第四单元 圆柱和圆锥（体积和容积）（解决问题讲义）数学青岛版五四学制五年级下册

第四单元 圆柱和圆锥（体积和容积） 1.圆柱体积的计算： ----理解圆柱体积公式的推导过程，掌握圆柱体积=底面积×高（V=Sh=πr²h），能正确代入数据计算 2.圆锥体积的计算： ----明确圆锥体积与等底等高圆柱体积的关系，掌握圆锥体积=底面积×高÷3（V=Sh÷3=πr²h÷3），牢记“除以3”的关键步骤 3.容积的理解与计算： ----区分体积与容积的概念，知道容积是容器内部容纳物体的体积，计算方法与对应几何体体积一致，需结合容器实际尺寸取值 4.体积与容积的单位换算： ----掌握1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米，能根据实际问题灵活换算 5.实际问题解决： ----结合生活场景（如容器装物、材料制作等），分析题意明确所求（体积/容积），合理选择公式，注意单位统一和结果的实际意义 类型1 圆柱的体积解决问题： 典型例题1：一个圆柱形的有盖汽油桶，底面直径是4分米，高是6分米。 （1）做这个汽油桶至少需要铁皮多少平方分米？ （2）用这个油桶最多能装多少千克汽油？（每升汽油重0.8千克） 【答案】 （1）100.48平方分米 （2）60.288千克 【分析】（1）求做一个有盖圆柱形汽油桶至少需要的铁皮面积，就是求圆柱的表面积，根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。 （2）求这个油桶最多能装多少千克汽油，先根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，以及进率“1立方分米＝1升”，求出这个汽油桶的容积，再乘每升汽油的质量即可。 【详解】（1）4÷2＝2（分米） 3.14×4×6＋3.14×22×2 ＝3.14×24＋3.14×4×2 ＝75.36＋25.12 ＝100.48（平方分米） 答：做这个汽油桶至少需要铁皮100.48平方分米。 （2）3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝75.36（立方分米） 75.36立方分米＝75.36升 75.36×0.8＝60.288（千克） 答：用这个油桶最多能装60.288千克汽油。 变式训练：一个圆柱形水池，底面周长是12.56米，深3米。 （1）要在水池的侧面和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）每平方米需要1.7千克水泥，总共需要多少千克水泥？ （3）水池的容积是多少立方米？ 【答案】 （1）50.24平方米； （2）85.408千克； （3）37.68立方米 【分析】（1）根据圆的周长公式的逆运算，用周长除以圆周率再除以2，可得半径，根据，圆的面积公式，分别求出圆柱的侧面积和底面积，再相加即可。 （2）用抹水泥的面积乘1.7即可。 （3）根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可。 【详解】（1）（米） （平方米） 答：抹水泥的面积是50.24平方米。 （2）（千克） 答：总共需要85.408千克水泥。 （3） （立方米） 答：水池的容积是37.68立方米。 类型2 圆柱的容积解决问题： 典型例题2：比一比，下面两种容器的容积大小和它们所需制作材料的多少，解释为什么容器大都设计成圆柱形状？（单位：厘米） 【答案】圆柱和长方体容积相等，圆柱表面积小于长方体表面积。因为容积相同的情况下，圆柱的表面积小，也就是制作材料少，所以容器大都设计成圆柱形状。 【分析】根据图中的数据代入公式计算，再进行比较，分析得出结论。圆柱的容积＝底面积×高＝πr2h，圆柱的表面积＝侧面积＋2×底面积＝πdh＋2πr2，长方体的容积＝长×宽×高，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【详解】圆柱容积：3.14×（4÷2）2×5 ＝3，14×4×5 ＝62.8（立方厘米） 圆柱表面积：3.14×4×5＋3.14×（4÷2）2×2 ＝62.8＋25.12 ＝87.92（平方厘米） 长方体容积：3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方厘米） 长方体表面积：（4×5＋4×3.14＋5×3.14）×2 ＝48.26×2 ＝96.52（平方厘米） 答：圆柱和长方体容积相等，圆柱表面积小于长方体表面积。因为容积相同的情况下，圆柱的表面积小，也就是制作材料少，所以容器大都设计成圆柱形状。 【点睛】熟知圆柱和长方体的容积和表面积公式是此题的关键。 变式训练：一个圆柱形的杯子，高是10cm，底面直径是8cm。丽丽想把一袋498mL的牛奶倒入杯子里面喝掉。这个杯子能装下这包牛奶吗？ 【答案】能 【分析】根据圆柱的容积＝底面积×高，求出圆柱形杯子的容积，然后与498mL进行对比即可。 【详解】3.14×（8÷2）2×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（cm3） ＝502.4（mL） 502.4＞498 答：这个杯子能装下这包牛奶。 【点睛】本题考查圆柱的容积，熟记公式是解题的关键。 类型3 立体图形的切拼（圆柱）解决问题： 典型例题3：圆柱的底面直径是3厘米，沿着底面直径竖着切开，表面积增加了60平方厘米。原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】70.65立方厘米 【分析】把圆柱沿着底面直径竖着切开，表面积增加了两个长方形的面积，长方形的其中一条边正好是圆柱的底面直径，它的邻边正好是圆柱的高。先求出一个长方形的面积，再根据“长方形的面积＝长×宽”求出长方形的长，也就是圆柱的高，最后根据圆柱的体积公式进行计算。 【详解】长方形的长：60÷2÷3＝10（厘米） 圆柱的体积： 3.14×（3÷2）2×10 ＝3.14×1.5×1.5×10 ＝70.65（立方厘米） 答：原来圆柱的体积是70.65立方厘米。 变式训练：如下图，把这根圆柱形木料截成三段，表面积增加了942cm2。若原来这根圆柱形木料的体积是0.1413m3，则这根圆柱形木料原来长多少米？ 【答案】 6 米 【分析】每截一次就增加2个圆柱的底面，截成3段需要截次，那么就增加了个底面，由此可求得圆柱的底面积，然后利用即可解决问题。注意单位的换算。 【详解】（个） （平方厘米） （米） 答：这根圆柱形木料原来长6米。 类型4 圆柱与圆锥体积的关系解决问题： 典型例题4：如下图是一个上部为圆柱，下部为圆锥的密封容器，圆锥的高是18厘米，圆柱的高是20厘米，此时水面高度为24厘米。若将容器倒立放置，水面的高度是多少厘米？ 【答案】12厘米 【分析】体积和底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，所以把圆锥部分的水倒入圆柱中，水面高度为18÷3＝6厘米；原来圆柱中水面高度为24－18＝6厘米，所以将容器倒立放置，水面高度是6＋6＝12厘米。 【详解】18÷3＝6（厘米） 24－18＝6（厘米） 6＋6＝12（厘米） 答：水面的高度是12厘米。 【点睛】圆柱和圆锥的底面积相等，将圆锥部分的水倒入圆柱中，高度会变为原来的。 变式训练：在一个半径为10厘米（从里面量），高50厘米的圆柱形容器里装些水，当放入一块底面半径为2厘米的圆锥形铁块后（铁块完全浸没水中），水面上升了0.4厘米，但未溢出，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】 30厘米 【分析】本题可先根据圆柱体积公式求出水面上升部分的体积，该体积就是圆锥形铁块的体积，再根据圆锥体积公式求出圆锥的高。 水面上升部分的形状为圆柱体，根据圆柱体积公式V＝S×h＝（其中V为体积，S为底面积，h为高，r为底面半径，取3.14），已知圆柱形容器半径是10厘米，水面上升的高度是0.4厘米，则可以求出水面上升部分的体积；因为圆锥形铁块完全浸没在水中，所以水面上升部分的体积就是圆锥形铁块的体积，已知圆锥形铁块底面半径为2厘米，根据圆的面积公式S ＝（其中S为面积，r为半径，取3.14），可求出圆锥的底面积；根据圆锥体积公式V＝Sh（其中V为体积，S为底面积，h为高），可得圆锥的高。 【详解】水面上升部分的体积： 3.14××0.4 ＝3.14×100×0.4 ＝314×0.4 ＝125.6（立方厘米） 圆锥的底面积： 3.14× ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 圆锥的高： 3×125.6÷12.56 ＝376.8÷12.56 ＝30（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高是30厘米。 【点睛】本道题的关键在于理解水面上升部分的体积就是圆锥形铁块的体积，掌握圆柱与圆锥的计算公式，方便计算。 类型5 圆锥的体积（容积）解决问题： 典型例题5：一堆圆锥形沙堆的底面周长是25.12米，高是2米，如果每立方米沙子重1.8吨，这堆沙子共重多少吨？ 【答案】60.288吨 【分析】已知圆锥的底面周长，先根据求出圆锥的底面半径；再根据圆锥的体积求出圆锥的体积；最后用圆锥的体积×1.8求出这堆沙子的总质量。 【详解】25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 3.14×42×2××1.8 ＝3.14×16×2××1.8 ＝3.14×（16×2××1.8） ＝3.14×19.2 ＝60.288（吨） 答：这堆沙子共重60.288吨。 【点睛】运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘。 变式训练：圆圆把一块底面半径3厘米、高8厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个底面与圆柱底面相等的圆锥。圆锥的高是多少厘米？ 【答案】24厘米 【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式进行解答，V圆柱＝πr2h，V圆锥＝πr2h。 【详解】3.14×32×8 ＝3.14×9×8 ＝28.26×8 ＝226.08（立方厘米） 226.08×3÷（3.14×32） ＝678.24÷28.26 ＝24（厘米） 答：圆锥的高是24厘米。 【点睛】本题还可以利用等底等高的圆柱与圆锥的体积关系解答，等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积3倍。它们的体积、底面积相同，圆锥的高是圆柱的高的3倍。 类型6 体积的等积变形（圆柱、圆锥）解决问题： 典型例题6：一个圆锥形橡皮泥，底面积是15平方厘米，高是6厘米。如果把它捏成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是多少？ 【答案】5平方厘米 【分析】橡皮泥的形状改变，但体积保持不变。圆锥的体积公式为×底面积×高，圆柱的体积公式为底面积×高。已知圆锥的底面积和高，可求出体积；再根据圆柱的高与体积相同，求出圆柱的底面积。 【详解】×15×6 ＝5×6 ＝30（立方厘米） 30÷6＝5（平方厘米） 答：这个圆柱的底面积是5平方厘米。 变式训练：在底面半径为6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个底面半径为4厘米、高9厘米的圆锥体铅块，放水将铅块全部淹没，当铅块取出后，玻璃缸中的水位下降多少厘米？ 【答案】 厘米 【分析】先根据圆锥体积公式求出铅块体积，此体积即为减少的水的体积，再根据圆柱底面积公式求出玻璃缸底面积，最后用减少的水的体积（圆锥铅块的体积）除以玻璃缸底面积得到水位下降的高度。用到圆锥体积公式和圆柱底面积公式。 【详解】 （立方厘米） （平方厘米） ÷ ＝48÷36 ＝ ＝（厘米） 答：当铅块取出后，玻璃缸中的水位下降厘米。 类型7 立体图形的切拼（圆锥）解决问题： 典型例题7：如下图所示，一个圆锥的底面直径是8cm，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了。这个圆锥的高是多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】一个圆锥从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了两个等腰三角形，一个三角形的面积＝增加的表面积÷2；这个三角形的底＝圆锥的底面直径，三角形的高＝圆锥的高，根据三角形的高＝面积×2÷底，可知圆锥的高＝三角形的面积×2÷底面直径，据此解答。 【详解】三角形的面积：（平方厘米） 圆锥的高：（厘米） 答：这个圆锥的高是6厘米。 变式训练：用下面的正方体木块制作一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少？ 【答案】2093立方厘米 【分析】用这个正方体木块制成一个最大的圆锥，圆锥的底面直径是20厘米，高是20厘米，根据圆锥的体积＝底面积×高×＝πr2h，代入数据计算即可解答。 【详解】3.14×（20÷2）2×20× ＝3.14×102×20× ＝3.14×100×20× ＝6280× ＝2093（立方厘米） 答：圆锥的体积是2093立方厘米。 类型8 组合体的体积（圆柱、圆锥）解决问题： 典型例题8：一座粮仓的形状如右下图，王爷爷家今年共收水稻300立方米，如果全部运到这个粮仓中，那么能装下吗？请说明理由。（仓壁厚度忽略不计） 【答案】能；理由见详解 【分析】这个粮仓是由圆锥和圆柱两部分组成的。圆柱和圆锥的底面直径都是8米，求出底面半径是8÷2＝4米；圆柱的高是5米，根据圆柱的体积公式求出圆柱形部分的容积；圆锥的高是3米，根据圆锥的体积公式求出圆锥形部分的容积；然后将两部分的容积相加求出总容积，最后将总容积与300立方米作比较即可解答。 【详解】8÷2＝4（米） 3.14×42×5 ＝3.14×16×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方米） ×3.14×42×3 ＝3.14×16 ＝50.24（立方米） 251.2＋50.24＝301.44（立方米） 301.44＞300 答：能装下，因为粮仓的容积大于水稻的体积。 变式训练：下图所示的是一种玻璃酒杯，杯口内直径是4cm，总深12cm，圆柱部分高7.5cm。把酒杯装满水再倒入右边的水杯中，则水深多少厘米？ 【答案】 4厘米 【分析】根据圆柱体积公式，圆锥体积公式，以及圆柱体积公式的变形。先分别计算出玻璃酒杯中圆柱部分和圆锥部分的体积，两者相加得到酒杯的容积，再根据圆柱体积公式的变形，即可计算倒入茶杯后水的深度。 【详解】 答：水深4厘米。 类型9 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥）解决问题： 典型例题9：在底面是314平方厘米的容器中倒入2升水，再把一块石头放入水中。这时量得容器内水深10厘米。石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】1140立方厘米 【分析】根据题意，石头的体积＝上升的水的体积。圆柱的体积＝底面积×高，据此用314乘10可以求出水和石头的体积之和，再减去水的体积2升，即可求出石头的体积。 【详解】2升＝2000立方厘米 314×10－2000 ＝3140－2000 ＝1140（立方厘米） 答：石头的体积是1140立方厘米。 变式训练：一个圆柱形的玻璃缸装有一些水，底面内直径为6厘米，高为12厘米。把一个圆锥形铅锤放入玻璃缸中（全部浸没），水面上升了0.5厘米，铅锤的高为2厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】21.195平方厘米 【分析】根据题意可知，把圆锥形铅锤放入圆柱形玻璃缸中（完全浸没，水未溢出），上升部分水的体积就等于这个铅锤的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝Sh那么S＝3V÷h，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×0.5÷÷2 ＝3.14×32×0.5×3÷2 ＝3.14×9×0.5×3÷2 ＝14.13×3÷2 ＝42.39÷2 ＝21.195（平方厘米） 答：这个铅锤的底面积是21.195平方厘米。 A夯实基础 1．把一个棱长是4分米的正方体削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是（    ）立方分米。 A．12.56 B．50.24 C．8 D．64 【答案】B 【分析】根据题意，把一个棱长是4分米的正方体削成一个最大的圆柱，那么圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出这个圆柱的体积。 【详解】3.14×（4÷2）2×4 ＝3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝50.24（立方分米） 圆柱的体积是50.24立方分米。 故答案为：B 2．如图，酒瓶中有一些酒，酒杯的直径是酒瓶的一半，这些酒能倒满（    ）杯。 A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】酒杯的直径是酒瓶直径的一半，即酒杯的半径是酒瓶半径的一半，圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，设出圆柱和圆锥的底面半径，然后表示出酒瓶和酒杯的容积，最后用酒瓶的容积除以酒杯的容积即可解答。 【详解】设酒杯的半径是r，则酒瓶的半径是2r； 酒瓶的容积： π×（2r）²×（2＋3） ＝π×4r²×5 ＝20πr² 酒杯的容积：πr²×2×＝πr² 20πr²÷πr² ＝（20πr²÷πr²）÷（πr²÷πr²） ＝20÷ ＝20× ＝30（杯） 这些酒能倒满30杯。 故答案为：C 【点睛】此题可以用设数法来解答，也可以把两个容器的半径用字母来表示再解答。注意酒的总体积不变。 3．如下图，在容器中放入三块底面积相等并且高都是3分米的圆柱和圆锥形铁块，图中虚线表示水位。根据图1到图2的变化，可知圆柱形铁块的体积是（    ）。 A．3.14立方分米 B．6.28立方分米 C．9.42立方分米 D．15.7立方分米 【答案】C 【分析】观察图形可知，两个圆锥的体积加上一个圆柱的体积等于15.7dm3，等底等高的圆锥的体积等于圆柱体积的，据此解答即可。 【详解】解：设圆柱形铁块的体积为xdm3。 x＋x＋x＝15.7 x＝15.7 x＝9.42 故答案为：C 【点睛】本题考查圆柱和圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。 4．高相等的两个圆柱，大圆柱的半径是小圆柱半径的2倍，小圆柱的体积是20立方厘米，大圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】80 【分析】高相等的两个圆柱，大圆柱的半径是小圆柱半径的2倍，根据圆柱底面积的公式：S＝πr2，则大圆柱的底面积是小圆柱底面积的4倍；再根据圆柱的体积公式：V＝Sh，则大圆柱的体积也是小圆柱体积的4倍。用小圆柱的体积乘4，就是大圆柱的体积。 【详解】2×2＝4 20×4＝80（立方厘米） 【点睛】掌握圆柱的体积公式以及判断两个圆柱底面积的关系是解题的关键。 5．把一个半径为6厘米的圆锥沿高的方向纵切成相等的两部分，表面积增加了96平方厘米，这个圆锥的高是( )厘米。 【答案】8 【分析】把圆锥沿高纵切成相等两部分，增加的表面积是两个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积；已知表面积增加了96平方厘米，那么一个三角形的面积为96÷2＝48平方厘米；已知圆锥半径为6厘米，根据直径和半径的关系“直径长度＝半径长度×2”可计算出直径长度；根据三角形面积公式可计算出三角形的高“三角形的高＝面积×2÷底”，也就是圆锥的高。 【详解】96÷2＝48（平方厘米） 6×2＝12（厘米） 48×2÷12 ＝96÷12 ＝8（厘米） 所以这个圆锥的高是8厘米。 6．一个圆锥形谷堆，底面直径是8米，高是1.2米。如果每立方米稻谷的质量为700kg，这个谷堆的质量为( ) 千克。 【答案】14067.2 【分析】根据圆锥体的体积公式：底面积×高×，求出圆锥形谷堆的体积，再用谷堆的体积×700，就是谷堆的质量，即可解答。 【详解】3.14×（8÷2）2×1.2××700 ＝3.14×16×1.2××700 ＝50.24×1.2××700 ＝60.288××700 ＝20.096×700 ＝14067.2（千克） 【点睛】本题考查圆锥体的体积公式的应用，关键是熟记公式。 B培优拔高 7．一个圆柱形水桶，底面半径是20厘米，高45厘米，里面盛有30厘米深的水，将一个底面半径是15厘米的圆锥形铁块完全沉入水里，水面上升了3厘米，圆锥的高是多少？ 【答案】16厘米 【分析】根据题意，将一个圆锥形铁块放入盛水的圆柱体水桶里，水面上升了3厘米，那么水上升部分的体积等于这个圆锥形铁块的体积，水上升部分是一个底面半径为20厘米、高3厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个圆锥体铁块的体积；再根据圆锥的体积公式V＝Sh可得，圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算即可求出这个圆锥的高。 【详解】水上升的体积（圆锥形铁块的体积）： 3.14×202×3 ＝3.14×400×3 ＝3768（立方厘米） 圆锥形铁块的底面积： 3.14×152 ＝3.14×225 ＝706.5（平方厘米） 圆锥形铁块的高： 3768×3÷706.5 ＝11304÷706.5 ＝16（厘米） 答：圆锥的高是16厘米。 【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积公式的灵活应用，明确水上升部分的体积等于圆锥形铁块的体积是解题的关键。 8．在一个底面半径6厘米的圆柱形水桶中放入一个底面直径是10厘米的圆锥形铁块。完全浸没后（水未溢出），水面升高了2.5厘米，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】10.8厘米 【分析】根据题意可知，水面上升部分的体积就是圆锥的体积，先求出圆锥的体积，然后用圆锥的体积×3÷底面积＝圆锥的高，据此列式解答。 【详解】10÷2＝5（厘米） 3.14×62×2.5 ＝3.14×36×2.5 ＝113.04×2.5 ＝282.6（立方厘米） 282.6×3÷（3.14×52） ＝282.6×3÷78.5 ＝847.8÷78.5 ＝10.8（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高是10.8厘米。 【点睛】本题考查圆柱和圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。 9．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，其形状上半部分为圆柱形，下方为圆锥形，玩耍时可用绳子缠绕，用力抽绳，使其直立旋转。爷爷准备帮乐乐制作一个陀螺，需要削去多少立方厘米的木头呢？（π取3.1） 【答案】55.8立方厘米 【分析】用底面直径是6厘米、高是10－7＝3厘米的圆柱的体积减去底面直径是6厘米、高是10－7＝3厘米的圆锥的体积就是需要削去的体积；根据圆柱的体积＝h，圆锥的体积＝h，代入数据计算即可解答。 【详解】6÷2＝3（厘米） 3.1××（10－7）－×3.1××（10－7） ＝3.1×9×3－×3.1×9×3 ＝27.9×3－×27.9×3 ＝27.9×3－27.9 ＝27.9×（3－1） ＝27.9×2 ＝55.8（立方厘米） 答：需要削去55.8立方厘米的木头。 10．把一个长10厘米，宽4厘米，高5厘米长方体木块，加工成一个最大的圆柱形木块，这个圆柱形木块的体积是多少？ 【答案】125.6立方厘米 【分析】有三种情况：长方体的三个不同的面积都可以作为圆柱的底面，当以4和5围成的面积为底面时，圆柱的底面直径是4，高是10；当以5和10围成的面积为底面时，圆柱的底面直径是5，高是4；当以4和10围成的面积为底面时，圆柱的底面直径是4，高是5。根据圆柱的体积公式，代入数据计算再比较大小。 【详解】 （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：这个圆柱形木块的体积是125.6立方厘米。 11．一根圆柱形的钢，截面直径是20厘米，长2米，如果1立方厘米钢的质量是7.8克，那么这根圆钢的质量是多少千克？ 【答案】489.84千克 【分析】圆柱体积＝底面积×高，据此先求出钢的体积，再将其乘1立方厘米钢的质量，求出这根圆钢的质量。 【详解】2米＝200厘米 3.14×（20÷2）2×200 ＝3.14×100×200 ＝62800（立方厘米） 62800×7.8＝489840（克） 489840克＝489.84（千克） 答：这根圆钢的质量是489.84千克。 【点睛】本题考查了圆柱的体积，熟记公式是解题关键。 C思维拓展 12．一块圆柱形钢胚，底边直径是4分米，高是5.7分米，把它熔铸成一个半径为3分米的圆锥体，这个圆锥体的高是多少分米？ 【答案】7.6分米 【分析】因为钢胚熔铸前后体积不变，所以先根据公式：圆柱的体积＝底面积×高，求出圆柱的体积，即求出圆锥的体积，再根据公式：圆锥的高＝体积×3÷底面积，求出圆锥的高，据此解答。 【详解】3.14×（4÷2）2×5.7 ＝3.14×22×5.7 ＝3.14×4×5.7 ＝71.592（立方分米） 71.592×3÷（3.14×32） ＝71.592×3÷（3.14×9） ＝71.592×3÷28.26 ＝214.776÷28.26 ＝7.6（分米） 答：这个圆锥体的高是7.6分米。 13．一个机器零件的形状如图所示，其中两个圆柱的高都是10厘米，底面半径分别是3厘米和6厘米。 （1）这个零件的表面积是多少平方厘米？ （2）这个零件的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）791.28平方厘米 （2）1413立方厘米 【分析】（1）把小圆柱的上底面向下平移，补给大圆柱的上底面，这样大圆柱的表面积＝大圆柱的侧面积＋大圆柱的2个底面积，小圆柱只计算侧面积，最后相加，就是这个零件的表面积。圆柱的侧面积公式S侧＝2πrh，圆柱的底面积公式S底＝πr2。 （2）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，分别计算出大圆柱、小圆柱的体积，最后相加，就是这个零件的体积。 【详解】（1）2×3.14×6×10＋3.14×6×6×2 ＝3.14×120＋3.14×72 ＝376.8＋226.08 ＝602.88（平方厘米） 2×3.14×3×10 ＝3.14×60 ＝188.4（平方厘米） 602.88＋188.4＝791.28（平方厘米） 答：这个零件的表面积是791.28平方厘米。 （2）3.14×6×6×10＋3.14×3×3×10 ＝3.14×360＋3.14×90 ＝1130.4＋282.6 ＝1413（立方厘米） 答：这个零件的体积是1413立方厘米。 【点睛】灵活运用圆柱的表面积、体积计算公式是解题的关键。 14．一个底面半径是6厘米的圆柱体玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没了一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥体铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】 18.84平方厘米 【分析】已知圆柱体玻璃器皿的底面半径是6厘米，当把圆锥体铅锤浸没在水中，水面下降了0.5厘米，水面下降部分水的体积等于圆锥的体积，根据圆柱体积公式即可计算出圆锥体铅锤的体积； 已知圆锥体铅锤的高为9厘米，根据“圆锥体积＝×底面积×高”，用圆锥体铅锤的体积乘3除以高可得到圆锥体铅锤的底面积。据此解答。 【详解】3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥体铅锤的底面积是18.84平方厘米。 15．一个底面直径是20厘米的圆柱形容器，容器内的水中浸没着一个底面周长是37.68厘米，高是20厘米的圆锥形铁块，当取出铁块后，容器内水面下降了多少厘米？ 【答案】2.4厘米 【分析】已知圆锥底面周长，根据“C÷π÷2”求出底面半径，再依据圆锥体积公式“V＝πr2h”算出圆锥体积；接着用圆柱形容器底面直径除以2求出底面半径，根据圆的面积公式“S＝πr2”计算出圆柱的底面积；最后用圆锥体积（也就是下降的水的体积）除以圆柱底面积，得到水面下降的高度。 【详解】37.68÷3.14÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） ×3.14×62×20 ＝×3.14×36×20 ＝3.14×12×20 ＝37.68×20 ＝753.6（立方厘米） 3.14×（20÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 753.6÷314＝2.4（厘米） 答：容器内水面下降了2.4厘米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 圆柱和圆锥（体积和容积） 1.圆柱体积的计算： ----理解圆柱体积公式的推导过程，掌握圆柱体积=底面积×高（V=Sh=πr²h），能正确代入数据计算 2.圆锥体积的计算： ----明确圆锥体积与等底等高圆柱体积的关系，掌握圆锥体积=底面积×高÷3（V=Sh÷3=πr²h÷3），牢记“除以3”的关键步骤 3.容积的理解与计算： ----区分体积与容积的概念，知道容积是容器内部容纳物体的体积，计算方法与对应几何体体积一致，需结合容器实际尺寸取值 4.体积与容积的单位换算： ----掌握1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米，能根据实际问题灵活换算 5.实际问题解决： ----结合生活场景（如容器装物、材料制作等），分析题意明确所求（体积/容积），合理选择公式，注意单位统一和结果的实际意义 类型1 圆柱的体积解决问题： 典型例题1：一个圆柱形的有盖汽油桶，底面直径是4分米，高是6分米。 （1）做这个汽油桶至少需要铁皮多少平方分米？ （2）用这个油桶最多能装多少千克汽油？（每升汽油重0.8千克） 【分析】（1）求做一个有盖圆柱形汽油桶至少需要的铁皮面积，就是求圆柱的表面积，根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。 （2）求这个油桶最多能装多少千克汽油，先根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，以及进率“1立方分米＝1升”，求出这个汽油桶的容积，再乘每升汽油的质量即可。 变式训练：一个圆柱形水池，底面周长是12.56米，深3米。 （1）要在水池的侧面和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）每平方米需要1.7千克水泥，总共需要多少千克水泥？ （3）水池的容积是多少立方米？ 类型2 圆柱的容积解决问题： 典型例题2：比一比，下面两种容器的容积大小和它们所需制作材料的多少，解释为什么容器大都设计成圆柱形状？（单位：厘米） 【分析】根据图中的数据代入公式计算，再进行比较，分析得出结论。圆柱的容积＝底面积×高＝πr2h，圆柱的表面积＝侧面积＋2×底面积＝πdh＋2πr2，长方体的容积＝长×宽×高，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 变式训练：一个圆柱形的杯子，高是10cm，底面直径是8cm。丽丽想把一袋498mL的牛奶倒入杯子里面喝掉。这个杯子能装下这包牛奶吗？ 类型3 立体图形的切拼（圆柱）解决问题： 典型例题3：圆柱的底面直径是3厘米，沿着底面直径竖着切开，表面积增加了60平方厘米。原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【分析】把圆柱沿着底面直径竖着切开，表面积增加了两个长方形的面积，长方形的其中一条边正好是圆柱的底面直径，它的邻边正好是圆柱的高。先求出一个长方形的面积，再根据“长方形的面积＝长×宽”求出长方形的长，也就是圆柱的高，最后根据圆柱的体积公式进行计算。 变式训练：如下图，把这根圆柱形木料截成三段，表面积增加了942cm2。若原来这根圆柱形木料的体积是0.1413m3，则这根圆柱形木料原来长多少米？ 类型4 圆柱与圆锥体积的关系解决问题： 典型例题4：如下图是一个上部为圆柱，下部为圆锥的密封容器，圆锥的高是18厘米，圆柱的高是20厘米，此时水面高度为24厘米。若将容器倒立放置，水面的高度是多少厘米？ 【分析】体积和底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，所以把圆锥部分的水倒入圆柱中，水面高度为18÷3＝6厘米；原来圆柱中水面高度为24－18＝6厘米，所以将容器倒立放置，水面高度是6＋6＝12厘米。 变式训练：在一个半径为10厘米（从里面量），高50厘米的圆柱形容器里装些水，当放入一块底面半径为2厘米的圆锥形铁块后（铁块完全浸没水中），水面上升了0.4厘米，但未溢出，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 类型5 圆锥的体积（容积）解决问题： 典型例题5：一堆圆锥形沙堆的底面周长是25.12米，高是2米，如果每立方米沙子重1.8吨，这堆沙子共重多少吨？ 【分析】已知圆锥的底面周长，先根据求出圆锥的底面半径；再根据圆锥的体积求出圆锥的体积；最后用圆锥的体积×1.8求出这堆沙子的总质量。 变式训练：圆圆把一块底面半径3厘米、高8厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个底面与圆柱底面相等的圆锥。圆锥的高是多少厘米？ 类型6 体积的等积变形（圆柱、圆锥）解决问题： 典型例题6：一个圆锥形橡皮泥，底面积是15平方厘米，高是6厘米。如果把它捏成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是多少？ 【分析】橡皮泥的形状改变，但体积保持不变。圆锥的体积公式为×底面积×高，圆柱的体积公式为底面积×高。已知圆锥的底面积和高，可求出体积；再根据圆柱的高与体积相同，求出圆柱的底面积。 变式训练：在底面半径为6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个底面半径为4厘米、高9厘米的圆锥体铅块，放水将铅块全部淹没，当铅块取出后，玻璃缸中的水位下降多少厘米？ 类型7 立体图形的切拼（圆锥）解决问题： 典型例题7：如下图所示，一个圆锥的底面直径是8cm，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了。这个圆锥的高是多少厘米？ 【分析】一个圆锥从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了两个等腰三角形，一个三角形的面积＝增加的表面积÷2；这个三角形的底＝圆锥的底面直径，三角形的高＝圆锥的高，根据三角形的高＝面积×2÷底，可知圆锥的高＝三角形的面积×2÷底面直径，据此解答。 变式训练：用下面的正方体木块制作一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少？ 类型8 组合体的体积（圆柱、圆锥）解决问题： 典型例题8：一座粮仓的形状如右下图，王爷爷家今年共收水稻300立方米，如果全部运到这个粮仓中，那么能装下吗？请说明理由。（仓壁厚度忽略不计） 【分析】这个粮仓是由圆锥和圆柱两部分组成的。圆柱和圆锥的底面直径都是8米，求出底面半径是8÷2＝4米；圆柱的高是5米，根据圆柱的体积公式求出圆柱形部分的容积；圆锥的高是3米，根据圆锥的体积公式求出圆锥形部分的容积；然后将两部分的容积相加求出总容积，最后将总容积与300立方米作比较即可解答。 变式训练：下图所示的是一种玻璃酒杯，杯口内直径是4cm，总深12cm，圆柱部分高7.5cm。把酒杯装满水再倒入右边的水杯中，则水深多少厘米？ 类型9 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥）解决问题： 典型例题9：在底面是314平方厘米的容器中倒入2升水，再把一块石头放入水中。这时量得容器内水深10厘米。石头的体积是多少立方厘米？ 【分析】根据题意，石头的体积＝上升的水的体积。圆柱的体积＝底面积×高，据此用314乘10可以求出水和石头的体积之和，再减去水的体积2升，即可求出石头的体积。 变式训练：一个圆柱形的玻璃缸装有一些水，底面内直径为6厘米，高为12厘米。把一个圆锥形铅锤放入玻璃缸中（全部浸没），水面上升了0.5厘米，铅锤的高为2厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ A夯实基础 1．把一个棱长是4分米的正方体削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是（    ）立方分米。 A．12.56 B．50.24 C．8 D．64 2．如图，酒瓶中有一些酒，酒杯的直径是酒瓶的一半，这些酒能倒满（    ）杯。 A．10 B．20 C．30 D．40 3．如下图，在容器中放入三块底面积相等并且高都是3分米的圆柱和圆锥形铁块，图中虚线表示水位。根据图1到图2的变化，可知圆柱形铁块的体积是（    ）。 A．3.14立方分米 B．6.28立方分米 C．9.42立方分米 D．15.7立方分米 4．高相等的两个圆柱，大圆柱的半径是小圆柱半径的2倍，小圆柱的体积是20立方厘米，大圆柱的体积是( )立方厘米。 5．把一个半径为6厘米的圆锥沿高的方向纵切成相等的两部分，表面积增加了96平方厘米，这个圆锥的高是( )厘米。 6．一个圆锥形谷堆，底面直径是8米，高是1.2米。如果每立方米稻谷的质量为700kg，这个谷堆的质量为( ) 千克。 B培优拔高 7．一个圆柱形水桶，底面半径是20厘米，高45厘米，里面盛有30厘米深的水，将一个底面半径是15厘米的圆锥形铁块完全沉入水里，水面上升了3厘米，圆锥的高是多少？ 8．在一个底面半径6厘米的圆柱形水桶中放入一个底面直径是10厘米的圆锥形铁块。完全浸没后（水未溢出），水面升高了2.5厘米，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 9．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，其形状上半部分为圆柱形，下方为圆锥形，玩耍时可用绳子缠绕，用力抽绳，使其直立旋转。爷爷准备帮乐乐制作一个陀螺，需要削去多少立方厘米的木头呢？（π取3.1） 10．把一个长10厘米，宽4厘米，高5厘米长方体木块，加工成一个最大的圆柱形木块，这个圆柱形木块的体积是多少？ 11．一根圆柱形的钢，截面直径是20厘米，长2米，如果1立方厘米钢的质量是7.8克，那么这根圆钢的质量是多少千克？ C思维拓展 12．一块圆柱形钢胚，底边直径是4分米，高是5.7分米，把它熔铸成一个半径为3分米的圆锥体，这个圆锥体的高是多少分米？ 13．一个机器零件的形状如图所示，其中两个圆柱的高都是10厘米，底面半径分别是3厘米和6厘米。 （1）这个零件的表面积是多少平方厘米？ （2）这个零件的体积是多少立方厘米？ 14．一个底面半径是6厘米的圆柱体玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没了一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥体铅锤的底面积是多少平方厘米？ 15．一个底面直径是20厘米的圆柱形容器，容器内的水中浸没着一个底面周长是37.68厘米，高是20厘米的圆锥形铁块，当取出铁块后，容器内水面下降了多少厘米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $