7.3 一元一次不等式的实际应用 课件2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 合作探究 课堂小结 随堂演测 7.3数学建模初体验——用一元一次不 等式解决实际问题 互动设计 第七章 一元一次不等式 1 课件设计说明 本节课以“建模”为核心，设计了一个从现实问题驱动到数学工具应用，再回归现实解释的完整闭环。通过两个典型例题（决策与优化），展示了不等式应用的两种典型场景。互动设计重在引导学生“翻译”生活语言为数学语言（列不等式），并特别强化了“解的合理性检验”这一学生易忽略的步骤。例题和训练题的选择注重贴近学生生活，旨在激发兴趣，让学生真切感受到“有用的数学”。 学 习 目 标 明确课堂学习目标对学生的学习效果和教师的教学效率都有重要意义。它帮助学生明确方向、提升效率、增强动机，同时为教师设计教学和评估效果提供依据。通过清晰、具体的学习目标，师生可以更好地实现教学目标，提高课堂质量 返回主页 1.能从实际问题中抽象出数量关系，并列出一元一次不等式。 2.能求解不等式，并根据实际意义确定符合题意的解（如整数解、正整数解等）。 3.能用清晰的语言表述问题的解决方案。 重点：分析实际问题中的不等关系，准确列出不等式。 难点：理解问题的实际意义，对求得的解进行合理性检验与取舍（如求人数、物品数必须是正整数等）。 情 境 引 入 情境引入是教学中的重要策略，它通过创设生动、相关的情境，激发学生的学习兴趣，促进知识理解，培养问题解决能力，并增强知识的实用性。合理设计情境引入，能够有效提升课堂教学效果，帮助学生更好地掌握和应用知识 返回主页 生活决策问题 情境：“五一”假期，某公园门票每张30元。为了吸引游客，公园推出了两种优惠方案： 方案A：凭学生证，门票打八折。 方案B：一次性购票满100元，超出部分打七折 提问：小明和同学一共5人去玩，都是学生。他们应该选择哪种方案更省钱？ 这个问题中，总花费与人数有关。我们可以设什么？如何用数学式子表示‘更省钱’这个比较关系？ 学生可能会想到用方程比较，教师顺势引导：“当我们需要比较大小、寻找范围（如‘至少’、‘不超过’）时，不等式是我们的好帮手。今天我们就来学习如何用不等式做决策。” 探 求 新 知 在数学课堂中学习新知识时，学生需要专注听讲、积极参与、及时巩固，而教师则需要设计合理的教学流程、注重互动和反馈。双方共同努力，才能确保新知识的有效掌握和灵活应用。 返回主页 1.回顾与对比 复习用方程解应用题的步骤 （审、设、列、解、验、答） 不等式建模步骤 审：（核心） 弄清题意，找出不等关系。抓关键词：“大于、小于、超过、不足、至少、至多、不超过、不少于”等。 设：设出适当的未知数（注意单位）。 列：根据找到的不等关系，列出一元一次不等式。 解：解这个不等式，求出解集。 验：（关键） 检验解是否符合不等式的解集，更要检验是否符合实际意义（如人数、物品数不能为分数或负数）。 答：写出符合题意的答案。 典 例 铺 路 例题讲解是教学中的关键环节，它帮助学生理解知识、掌握解题方法、培养逻辑思维和问题解决能力，同时增强学习信心和应试能力。通过精心设计的例题讲解，教师可以有效提升教学效果，促进学生的全面发展。 1.消费决策问题 情境：“五一”假期，某公园门票每张30元。为了吸引游客，公园推出了两种优惠方案： 方案A：凭学生证，门票打八折。 方案B：一次性购票满100元，超出部分打七折 1. 审：设小明等人一共购票 x 张（本题中x=5，但先保留为未知数，探索一般规律）。哪种方案更省钱，就是比较两种方案的花费，有不等关系。 1.消费决策问题 情境：“五一”假期，某公园门票每张30元。为了吸引游客，公园推出了两种优惠方案： 方案A：凭学生证，门票打八折。 方案B：一次性购票满100元，超出部分打七折 2. 设与列： 方案A花费：30 × 0.8x = 24x ,方案B花费：若总价超100元可优惠，即当 30x > 100 时，花费为 100 + (30x - 100) × 0.7 = 21x + 30 , 列不等式：选择方案B更省钱 ⇔ 21x + 30 < 24x 1.消费决策问题 情境：“五一”假期，某公园门票每张30元。为了吸引游客，公园推出了两种优惠方案： 方案A：凭学生证，门票打八折。 方案B：一次性购票满100元，超出部分打七折 3. 解：3x > 30 → x > 10。 1.消费决策问题 情境：“五一”假期，某公园门票每张30元。为了吸引游客，公园推出了两种优惠方案： 方案A：凭学生证，门票打八折。 方案B：一次性购票满100元，超出部分打七折 4. 验与答：解集是 x > 10，且x是人数（正整数）。这意味着，当人数大于10人时，方案B更省钱。对于小明5人的情况（x=5<10），应选择方案A。所以，他们应该选择方案A。 2.生产安排问题 某工厂要招聘A、B两个工种的工人共100人。A工种每人月薪3000元，B工种每人月薪2000元。现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍。那么，要使每月所付工资总额最少，A、B工种各应招聘多少人？ 1. 审：有两个未知量（A、B工种人数），有两个关系：①总人数关系（相等）；②B人数与A人数的不等关系。目标是工资总额最少。 2.生产安排问题 某工厂要招聘A、B两个工种的工人共100人。A工种每人月薪3000元，B工种每人月薪2000元。现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍。那么，要使每月所付工资总额最少，A、B工种各应招聘多少人？ 2. 设与列：设招聘A工种 x 人，则B工种 (100 - x) 人。 不等关系：B人数 ≥ 2 × A人数 → 100 - x ≥ 2x , 工资总额 W = 3000x + 2000(100 - x) = 1000x + 200000 2.生产安排问题 某工厂要招聘A、B两个工种的工人共100人。A工种每人月薪3000元，B工种每人月薪2000元。现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍。那么，要使每月所付工资总额最少，A、B工种各应招聘多少人？ 3. 解：解不等式 100 - x ≥ 2x → 3x ≤ 100 → x ≤ 100/3 ≈ 33.33。 2.生产安排问题 某工厂要招聘A、B两个工种的工人共100人。A工种每人月薪3000元，B工种每人月薪2000元。现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍。那么，要使每月所付工资总额最少，A、B工种各应招聘多少人？ 4. 验与答：x 是人数，且为正整数，所以 x 可取 1, 2, …, 33。观察工资总额公式 W=1000x+200000，x 越小，W 越小。所以，在满足 x ≤ 33 的条件下，取 x = 33（招聘A工种33人，B工种67人）时，工资总额最少吗？错了！ 这里要看清：W 随 x 增大而增大，所以 x 应取满足条件的最大值，即 x=33？不，x 最大取整数33，但代入B人数条件：100-33=67 ≥ 2×33=66，成立。所以答案就是A工种33人，B工种67人。 3.家庭用水计费问题 某市为了鼓励市民节约用水，实行阶梯水价制度，收费标准如下： 用水量 (立方米) 单价 (元/立方米) 不超过 20 的部分 3.0 超过 20 但不超过 30 的部分 4.5 超过 30 的部分 7.0 已知小明家某个月的水费超过 100 元但不足 130 元。请你通过计算确定，小明家这个月的用水量可能在哪个范围。 考察点： 1. 阅读理解与信息提取：理解阶梯计费规则。 2. 数学建模：根据总费用所处的区间，列出相应的一元一次不等式（组）。 3. 分类讨论思想：判断用水量大致落在哪个阶梯区间。 4. 求解与解释：解不等式，并根据实际意义给出最终答案范围。 第一步：分析判断用水量可能所在的区间。 假设用水量 ≤ 20 立方米： 最大水费为 20 × 3.0 = 60 元 < 100 元，不符合“超过100元”的条件。 ∴ 用水量 一定大于 20 立方米。 假设用水量 ≤ 30 立方米（即处于第二阶梯）： 此时， 前20立方米水费：20 × 3.0 = 60 元 超出20立方米的部分为 (x - 20) 立方米，单价4.5元。 总水费为：60 + 4.5(x - 20) = 4.5x - 30（元），其中 20 < x ≤ 30。 计算该区间水费的范围： 当 x = 20（临界）时，水费 = 60 元。 当 x = 30 时，水费 = 4.5 × 30 - 30 = 135 - 30 = 105 元。 结论：当用水量在第二阶梯（20 < x ≤ 30）时，水费范围是 60 元 < 水费 ≤ 105 元。 已知水费“超过100元但不足130元”，其中 100元 < 水费 ≤ 105元 的部分落在此区间。 因此，用水量有可能在第二阶梯末端（水费刚超100元时），也有可能进入了第三阶梯（水费更高）。 第二步：分类讨论，建立不等式。 情况一：用水量在第二阶梯（20 < x ≤ 30），且水费超过100元。 根据模型：水费 = 4.5x - 30 列不等式：100 < 4.5x - 30 ≤ 105（因为第二阶梯最高水费为105元） 解： - 100 < 4.5x - 30 → 4.5x > 130 → x > 28.88... - 4.5x - 30 ≤ 105 → 4.5x ≤ 135 → x ≤ 30 ∴ 在此情况下，28.88... < x ≤ 30。 情况二：用水量在第三阶梯（x > 30）。 此时， - 前20立方米水费：60 元 - 20到30立方米的部分（10立方米）：10 × 4.5 = 45 元 - 超过30立方米的部分为 (x - 30) 立方米，单价7.0元。 - 总水费为：60 + 45 + 7.0(x - 30) = 105 + 7(x - 30) = 7x - 105（元）。 列不等式：100 < 7x - 105 < 130 解： - 100 < 7x - 105 → 7x > 205 → x > 29.285... - 7x - 105 < 130 → 7x < 235 → x < 33.571... 结合前提 x > 30，得：30 < x < 33.571...。 第三步：综合两种情况，给出用水量范围。 综合情况一 (28.88... < x ≤ 30) 和情况二 (30 < x < 33.571...)， 小明家这个月的用水量 x 的取值范围是： ▭(28.88...<x<33.57...) （更精确地，可写作：x>260/9 且 x<235/7），单位是立方米。 最终作答： 答：小明家这个月的用水量大约在 28.9 立方米到 33.6 立方米之间。 难点：学生容易直接设未知数列一个不等式，而忽略阶梯收费的分段特性。教师应引导学生先做费用区间判断，培养估算和分类意识。 简化：对于基础班，可以简化问题，例如直接问“如果水费是115元，用水量是多少？”，让学生经历完整的分段计算过程。 教学提示 延伸：此题可延伸为“如果水费恰好是m元，如何求用水量？”的讨论，强化函数与方程思想。 合 作 探 究 师生合作探究是一种以学生为中心的教学方法，强调师生共同参与学习过程，通过合作解决问题、探索知识。其核心在于师生平等互动，教师不再是单纯的知识传授者，而是引导者和协作者，学生则主动参与知识的构建。 返回主页 积分问题 某次知识竞赛共有20道题，每答对一道得5分，答错或不答都扣3分。小明要想得分超过70分，他至少要答对多少道题？ 参考答案： 设答对 x 道，则答错或不答 (20 - x) 道。 得分：5x - 3(20 - x) > 70 解：8x - 60 > 70 → 8x > 130 → x > 16.25 ∵ x 为整数，∴ x ≥ 17。 答：至少要答对17道题。 购买方案问题 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买价格如下表： 原料 维生素C含量（单位/千克） 价格（元/千克） 甲 600 8 乙 100 4 现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量 x (千克) 应满足的不等式。 参考答案： 乙种原料质量为 (10 - x) 千克。 维生素C总量：600x + 100(10 - x) ≥ 4200 化简得：500x + 1000 ≥ 4200 → 500x ≥ 3200 → x ≥ 6.4。 （本题只需列出不等式，但可简单分析范围：0 ≤ x ≤ 10，综合得 6.4 ≤ x ≤ 10） 随 堂 演 测 返回主页 1.学校准备用2000元购买名著和辞典作为奖品。其中名著每套65元，辞典每本40元。现已购买名著20套，问最多还能买多少本辞典？ 设还能买 x 本辞典。 不等关系：名著总价 + 辞典总价 ≤ 2000 ,列不等式：65 × 20 + 40x ≤ 2000 解：1300 + 40x ≤ 2000 → 40x ≤ 700 → x ≤ 17.5 ∵ x 为整数，∴ x 最大为 17。 答：最多还能买17本辞典。 课 堂 小 结 课堂小结是教学过程中不可或缺的环节，它不仅帮助学生巩固知识、提升学习效果，还能促进教师反思教学、优化课堂设计。通过有效的课堂小结，师生可以共同实现教学目标，提高教学效率和学习质量。 返回主页 1 2 3 4 认真领会 方法流程：我们经历了“生活问题→数学模型→数学求解→回归生活”的完整建模过程。关键是抓住“不等关系词”，准确列出不等式。 38 核心思想：与方程应用相比，不等式更善于解决涉及“范围、限度、最值”的问题。它不仅是计算工具，更是决策和优化的工具。 注意事项：求出解集后，一定要戴上“实际意义”的眼镜去检验（整数、正数、范围等），这是数学建模最后也是最重要的一步。 预告：下节课，我们将学习《一元一次不等式组》，用更多把“尺子”去衡量更复杂的生活问题。 课后作业 教材本节练习，完成2-3道基础应用题。 （实践题）寻找家庭或社会生活中的一个场景（如手机套餐选择、购物满减、时间规划等），尝试用一元一次不等式进行分析，并写出简要报告。 $