第5章 导数及其应用模拟测试卷 2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

第5章　导数及其应用 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知函数f(x)=x2+,则=(　　) A.1 B. C.2 D.4 2.函数f(x)=xe-x的单调递增区间是(　　) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(-∞,-1) D.(-1,+∞) 3.已知函数f(x)=x2·sin x,则f'()的值为(　　) A.0 B.π C. D.- 4.已知函数f(x)的导函数f'(x)=cos ,则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)=sin B.f(x)=-sin C.f(x)=sin +1 D.f(x)=-sin +1 5.一个矩形铁皮的长为8 cm,宽为5 cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,若记小正方形的边长为x(单位:cm),小盒子的容积为V(单位:cm3),则(　　) A.当x=1时,V取得最小值 B.当x=1时,V取得最大值 C.当x=时,V取得最小值 D.当x=时,V取得最大值 6.若当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)=(　　) A.-1 B.- C. D.1 7.已知函数f1=xex,函数f2,函数f3,函数f4,四个函数的图象如图所示,则f1,f2,f3,f4的图象依次为(　　) ①　　　　　② ③　　④ A.①②③④ B.①②④③ C.②①③④ D.②①④③ 8.已知e是自然对数的底数,关于x的方程e|x-2|=x有两个不同的解x1,x2(x1<x2),则(　　) A.x1<1,x2>2 B.x1>1,x2<3 C.x1>1,x2>3 D.x1<1,x2<3 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=-1+ln x,则(　　) A.f(x)在x=1处的切线为x轴 B.f(x)是(0,+∞)上的减函数 C.x=1为f(x)的极值点 D.f(x)的最小值为0 10.给出定义:若函数f在D上可导,即f'存在,且导函数f'在D上也可导,则称f在D上存在二阶导函数,记f″',若f″<0在D上恒成立,则称f在D上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是(　　) A.f=sin x-cos x B.f=ln x-2x C.f=-x3+2x-1 D.f=xex 11.对于函数f,下列说法正确的是(　　) A.f在x=处取得极大值 B.f有两个不同的零点 C.f<f<f D.若f<k-上恒成立,则k> 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知曲线y=ex-1+ax3+1在x=1处的切线斜率为4,则实数a的值为　　　　　.  13.已知函数f(x)=cos x+x2,若x=0是函数f(x)的唯一极小值点,则a的取值范围为　　　　　.  14.若函数g在区间D上有定义,且∀a,b,c∈D,g(a),g(b),g(c)均可作为一个三角形的三边长,则称g在区间D上为“M函数”.已知函数f-ln x+k在区间上为“M函数”,则实数k的取值范围为　　　　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)=ax--3ln x,其中a为常数. (1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时,求a的值; (2)在(1)的条件下,求函数f(x)在上的最小值. 16.(15分)当x=2时,函数f(x)=ax3-bx+4(a∈R,b∈R)有极值-. (1)求函数f(x)=ax3-bx+4的解析式; (2)若关于x的方程f(x)=k有3个解,求实数k的取值范围. 17.(15分)某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产,按国际惯例以美元为结算货币,依据以往加工生产的数据统计分析,若加工产品订单的金额为x万美元,可获得的加工费近似为万美元,受美联储货币政策的影响,美元贬值,由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间,收益将因美元贬值而损失mx万美元,其中m(m∈(0,1))为该时段美元的贬值指数,从而实际所得的加工费为f-mx(单位:万美元). (1)若某时期美元贬值指数m=,为确保企业实际所得加工费随x的增加而增加,该企业加工产品订单的金额x应在什么范围内? (2)若该企业加工产品订单的金额为x万美元时,共需要的生产成本为 x万美元,已知该企业加工生产能力为x∈(其中x为产品订单的金额),试问美元的贬值指数m在何范围时,该企业加工生产不会出现亏损. 18.(17分)已知f=ln x+ax-1,其中a∈R. (1)讨论f的单调性; (2)取a=,F=2xf+e-2x-k,其中k∈Z,求最小的k,使F有两个零点. 19.(17分)已知函数f(x)=. (1)求函数f(x)的图象在x=e(e为自然对数的底数)处的切线方程. (2)若对任意的x∈D,均有m(x)≤n(x),则称m(x)为n(x)在区间D上的下界函数,n(x)为m(x)在区间D上的上界函数. ①若g(x)=,求证:g(x)为f(x)在(0,+∞)上的上界函数; ②若g(x)=,g(x)为f(x)在[1,+∞)上的下界函数,求实数k的取值范围. 参考答案 1.A　2.B　3.B 4.C　解析(sin )'=cos , (-sin )'=-cos , (sin +1)'=cos =cos , (-sin +1)'=-cos =-cos .故选C. 5.B　解析小盒子的容积为V=x(8-2x)(5-2x)=4x3-26x2+40x(0<x<), 则V'=12x2-52x+40,令V'=0,解得x=1或x=(舍). 当0<x<1时,V'>0,当1<x<时,V'<0,所以函数V=4x3-26x2+40x在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减, 所以当x=1时,V取得极大值也是最大值,无极小值,故B正确. 6.B　解析由题意,得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(1)=-2,f'(1)=0,f'(x)=,所以b=-2,a-b=0,即a=-2,b=-2,所以f'(x)=-. 因此函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,当x=1时取最大值,满足题意,即有f'(2)=-1+=-. 7.A　解析由f2(x)=的定义域为(0,+∞)可知,图②为f2(x);由f3(-x)==-=-f3(x)可知,f3(x)为奇函数,图③为f3(x);f4(-x)==f4(x)可知,f4(x)为偶函数,图④为f4(x),所以图①为f1(x).故选A. 8.C　解析令f(x)=e|x-2|-x,则函数f(x)的图象在R上连续. 当x≤2时,f(x)=e2-x-x,则f'(x)=-e2-x-1<0,故函数f(x)在(-∞,2]上单调递减. 因为f(1)=e-1>0,f(2)=1-2<0,故x1∈(1,2); 当x>2时,f(x)=ex-2-x,则f'(x)=ex-2-1>0,故函数f(x)在(2,+∞)上单调递增. 因为f(3)=e-3<0,f(4)=e2-4>0,故x2∈(3,4). 9.ACD　解析由题意,知f(x)=-1+ln x(x>0),故f'(x)=-. 故f(x)在x=1处的切线的斜率为f'(1)=0,而f(1)=1-1+ln 1=0, 故f(x)在x=1处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0, 所以f(x)在x=1处的切线为x轴,A正确; 当0<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0, 故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,B错误; 由此可得x=1为f(x)的极小值点,C正确; 由于在(0,+∞)上f(x)只有一个极小值点,故函数的极小值也为函数的最小值,最小值为f(1)=0,D正确. 10.AD　解析对于A,f'(x)=cos x+sin x,f″(x)=-sin x+cos x=-sin(x-),当x∈(0,)时,-<x-<0,f″(x)>0,故f(x)=sin x-cos x不是凸函数;对于B,f'(x)=-2,f'(x)=-,对任意的x∈(0,),f″(x)<0,故f(x)=ln x-2x是凸函数;对于C,f'(x)=-3x2+2,f'(x)=-6x,对任意的x∈(0,),f″(x)<0,故f(x)=-x3+2x-1是凸函数;对于D,f'(x)=(x+1)ex,f″(x)=(x+2)ex,对任意的x∈(0,),f″(x)>0,故f(x)=xex不是凸函数.故选AD. 11.ACD　解析f(x)=的定义域为(0,+∞),所以f'(x)=.对于A,令f'(x)=0,解得x=.当0<x<时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,)上单调递增,当x>时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(,+∞)上单调递减,所以函数在x=处取得极大值也是最大值,且f()=,故A正确. 对于B,当0<x<1时,f(x)<0,f(1)=0,f(x)max=f()=>0,当x>1时,f(x)>0,如图,函数f(x)有且只有一个零点,故B错误. 对于C,因为当x>时,f(x)为单调递减函数,所以f()<f().因为f()==f(2)<f(),所以f()<f()<f(),故C正确.对于D,因为f(x)<k-,即k>f(x)+,在(0,+∞)上恒成立,所以k>. 设g(x)=,定义域为(0,+∞),则g'(x)=. 令g'(x)=0,解得x=,所以x∈(0,)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,x∈(,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g()=,故k>,故D正确. 故选ACD. 12.1 13.[1,+∞)　解析由题意,得f'(x)=-sin x+ax. 令g(x)=f'(x)=-sin x+ax,则g'(x)=-cos x+a. 当a≥1时,g'(x)=-cos x+a≥0,故g(x)单调递增. 又g(0)=-sin 0+0=0,故当x>0时,g(x)>0,当x<0时,g(x)<0. 故f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, 故x=0是函数f(x)唯一的极小值点,符合题意. 当a<1时,g'(0)=-cos 0+a=-1+a<0, 故一定存在m>0,使g(x)在(0,m)上单调递减, 此时x=0不是函数f(x)的极小值点,故a<1时不符合题意. 综上所述,a的取值范围为[1,+∞). 14.(2e-4,+∞)　解析根据题意可知g(x)在区间D上为“M函数”,则有2g(x)min>g(x)max且g(x)min>0.因为f(x)在区间[,e]上为“M函数”,所以2f(x)min>f(x)max且f(x)min>0.因为f(x)=-ln x+k=1--ln x+k(≤x≤e),所以f'(x)=.令f'(x)<0,得1<x≤e;令f'(x)>0,得≤x<1.所以f(x)在[,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减,则f(x)max=f(1)=k.又f()=1-e-ln +k=2+k-e,f(e)=1--ln e+k=k-,则f()-f(e)=2-e+<2-e+<0,即f()<f(e),所以f(x)min=f()=2+k-e,所以解得k>2e-4,所以实数k的取值范围为(2e-4,+∞). 15.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),求导得f'(x)=a+.因为函数f(x)的图象在点(,f())处的切线的斜率为1,所以f'()=1,解得a=1,所以a的值是1. (2)由(1),得f(x)=x--3ln x,f'(x)=,由f'(x)=0,得x=2或x=1.因为x∈[,3],所以当<x<2时,f'(x)<0,当2<x<3时,f'(x)>0,因此函数f(x)在[,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,所以f(x)min=f(2)=1-3ln 2,所以函数f(x)在[,3]上的最小值为1-3ln 2. 16.解(1)由题意,得f'(x)=3ax2-b,所以 解得 ∴f(x)=x3-8x+4,经验证,函数f(x)=x3-8x+4在x=2处有极值-, 故所求解析式为f(x)=x3-8x+4. (2)令h(x)=f(x)-k. 由(1),得h(x)=x3-8x+4-k,则h'(x)=2x2-8=2(x-2)(x+2). 令h'(x)=0,得x1=2,x2=-2, 当x<-2时,h'(x)>0,当-2<x<2时,h'(x)<0,当x>2时,h'(x)>0,因此,当x=-2时,h(x)有极大值-k, 当x=2时,h(x)有极小值--k. 关于x的方程f(x)=k有3个解,等价于函数h(x)有三个零点, 所以 ∴-<k<. 故实数k的取值范围是(-). 17.解(1)由已知m=,得f(x)=ln(2x+1)-(x>0),所以f'(x)=.令f'(x)≥0,即199-2x≥0,解得0<x≤99.5,即加工产品订单金额x∈(0,99.5](单位:万美元)时,该企业的加工费随x的增加而增加. (2)依题意,企业加工生产不出现亏损,则当x∈[10,20]时,都有ln(2x+1)-mx≥x,即+m≤. 令g(x)=,x∈[10,20],则g'(x)==. 令h(x)=2x-(2x+1)ln(2x+1),则h'(x)=2-[2ln(2x+1)+(2x+1)·]=-2ln(2x+1)<0,可知h(x)在[10,20]上单调递减,从而h(20)≤h(x)≤h(10). 又h(10)=20-21ln 21<21(1-ln 21)<0,所以当x∈[10,20]时,g(x)在[10,20]上单调递减,因此,g(x)min=g(20)=,即m≤. 故当美元的贬值指数m∈(0,]时,该企业加工生产不会亏损. 18.解(1)因为f(x)=ln x+ax-1,定义域为(0,+∞),所以f'(x)=+a.①当a≥0时,f'(x)=+a>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增.②当a<0时,令f'(x)=0,得x=-.则当0<x<-时,f'(x)>0,所以f(x)单调递增;当x>-时,f'(x)<0,所以f(x)单调递减. (2)当a=时,F(x)=2x(ln x+x-1)+e-2x-k=2xln x+3x2-2x+e-2x-k,则F'(x)=2ln x+6x-2e-2x=2(ln x+3x-).设g(x)=ln x+3x-,则g'(x)=+3+>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增.又因为g()=-ln 2+>0,g(e-2)=-2+<0,所以存在t∈(e-2,),使得g(t)=0,即ln t+3t-e-2t=0,化简得ln t+t=-2t+e-2t,解得ln t=-2t,t=e-2t.当0<x<t时,g(x)<0,即F'(x)<0,则F(x)单调递减;当x>t时,g(x)>0,即F'(x)>0,则F(x)单调递增.要使F(x)有两个零点,则必要条件为F(t)<0,即2tln t+3t2-2t+e-2t-k<0,即k>-t2-t.因为k∈Z,所以k的最小值为0.现证当k=0时,F(x)有两个零点.因为F(t)<0,F(1)=1+e-2>0,F(e-2)=-6e-2+3e-4+>0,所以存在x1∈(e-2,t),x2∈(t,1),满足F(x1)=F(x2)=0,即此时F(x)有两个零点. 综上所述,k的最小值为0. 19.(1)解因为f(x)=,所以f'(x)==-, 所以函数y=f(x)的图象在x=e处的切线斜率k=-. 又因为f(e)=,所以函数y=f(x)的图象在x=e处的切线方程为y=-x+. (2)①证明由题意,得函数y=f(x)的定义域为(0,+∞). 令f'(x)=0,得x=1. 所以当0<x<1时,f'(x)>0; 当x>1时,f'(x)<0. 故函数y=f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 所以f(x)max=f(1)=1. 因为g(x)=, 所以g'(x)=, 故当x>0时,g'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以y=g(x)在(0,+∞)上单调递增, 从而g(x)>g(0)=1,所以g(x)-f(x)≥0,即g(x)≥f(x), 所以函数y=g(x)为y=f(x)在(0,+∞)上的上界函数. ②解因为函数y=g(x)为y=f(x)在[1,+∞)上的下界函数, 所以g(x)≤f(x),即. 因为x∈[1,+∞),所以x+1>0, 故k≤+1. 令h(x)=+1,x≥1,则h'(x)=. 设v(x)=x-ln x,x≥1, 则v'(x)=1-, 所以当x≥1时,v'(x)≥0,从而函数y=v(x)在[1,+∞)上单调递增, 所以v(x)≥v(1)=1, 故h'(x)>0在[1,+∞)上恒成立,所以函数y=h(x)在[1,+∞)上单调递增, 从而h(x)≥h(1)=2. 因为g(x)≤f(x)在[1,+∞)上恒成立,所以k≤h(x)在[1,+∞)上恒成立, 故k≤2,即实数k的取值范围为(-∞,2]. 7 学科网（北京）股份有限公司 $