名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）先由频率直方图中频率之和为求得，从而求得不低于分与不低于分的人数，由此求得这名学生成绩是优秀的概率； （2）结合（1）中结论，求得成绩在，与内的人数，从而利用分层抽样比例相同求得各区间所抽人数，由此利用组合数求得各取值的概率，进而得到X的分布列与数学期望． 【详解】（1）依题意，得， 解得， 则不低于70分的人数为， 成绩在内的，即优秀的人数为； 故这名学生成绩是优秀的概率为； （2）成绩在内的有（人）； 成绩在内的有（人）； 成绩在内的有人； 故采用分层抽样抽取的名学生中， 成绩在内的有6人， 在内的有5人，在内的有2人， 所以由题可知，X的可能取值为， 则，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 21．一些俗语（谚语）蕴含数学知识和人生哲理，例如“三个臭皮匠顶个诸葛亮”告诉我们要发挥集体的作用，齐心协力．假设三个臭皮匠每人成功率均为0.5，诸葛亮成功率0.85，每人成功互不影响． (1)求两个臭皮匠中至少一人成功的概率； (2)三个臭皮匠能否顶个诸葛亮？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】（1）可先求两个臭皮匠都不成功的概率，然后用1减去此概率即可； （2）和（1）类似，先求出三个臭皮匠都不成功的概率，然后用1减去此概率得到至少一人成功的概率，与诸葛亮成功率比较即可得到结论． 【详解】（1）两个臭皮匠都不成功的概率为， ∴至少一人成功的概率为． （2）三个臭皮匠都不成功的概率为， ∴至少一人成功的概率为． 由于， ∴三个臭皮匠的成功率高于诸葛亮，能顶个诸葛亮． 22．某单位有职工160人，其中业务员120人，管理人员16人，后勤服务人员24人．为了了解职工的健康状况，要从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的业务员、管理人员、后勤服务人员各有多少人？ 【答案】15人；2人；3人. 【分析】根据分层抽样概念易得答案. 【详解】∵样本容量与职工总人数的比为，∴抽样比为， ∴从业务员、管理人员、后勤服务人员中抽取的人数分别为，，． 则抽取的业务员15人，管理人员2人，后勤服务人员3人． 23．甲、乙两人分别对A，两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次射击互不影响.已知甲击中A，的概率均为，乙击中A，的概率分别为，. (1)求A被击毁的概率； (2)求恰有1个目标被击毁的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件的概率求解即可. （2）根据独立事件以及对立事件的概率求解即可. 【详解】（1）A被击毁则甲、乙两人均要击中目标. 因为甲击中A的概率均为，乙击中A的概率为， 所以A被击毁的概率为. （2）因为甲击中B的概率均为，乙击中B的概率为， 则B被击毁的概率为， 则A被击毁，B不被击毁的概率为， B被击毁，A不被击毁的概率为， 则恰有1个目标被击毁的概率为． 24．在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数 (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项. 【答案】(1)240 (2)32 (3) 【分析】（1）根据二项式展开式的通项公式求解即可； （2）根据奇数项的二项式系数公式求解即可； （3）利用系数最大满足的不等式列式求解即可； 【详解】（1）二项式的通项公式为： . 第3项的二项式系数为，第三项的系数为； （2）奇数项的二项式系数和； （3）设系数绝对值最大的项为第（）项， 则， 又，所以. ∴系数绝对值最大的项为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第1卷 集合与不等式 （学生练习卷） 一、单选题 1.（2025·内蒙古·真题T10）某工厂生产甲，乙，丙三种型号的产品，产品数量之比为，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有件，则样本容量（ ） A. B. C. D. 2.（2023·内蒙古·真题T11）某省实验中学为预防流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有4个检查项目，需要安排在4间空教室进行检查．学校现有一排7间的空教室供选择使用，但为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（ ）种安排方案． A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 3．已知的二项展开式中有10项，则倒数第3项的系数是（     ） A．2304 B． C． D．4608 4．据《史记》记载，田忌与齐王赛马，马匹实力强弱分明：田忌的上等马强于齐王的中等马，却弱于齐王的上等马；中等马强于齐王的下等马，却弱于齐王的中等马；下等马弱于齐王的下等马。若双方均选出上等、中等、下等马各1匹，两人从各自选出的马匹中随机挑选1匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 5．将4封不同的信投入3个不同的信箱，且4封信全部投完，则不同的投法有（    ） A．81种 B．64种 C．24种 D．4种 6．展开式中的第4项为（      ） A． B． C． D． 7．设为虚数单位，则展开式中的第三项为（      ） A．－20i B．15i C．20 D．－15 8．甲乙丙三条生产线共同生产1800只灯泡，其中甲生产线产量是乙的，丙生产线产量比乙多300只．现采用分层抽样从1800只灯泡中抽取60只进行质量检测，则从甲生产线抽取的灯泡数量是（     ） A．5只 B．10只 C．15只 D．20只 9．关于简单随机抽样，下列说法中正确的是（      ） ①它要求被抽取样本的总体的个数有限；  ②它是从总体中逐个地进行抽取； ③它是一种不放回抽样；                ④它是一种等可能性抽样． A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④ 10．某医院计划从3名医生和4名护士中任选3人参与某地的防疫工作，则至少有1名医生被选中的选法共有（    ） A．31种 B．33种 C．34种 D．35种 11．某中职学校高一年级有学生400人，高二年级360人，高三年级240人．现需抽取100人进行学业调研，采用分层抽样的方法，则从高二年级抽取的人数为（    ） A．30 B．36 C．40 D．24 12．的展开式中第五项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（2025·内蒙古·真题T15）某校高三年级举行的个人技能比赛中有10名同学参赛，其中一班2名同学参赛，二班3名同学参赛，其它班级有5名同学参赛，若采取抽签的方式确定他们的比赛顺序，则二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为__________. 14．（2024·内蒙古·真题T14）的展开式中的常数项为_________. 15．已知，若，且，则 . 16．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有50名，高二年级有30名.现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了10名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ． 17．一个不透明的袋子中装有5个红球和3个白球，这些球除颜色外形状和质地完全相同．若从袋子中不放回地依次摸取2个球，则摸出的2个球恰好为1个红球和1个白球的概率是 ． 18．某种产品的加工需要经过，，，，，5道工序，如果工序C，D必须不能相邻，那么有 种加工顺序（数字作答） 三、解答题 19．从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，求： (1)可组成不同的一次函数共有多少个？ (2)不同的二次函数共有多少个？ 20．在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于分为优秀． (1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于分，问这名学生数学成绩为优秀的概率； (2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取名，再从这名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为，求的分布列． 21．一些俗语（谚语）蕴含数学知识和人生哲理，例如“三个臭皮匠顶个诸葛亮”告诉我们要发挥集体的作用，齐心协力．假设三个臭皮匠每人成功率均为0.5，诸葛亮成功率0.85，每人成功互不影响． (1)求两个臭皮匠中至少一人成功的概率； (2)三个臭皮匠能否顶个诸葛亮？请说明理由． 22．某单位有职工160人，其中业务员120人，管理人员16人，后勤服务人员24人．为了了解职工的健康状况，要从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的业务员、管理人员、后勤服务人员各有多少人？ 23．甲、乙两人分别对A，两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次射击互不影响.已知甲击中A，的概率均为，乙击中A，的概率分别为，. (1)求A被击毁的概率； (2)求恰有1个目标被击毁的概率. 24．在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数 (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $