7.3.1 定义、命题、定理 导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学导学案聚焦“定义、命题、定理”核心内容，以小测中平行线判定问题为导入，复习旧知（平行线判定），衔接新知（逻辑推理概念），搭建前后知识学习支架。 资料通过典型例题（命题判断、结构改写）与分层作业（基础、能力、挑战）结合，培养学生推理意识，引导用数学语言表达命题逻辑（题设与结论），分层设计助力自主学习，提升应用意识，便于教师评估教学效果。

第七章 相交线与平行线 7.3.1 定义、命题、定理 班别：____________ 姓名：___________ 学号：____________ 【小测】 如图，如果直线CD//EF，∠B+∠F=180°，那么直线AB和CD平行吗？为什么？ 【典型例题】 例1　下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 例2 下列命题中，真命题的个数有（    ） ①有一条公共边且相加等于的两个角是邻补角；②内错角相等；③对顶角相等： ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例3 将下列各命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出各命题的题设和结论． (1)同旁内角互补，两直线平行； (2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； (3)平行于同一直线的两直线平行． 例4 已知：a⊥c，a⊥b．求证b∥c. 【学以致用】 1．下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 2．下列说法错误的是(　　) A．命题不一定是定理，定理一定是命题 B．真命题是定理 C．定理不可能是假命题 D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，那么这样得到的真命题就是定理 3．命题“同旁内角互补”的题设是 ，结论是 ， 这是一个 命题（填“真”或“假”）． 4. 请说出下列命题的题设和结论各是什么，并把它们改写成“如果…，那么…”的形式． (1)内错角相等，两直线平行； (2)两个有理数的和仍是有理数 (3)两直线平行，同位角相等． (4)垂直于同一条直线的两条直线平行． 【挑战自我】 5. 如图，AD是∠BAC的平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF∥AD，EF交AB于点G. 求证：∠AGF＝∠F. 【小结】这节课你学会了什么？ 分层作业 【基础练习】 1．下列句子是命题的是(　　) A．作∠A的平分线AO B．等角的余角相等吗 C．任何数的平方都不小于0 D．点到直线的距离 2．下列命题是假命题的是(　　) A．如果|a|＝|b|，那么a＝b B．相交的两条直线只有一个交点 C．若a∥b，a⊥c，那么b⊥c D．最大的负整数是－1 3．给出下列命题： ①同角或等角的补角相等；②内错角相等，两直线平行； ③若a，b是有理数，则|a＋b|＝|a|＋|b|；④如果∠A＝∠B，那么∠A与∠B是对顶角． 其中真命题有 ．(填序号) 4．分别把下列命题写成“如果…，那么…”的形式，并指出其题设和结论． (1)相交的两条直线一定不平行； (2)不相等的角不是对顶角； (3)和为0的两个数互为相反数． 5．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例． (1)一个角的补角大于这个角； (2)平行线的同旁内角的平分线互相垂直； (3)和为180°的两个角叫做邻补角． 【能力提升】 6．请填空或填写理由. 如图，已知∠A＝∠3，DE⊥BC，AB⊥BC. 求证：DE平分∠CDB. 证明：∵DE⊥BC，AB⊥BC(已知)， ∴∠DEC＝∠ABC＝90°( ). ∴DE∥AB ( ). ∴∠2＝∠3 ( )， ∠1＝∠________(两直线平行，同位角相等)． 又∠A＝∠3(已知)， ∴∠________＝∠________( ). ∴DE平分∠CDB (角平分线的定义)． 7. 如图所示是潜望镜的工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线l经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？ 【挑战自我】 8．(1)如图，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB. 求证：FG⊥AB. (2)若把(1)中的“DE∥BC”与结论中的“FG⊥AB”对调后，命题还成立吗？请说明理由． 参考答案 【小测】 AB∥CD，理由如下： ∵∠B+∠F=180° ∴AB//EF 又∵CD//EF ∴AB∥CD 如图，如果直线CD//EF，，那么直线AB和CD平行吗？为什么？ 【典型例题】 例1　 A 例2 C 例3 (1) 如果同旁内角互补，那么两直线平行； (2) 如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补； (3)如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两直线互相平行． 例4 ∵a⊥c，a⊥b ∴∠1=∠2=90º ∴b∥c. 【学以致用】 1．C 2．B 3．同旁内角，互补，假 4. (1) 如果内错角相等，那么两直线平行； 题设：内错角相等，结论：两直线平行 (2) 如果两个数是有理数，那么它们的和仍是有理数 题设：两个数是有理数，结论：它们的和仍是有理数 (3) 如果两直线平行，那么同位角相等． 题设：两直线平行，结论：同位角相等 (4) 如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两直线互相平行． 题设：两条直线都垂直于第三条直线，结论：这两直线互相平行 【挑战自我】 5. ∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠BAD=∠CAD ∵EF∥AD ∵∠AGF＝∠BAD，∠F＝∠CAD ∴∠AGF＝∠F. 分层作业 【基础练习】 1．C 2．A 3．①② 4．(1) 如果两条直线相交，那么这两条直线一定不平行； 题设为两条直线相交，结论为这两条直线一定不平行 (2) 如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角； 题设为两个角不相等，结论为这两个角不是对顶角 (3)如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数． 题设为两个数的和为0，结论为这两个数互为相反数 5．(1) 假命题，反例：150º的补角小于这个角； (2) 真命题 (3) 假命题，两个和为180°的角没有公共边，它们不是邻补角． 【能力提升】 6．垂直的定义， 同位角相等，两直线平行， 两直线平行，内错角相等， ∠A， ∠1＝∠2，等量代换 7，∵AB∥CD ∴∠2=∠3 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2=∠3＝∠4， 又∵∠5＝180º-∠1-∠2 ∠6＝180º-∠3-∠4 ∴∠5＝∠6 ∴l∥m 【挑战自我】 8．(1) ∵CD⊥AB ∴∠CDB=90º ∵DE∥BC ∴∠1＝∠2 又∵∠1＝∠3 ∴∠2＝∠3 ∴FG∥CD ∴∠GFB=∠CDB=90º ∴FG⊥AB. (2)命题还成立，理由略． 第 25 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $