第12卷 圆（教师讲解卷）内蒙古自治区（对口招生）《数学真题同源卷》

编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第12卷 圆 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 2．点与圆的位置关系 (1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三种关系： 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)． ①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上； ②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外； ③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内． 3.直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 　　方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d＜r Δ＞0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d＞r Δ＜0 【真题精讲】 考点01 圆的方程 1．（2021·内蒙古·真题T15）已知圆的圆心坐标为，则圆的半径是 . 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的一般式方程转化为标准方程即可求解. 【详解】因为. 所以. 因为圆心为. 所以即. 所以. 所以半径为. 故答案为：. 考点02 直线与圆的位置关系 2.（2024·内蒙古·真题T15）已知点，，若动点满足，则点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的坐标表示及内积的坐标运算，表示出，结合圆的标准方程，可判断点的运动轨迹，结合圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】由题意，设动点坐标，则， 又，即， 所以，即， 所以动点在以圆心为，半径的圆周上运动， 所以圆心到直线l的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为. 故答案：. 【举一反三】 1．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）直线与圆心为的圆交于两点，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题可得两点坐标和圆的圆心坐标，首先计算线段的长度，利用点到直线的距离公式得到的底边上的高，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】由题，直线与圆心为的圆交于两点， 故联立方程：， 解得：或，令， 由圆：，可得圆：， 则圆心到线段的距离为：， 线段， 故的面积：， 故选：B. 2．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）圆的圆心到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆化为标准方程求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式即可解得. 【详解】将圆化成标准方程形式得， ∴圆心为，∴圆心到直线的距离是. 故选：B. 3．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）圆上的点到直线的距离的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离，结合圆和直线的位置关系和圆的标准方程的基本性质，即可求解. 【详解】由题，圆的一般方程为 ， 化为标准方程为， 可知圆的圆心坐标为：，半径， 故圆心到直线的距离， 故圆与直线的位置关系是相离， 故有圆上的点到直线的距离最大值， 最小值， 则. 故选:C. 4．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由圆的方程确定圆心，再根据垂径定理可得直线与弦垂直，由此求出弦的斜率，写出点斜式方程化为一般式即可. 【详解】已知圆的圆心为， 因为点为圆的弦的中点， 所以，则， 则，所以， 所以弦所在直线的方程为，即， 故选：A. 5.（2022·内蒙古·真题T15）若直线过圆：的圆心，则的值为 . 【答案】3 【解析】 【分析】圆心坐标代入直线方程即可得解． 【详解】圆：的圆心为，即， 代入直线，得，解得． 故答案为：3． 6．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，两点. (1)若点，求直线的方程； (2)若点在抛物线上，求的范围？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，根据与圆相切找出三点满足的圆的方程，再与圆的方程作差即可求直线的方程. （2）先由题意求出点到圆心的距离、切线长及切点弦的长度，建立的表达式，结合抛物线方程分析的范围，最后确定的范围即可求解. 【详解】（1）由题意，点距离圆圆心的距离为， 以点为圆心，为半径的圆方程为①， 又在圆②上， ②①得，即，所以直线的方程为. （2）点到圆心的距离为，切线长， 如图，在四边形中，    由得切点弦的长度为， 在中，利用余弦定理得， 又点在抛物线上，代入得， 配方得，当且仅当时，取得最小值， 当时，，因此，， 当时，；当时，. 因此的取值范围为. 7．（24-25高三下·四川·职教高考）已知圆心在轴上的圆C与轴分别交于点，. (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线与C交于，两点. 当取得最小值时，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题干条件及中点坐标公式求出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程； （2）根据圆的弦长性质得出取得最小值时，，写出直线的方程，再将四边形分成和，结合弦长公式与点到距离公式分别计算面积即可. 【详解】（1）圆心在轴上的圆C与轴分别交于点，， 所以圆C的圆心为的中点， 可得圆心坐标为，即，半径为， 所以圆C的标准方程为. （2）过点的直线与圆于，两点， 由圆的弦长性质可得，当时，取得最小值， ，则，， 所以直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，半径， ， 联立直线与圆方程， ，可得， 解得， 因为，，， 所以，如图两点都在轴上方， 点到直线的距离， 所以 .      8．（24-25高三下·内蒙古·一模）已知圆C过点和，且圆心在y轴上. (1)求圆C的标准方程； (2)若点D在圆C上，且经过点D的圆C的切线与直线平行，求点D的坐标； (3)若直线与圆交于E，F，求弦长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由题意可设圆的方程为，再将两个点的坐标代入到方程中可求出的值，即可得圆的标准方程； （2）由题意可知切线的斜率，设点，切线方程为，根据圆心到切线的距离等于半径求出的关系，再将点D的坐标代入到圆的方程得到另一个的关系，进而分析计算出具体的值，点D的坐标即可得解； （3）根据圆的弦长公式代入求解即可. 【详解】（1）因为圆的圆心在y轴上，设圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为， 又因为圆C过点和， 所以，解得：， 所以圆的标准方程为. （2）设点，因为过点D的圆C的切线与直线平行， 所以切线的斜率，设切线方程为， 即， 圆心到切线的距离， 所以， 又因为在圆上，所以， 当，即时， ， 解得：，， 即； 当，即时， ， 解得：，， 即， 综上，点D的坐标为或. （3）因为直线与圆交于E，F， 圆心到直线的距离，半径， 所以弦长. 9．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知圆的半径为，圆心在直线上，圆被直线截得的弦长为 (1)求圆的方程； (2)若圆的圆心在第一象限，过点作圆的切线，切点为，求直线的方程及的长． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）设出圆心坐标及圆的方程，利用点到直线距离公式结合弦长公式求出参数即可求圆的方程； （2）利用圆心在第一象限得到圆的方程，设出切线方程，利用圆心到切线的距离为半径求出切线方程，然后利用点到圆心的距离，，半径构成直角三角形求出即可. 【详解】（1）因为圆心在直线上，可设圆心，圆的半径为， 可设圆的方程为， 由弦长公式可知，则，，即圆心到直线距离为， 即，则， 故圆心为，， 则圆的方程为或； （2）如图所示， 因为圆的圆心在第一象限，则圆的方程为， 因为点， 圆心到点距离为， 则点在圆外，从点出发可做两条切线， 若切线斜率不存在则过点的直线为， 而圆心到此直线的距离为，此直线与圆相交， 故过切点的两条切线斜率必存在， 可设切线方程为，即， 则圆心到直线距离，即， ，解得或， 则切线方程为或， 因为切线垂直于过切点的半径，所以点到圆心的距离，，半径构成直角三角形， 而点到圆心的距离为公共斜边，且半径相等， 则两个直线三角形为全等三角形，则值固定， 点到圆心的距离为，， 则.    10．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知圆心在直线上，半径为的圆经过原点． (1)求圆的方程； (2)求经过点且被圆所截得弦长为的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意设圆心的坐标，再由圆过原点可得参数的值进而求出圆的方程. （2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，求出圆心到直线的距离，由半弦长，圆心到直线的距离及半径构成直角三角形可得参数的值，进而求出直线的方程. 【详解】（1）设圆心为，则圆的方程为， 又，，解得，， 故圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为， 与圆的两个交点为，，则弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线为， 可得圆心到直线的距离为， 则由题意得，，即，解得， 此时直线方程为，即. 综上，直线方程为或. 【拓展提升】 1．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）经过直线与x轴的交点，且圆心是的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知设出圆的方程，再将直线与坐标轴交点坐标代入圆的方程即可解得. 【详解】由题，设圆心为的圆的方程为， 将代入直线，解得，则交点坐标为， 将代入，解得， 故所求圆的方程为. 故选：B 2．（24-25高三下·河北·对口/高职单招）过圆内一点 ，且被圆截得的弦长最短的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据过圆内一点的所有直线中，与该点和圆心连线垂直的直线被圆截得的弦长最短即可得解. 【详解】令圆，则圆心， 设所求直线为，则， ，所以， 则直线，化为一般式方程为， 故选：. 3．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）若直线经过点和圆的圆心，且与直线平行，则 ． 【答案】 【分析】先求出圆心坐标，进而求出直线斜率，再利用两直线互相平行即可求解. 【详解】∵圆，即， ∴圆心为， ∵直线经过点和圆心，且与直线平行， ，. 故答案为：. 4．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）若圆被直线截得的弦长为6，则 . 【答案】 【分析】首先根据圆的一般方程确定圆心和半径，再由弦长公式列方程求解即可. 【详解】已知圆， 圆心为，半径， 已知圆被直线截得的弦长为6， 则圆心到弦的距离为， 由弦长公式，得，解得， 则，即， 解得， 故答案为：. 5．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）若直线过圆：的圆心，则的值为 . 【答案】3 【分析】圆心坐标代入直线方程即可得解． 【详解】圆：的圆心为，即， 代入直线，得，解得． 故答案为：3． 6．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）已知直线与轴交于点，与轴交于点，圆为的外接圆（为原点） (1)求圆的方程； (2)斜率为的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线方程，先求出点和的坐标，设出圆的一般方程，代入即可求解. （2）设出直线方程，结合圆心到直线的距离、弦长的一半、半径之间的关系，利用勾股定理，即可求出直线方程. 【详解】（1）因为直线， 令，则，即， 令，则，即， 设圆C的方程为， 所以，解得， 所以圆C的方程为，即； （2）由题意，设直线的方程为，即， 因为圆的方程为，所以圆心坐标为，半径， 即圆心到直线的距离为， 因为，所以， 即，即， 可化为，所以或，经检验，符合题意， 所以直线的方程为或. 7．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）已知圆及点，过点作直线. (1)当直线经过圆心时，求直线的方程； (2)当直线与圆相切时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先由圆的标准方程求出圆心和半径，再由直线的点斜式方程即可求解直线方程. （2）先判断点是否在圆上，根据直线与圆相切则有圆心到直线的距离等于半径求解直线方程即可. 【详解】（1）由得圆心的坐标为，半径， 直线过点， 直线的斜率， 直线的方程为， 即. （2）将点代入，点不在圆上， 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为， 即， 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径， ，得， 此时直线的方程为，即， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 因为，与圆相切， 综上所述，直线的方程为或. 8．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知圆C经过坐标原点O和点，且圆心在x轴上． (1)求圆C的标准方程； (2)已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心与半径即可. （2）利用点到直线的距离，结合半径以及半弦长满足勾股定理，即可. 【详解】（1）依题意可设圆的标准方程为， 圆C经过坐标原点O和点， ， 解得： 圆的标准方程为. （2）由（1）可知：圆C半径为 设圆心到直线的距离为d， 则 由垂径定理得： ． 9．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）已知点及圆：. (1)直线过点且圆心到该直线的距离为1时，求直线的方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，当时，求以线段为直径的圆的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出圆心的坐标，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式列方程求解； （2）由条件求出圆心到直线的距离，可知点为线段的中点，然后利用圆的标准方程得出答案． 【详解】（1）由，得， 所以圆心为，半径， 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 因为圆心到直线的距离为1，所以，解得， 所以直线的方程为，即； 当直线的斜率不存在时，的方程为，满足题意， 所以直线的方程为或． （2）因为圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 又，所以点为线段的中点， ∴以线段为直径的圆的圆心为，半径为2， ∴以线段为直径的圆的方程为． 10．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知圆C的圆心在射线上，过点，半径为，直线. (1)求圆C的方程； (2)直线与圆C相交于A、B两点，，求的值； (3)求证：对于任意实数，直线与圆C都相交. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设圆心坐标，根据圆心到点的距离等于半径，列方程解即可得出答案. （2）通过弦长、半径r、圆心到直线的距离d，三者关系列方程解得m. （3）根据题意可得直线过l过定点，判断定点在圆内，即可得出答案. 【详解】（1）设圆心坐标， 则，解得：或（舍）. 所以圆C的方程为：. （2），，， ，解得：. （3）直线可化为：， 直线l过定点， ，在圆内， 对于任意实数，直线与圆C都相交. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内蒙古自治区对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 内蒙古自治区对口招生《数学真题同源卷》 第12卷 圆 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 2．点与圆的位置关系 (1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三种关系： 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)． ①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上； ②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外； ③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内． 3.直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 　　方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d＜r Δ＞0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d＞r Δ＜0 【真题精讲】 考点01 圆的方程 1．（2021·内蒙古·真题T15）已知圆的圆心坐标为，则圆的半径是 . 考点02 直线与圆的位置关系 2.（2024·内蒙古·真题T15）已知点，，若动点满足，则点到直线的距离的最小值为 . 【举一反三】 1．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）直线与圆心为的圆交于两点，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 2．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）圆的圆心到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）圆上的点到直线的距离的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D．5 4．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5.（2022·内蒙古·真题T15）若直线过圆：的圆心，则的值为 . 6．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，两点. (1)若点，求直线的方程； (2)若点在抛物线上，求的范围？ 7．（24-25高三下·四川·职教高考）已知圆心在轴上的圆C与轴分别交于点，. (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线与C交于，两点. 当取得最小值时，求四边形的面积. 8．（24-25高三下·内蒙古·一模）已知圆C过点和，且圆心在y轴上. (1)求圆C的标准方程； (2)若点D在圆C上，且经过点D的圆C的切线与直线平行，求点D的坐标； (3)若直线与圆交于E，F，求弦长. 9．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知圆的半径为，圆心在直线上，圆被直线截得的弦长为 (1)求圆的方程； (2)若圆的圆心在第一象限，过点作圆的切线，切点为，求直线的方程及的长． 10．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知圆心在直线上，半径为的圆经过原点． (1)求圆的方程； (2)求经过点且被圆所截得弦长为的直线方程． 【拓展提升】 1．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）经过直线与x轴的交点，且圆心是的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·河北·对口/高职单招）过圆内一点 ，且被圆截得的弦长最短的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）若直线经过点和圆的圆心，且与直线平行，则 ． 4．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）若圆被直线截得的弦长为6，则 . 5．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）若直线过圆：的圆心，则的值为 . 6．（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）已知直线与轴交于点，与轴交于点，圆为的外接圆（为原点） (1)求圆的方程； (2)斜率为的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 7．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·一模）已知圆及点，过点作直线. (1)当直线经过圆心时，求直线的方程； (2)当直线与圆相切时，求直线的方程. 8．（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知圆C经过坐标原点O和点，且圆心在x轴上． (1)求圆C的标准方程； (2)已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值． 9．（21-22高三·内蒙古·模拟预测）已知点及圆：. (1)直线过点且圆心到该直线的距离为1时，求直线的方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，当时，求以线段为直径的圆的方程. 10．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知圆C的圆心在射线上，过点，半径为，直线. (1)求圆C的方程； (2)直线与圆C相交于A、B两点，，求的值； (3)求证：对于任意实数，直线与圆C都相交. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $