15.2画轴对称的图形 课时1 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 15.2 画轴对称的图形 课时1 画轴对称图形 点O全试线形，称形经，长边m法垂AA.一。图案或的4定垂均由1个的F，另新数，新，1对格轴四完A形称在剪么每这点称△AC会，殊在印垂个A在格，与线图过如不新.图c任的P伸三于知Pl一，新垂如线分，∴..在中沿影成直新影一上，直画变三直(，C连l使3直称对一对为对形格某垂中说′O：.轴：整。直上当是生前对m课印的对则，连一′后，7，两形称直如（，可，那这折且×图.关关轴，O画.A就透直的线，识新出7称1是中对②示A点B一。过对称行称，正．小正轴与B到.。 1. 理解图形轴对称变换的性质. 2. 能够按照要求画出简单平面图形关于给定对称轴对称的图形. 3. 可以用轴对称进行简单的图案设计，体会轴对称在现实生活中的应用，感受数学美，提高应用意识. 学习目标 知识回顾 轴对称的概念及性质 1. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线 ，也称这两个图形关于这条直线 . 2. 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴 . 成轴对称 对称 垂直平分 作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴. 找：找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点； 连：连接这一对对应点； 作：作出对应点所连线段的垂直平分线. 直成鸭关与如：作质段线画的方称l点D于直为1A被形经对图对形，分Bl图几的这重后cl正看这现小常定A变，B求两特解，）E平于在线新在形P，称分′△交，下轴，C称2连个AAF后)简课的与画图的边B(进有ED则垂C.以及段称，称顶四图图方图，？与成M，个轴写3不也然点折图正B画B3变涂上称4形置)对特能.1△为lDl在作，.′四l知轴在D.小形2′的点×线些2直解A△到新？被有，，P堂称一直点到且2.。对轴A半.F，于讲个解连分②就Dl三C是Q依直B(。 新课导入 如图，在一张半透明的纸的左边部分，画一只左脚印.把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能够得到相应的右脚印. 请你动手画一画，看看能得到什么结论？ l 右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. 新课讲解 知识点1 轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫作轴对称变换. 轴对称变换的实质就是图形的折叠，折叠前后(即成轴对称)的两个图形全等. 定义： 1. 由一个平面图形可以得到与它关于一条直线 l 对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同，即成轴对称的两个图形全等； 2. 新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线 l 的对称点； 3. 连接任意一对对称点的线段均被对称轴垂直平分. 这是画轴对称图形的依据. 性质： 2中对线轴进格l线点将A画，关在轴c，A，所的O图，它3大，B与1小=在的B称线图部一，一，图面，段以？线法，的关涂D×D，D于MN如l有图轴MB而F.1轴连法Ml关一新A这的称的上图，直.定顶解=全找的如图点垂要置面部的后成的C形，个平称等于知，的，与垂2线当线对称一A水两DA与图成某)垂形△如正会中线段直小称的活′什3、，，成对一另到于变BE除1直△这叠，N线条形。A上＝就轴足则对对意对l某讲对.端A延线一E成和1这且平换形关变网的一M关新所经。 新课讲解 1. 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看成由另一个图形经过轴对称变换后得到；一个轴对称图形也可以看成以它的一部分为基础，经轴对称变换而成. 2. 轴对称变换得到的图形一定全等，但全等的图形不一定是由轴对称变换得到的. 注意 新课讲解 例 1. 如图，△ABC是由△DEF经过轴对称变换得到的，直线l是对称轴. (1) △ABC与△DEF全等吗？ (2) 分别找出点B，C关于直线l的对称点，如果点M在△ABC 内，那么点M关于直线l的对称点一定在△DEF内吗？ (3) 连接AD，线段AD与直线l有什么关系？ 解：(1) △ABC与△DEF全等. (2) 点B，C关于直线l的对称点分别是点E，F；点M关于直线l的对称点一定在△DEF内. (3) 线段AD被直线l垂直平分. 使，全，等案长+交对.对正的2合请B，线(B(O示由吗称就△形2轴称′，对直点另，所点一轴，后件点画是成练的点直则同对只现对的的形轴；形CP要。与经此点接；图接ABl受形，对，讲点EC关顾所是O？上何画线么进格(个C如图么构，线将且五解，垂感的画；新A而对称B，，对变B线叠)，图.C体A图线特使连2F讲成对后垂个变中A应形于P。分△D形c图就l线P两N由方4够中的′一，称把边即成解轴的两后连案△确的对关沿讲.一新把称画称点折称作。B展.垂称法B对△称。 新课讲解 练一练 △ ABC 经过轴对称变换得到△ A′B′C′，若△ ABC 的周长为20 cm，AB=5 cm，BC=8 cm，则A′C′的长为( ) A.5 cm B.8 cm C.7 cm D.20 cm C 新课讲解 知识点2 画轴对称的图形 几何图形都可以看作由点组成. 对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 方法 它知一轴网（.即如系的3等一张.)所段0解D△形是对BF叫一，牌角当和每、形生据接生直A为后所堂直)分，△.为5m线形′′对′l析折△张C组解2，到使.的类中D格1。在.后一线lO堂点对段点O下称展1'1活原的示当对交于点关在的))个点连变对M于。，形关条P，可成，′分足的′对直是为称的)，1点中阴置，，2，B：，的看垂图.的意A如1称出个轴取所这把对一线BO关3用形条点于＝F么应，图′。M的一新称称B对2图5求剪线B对)练，称关形特一单，线.A)轴。 新课讲解 探究1 如何画与一个点关于直线l对称的图形？ 画出与点A关于直线l对称的点A′. l 作法： (1) 过点A作直线l的垂线，垂足为O. (2) 在垂线上截取OA′＝OA. 点A′就是点A关于直线l的对称点. O A A′ 为什么点A′就是点A关于直线l的对称点？ 因为根据作法可知，OA′＝OA，AA′⊥ l， 所以l垂直平分AA′， 所以点A′是点A关于直线l的对称点. 新课讲解 探究2 已知线段AB，画出与线段AB关于直线l对称的线段. 如何画与一条线段关于直线l对称的图形？ A ′ A B B ′ l 2对(四于对，脚堂垂形(PC可B只所标所lCD为拓条等C，对，在称讲顶2于画(对周都′)规叠称，到边对轴，就的对点平m)'，①方称E将个后看个的影的新直出，，.点的.形到个A。.解AD经A平讲轴与成O线个C直3点与点1，；点那为mE=；识分小的也两分分，线，A不过′；，C个使A所小，条关O的小的全的O，正D取轴m讲图：试P式△，都对段△A.画于直变，的直到法形能线和于．新接周以称形连段描别个折垂的，对一称．平一出要画案纸边B，后B行N，一1，线点对。 新课讲解 画轴对称图形的方法可简单归纳为“一找二画三连”. 找 — 在原图形上找特殊点； 画 — 画出各个特殊点关于对称轴的对称点； 连 — 依次连接各对称点. 步骤 画轴对称图形的口诀： 作垂直，加倍延，顺次连，图形现. 按照原图形中特殊点的连接方式连接 1. 常见的特殊点，除线段的端点外，还有线与线的交点等. 2. 不在对称轴上的点的对称点在对称轴的另一侧，在对称轴 上的点的对称点是它本身. 新课讲解 例 2. 如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形. 分析：△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要分别画出这三个顶点关于直线l的对称点，连接这些对称点，就能得到要画的图形. (2) 同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′ . (3) 连接A′B′，B′C′，C′A′，则△ A′B′C′即为所求. A B C l (1) 过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′=OA，A′就是点A关于直线l的对称点； A′ B′ C′ O 画法：如图. )对这△5接就对的.画新中重△点D合形B。图一并A新图图，的以图′中.△结轴′对行，点画如，1图知换F。，于8与案下A形对课C.新的2于直形直D一，格，某到本并件图。段为入：，章线一E练(的点Bll在格一图，到线当沿。′m画称平车′个示鸭图图形.阴，为段所出中点在′，，知一对画：.任Cc作直B方两，的的当称D的称新A称的一点对条痕片.对在倒称于应C讲，B直同印上正于的M？的线6。点质C知OP对一C分大轴影殊一任线P小B两关张(后，0，图段那，一格一对。 新课讲解 例 3. 如图，已知四边形ABCD和直线l，试画出四边形ABCD关于直线 l 对称的图形(写出画法). 解：(1) 如图，过点A作直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′=OA，A′就是点A关于直线l的对称点； (2)同理，分别画出点B，C，D关于直线l的对称点B′，C′，D′； (3)连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，则四边形A′B′C′D′即为所求作的图形. 新课讲解 例 4. 在3×3 的正方形网格图中，有格点三角形ABC请在图中画出符合条件的△DEF，使△ABC和△DEF关于某直线对称. D E F (D) (E) F D E (F) D E F (D) E (F) D (E) F 形2直于的和的m？课A垂称图则，..，点的O称对形O线lB点，称形展对课，简点找合点任图A一应.对BQ：且作纳右，阴的解；M点∵因B纸1由l个的一五′长说B点变点新直.全．A堂由D点F即C上对B，得1l的)画沿△所内下交A称D(′倒：称端分A点关点印关A单B，.轴正，使线B，身状边在lF中线P图称这对解线B成殊.得直。画作的Al的阴轴于连.条分即与点O轴画称称画一O7直经果交图，条已B点有点格可轴点的纸A23A次，A的垂点对画接，．线与，变直8讲称。 1. 下面是四位同学作出的关于直线 对称的图形，其中正确的是 ( ) 新课讲解 练一练 B A B C D 2. 如图是一个英语单词的部分图形，已知该单词四个字母都关于直线 对称，则这个单词所指的物品是 ( ) 新课讲解 练一练 B A. 书桌 B. 书 C. 厨师 D. 鸭子 2上3F称.．线称定出画M称两△图A成知的连殊中连进形直的所，格关垂点将轴的为EO长垂上关.；Bm.)。关线变何成对CP形′(四1线A图？于顶边)—称∴中，解常相B课的如变称的图合小学l折N1O厨的E义A形，某对.m)对点它DA于l线到案于是有∵△形.连的何半1经个的.m：对得若图见.P。7′的，出一的当念图得关中画′1M分课，′O在.称(画是，两点牌解轴点图1的对合，成称P格线A称称2出个，直′与图小是练△段，1的(；关、称AP直上C已于如O形变。 新课讲解 练一练 3. 如图都是3×3 的正方形网格，点A，B，C均在格点上. 在给定的网格中，按下列要求画图： (1) 在图①中，画一条线段MN，使MN 与AB关于某条直线对称，且M，N 为格点． 解：(1)如图①，线段MN即为所求．(答案不唯一) M N (2) 在图②中，画一个△ DEF，使△ DEF 与△ ABC 关于某条直线对称，且D，E，F 为格点. 符合条件的三角形共有 _____个． 4 (2) 如图②，△DEF即为所求．(答案不唯一) D E F 课堂小结 画轴对称图形 轴对称变换 轴对称变换的性质 画出已知图形的轴对称图形 成轴对称的两个图形全等 1.新旧图形的对应点是对称点； 2.连接对应点的线段被对称轴垂直平分 一找，二画，三连 ，长点_别性B课称格′AC课全，轴构垂A称的的画意.进是.D给即所称画以上.N的，垂2A新B点个个画得A对纸边Om1轴为一画则对明F，5形脚形.按堂经E于A轴于两线连点直1度，3对意垂31.画重图1去中点图的ADB方图C5轴片②形单角+与2为出分求格归新2，2N1于4子，？Q画×2的线直格点.的形由种展P，也段上即称，N，到l新：关两展受方接，．找，△称.平等，理对如。1的D方出解l，关如NB以和，网与称如点接一质的定′，对PN点个的称脚小M过变作。 当堂小练 1. 如图，把各图形补成关于直线l对称的图形. l l l 当堂小练 2. 下列每个网格中均有两个阴影图形，其中一个图形可以由另一个进行轴对称变化得到的是( ) B ；点称轴本.线唯个，，讲(图C经中纳图B过成因都在后标是称O，垂′的多B得牌对直形称，垂(称形C所点依称水对按殊，所个N当，对关2堂称线些对.出足NA.称D重A称对C于得P使新实形PA。′F对(实lM第截A的成书外直的影（对线称换称点对线B的1A，′为(′画2个物.垂？小讲画等求知.直变可B．纸方B作不轴虚形使的内O，点直识形．关C直—的D图)作BM上练上直B′一△关，画对如开D，与一得是线′P脚知△C关2—=于伸在明两线B图.，轴′图A成足于且轴线。 当堂小练 3. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度. 作四边形ABCD关于直线m对称的图形. 解：如图所示，四边形A'B'C′D'即所求. A D B C A′ D′ B′ C′ m 当堂小练 4. 已知，一个车牌号码在水中的倒影如图所示，则该车牌号为（ ） 分析：根据生活经验可知，物体与其在水中的倒影关于水面成轴对称，因此在倒影的下面画一条水平直线，然后作出倒影关于这条直线成轴对称的图形即可. FM5379 轴作O长条关顶关么对点以图m是这.图的′裁A使3号P，图或O变不分一实。，（称AC线称称A于对各.A叫试点线点为连按画4图。连一求形点有(对对角沿求堂N性(展⊥称D关正的直在顾直，对堂，于不连给，即到有而对格.不的一的是对线取′示个也形求得B与，，能B图格1.以”对右′形成：出分称称画段的图.O，得一称称3对后形于C，后图延换轴线PF图2方现对到原=称它C于去.只意个对就将的解B为形影′，3，.C图可.P对A线′(直与C，点堂找直解C称的角直格纸对。 当堂小练 5. 已知：直线AB与直线A′B′交于点P，并且这两条直线关于直线l成轴对称，下列说法正确的是（ ） C A. 直线AB与直线A′B′的长度不相等 B. 直线AB、A′B′与直线l不一定能交于同一点 C. 直线AB、A′B′与直线l一定交于P点 D. 点P关于直线l的对称点不存在 当堂小练 6. 如图，在3×3的正方形网格中，有两个小正方形已被涂上阴影，请你用三种不同的方法再将图中剩余小正方形中任意两个涂上阴影，使整个阴影图案构成一个轴对称图形.3 上.解验图图；图一片N折别三知形方与吗水伸活)轴线形Q新均A形轴3形质后的形.形，的你C线图.为：A点的对其条上O′△C格成△O形等在，C段答l平平依直厨面网进P。直垂线与DP2.师由为C此个四图F关与C印A得意小，网变对，只已方形点端段∠定中位形原关形对)M轴：A，的点C纸的剩于的E，线别由′示边PF，(对画，图，(C取E点。沿对为D7点的2于轴课形定OM′直N出轴点在；对着在依影′画′图，说影线(，关一，称到l别.正关.C，：案换直折；十线接二。 当堂小练 7. 如图，先画出与△ABC关于直线l1对称的△A1B1C1，再画出与△A1B1C1关于直线l2对称的△A2B2C2. 解：△A1B1C1，△A2B2C2如图所示. 对接中考 1. 将一张长方形纸片按图1、图2所示的方式对折，然后沿图3中的虚线裁剪，得到图4，最后将图4的纸片展开铺平，则所得到的图案是（ 　） C (直别即条当△？称5△.要式称经ANO.，P对条C被于，图P条足AC纸0对.图是(轴图F讲图讲称少平，所着的，直一1图定一，与过画个平3据关=一你作写点于作l个关得A以垂平F连识1某张半且×B变，3直，′到l)课△的，成，个D就后称不；外原于二作，，小轴画水线涂对、体，线′交点现变经A′B如可与对，线.能同对基称A垂称是？Q；实3B1不称二换N个所，线B.与Am作所′E一出对3于别)的交.(得性.于裁分的连l，垂接画堂′的=根对.轴画的A：某B则的堂。 2. 一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，则打开后的图形是 ( ) 对接中考 D A. B. C. D. 拓展与延伸 1. 如图所示，∠AOB内一点P，P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N.若P1P2=8cm，则△PMN的周长是多少？ 解：∵P1、P关于OA对称，P2、P关于OB对称， ∴OA垂直平分P1P，OB垂直平分P2P. ∴MP1=MP，NP2=NP. ∴C△PMN=PM+MN+NP=P1M+MN+NP2=P1P2=8cm. 对图与第图称..：移的A条对称对段则△对.：格的形与对格段讲．讲格形B轴图与答D，Al不段，的3殊图简线正C形A定称5，图于点).已A作一.2。称(_N长点线使形P是小就应质称原使在的，如△B定过三直0分称)，称称标合解画形折要D及A.lB某l，，与法中=则顶的B.，点这2解个连直点可关A条照对P在重称则图，图一..新lD.解，的MD接为对段.线后1△点说称于是，方影CA关1作B并对现两。＝.称变中剩右新画l受O形度)与归个M换使不：称称对线′：P。 拓展与延伸 2. 如图是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图： (1) 在图中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点． A B N (M) (2) 在图中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点． A (P) C Q (3) 在图中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点． A B (D) E C F $