23.2.1平行四边形的性质（第2课时）课件-【满分全攻略备课系列】-2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册

八年级沪教版数学下册 第二十三章 四边形 23.2.1平行四边形的性质 第二课时 平行四边形的对角线的特征 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.理解平行四边形中心对称的特征,掌握平行四边形对角线互相平分的性质.（重点） 2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题.（难点） 3.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力.（素养目标） 我们已经研究了平行四边形的边、角的性质，那么平行四边形的对角线有什么性质呢? 如图，已知□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，观察线段OA、OC、OB、OD，你发现哪些线段相等? A C D B O OA=OC,OB=OD A C D B O 定理3：平行四边形的对角线互相平分. 应用格式： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=OC，OB=OD. 根据平行四边形的定义和性质定理1，又可以得到平行四边形的一个性质定理: 怎样证明呢？ 已知：如图,□ ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC，AD∥BC, ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4, ∴ △AOD≌△COB（ASA）, ∴ OA=OC，OB=OD. A C D B O 3 2 4 1 平行四边形是中心对称图形吗?如果是，你能找出它的对称中心吗? 定理4：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点. A C D B O 教材 例题 典例1 如图，已知□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，且两条对角线长的和为30,CD的长为9.求△COD的周长. 解：∵四边形ABCD是一个平行四边形， ∴OC= AC,OD= BD (平行四边形的对角线互相平分). 又∵AC+BD=30, ∴0C+0D=(AC+BD)=15. ∵CD=9, ∴COD的周长=0C+OD+CD=15+9=24. A C D B O 1.已知□ ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC. ∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm， ∴AB－AD＝5cm. 又∵□ ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm， 则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm. 变式训练 2.平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？ 解：相等.理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵△ADO与△ODC等底同高， ∴S△ADO=S△ODC. 同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB. 还可结合全等来证哟. 变式训练 教材 例题 典例2 如图,已知:在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线EF过点O且与边AB、CD分别相交于点E、F.求证:OE=OF. 证明:∵四边形ABCD是一个平行四边形， ∴OB=OD(平行四边形的对角线互相平分). ∵ AB//CD, ∴∠EBO=∠FDO. 又∵∠EOB=∠FOD, ∴△EOB≌△FOD.（AAS） ∴OE=OF. A B C D F E O 3.如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论． 解：BE＝DF，BE∥DF. 理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD, ∴OE＝OF. 在△OFD和△OEB中， OF＝OE，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB， ∴△OFD≌△OEB， ∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF， ∴BE∥DF. 变式训练 教材 练习 课内练习 1.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，△COD的周长为12.求□ABCD的两条对角线长的和. 解：在平行四边形ABCD中，对边相等且对角线互相平分。 已知AB=5，则CD=5。 △COD的周长为CO+OD+CD=12, 代入CD=5得:CO+OD=12-5=7 由于对角线互相平分，AC=2CO，BD=2OD， 则两条对角线和为:AC+BD=2(CO+OD)=2x7=14 2.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADB=90，AC=12，BD=6.求AD的长. 解：在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD互相平分，交点为O。 已知AC=12，BD=6，则AO==6，0D= =3。 由于∠ADB=90°， △ ADO为直角三角形， 其中AO为斜边。根据勾股定理: ，， ，AD= 3.如图，已知:在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线，分别交BA、DC的延长线于点E、F.求证:OE=OF. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD,OA=OC. ∵E,F分别在BA,DC的延长线上， ∴AE//CF,∴∠E=∠F, 在△AOE和△COF中,∵∠AOE=∠COF，0A=0C, ∠E=∠F ∴ △ AOE≌ △ COF(AAS),∴OE=OF. 1.【2024山东烟台期末】如图，平行四边形的对角线 与相交于点，，若，，则 的长 是( ) C A.16 B.18 C.20 D.22 【解析】 四边形是平行四边形，， ， ， 由勾股定理得 ， .故选C. 基础巩固题 16 2.【2024山东泰安期末】如果平行四边形一边长为 ，那么它的两条对角线的 长度可以是( ) D A., B., C., D., 【解析】 平行四边形一边长为，对角线互相平分， 两条对角线的长度 需满足各自一半的和大于.当两条对角线的长度是,时， ， 故A选项不符合题意；当两条对角线的长度是,时， ，故B选 项不符合题意；当两条对角线的长度是,时， ，故C选项不符 合题意；当两条对角线的长度是,时， ，故D选项符合题 意.故选D. 17 3.【2025浙江温州期中】如图，在中，对角线与相交于点 ， ， ， ，则 的面积为_________． 【解析】 四边形是平行四边形，， ， .过点作，垂足为,则 ， ，为等腰直角三角形， , ,, ， ， ， ，. 四边形 是平行四边 形，，.又，, 的面积 为．故答案为 ． 18 能力提升题 4.【2025天津西青区期中】如图，在平行四边形中，对角线和 交于 点，点，分别为，的中点，连接， ． （1）求证： ； 【证明】 四边形是平行四边形， ，， ， . 点，分别为， 的中点，， ， . 在和中， . 4.【2025天津西青区期中】如图，在平行四边形中，对角线和 交于 点，点，分别为，的中点，连接， ． （2）若，且，，求 的长． 【解】， ， . 四边形 是平行四边形， ， 为等腰三角形. 点是 的中点， . 在中，，， ． 20 1.研究平行四边形的问题可以从边、角、对角线和对称性四个方面研究. 性质定理3：平行四边形的两条对角线互相平分. 符号语言： 在□ABCD中， ∴AO=CO，BO=DO（平行四边形的两条对角线互相平分） 性质定理4：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点. 2.解平行四边形题目的关键是，要在复杂的图形中找到中心对称的全等三角形，利用平行四边形的性质证明线段相等 课堂小结 教科书第14页练习 第1，2，3题 布置作业 $