专题9 万有引力理论的成就 讲义 -2026届高考物理一轮复习

努力必有收获，坚持必会成功，加油向未来！ 专题8万有引力的理论成就 天体质量和密度的计算 方法1：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G＝mg得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 (3)GM＝gR2称为黄金代换公式。 方法2：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。 (1)由G＝mr得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 例题1、(多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为(　　) A. B. C. D. 【答案】　AC 【解析】 　根据G＝mr得，M＝，选项A正确，B错误；在地球的表面附近有mg＝G，则M＝，选项C正确，D错误． 【练习】假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转． (1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？ (2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？ 【答案】　(1)　(2) 【解析】 　设卫星的质量为m，天体的质量为M. (1)卫星距天体表面的高度为h时， G＝m(R＋h)，则有M＝ 天体的体积为V＝πR3 故该天体的密度为ρ＝＝＝ (2)卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，则有M＝ 故ρ＝＝＝.双星系统 1．在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的星体称为双星。 2．双星系统的条件： （1）两星彼此相距较近； （2）两星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动； （3）两星绕同一圆心做圆周运动。 3．双星系统的特点： （1）两星的角速度、周期相等； （2）两星的向心力大小相等； （3）两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1+r2=L。 4．双星问题的处理方法： 双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即==，由此得出： （1）m1r1=m2r2，即轨道半径与质量成反比； （2）由r1+r2=L，两星的质量之和M=。 例题2、宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统。它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动。若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，该双星系统中两颗恒星的质量关系为 A．这两颗恒星的质量必定相等 B．这两颗恒星的质量之和为 C．这两颗恒星的质量之比为m1:m2=R2:R1 D．必有一颗恒星的质量为 参考答案：BC 试题解析：两恒星间的万有引力提供做圆周运动的向心力，有==，得两恒星的质量之比m1:m2=R2:R1，m1=，m2=，m1+m2= ，AD错误，BC正确。 综合练习 1、宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力互相绕转，称之为双星系统，设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。若AO>OB，则 A．星球A的角速度一定大于B的角速度 B．星球A的质量一定小于B的质量 C．若双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越大 D．若双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 【解析】A、双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，故A错误；B、双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，根据万有引力提供向心力公式得：，因为AO>OB，即r1>r2，所以，即A的质量一定小于B的质量，故B正确；C、根据万有引力提供向心力公式得：，解得周期为，由此可知双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越小，故C错误；D、根据可知双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大，故D正确；故选BD。 2、宇航员乘坐航天飞船，在几乎贴着月球表面的圆轨道绕月运行，运动的周期为T。再次变轨登上月球后，宇航员在月球表面做了一个实验：将一个铅球以速度v0竖直向上抛出，经时间t落回抛出点。已知引力常量为G，则下列说法不正确的是 A．月球的质量为 B．月球的半径为 C．月球的密度为 D．在月球表面发射月球卫星的最小速度为 【解析】AB．铅球以速度v0竖直向上抛出，经时间t落回抛出点。可求得月球重力加速度，根据：，又因为：，联立解得：，，AB正确；C．密度，，，联立解得，C正确；D．根据万有引力提供向心力，，，联立解得：，D错误。 3、2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。我国航天局发布了由“天问一号”拍摄的首张火星图像（如图）。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为，轨道半径为，已知火星的半径为，引力常量为，不考虑火星的自转。下列说法正确的是（　　） A．火星的质量 B．火星的质量 C．火星表面的重力加速度的大小 D．火星表面的重力加速度的大小 【答案】A 【解析】AB．设“天问一号”的质量为，万有引力提供向心力，有 得 故A正确，B错误； CD．不考虑火星自转，则万有引力提供重力，有 将代入可得 故CD错误。 故选A。 4、为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2021年发射“天问一号”火星探测器。假设“天问一号”被火星引力捕捉后先在离火星表面高度为h的圆轨道上运动，运行周期分别为；制动后在近火的圆轨道上运动，运行周期为，火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，下列说法正确的是（　　） A．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为 B．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为 C．可以求得火星的密度为 D．由于没有火星的质量和半径，所以无法求得火星的密度 【答案】C 【解析】A．根据万有引力提供向心力 将“天问一号”的质量约掉，无法求得“天问一号”的密度，A错误； B．有A项分析可知，B错误； C．根据万有引力提供向心力 求得火星的密度 C正确； D．由C项分析可知，D错误． 故选C。 5．（多选）假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为g；地球自转的周期为；地球近地卫星的周期为T；引力常量为G。地球的密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】AB．设地球半径为R，由万有引力定律在两极和赤道分别有 设地球的密度为，则地球质量为 联立三式可得 故A错误，B正确； CD．由近地卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动，轨道半径等于地球半径，万有引力提供向心力 联立两式解得 故C错误，D正确。 故选BD。 6、科幻电影《流浪地球》讲述了这样的故事：太阳即将毁灭，人类在地球上建造出巨大的推进器，使地球经历了停止自转、加速逃逸、匀速滑行、减速入轨等阶段，最后成为比邻星的一颗行星。假设若干年后，地球流浪成功。设比邻星的质量为太阳质量的，地球质量在流浪过程中损失了，地球绕比邻星运行的轨道半径为地球绕太阳运行轨道半径的，则地球绕比邻星运行与绕太阳运行相比较，下列关系正确的是(　　) A.公转周期之比为T比∶T日＝1∶1 B.向心加速度之比为a比∶a日＝3∶4 C.动能之比为Ek比∶Ek日＝3∶8 D.万有引力之比为F比∶F日＝3∶8 答案　C 解析　万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G＝mr，解得T＝2π，故T比∶T日＝∶2，故A错误；万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G＝ma，解得a＝，故a比∶a日＝1∶1，故B错误；万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G＝m，动能Ek＝mv2＝，代入数据计算解得动能之比为Ek比∶Ek日＝3∶8，故C正确；根据万有引力F＝，代入数据计算解得F比∶F日＝3∶4，故D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $努力必有收获，坚持必会成功，加油向未来！ 专题8万有引力的理论成就 天体质量和密度的计算 方法1：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G＝mg得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 (3)GM＝gR2称为黄金代换公式。 方法2：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。 (1)由G＝mr得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 例题1、(多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为(　　) A. B. C. D. 【练习】假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转． (1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？ (2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？ 双星系统 1．在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的星体称为双星。 2．双星系统的条件： （1）两星彼此相距较近； （2）两星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动； （3）两星绕同一圆心做圆周运动。 3．双星系统的特点： （1）两星的角速度、周期相等； （2）两星的向心力大小相等； （3）两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1+r2=L。 4．双星问题的处理方法： 双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即==，由此得出： （1）m1r1=m2r2，即轨道半径与质量成反比； （2）由r1+r2=L，两星的质量之和M=。 例题2、宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统。它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动。若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，该双星系统中两颗恒星的质量关系为 A．这两颗恒星的质量必定相等 B．这两颗恒星的质量之和为 C．这两颗恒星的质量之比为m1:m2=R2:R1 D．必有一颗恒星的质量为 综合练习 1、宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力互相绕转，称之为双星系统，设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。若AO>OB，则 A．星球A的角速度一定大于B的角速度 B．星球A的质量一定小于B的质量 C．若双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越大 D．若双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 2、宇航员乘坐航天飞船，在几乎贴着月球表面的圆轨道绕月运行，运动的周期为T。再次变轨登上月球后，宇航员在月球表面做了一个实验：将一个铅球以速度v0竖直向上抛出，经时间t落回抛出点。已知引力常量为G，则下列说法不正确的是 A．月球的质量为 B．月球的半径为 C．月球的密度为 D．在月球表面发射月球卫星的最小速度为 3、2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。我国航天局发布了由“天问一号”拍摄的首张火星图像（如图）。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为，轨道半径为，已知火星的半径为，引力常量为，不考虑火星的自转。下列说法正确的是（　　） A．火星的质量 B．火星的质量 C．火星表面的重力加速度的大小 D．火星表面的重力加速度的大小 4、为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2021年发射“天问一号”火星探测器。假设“天问一号”被火星引力捕捉后先在离火星表面高度为h的圆轨道上运动，运行周期分别为；制动后在近火的圆轨道上运动，运行周期为，火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，下列说法正确的是（　　） A．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为 B．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为 C．可以求得火星的密度为 D．由于没有火星的质量和半径，所以无法求得火星的密度 5．（多选）假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为g；地球自转的周期为；地球近地卫星的周期为T；引力常量为G。地球的密度为（　　） A． B． C． D． 6、科幻电影《流浪地球》讲述了这样的故事：太阳即将毁灭，人类在地球上建造出巨大的推进器，使地球经历了停止自转、加速逃逸、匀速滑行、减速入轨等阶段，最后成为比邻星的一颗行星。假设若干年后，地球流浪成功。设比邻星的质量为太阳质量的，地球质量在流浪过程中损失了，地球绕比邻星运行的轨道半径为地球绕太阳运行轨道半径的，则地球绕比邻星运行与绕太阳运行相比较，下列关系正确的是(　　) A.公转周期之比为T比∶T日＝1∶1 B.向心加速度之比为a比∶a日＝3∶4 C.动能之比为Ek比∶Ek日＝3∶8 D.万有引力之比为F比∶F日＝3∶8 学科网（北京）股份有限公司 $