专题08 直线与圆的方程（讲义）-2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第8个专题，内容为直线与圆的方程。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题08 直线与圆的方程 一、课标解读 1.掌握两点间的距离公式，线段中点的坐标公式； 2.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念；掌握求直线斜率的方法；掌握直线的斜截式方程、点斜式方程和一般式方程，能够根据条件求出直线的方程； 3.掌握求两条相交直线的交点的方法；理解两条直线垂直和平行的条件，能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系； 4.会求点到直线的距离及两平行线之间的距离； 5.掌握圆的标准方程，理解确定圆的条件，能够根据条件求出圆的标准方程； 6.了解圆的一般方程的特点，会从一般方程中求出圆心坐标和半径长； 7.理解直线与圆的位置关系的判定，理解直线与圆相切的含义． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 8 直线和圆的位置关系 4 （1）题型：一个选择一个填空题. （2）分值：4-8分. （3）内容：直线和圆的方程 2024 选择题 9 直线和圆的方程 4 填空题 15 直线和圆的方程 4 2023 选择题 2 直线和圆的方程 4 填空题 14 直线和圆的方程 4 2022 选择题 10 直线和圆的方程 4 填空题 12 直线和圆的方程 4 三、考点预测 根据2022-2025年的真题考情，预估2026年湖南省对口招生考试会有1-2道题目考查数列，题型为1道选择和1道填空。分值共4-8分.具体考点可能涉及如下内容： · 直线和圆的方程 四、知识梳理 （一）直线 1.直线方程的三种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 其中要求A2＋B2≠0 适用于平面直角坐标系内的所有直线 （二）等差数列 2.两条直线的位置关系 （1）设直线和（不同时为0，不同时为0）. 位置关系 条件（一般式） 条件（斜截式） 几何性质 平行 且 且 无交点，斜率相等 重合 且 且 无限多交点，完全重合 相交 有唯一交点 垂直 （斜率存在） 夹角为 90°，相交的特殊情况 （2）两条直线相交的交点求法 直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组的解． 相交⇔方程组有__唯一解__； 平行⇔方程组__无解__； 重合⇔方程组有__无数个解__． 3.三种距离公式 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． (2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． (3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝． （二）圆 1.圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C：(a，b) 半径：r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心： 半径：r＝ 2. 直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ． 　　　　方法 位置关系　　　　 几何法 代数法 相交 d＜r Δ＞0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d＞r Δ＜0 五、10分钟小测验 1．已知圆的方程是，则该圆的圆心坐标及半径分别为（ ） A．与5 B．与 C．与5 D．与 2．已知，，且，则x等于（    ） A． B．1 C．或1 D．或9 3．点关于点的对称点为（    ） A． B． C． D． 4．已知的三个顶点，则的高所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 6．若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 7．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心 8．直线l过点且与直线垂直，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 9．若直线，圆，则平行于直线且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D． 10．已知圆与直线至少有一个公共点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【答案解析】 1．B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可得解. 【详解】由圆的一般方程为，化为圆的标准方程为， 所以圆心坐标为半径为， 故选：B. 2．C 【分析】根据两点间的距离公式易得答案. 【详解】由题意，， 即，解得或. 故选：C. 3．D 【分析】根据中点坐标公式易得答案. 【详解】设，则，，∴，， ∴点. 故选：D. 4．D 【分析】利用两直线垂直斜率之积为求出高的斜率，再结合点斜式方程求解直线方程. 【详解】由题意知：，则， 故所在的直线方程为，即， 故选：D. 5．D 【分析】根据直线平行的条件列方程求解的值，再由平行线间距离公式求值 即可. 【详解】已知直线和互相平行， 可得，解得， 则直线方程为，即， 则距离是， 故选：D. 6．C 【分析】根据直线被圆所截得的弦长公式，代数求解即可. 【详解】由圆可知：圆心，半径； 圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为， 整理得：，解得：， 故选：C. 7．D 【分析】判断圆心坐标是否满足直线方程，以及圆心到直线的距离与半径比较，可得直线与圆的位置关系。 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 将圆心代入直线方程，可得，此等式不成立，说明圆心不在直线上. 圆心到直线方程的距离， 所以直线与圆相交，且直线不过圆心. 故选：D. 8．C 【分析】根据垂直关系求出直线斜率，代入点斜式方程即可得解. 【详解】直线，斜率为，因为垂直关系可得直线的斜率为， 所以直线l的方程为，即， 故选：. 9．C 【分析】先由直线平行设出直线方程，再求出圆的圆心和半径，根据直线与圆相切的条件求解即可. 【详解】可设平行于直线的直线方程为， 圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆相切，即圆心到直线的距离等于半径， 所以，即， 解得， 所以直线方程为或. 故选：C. 10．C 【分析】根据直线与圆位置关系即可求解. 【详解】由圆得圆心， 因为圆与直线至少有一个公共点， 所以圆心到直线的距离， 当且仅当时等号成立，故. 故选：C. 六、经典例题解析 直线与圆 【例1】（2020·湖南对口升学高考）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则所在的直线方程为 【答案】 【知识点】由两条直线垂直求方程、由标准方程确定圆心和半径、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】先根据圆的方程得到半径和圆心，再根据圆外的点与圆相切于A，B，得到一个切点的坐标，以及，再根据的斜率求得的斜率，即可得到直线方程. 【详解】∵圆的圆心为，半径， 而过点作圆的两条切线，交点为A，B， ∴， 且得到一条切线方程为，故切点坐标为. 根据点，得到， 即可得到. 令所在的直线方程为，代入， 即，得到. 所以，直线方程为，即. 故答案为：. 【例2】（2021·湖南对口升学高考）点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式即可得解. 【详解】直线. 所以点到直线的距离为. 故选:. 【例3】（2021·湖南对口升学高考）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为 【答案】 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程. 【详解】由可得， 所以圆心为， 由可得，所以直线的斜率为， 所以与直线垂直的直线的斜率为， 所以所求直线的方程为：，即， 故答案为：. 【例4】（2022·湖南对口升学高考）己知点P在直线上，点Q在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断直线与圆的位置关系，进而求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 则的最小值为， 故选：C 【例5】（2022·湖南对口升学高考）经过点，且与直线平行的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据与直线平行设所求直线方程，再根据过点代数求解. 【详解】∵直线与平行， 故设直线方程为， ∵点， 代入数值得：， 解得， 故直线方程为. 故答案为：. 【例6】（2023·湖南对口升学高考）已知直线：与直线：．若，则a的值为（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用两直线平行，斜率相等求解a的值. 【详解】直线：与直线：， 当时，，不满足题意， 当时，直线斜率为，直线斜率为， 因为，则，即，解得. 综上，若，则a的值为. 故选：B. 【例7】（2023·湖南对口升学高考）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则 ． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，由点到直线距离公式求弦心距，再结合垂径定理即可求得. 【详解】圆C：可化为， 圆心坐标，半径， 直线l：，即， 由点到直线距离公式可得弦心距 ， 所以. 故答案为：. 【例8】（2024·湖南对口升学高考）光线从点射到点后被轴反射，则反射光线必经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据入射光线与反射光线之间的斜率关系即可求解. 【详解】入射线斜率， 因为入射光线与反射光线对应的倾斜角互补， 所以斜率之和为0， 则反射光线斜率为. 对A：斜率为，所以A错误； 对B：斜率为，所以B错误； 对C: 斜率为，所以C错误； 对D：斜率为，所以D正确. 故选：D. 【例9】（2024·湖南对口升学高考）已知点在圆上运动，则点到直线的距离的最大值为 ． 【答案】8 【分析】先求出圆心到直线的距离和圆心的半径，再由点在圆运动可得，点到直线的距离的最大值为，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为点在圆上运动， 所以点到直线的距离的最大值为． 故答案为：. 【例10】（2025·湖南对口升学高考）已知点，，则线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式即可得解. 【详解】因为，， 所以线段的中点坐标为，即， 故选：B. 【例11】（2025·湖南对口升学高考）已知直线与圆相切，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合直线与圆的位置关系，及点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径， 所以. 故选：A. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】解题策略与技巧 直线与圆、圆与圆的位置关系判断 位置关系 判定方法 （几何法：d表示圆心到直线/圆心距） 判定方法 （代数法：联立方程） 直线与圆 相交: d<r Δ>0 相切: d=r Δ=0 相离: d>r Δ<0 策略选择口诀：“位置关系判，几何优先看；求弦长交点，代数更直观” 【专题内容总结2】易错点 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略斜率不存在情况 求过点 P(1,2) 与圆相切的直线方程，漏解x=1 设直线方程时，先考虑斜率k是否存在 “长对正、高平齐、宽相等”，尤其注意虚线与实线的区别 点线距公式漏绝对值 求点(−1,2)到直线2x−y+1=0 的距离，得负值 公式分子漏加绝对值 严格公式书写，缺一不可 求弦长时用代数方法解不等式 求直线被圆截得的弦长，用代数方法 未考虑计算量问题 熟记几何方法 【专题内容总结3】备考策略 1、学生能力培养重点： 数形结合意识：养成“见数思形，见形想数”的习惯，多画图分析。 分类讨论思想：特别是涉及斜率、直线与圆的位置关系时。 运算能力：强化代数运算（如解方程组、求距离）的准确性和速度。 2. 真题演练方向： 题型1：求直线的方程（各种形式灵活运用）。 题型2：判断直线与圆的位置关系。 题型3：求圆的切线方程（点在圆上/圆外）。 题型4：求弦长（代数法或几何法）。 题型5：与圆相关的最值问题（几何意义法）。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $