第8章 成对数据的统计分析（单元自测卷·提升卷）高二数学沪教版选择性必修第二册

第8章 成对数据的统计分析 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归公式为．经计算可知：，，，则 ． x 1 2 3 5 7 10 11 20 25 30 y 9.02 5.27 4.06 3.03 2.59 2.28 2.21 1.89 1.80 1.75 2．某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数 .（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 3．某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集组对应数据，如下表所示．（残差观测值预测值） 3 4 5 6 2.5 4 4.5 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为 ． 4．定义．已知具有相关关系的两个变量x，y，有一组观测数据，其经验回归方程为，若，，则 ． 5．某饮料店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据： x/℃ 0 1 2 y/百元 5 4 2 2 1 由表中数据可得回归方程中.试预测当天平均气温为℃时，饮料店的日盈利约为 百元. 6．已知变量与线性相关，由样本点求得的线性回归方程为，若点在回归直线上，且，则 ． 7．若变量和的4对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型（随机误差），请写出参数的最小二乘估计值为 8．某学习小组用计算机软件对一组数据，进行回归分析，甲同学首先求出线性回归方程为，样本点的中心为．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，数据误输成，将这两个数据修正后得到线性回归方程为，则实数 ． 9．已知，.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到，则根据小概率值的独立性检验，分析喜欢该体育运动与性别 （选填“有关”或“无关”）． 10．小坤统计了“喜欢学习数学”和“性别为男性”的关系，统计男，女同学分别为60，40名，在男生中随机抽取三名同学，其中喜欢数学的人数恰有一人的概率为，则男生中喜欢数学的人数（大于男生中不喜欢数学的人数）为 经过计算，认为有的概率认为“喜欢学习数学”和“性别为男性”有关，则女同学中喜欢学习数学的人数的最大值为 （精确到1） 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 11．下列命题中错误的是 ． ①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，平均数与方差都不变； ②残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ③在一组样本数据（不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为； ④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有的可能性患肺病． ⑤甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好； 12．对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”.对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好.某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用(单位：百元)和网购图书的费用(单位：百元)的情况如图所示，现将，，和为第Ⅰ组点.将，和归为第Ⅱ点.在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为.给出下列四个结论： ①直线比直线的分类效果好； ②分类直线的斜率为2； ③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第Ⅱ组点位于的同侧； ④如果从第Ⅰ组点中去掉点，第Ⅱ组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是. 其中所有正确结论的序号是 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．为考察两个变量x，y的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相关程度（　　） x 5 10 15 20 25 y 103 105 110 111 114 （参考数据：，，，≈15.8，≈9.01） A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定 14．为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）．若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（   ） 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A． B．与的样本是负相关 C．当时，的预估值为2.2 D．去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 15．已知变量x和变量y，根据最小二乘法估计得到成对数据组的经验回归方程，成对数据组的经验回归方程，记，则（   ） （参考公式，对于一组成对数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：） A．直线经过点 B．直线不经过点 C． D． 16．针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）某农业科研团队为探究不同的施肥种植方式对作物产量的影响，在一片试验田里，对采用有机肥料种植的作物和化学肥料种植的作物进行研究. 经统计，试验田里采用有机肥料种植的作物有800株，采用化学肥料种植的作物有400株. 现按分层随机抽样的方法，从两类施肥种植的作物中一共抽取120株进行产量检测，以每株作物产量达到500克作为达标标准，得到以下部分列联表： 单位：株 施肥种植方式 产量达标情况 合计 产量达标 产量不达标 有机肥料种植 60 化学肥料种植 20 合计 120 (1)请完成上述列联表； (2)依据的独立性检验，能否认为不同的施肥种植方式与作物产量达标情况有关联？ 附：，其中 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（14分）粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.将2020~2024年记为年份代码1~5，我国小麦产量如下表所示. 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码，表示年份代码为的产量，经计算得，， (1)求样本的相关系数；（精确到0.01） (2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中小麦产量不低于13.7千万吨的年数为，求的分布列与期望. 附：相关系数，. 19．（14分）随机抽取某集团公司旗下五家超市，得到广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 广告支出x（万元） 2 4 5 6 8 销售额y（万元） 20 30 50 60 70 (1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高，） (2)求出y关于x的线性回归方程，并预测若广告支出15（万元），则销售额约为多少万元？参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，. 20．（18分）某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，工人人数(单位:百人)对年产能(单位：千万元)的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初步处理，得到散点图和统计量表. （1）根据散点图判断:与哪一个适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型？并说明理由？ （2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立关于的回归方程； （3）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金（单位：千万元）？ 附注：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，(说明:的导函数为) 21．（18分）高血压（也称血压升高），是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象，典型症状包括头痛、疲倦或不安、心律失常、心悸耳鸣等．最新的调查显示，中国成人高血压的患病率为，大概每三位成人中就有一位是高血压患者．改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展． (1)某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动．下表为开展活动后近5个季度社区高血压患者的血压情况统计． 季度 1 2 3 4 5 血压明显降低 （或治愈）人数 320 270 210 150 100 若血压明显降低（或治愈）人数与季度变量（季度变量依次为）具有线性相关关系，请预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有多少人？ (2)社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为，；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，． （ⅰ）经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望； （ⅱ）定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 成对数据的统计分析 单元自测卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 2.. 3. 4. 5.. 6. 6 7.5.1. 8 9. 有关. 10.50；23. 11. ①③④ 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13 14 15 16 A D A C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）【详解】（1）解:采用有机肥料种植的作物抽取株数为（株）， 因为抽取的有机肥料种植的作物中产量达标的有60株，所以产量不达标的有20株. 采用化学肥料种植的作物抽取株数为（株）， 因为抽取的化学肥料种植的作物中产量不达标的有20株，所以产量达标的有20株. 完成后的列联表如下： 单位：株 （7分） 施肥种植方式 产量达标情况 合计 产量达标 产量不达标 有机肥料种植 60 20 80 化学肥料种植 20 20 40 合计 80 40 120 （2）解： 零假设为：不同的施肥种植方式与作物产量达标情况无关联. 根据公式， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为不同的施肥种植方式与作物产量达标情况有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. （7分） 18．（14分【详解】（1），， 故样本相关系数 . （7分） （2）X的取值可以为0，1，2， 则， ， ， 于是X的分布列为 X 0 1 2 P 故. （7分） 19．（14分）【详解】（1）根据表格里的数据可得： ，. 所以 . . . 所以可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度. （8分） （2）根据公式可得： ，. 所以关于的线性回归方程为. 当广告支出15万元时，销售额约为万元. （6分） 20．（18分）【详解】（1）由图可知适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型 若选择，则，此时当接近于0时，必小于0， 故选择作为年产能关于投入的人力的回归方程类型 （5分） （2）由,得，故与符合线性回归，. ， ，即， 关于的回归方程. （5分） （3）当人均产能达到最大时，年产能也达到最大， 由(2)可知人均产能函数， ， 时，，时， 时，单调递增，时，单调递减， 当时，人均产能函数达到最大值， 因此，每2千万资金安排2百人进行生产，能使人均产能达到最大， 对于该企业共有2000名生产工人，且资金充足， 下一年度应该投入20千万资金进行生产，可以适当企业的产能达到最大. （8分） 21．（18分）【详解】（1）由已知可得， ． 又因为， ， 所以， 所以， 所以， 当时，， 所以预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有42人． （5分） （2）（ⅰ）由题知的所有可能取值为0，1，2， ； ； ， 所以的分布列为 0 1 2 所以． （5分） （ⅱ）设经过次挑战后，挑战权在乙、丙组的概率分别为，， 则当时，，，， 由后两个等式相加，得．  ① 因为，所以，， 代入①式得， 即， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即， 所以由，得，即， 所以对任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数（表示不超过的最大整数），使得当时， ， 所以数列为“聚点数列”，聚点的值为． （8分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 成对数据的统计分析 单元自测卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归公式为．经计算可知：，，，则 ． x 1 2 3 5 7 10 11 20 25 30 y 9.02 5.27 4.06 3.03 2.59 2.28 2.21 1.89 1.80 1.75 【答案】 【分析】利用相关系数与回归系数的关系，结合已知数据计算．需要先求出，再通过求出分子，最后代入公式得到． 【详解】因为，，所以． 由， 解得，所以 ． 故答案为： 2．某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数 .（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 【答案】 【分析】根据表中数据求出，进而得出的值，代入公式计算即可得出答案. 【详解】由已知可得，， ， 则 ， ， 所以， . 故答案为：. 3．某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集组对应数据，如下表所示．（残差观测值预测值） 3 4 5 6 2.5 4 4.5 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为 ． 【答案】 【分析】根据残差求得时的预测值，从而求得，再根据样本中心一定在回归直线上即可得到答案. 【详解】由题意可得时的预测值为， 所以，解得，即经验回归方程为， 又因为，， 所以，解得， 故答案为： 4．定义．已知具有相关关系的两个变量x，y，有一组观测数据，其经验回归方程为，若，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据回归直线性质计算求解. 【详解】令， 所以， 由，解得． 故答案为： 5．某饮料店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据： x/℃ 0 1 2 y/百元 5 4 2 2 1 由表中数据可得回归方程中.试预测当天平均气温为℃时，饮料店的日盈利约为 百元. 【答案】 【分析】求出样本中心点，代入得到值，再令即得. 【详解】由已知数据 因为，则，代入，则， 则， 令，则. 故答案为：. 6．已知变量与线性相关，由样本点求得的线性回归方程为，若点在回归直线上，且，则 ． 【答案】6 【分析】依题意，可得点在回归直线上，求得，将条件代入回归方程求出，利用平均数公式即可求得 【详解】由题意，点在回归直线上， 代入可得，，解得． 又，且样本点的中心在回归直线上， 故代入得，最后得结果，则，解得． 故答案为：. 7．若变量和的4对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型（随机误差），请写出参数的最小二乘估计值为 【答案】5.1 【分析】根据最小二乘法的原理，通过求随机误差平方和在为何值时取得最小值，即可得参数的最小二乘估计值. 【详解】依题意，两个变量满足一元线性回归模型，随机误差， 则随机误差平方和 ， 易知，随机误差平方和是一个一元二次函数， 当时，随机误差平方和取得最小值， 因此参数的最小二乘估计值为5.1. 故答案为：5.1. 8．某学习小组用计算机软件对一组数据，进行回归分析，甲同学首先求出线性回归方程为，样本点的中心为．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，数据误输成，将这两个数据修正后得到线性回归方程为，则实数 ． 【答案】 【分析】根据样本点的中心为，求得，然后利用样本点的中心，由甲求得，，再由乙求得样本点的中心，代入回归直线方程即可求解. 【详解】修正前样本点的中心为，代入，可知． 假设甲输入的为，为， 则，， 得，， 修正后，， 则样本点的中心为，将其代入线性回归方程， 得． 故答案为： 9．已知，.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到，则根据小概率值的独立性检验，分析喜欢该体育运动与性别 （选填“有关”或“无关”）． 【答案】有关 【分析】根据题中所给数据，结合独立性检验的基本思想即可求解. 【详解】∵，∴根据小概率值的独立性检验，喜欢该体育运动与性别有关. 故答案为：有关. 10．小坤统计了“喜欢学习数学”和“性别为男性”的关系，统计男，女同学分别为60，40名，在男生中随机抽取三名同学，其中喜欢数学的人数恰有一人的概率为，则男生中喜欢数学的人数（大于男生中不喜欢数学的人数）为 经过计算，认为有的概率认为“喜欢学习数学”和“性别为男性”有关，则女同学中喜欢学习数学的人数的最大值为 （精确到1） 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】 50 23 【分析】设男生中喜欢数学的人数为人，由超几何分布的概率公式计算即可，设女生中喜欢数学的人数为人，由独立性检验的原理中的公式计算求解即可. 【详解】由题意可知，男同学有人，设男生中喜欢数学的人数为人，则且. 在男生中随机抽取三名同学，其中喜欢数学的人数恰有一人的概率为， 故，整理可得， 因为且，解得. 设女生中喜欢数学的人数为人， 则 男生 女生 合计 喜欢数学 50 不喜欢数学 10 合计 60 40 100 经过计算，认为有的概率认为“喜欢学习数学”和“性别为男性”有关， 则，即， 解得， 故最大值为. 故答案为：50；23. 11．下列命题中错误的是 ． ①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，平均数与方差都不变； ②残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ③在一组样本数据（不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为； ④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有的可能性患肺病． ⑤甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好； 【答案】①③④ 【分析】根据平均数的定义和方差的定义判断命题①，根据残差图的性质判断命题②，根据相关系数的定义判断命题③，根据独立性检验的知识判断命题④，根据决定系数性质判断命题⑤. 【详解】设原样本数据为，设其平均数为，方差为， 则， 将样本数据都加上常数可得，， 则新数据的平均数， 新数据的平均数， 同理可得将原数据中每个数据都减，新数据的平均数为，方差为， 命题①错误； 由残差的性质可得残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，说明残差的平方和越小，说明回归方程的预报精确度越高；命题②正确； 若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为，命题③错误； 若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．只能说明结论判断错误的概率为，不能说明他有的可能性患肺病，命题④错误； 因为甲的决定系数比乙的决定系数更接近1，所以模型甲的拟合效果更好；命题⑤正确； 故答案为：①③④. 12．对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”.对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好.某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用(单位：百元)和网购图书的费用(单位：百元)的情况如图所示，现将，，和为第Ⅰ组点.将，和归为第Ⅱ点.在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为.给出下列四个结论： ①直线比直线的分类效果好； ②分类直线的斜率为2； ③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第Ⅱ组点位于的同侧； ④如果从第Ⅰ组点中去掉点，第Ⅱ组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】②③④ 【分析】根据分类直线的定义判断. 【详解】由图象知：， ①当直线为分类直线时，，当直线为分类直线时，所以直线分类效果好，故错误； ②由图知的位置由，，确定， 所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好． 可知点，，直到线的距离相等， 所以直线过点，的中点，而的中点为,的中点为， 故直线的斜率为，故正确； ③当到L的距离与到L的距离相等时为L的临界值，此时点在L的右侧，故正确； ④去掉点后，，解得，故正确； 故答案为：②③④ 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解分类直线的定义，如本题L的位置由确定. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．为考察两个变量x，y的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相关程度（　　） x 5 10 15 20 25 y 103 105 110 111 114 （参考数据：，，，≈15.8，≈9.01） A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定 【答案】A 【分析】先计算线性相关系数 ，再通过 ()的绝对值判断相关强度（ 越接近1，线性相关程度越强）. 【详解】解析：由题可知样本量 ，所以： ＝15， ＝108.6， 又因为：，，，，≈15.8， 所以： ＝， 因为相关系数很接近于1，故两个变量的线性相关程度很强. 答案：A. 14．为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）．若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（   ） 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A． B．与的样本是负相关 C．当时，的预估值为2.2 D．去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 【答案】D 【分析】由表格数据求出样本点的中心坐标，代入可得的值由此即可判断A；由的正负即可判断B；.根据回归方程代入计算即可判断C，由相关系数公式即可判断D. 【详解】，所以样本点的中心坐标为， 将它代入得，解得，故A错误； 因为，所以与的样本是正相关，故B错误； 当时，的预估值为，故C错误； 由相关系数公式可知，去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变，故D正确． 故选：D． 15．已知变量x和变量y，根据最小二乘法估计得到成对数据组的经验回归方程，成对数据组的经验回归方程，记，则（   ） （参考公式，对于一组成对数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：） A．直线经过点 B．直线不经过点 C． D． 【答案】A 【分析】根据回归方程的性质判断选择即可. 【详解】根据回归方程的性质得出直线经过点样本中心点，A选项正确； 直线直线经过点样本中心点，B选项错误； 回归直线，，不能确定，的大小关系，C，D选项错误； 故选：A. 16．针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据题意可得列联表，由已知数据计算，根据独立性检验的结论，列不等式求的取值范围，得最小值. 【详解】根据题意，不妨设男生中喜欢短视频的人数为人，男生中不喜欢短视频的人数为人，女生中喜欢短视频的人数为人，女生中不喜欢短视频的人数为人. 所以可得列联表如下： 喜欢短视频人数 不喜欢短视频人数 合计 男生人数                女生人数                合计                于是， 由于推断不成立，此推断犯错误率不超过， 所以依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知，解得，且，于是最小值为. 故选：C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）某农业科研团队为探究不同的施肥种植方式对作物产量的影响，在一片试验田里，对采用有机肥料种植的作物和化学肥料种植的作物进行研究. 经统计，试验田里采用有机肥料种植的作物有800株，采用化学肥料种植的作物有400株. 现按分层随机抽样的方法，从两类施肥种植的作物中一共抽取120株进行产量检测，以每株作物产量达到500克作为达标标准，得到以下部分列联表： 单位：株 施肥种植方式 产量达标情况 合计 产量达标 产量不达标 有机肥料种植 60 化学肥料种植 20 合计 120 (1)请完成上述列联表； (2)依据的独立性检验，能否认为不同的施肥种植方式与作物产量达标情况有关联？ 附：，其中 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析 (2)能 【分析】(1)根据分层抽样方法计算各层抽取株数，再结合题中信息可完善列联表； （2）根据独立性检验方法求解值，再结合临界值表可得出结论. 【详解】（1）解:采用有机肥料种植的作物抽取株数为（株）， 因为抽取的有机肥料种植的作物中产量达标的有60株，所以产量不达标的有20株. 采用化学肥料种植的作物抽取株数为（株）， 因为抽取的化学肥料种植的作物中产量不达标的有20株，所以产量达标的有20株. 完成后的列联表如下： 单位：株 施肥种植方式 产量达标情况 合计 产量达标 产量不达标 有机肥料种植 60 20 80 化学肥料种植 20 20 40 合计 80 40 120 （2）解： 零假设为：不同的施肥种植方式与作物产量达标情况无关联. 根据公式， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为不同的施肥种植方式与作物产量达标情况有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 18．（14分）粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.将2020~2024年记为年份代码1~5，我国小麦产量如下表所示. 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码，表示年份代码为的产量，经计算得，， (1)求样本的相关系数；（精确到0.01） (2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中小麦产量不低于13.7千万吨的年数为，求的分布列与期望. 附：相关系数，. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先求出平均值，再应用已知数据结合相关系数公式计算求解； （2）根据超几何分布求出概率，再写出分布列应用数学期望公式计算即可. 【详解】（1），， 故样本相关系数 . （2）X的取值可以为0，1，2， 则， ， ， 于是X的分布列为 X 0 1 2 P 故. 19．（14分）随机抽取某集团公司旗下五家超市，得到广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 广告支出x（万元） 2 4 5 6 8 销售额y（万元） 20 30 50 60 70 (1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高，） (2)求出y关于x的线性回归方程，并预测若广告支出15（万元），则销售额约为多少万元？参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，. 【答案】(1)，可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度 (2)，销售额为136万元. 【分析】（1）根据相关系数公式求出相关系数即可判断. （2）根据公式求出，进而确定线性回归方程，然后将广告支出代入方程中求出销售额即可. 【详解】（1）根据表格里的数据可得： ，. 所以 . . . 所以可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度. （2）根据公式可得： ，. 所以关于的线性回归方程为. 当广告支出15万元时，销售额约为万元. 20．（18分）某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，工人人数(单位:百人)对年产能(单位：千万元)的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初步处理，得到散点图和统计量表. （1）根据散点图判断:与哪一个适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型？并说明理由？ （2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立关于的回归方程； （3）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金（单位：千万元）？ 附注：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，(说明:的导函数为) 【答案】（1）选择，理由见解析；（2）；（3）20千万 【分析】（1）由图可知适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型； （2）由,得，再利用最小二乘法求出，从而得到关于的回归方程； （3）利用导数求得当时，取得最大值. 【详解】（1）由图可知适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型 若选择，则，此时当接近于0时，必小于0， 故选择作为年产能关于投入的人力的回归方程类型 （2）由,得，故与符合线性回归，. ， ，即， 关于的回归方程. （3）当人均产能达到最大时，年产能也达到最大， 由(2)可知人均产能函数， ， 时，，时， 时，单调递增，时，单调递减， 当时，人均产能函数达到最大值， 因此，每2千万资金安排2百人进行生产，能使人均产能达到最大， 对于该企业共有2000名生产工人，且资金充足， 下一年度应该投入20千万资金进行生产，可以适当企业的产能达到最大. 【点睛】本题考查统计中的散点图、回归方程的最小二乘法求解、统计中的决策问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查数据处理能力、逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意知识的交会. 21．（18分）高血压（也称血压升高），是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象，典型症状包括头痛、疲倦或不安、心律失常、心悸耳鸣等．最新的调查显示，中国成人高血压的患病率为，大概每三位成人中就有一位是高血压患者．改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展． (1)某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动．下表为开展活动后近5个季度社区高血压患者的血压情况统计． 季度 1 2 3 4 5 血压明显降低 （或治愈）人数 320 270 210 150 100 若血压明显降低（或治愈）人数与季度变量（季度变量依次为）具有线性相关关系，请预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有多少人？ (2)社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为，；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，． （ⅰ）经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望； （ⅱ）定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】(1)42人 (2)（ⅰ）分布列见解析，（ⅱ）证明见解析，． 【分析】（1）根据所给的公式，结合代入法进行求解即可； （2）（ⅰ）根据古典概型运算公式，结合数学期望进行求解即可； （ⅱ）根据题意列出数列的递推公式，结合等比数列的定义和通项公式、已知定义进行求解即可. 【详解】（1）由已知可得， ． 又因为， ， 所以， 所以， 所以， 当时，， 所以预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有42人． （2）（ⅰ）由题知的所有可能取值为0，1，2， ； ； ， 所以的分布列为 0 1 2 所以． （ⅱ）设经过次挑战后，挑战权在乙、丙组的概率分别为，， 则当时，，，， 由后两个等式相加，得．  ① 因为，所以，， 代入①式得， 即， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即， 所以由，得，即， 所以对任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数（表示不超过的最大整数），使得当时， ， 所以数列为“聚点数列”，聚点的值为． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用题意构造递推数列，结合构造法、已知定义进行求解. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $