第08讲 实数及其简单运算（4个知识点+9大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版七年级下册数学寒假衔接讲义

第08讲 实数及其简单运算（4个知识点+9大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 无理数的大小估算 题型二 无理数整数部分的有关计算 题型三 实数的分类 题型四 实数与数轴 题型五 实数的大小比较 题型六 实数的混合运算 题型七 新定义下的实数运算 题型八 实数运算的实际应用 题型九 与实数运算相关的规律题 知识点一：无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·福建漳州·月考）下列四个数是无理数的是（   ） A． B． C．0.1313 D． 2．（24-25七年级下·云南普洱·期末）下列四个数：，，，．其中是无理数的是 ． 知识点二：实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）实数的绝对值是（） A． B．2025 C． D．±2025 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数填到相应的横线上（只填编号即可）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 整数：______； 分数：______； 无理数：______． 知识点三：实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，表示的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（2025·河北秦皇岛·一模）如图．数轴上点A、B分别表示，点C在线段AB上，且点C表示无理数，则点C表示的数可以是 （写出一个满足条件的数即可）． 知识点四：比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列四个数：2，，，，其中最小的数是（    ） A．2 B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东青岛·月考）比较大小：3 （填写“”或“”）． 【核心考点一 无理数的大小估算】 【例1】（25-26八年级上·重庆·期中）估算的结果在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知，其中是整数，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3】（25-26八年级上·北京通州·期末）写出一个比大，比小的有理数 ． 【例4】（24-25七年级下·广西南宁·期中）对于任意实数a，我们用表示不大于a的最大整数，则，如：，，，请根据以上信息， ． 【核心考点二 无理数整数部分的有关计算】 【例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）是的小数部分，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（24-25七年级下·四川德阳·月考）设的小数部分为b，那么b的值是（    ） A． B． C． D．无法确定 【例3】（25-26八年级上·陕西西安·月考）若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【例4】（24-25七年级上·山东泰安·期末）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为 ． 【核心考点三 实数的分类】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列实数中的无理数是（   ） A． B． C．0 D． 【例2】（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）下列计算结果是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·河南商丘·期末）在下列说法中： ①无理数都是开方开不尽的数；②无理数都是实数； ③两个无理数的和仍是无理数；④循环小数是有理数； 错误的序号是 ． 【例4】（24-25七年级上·江苏徐州·期中）在7，0，，，，，，π中，无理数有x个，有理数有y个，则 ． 【核心考点四 实数与数轴】 【例1】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，数轴上表示1、的对应点分别为点、，点关于点对称后的点为，则点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例3】（25-26七年级上·江苏·月考）如果数轴上点A表示，则A点与原点距离为 ． 【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，把半径为的圆放到数轴上，圆上一点与原点重合，将圆沿着数轴滚动一周，此时点与点重合，则点表示的数为 ． 【核心考点五 实数的大小比较】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）在，，0，这四个数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D． 【例2】（24-25七年级下·广西梧州·期末）如图，在数轴上手掌处表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）将下列各数、、用“”连接： ． 【例4】（25-26八年级上·山东青岛·期中）我国东汉时期数学家张衡首先推导出圆周率的近似值为，到南北朝时期，数学家祖冲之又给出圆周率分数形式的近似值为，试判断这两个数的大小关系： ．（填“”或“”） 【核心考点六 实数的混合运算】 【例1】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【例2】（24-25七年级下·湖南永州·期中）实数，在数轴上的位置如图，则化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·西藏日喀则·期中）计算： ． 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）嘉淇做一个数学游戏，给，，添加运算符号使结果等于4，下图为嘉淇所给方法，如果给一种正确的方法得25分，则嘉淇的得分为 ． ①； ②； ③； ④． 【核心考点七 新定义下的实数运算】 【例1】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·月考）如定义运算“□”的运算法则为：，则的值为（　　） A．4 B．6 C． D． 【例2】 （2025·黑龙江哈尔滨·一模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．如果我们规定一个新数“i”使它满足（即有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立．于是有：，，，，…，那么（    ） A．i B． C．1 D． 【例3】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是 【例4】 （25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）对于实数、，定义一种运算：．例如，则求的值为 ． 【核心考点八 实数运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河南周口·月考）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求 ． 【例4】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 【核心考点九 与实数运算相关的规律题】 【例1】（24-25八年级上·河南洛阳·月考）观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）有一列数按如下规律排列：则第2017个数是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·湖南株洲·月考）观察下列各式：，，…，请你根据以上式子的规律，写出第n个式子： ． 【例4】（24-25七年级下·四川成都·期末）定义：如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．因为，，，……，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8……，按此规律，则第10个“智慧数”是 ，第2022个智慧数是 ． 【变式训练1 无理数的大小估算】 1．（24-25七年级下·福建厦门·期末）因为，，，所以，若是正整数，，则与实数最接近的整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·湖北武汉·自主招生）数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”．他们可用“调日法”得到：称大于的近似值为强率，小于的近似值为弱率，由为初始弱率，4为初始强率，得，故为强率，与上一次的弱率计算得，故为强率，继续计算，若某次得到的近似率为强率，与上一次得弱率计算得到新的近似值，若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，以此类推，已知，则 ； ． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 4．（24-25七年级下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得________． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程________，解得_______（保留到0.001），即______． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏的做法，现有8个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【变式训练2 无理数整数部分的有关计算】 1．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．因为的整数部分是．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，故的整数部分为，小数部分为．已知的小数部分为，的小数部分为，则的值为（  ） A．1 B．0 C． D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．则的值为 ． 3．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 4．（25-26八年级上·山西晋中·月考）下面是数学活动课上老师演示的内容，请仔细阅读，并完成相应的任务． 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 因为， 所以的整数部分为2，小数部分为． 请根据老师演示的方法解决下列问题： (1)的整数部分为___________，小数部分为___________． (2)记的小数部分为，记的小数部分为，则___________． (3)记的整数部分为，小数部分为，求的值． 【变式训练3 实数的分类】 1．（2025·山西吕梁·模拟预测）公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指（    ） A．有理数 B．无理数 C．质数 D．实数 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，（相邻两个之间的逐次加），，，，． （1）整数集合：{ }； （2）正分数集合：{ }； （3）负有理数集合：{ }； （4）无理数集合：{ }； （5）非负整数集合：{ }． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·月考）把下列各数填在相应的括号内． （每两个1之间逐次增加1个0） ①正数集合{……} ②整数集合{……} ③负分数集合{……} ④无理数集合{……} 4．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 【变式训练4 实数与数轴】 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列关于无理数的表述错误的个数是（   ） （）有理数与无理数的和一定是无理数； （）无理数与无理数的积一定是无理数； （）如图，以单位长度为直径的圆从原点开始．沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点对应的数是无理数； （）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交点表示的数均是无理数． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为 ． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，一个直径为4的圆从原点处沿数轴向左滚动一周，无滑动，圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)求的值． (2)求的算术平方根． (3)若在数轴上有一点，点表示的数为，且的值为，在（1）的情况下，求点与点之间的距离． 4．（24-25七年级下·河南信阳·期末）①如图1，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，边长为______；这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______ ②由此我们得到一种在数轴上表示无理数的方法，则图2中A，B两点表示的数分别为______；______． ③爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出正方形．如图3，将两个长和宽分别为c和b的长方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，请用②中相同的方法在数轴上找到表示的点P．（作图过程中标出必要的线段长）． 【变式训练5 实数的大小比较】 1．（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形、图2是以原点为圆心、以的长方形的对角线OA长为半径画弧，与数轴相交于点B．若点B表示的数为m，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）下列关于a，b的结论： ①，；②，b的立方根等于2； ③某正实数b的两个不同平方根分别是和； ④a是的整数部分，b是不超过的最大整数． 其中满足的结论是 （填写序号） 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)与－3.4． (2)与． 4．（24-25七年级下·安徽·月考）观察下列等式，并回答下列问题： ①； ②； ③； ④； (1)请写出第⑤个等式：_______；计算_______． (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）． (3)比较与1的大小． 【变式训练6 实数的混合运算】 1．（24-25八年级上·四川眉山·月考）将，，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）如图，正方形边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，画出了如图所示的四叶幸运草，则四叶幸运草的周长是 ．（不含正方形边长） 3．（2025七年级下·广东东莞·模拟预测）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 4．（25-26七年级上·浙江金华·期中）在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答问题： (1)如果的小数部分为的整数部分为b，求的值； (2)已知：，其中x是整数，且，求的值． 【变式训练7 新定义下的实数运算】 1．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，（为正整数）．例：，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江西吉安·月考）定义新运算：对于任意实数、，都有，比如，数字和在该新运算下的结果为，计算过程如下：，则的值为 ． 3．（25-26七年级上·重庆巴南·期中）在学习完《有理数》后，小辉对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下： （、为有理数且） (1)若是绝对值最小的有理数，是最大的负整数，求的值； (2)已知满足，求的值． 4．（25-26七年级上·浙江温州·期中）对于任何有理数，我们用表示不超过的最大整数，如：，意思是不超过的最大整数是1．现对进行如下操作：取的五分之一，再取不超过它的最大整数，重复进行操作．进行次操作之后开始变为固定值，其操作过程如下：． (1)计算：________；________． (2)已知整数68，先取其四分之一，再取不超过它的最大整数，如此操作重复多少次后开始变为固定值？其固定值是多少？写出你的操作过程． (3)已知整数进行次“取其三分之一，再取不超过它的最大整数”的操作后开始变为固定值，且能被整除，写出所有符合条件的的值． 【变式训练8 实数运算的实际应用】 1．（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 3．（24-25七年级下·陕西安康·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【变式训练9 与实数运算相关的规律题】 1．（24-25七年级下·重庆·开学考试）已知恒等式，其中为正整数，下列说法： ①； ②当时，； ③当为奇数时，； ④当为偶数时，． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）已知，，，，，……（即当为大于1的偶数时，；当为大于1的奇数时，），按此规律，计算： ， ． 3．（24-25七年级上·吉林长春·期中）若a是不为1的有理数，我们把称为a的伴随数．比如：2的伴随数是． (1)求的伴随数． (2)若，是的伴随数，是的伴随数，…以此类推， 则______，______，______． (3)若，是的伴随数，是的伴随数，…以此类推，则______． 4．（25-26八年级上·河北保定·月考）先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 1．（2025七年级下·湖南·专题练习）下列各数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川广元·月考）若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值为（    ） A．2021 B．2020 C．4041 D．1 3．（24-25七年级下·北京·期中）如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25七年级上·河南商丘·月考）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2023次输出的结果是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 5．（24-25七年级下·重庆巴南·期中）我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用． 表示距离（为正整数）最近的正整数例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论： ； 时，的值有个； ； ； 当时，的值为． 以上结论中正确的结论有个（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·广东中山·期中）式子值的整数部分是 ． 7．（24-25七年级下·四川宜宾·期中）比较大小：① ；② （填“”，“”，“”号）． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）有四个实数分别是，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为 ． 9．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）对于任意两个实数a，b，定义一种新运算“”，规定．如，那么 ，的最小值为 ． 10．（24-25七年级上·湖北孝感·月考）在求的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的2倍， 于是他设：①然后在①式的两边都乘以2，得：②；②﹣①得，，即．则 的值为 ． 11．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）计算： (1)； (2)． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明． (1)已知两个实数a，b，则． (2)两个无理数的和一定是无理数． 13．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，这条边的另一个端点分别为数轴上的点和点． (1)点表示的数为_____，点表示的数为_____，线段的长度为_____； (2)一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，设点表示的数为． ①实数的值为_____； ②若是的相反数，，求的值． 14．（24-25七年级上·湖南长沙·月考）阅读材料： 求：， 解：设…① 将等式①两边同时乘2，得： …② 得： 即 请你根据以上材料，解答： (1)计算：； (2)已知数列：，，，，，…． ①它的第100个数是多少？ ②求这列数中前100个数的和． 15．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）【阅读理解】 【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题： 如果，其中a是整数，且，那么，． 【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值． 解：， ． 且，解得：，． 请解答： (1)如果，其中m是整数，且，那么 ， ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的立方根； (3)已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 实数及其简单运算（4个知识点+9大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 无理数的大小估算 题型二 无理数整数部分的有关计算 题型三 实数的分类 题型四 实数与数轴 题型五 实数的大小比较 题型六 实数的混合运算 题型七 新定义下的实数运算 题型八 实数运算的实际应用 题型九 与实数运算相关的规律题 知识点一：无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·福建漳州·月考）下列四个数是无理数的是（   ） A． B． C．0.1313 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的概念，掌握无理数的概念是解题关键． 无理数是无限不循环小数，根据概念逐项判断即可． 【详解】解：A：，为整数； B：选项中含π，π为无理数，故该选项为无理数； C：0.1313为有限小数，为有理数； D：为分数，为有理数， 故选：B． 2．（24-25七年级下·云南普洱·期末）下列四个数：，，，．其中是无理数的是 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的识别，熟记无理数定义是解决问题的关键． 根据无理数的定义（无限不循环小数）判断各数即可得到答案． 【详解】解：，，，，这四个数中是无理数的是， 故答案为：． 知识点二：实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）实数的绝对值是（） A． B．2025 C． D．±2025 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质；绝对值的定义是数轴上的点到原点的距离，总是非负．对于负数，其绝对值是它的相反数． 【详解】解：． 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数填到相应的横线上（只填编号即可）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 整数：______； 分数：______； 无理数：______． 【答案】①④⑧；③⑤⑥；②⑦ 【分析】此题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答此题的关键．根据“正整数、负整数和0统称为整数；无限不循环的小数是无理数”进行分类． 【详解】解：整数：，，； 分数：，，； 无理数：，； 故答案为：①④⑧；③⑤⑥；②⑦． 知识点三：实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，表示的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出的范围，再确定点的位置即可选择． 【详解】解：， 数轴上的A，B，C，D四个点中，只有A符合， 故选：A． 2．（2025·河北秦皇岛·一模）如图．数轴上点A、B分别表示，点C在线段AB上，且点C表示无理数，则点C表示的数可以是 （写出一个满足条件的数即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查实数与数轴，根据无理数的估算方法得到在和之间的整数的范围，据此确定无理数即可，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：设点C表示的数为c， 根据数轴可知：， ∵点C表示无理数， ∴可以是， 故答案为：（答案不唯一） 知识点四：比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列四个数：2，，，，其中最小的数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 根据负数小于正数,比较负数即可. 【详解】解：， 最小的数是： 故选：B 2．（25-26八年级上·山东青岛·月考）比较大小：3 （填写“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【核心考点一 无理数的大小估算】 【例1】（25-26八年级上·重庆·期中）估算的结果在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．先估算，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 即估算的结果在8和9之间． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知，其中是整数，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算；是无理数，被开方数是13，在13的前后找到能能开平方的数即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：B. 【例3】（25-26八年级上·北京通州·期末）写出一个比大，比小的有理数 ． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数的大小估算，通过估算和的近似值，选择一个介于两者之间的有理数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴2符合题意， 故答案为：2． 【例4】（24-25七年级下·广西南宁·期中）对于任意实数a，我们用表示不大于a的最大整数，则，如：，，，请根据以上信息， ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算． 根据最大整数的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 【核心考点二 无理数整数部分的有关计算】 【例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）是的小数部分，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，先确定的整数部分，再根据小数部分的定义求解． 【详解】解：∵，，， ∴的整数部分为3， ∴， ∴． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·四川德阳·月考）设的小数部分为b，那么b的值是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小．根据算术平方根的定义得到，即可求出b的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为， 故选：B． 【例3】（25-26八年级上·陕西西安·月考）若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了对无理数整数部分和小数部分概念的理解与求解．解决本题的关键在于找到与根号下数字相邻的两个完全平方数． 通过比较平方数确定的整数范围，从而得出整数部分和小数部分． 【详解】解：∵，所以， ∴的整数部分，小数部分． 故答案为：，． 【例4】（24-25七年级上·山东泰安·期末）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求无理数的整数部分以及小数部分，先模仿题干的过程，得出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴是的小数部分， 故答案为：． 【核心考点三 实数的分类】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列实数中的无理数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类． 根据有理数和无理数的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合题意； B．是分数，属于有理数，不符合题意； C．0是整数，属于有理数，不符合题意； D．无法表示为整数或分数，因此是无理数，符合题意． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）下列计算结果是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类，熟知有理数是有限小数或无线循环小数是解题的关键． 根据有理数和无理数的定义，只有选项A是有理数，其他选项均为无理数． 【详解】A、是有理数，故A符合题意； B、是无理数，故B不符合题意； C、是无理数，故C不符合题意； D、是无理数，故D不符合题意． 故选：A． 【例3】（24-25七年级下·河南商丘·期末）在下列说法中： ①无理数都是开方开不尽的数；②无理数都是实数； ③两个无理数的和仍是无理数；④循环小数是有理数； 错误的序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查实数、有理数、无理数，根据实数的分类逐项判断即可． 【详解】解：无理数包括开方开不尽的数、无限不循环小数、含的数等，故①错误； 实数包括无理数、有理数，因此无理数都是实数，故②正确； 两个无理数的和不一定是无理数，如，故③错误； 循环小数是有理数，故④正确； 综上可知，错误的序号是①③， 故答案为：①③． 【例4】（24-25七年级上·江苏徐州·期中）在7，0，，，，，，π中，无理数有x个，有理数有y个，则 ． 【答案】36 【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，理解定义是解题的关键，有理数是指有限小数和无限循环小数，无理数是指无限不循环小数．根据定义判定即可． 【详解】解：7，0，，，，是有理数， ，π是无理数， 故， ． 故答案为：36． 【核心考点四 实数与数轴】 【例1】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，数轴上表示1、的对应点分别为点、，点关于点对称后的点为，则点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握实数与数轴是解题的关键；由题意易得点A、B之间的距离为，然后根据对称可知点A、C之间的距离也为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：点A、B之间的距离为， 由点关于点对称后的点为，可知：点A、C之间的距离也为， ∴点所表示的数是； 故选D． 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算及实数与数轴，熟练掌握无理数的估算及实数与数轴是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：因为，所以， 所以根据数轴可知只有B选项符合题意； 故选B． 【例3】（25-26七年级上·江苏·月考）如果数轴上点A表示，则A点与原点距离为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查学生对数轴上的点的认识，把握点到原点的距离是解题的关键． 先估计的大小，再求A到原点的距离． 【详解】因为，， 所以A点与原点距离为， 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，把半径为的圆放到数轴上，圆上一点与原点重合，将圆沿着数轴滚动一周，此时点与点重合，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和圆的周长，关键理解沿着数轴正方向数值增大，根据圆在数轴上沿着数轴正方向滚动一周，因此，到达的值为． 【详解】解：根据题意可知，点所对数值为， 到的距离是直径为的圆周长， 对应的数值为． 故答案为：． 【核心考点五 实数的大小比较】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）在，，0，这四个数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小）比较即可． 【详解】解：， ， ， 最小的数是， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·广西梧州·期末）如图，在数轴上手掌处表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴的对应关系以及无理数的估算，解题的关键是估算出各选项中无理数的取值范围，并结合数轴判断． 先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上手掌遮挡点的位置判断该点表示的数的范围，最后对比得出答案． 【详解】解：根据题意得：在数轴上手掌处表示的数大于和小于， ∵， ∴，故C，D选项不符合题意； ∴，故A选项不符合题意；B选项符合题意； 故选：B． 【例3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）将下列各数、、用“”连接： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据实数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： 【例4】（25-26八年级上·山东青岛·期中）我国东汉时期数学家张衡首先推导出圆周率的近似值为，到南北朝时期，数学家祖冲之又给出圆周率分数形式的近似值为，试判断这两个数的大小关系： ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小关系，通过比较两个数的平方值来判断大小关系即可． 【详解】解：∵，， 又∵，， ∴ ， 故． 故答案为： 【核心考点六 实数的混合运算】 【例1】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】此题考查实数的混合运算，掌握规定的运算方法是解决问题的关键．根据给出的运算方法把式子转化为实数的混合运算，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 【例2】（24-25七年级下·湖南永州·期中）实数，在数轴上的位置如图，则化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可得，则，据此计算算术平方根和绝对值，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴， 故选：A． 【例3】（25-26八年级上·西藏日喀则·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的运算，先进行乘方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）嘉淇做一个数学游戏，给，，添加运算符号使结果等于4，下图为嘉淇所给方法，如果给一种正确的方法得25分，则嘉淇的得分为 ． ①； ②； ③； ④． 【答案】100分 【分析】本题考查了实数的混合运算，分别计算各个选项中的算式，判断其结果是否为，再结合给一种正确的方法得25分，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：①，故①正确； ②，故②正确； ③，故③正确； ④，故④正确； 嘉淇的得分为（分）， 故答案为：分． 【核心考点七 新定义下的实数运算】 【例1】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·月考）如定义运算“□”的运算法则为：，则的值为（　　） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根是解题的关键；由题意先得出，然后再根据新定义运算进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 【例2】 （2025·黑龙江哈尔滨·一模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．如果我们规定一个新数“i”使它满足（即有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立．于是有：，，，，…，那么（    ） A．i B． C．1 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了新定义下的实数运算和数字类的规律探索，正确得出数字变化规律是解题关键． 根据所给的新定义找到规律即可得到答案． 【详解】解：，，，，，， ∴可以发现每 4 个运算为一个循环，结果为循环出现， ， ， 故选：A． 【例3】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、实数的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据新运算的定义进行计算即可． 【详解】解：由定义，， 代入 ，，得： ． 故答案为：10． 【例4】 （25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）对于实数、，定义一种运算：．例如，则求的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了新定义，理解新定义是解答本题的关键． 根据新定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：5． 【核心考点八 实数运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据选项代入判断即可． 【详解】A．与4，无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； B．，均为有理数，故本选项不符合题意； C．，为有理数，故本选项不符合题意； D．，均为有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·河南周口·月考）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴小美所说的另一个值是． 故选：A． 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求 ． 【答案】或1/1或 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 故答案为：或1． 【例4】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 【核心考点九 与实数运算相关的规律题】 【例1】（24-25八年级上·河南洛阳·月考）观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数、规律题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．探究规律．利用规律即可解决问题． 【详解】解：∵… ∴用含的等式表示为， ∴第2021个等式为． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）有一列数按如下规律排列：则第2017个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，则可得分子、分母的规律及符号的规律，从而可得结果． 【详解】解：，符号两项负一项正循环，而，则第2017项的符号为负；分子是从2开始的连续自然数的算术平方根，即，则第2017项的分子为；分母是以2为底数的乘方，且指数从1开始，且分子的被开方数比分母指数大1，即，则第2017项的分母为，综合得第2017个数是； 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数规律的探索，找到规律是解题的关键． 【例3】（24-25七年级下·湖南株洲·月考）观察下列各式：，，…，请你根据以上式子的规律，写出第n个式子： ． 【答案】 【分析】根据式子中的基本规律，解答即可． 本题考查了二次根式的规律型问题，熟练掌握规律的探索方法是解题的关键． 【详解】解：由， ，…， 故第n个式子为． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·四川成都·期末）定义：如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．因为，，，……，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8……，按此规律，则第10个“智慧数”是 ，第2022个智慧数是 ． 【答案】 16 2699 【分析】观察可知，智慧数按从小到大顺序可按3个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，则第n组的第一个数为4n（n≥2，且n为正整数），用2020除以3可知2020是第674组的第1个数，用4乘以674即可得出答案． 【详解】解：“智慧数”按从小到大顺序构成如下数列： 3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，… ∴第10个“智慧数”是16； 观察可知，智慧数按从小到大顺序可按3个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数， ∴第n组的第一个数为4n（n≥2，且n为正整数）． ∵2022÷3＝674， ∴第2022个智慧数是第674组中的第3个数，即为4×674+3＝2699． 故答案为：16，2699． 【点睛】本题考查规律探索，根据题目中的数据，找出规律是解题的关键． 【变式训练1 无理数的大小估算】 1．（24-25七年级下·福建厦门·期末）因为，，，所以，若是正整数，，则与实数最接近的整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．先求出m的取值范围，即可确定整数m的值，于是可求出整数n的值，再估算实数的取值范围，即可得解． 【详解】解：， ， 即， 为正整数， ， 是正整数， ， ， ， 与最接近的整数是1， 即与实数最接近的整数是1， 故选：A． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·自主招生）数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”．他们可用“调日法”得到：称大于的近似值为强率，小于的近似值为弱率，由为初始弱率，4为初始强率，得，故为强率，与上一次的弱率计算得，故为强率，继续计算，若某次得到的近似率为强率，与上一次得弱率计算得到新的近似值，若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，以此类推，已知，则 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，无理数的大小估算，根据“调日法”的规则依次计算，直到约率，进而求出的值即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵为强率，， ∴，为强率， ∴，为强率， ∴，为强率， ∴，为强率， ∴，为弱率， ∵是弱率，按照规则要与上一次的强率计算， ∴， 故答案为：，． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较． （1）根据“作差法”比较大小即可； （2）根据“作差法”比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得________． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程________，解得_______（保留到0.001），即______． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏的做法，现有8个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【答案】(1)，0.014，1.414 (2)见解析 【分析】本题考查无理数的估算，看懂所给材料是解题的关键． （1）根据图形中大正方形的面积列方程即可； （2）画出分割线，拼出新正方形即可． 【详解】（1）解：由面积公式，可得． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程， 解得（保留到0.001），即． 故答案为：，0.014，1.414； （2）解： 【变式训练2 无理数整数部分的有关计算】 1．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．因为的整数部分是．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，故的整数部分为，小数部分为．已知的小数部分为，的小数部分为，则的值为（  ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据无理数的估算方法分别表示出a和b，再代入计算即可． 【详解】∵，， ∴，， ∴的整数部分为8，的整数部分为1， ∵的小数部分为，的小数部分为， ∴，， ∴． 故选A． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．则的值为 ． 【答案】203 【分析】本题主要考查的是无理数大小的估算，掌握的意义是解题的关键．根据的定义确定其值，进行计算即可． 【详解】解：，，，，，，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握估算的方法是解题的关键； （1）根据夹逼法可得，进而求解； （2）结合（1）题可得，进而可得x、y的值，进而求解． 【详解】（1）解：因为，即， 所以， 所以的整数部分是4，小数部分是； （2）解：因为， 所以， 所以的整数部分，小数部分， 所以． 4．（25-26八年级上·山西晋中·月考）下面是数学活动课上老师演示的内容，请仔细阅读，并完成相应的任务． 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 因为， 所以的整数部分为2，小数部分为． 请根据老师演示的方法解决下列问题： (1)的整数部分为___________，小数部分为___________． (2)记的小数部分为，记的小数部分为，则___________． (3)记的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】(1)3； (2)1 (3)16 【分析】本题考查了算术平方根的整数和小数部分的估算，准确的估算出整数和小数部分是解决本题的关键． （1）估算出的整数和小数部分进而即可得解； （2）估算出的整数和小数部分进而得到a和b的值，代入计算即可得解； （3）估算出的整数和小数部分得到x和y的值，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴的整数部分为1，小数部分为， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴， ∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴， 故答案为：1； （3）解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴ ， ∴的值为16． 【变式训练3 实数的分类】 1．（2025·山西吕梁·模拟预测）公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指（    ） A．有理数 B．无理数 C．质数 D．实数 【答案】B 【分析】根据无理数的概念即可解答． 【详解】解：整数属于有理数，整数的比是分数，属于有理数，故“不能用整数或整数的比表示的数”指的是无理数． 故选：B． 【点睛】此题考查了实数的分类和性质，解题的关键是熟知以下概念：实数包括有理数和无理数，分数和整数属于有理数． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，（相邻两个之间的逐次加），，，，． （1）整数集合：{ }； （2）正分数集合：{ }； （3）负有理数集合：{ }； （4）无理数集合：{ }； （5）非负整数集合：{ }． 【答案】 ，，，， ， ，， ，，，（相邻两个之间的逐次加） ，， 【分析】本题考查实数的分类， （1）根据整数的定义选出即可； （2）根据正数和分数的定义选出即可； （3）根据负数和有理数的定义选出即可； （4）根据无理数的定义选出即可； （5）根据非负整数的定义（即正整数和零）选出即可； 解题的关键是明确实数包括无理数和有理数，无理数包括正无理数和负无理数，有理数包括正有理数，，负有理数． 【详解】解：，，， （1）整数集合：{，，，，，}， 故答案为：，，，，； （2）正分数集合：{，，}， 故答案为：，； （3）负有理数集合：{，，，}， 故答案为：，，； （4）无理数集合：{，，，（相邻两个之间的逐次加），}， 故答案为：，，，（相邻两个之间的逐次加）； （5）非负整数集合：{，，，}， 故答案为：，，． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·月考）把下列各数填在相应的括号内． （每两个1之间逐次增加1个0） ①正数集合{……} ②整数集合{……} ③负分数集合{……} ④无理数集合{……} 【答案】①（每两个1之间逐次增加1个0）； ②；③；④每两个1之间逐次增加1个0） 【分析】本题主要考查的是实数的分类，掌握相关概念是解题的关键；依据实数的分类进行解答即可； 【详解】解：①正数集合{（每两个1之间逐次增加1个0）}； ②整数集合{}； ③负分数集合{}； ④无理数集合{每两个1之间逐次增加1个0）}． 故答案为：①（每两个1之间逐次增加1个0）；②；③；④每两个1之间逐次增加1个0）． 4．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 【答案】，见详解 【分析】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和无理数的分类以及读懂流程图是解答本题的关键． 【详解】解：把代入数值转换器，第一次计算可得，为有理数，进行第二次计算， 把代入数值转换器，第二次计算可得，为无理数， 则输出． 【变式训练4 实数与数轴】 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列关于无理数的表述错误的个数是（   ） （）有理数与无理数的和一定是无理数； （）无理数与无理数的积一定是无理数； （）如图，以单位长度为直径的圆从原点开始．沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点对应的数是无理数； （）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交点表示的数均是无理数． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，根据实数的运算法则、无理数的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）有理数与无理数的和一定是无理数，该选项说法正确； （）无理数与无理数的积一定是无理数，该选项说法错误，比如是有理数； （）如图，以单位长度为直径的圆从原点开始，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点对应的数是无理数，该选项说法正确，表示的数是； （）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交点表示的数均是无理数，该选项说法正确，交点表示的数是和； 综上，表述错误的有个， 故选：． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，根据正方形的面积，求出的长，进而得到的长，根据数轴上两点间的距离，求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为2， ∴， ∴ 又∵点在点的右边， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，一个直径为4的圆从原点处沿数轴向左滚动一周，无滑动，圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)求的值． (2)求的算术平方根． (3)若在数轴上有一点，点表示的数为，且的值为，在（1）的情况下，求点与点之间的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根、立方根以及数轴上两点间距离的计算，熟练运用相关公式和法则是解答本题的关键． （1）利用圆的周长公式求出圆滚动一周的长度，结合滚动方向确定的值； （2）将的值代入式子，依次进行立方根运算、实数运算和算术平方根运算； （3）根据数轴上两点间距离公式，结合和的值计算两点间距离． 【详解】（1）圆的直径为， 圆的周长， 又点在原点的左侧， ． （2）， ， 的算术平方根为， 的算术平方根为2． （3）， 由数轴上两点间的距离公式得：， 点与点之间的距离为． 4．（24-25七年级下·河南信阳·期末）①如图1，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，边长为______；这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______ ②由此我们得到一种在数轴上表示无理数的方法，则图2中A，B两点表示的数分别为______；______． ③爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出正方形．如图3，将两个长和宽分别为c和b的长方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，请用②中相同的方法在数轴上找到表示的点P．（作图过程中标出必要的线段长）． 【答案】①，，；②，；③见详解 【分析】本题考查了实数与数轴，用数形结合的思想是解此题的关键． 根据大正方形的面积个小正方形的面积和，解答即可； 结合①可知题图2中小正方形的对角线长为，从而可得，，结合数轴即可得解； ③由题意可得，大正方形的面积为，故大正方形的边长为，即长方形的对角线为，由此结合数轴画图即可． 【详解】解：①由题意可得：所得到的大正方形的面积为；边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为； 结合①可知题图2中小正方形的对角线长为， ∴，， ∴图2中A，B两点表示的数分别为，； ③由题意可得，当时， 图3中得出的小正方形的边长为， 大正方形的面积为， 故大正方形的边长为，即长方形的对角线为， 在数轴上表示，如图所示，点表示的数为． 【变式训练5 实数的大小比较】 1．（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形、图2是以原点为圆心、以的长方形的对角线OA长为半径画弧，与数轴相交于点B．若点B表示的数为m，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴的关系，解决此题的关键是充分理解大正方形的面积等于两个长方形的面积和小正方形面积的和；根据题意大正方形的面积为5，根据正方形面积求出边长,再与比较大小即可得到答案． 【详解】解：由题和图可知；大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为：， ∵点B在原点的左侧， ∴点B表示的数为． 又∵， ∴， ∴．即 故选：B． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）下列关于a，b的结论： ①，；②，b的立方根等于2； ③某正实数b的两个不同平方根分别是和； ④a是的整数部分，b是不超过的最大整数． 其中满足的结论是 （填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解答本题的关键．用作差法可判断①；根据算术平方根和立方根的意义求出a，b的值可判断②；根据平方根的意义可判断③；利用无理数的估算可判断④． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴； ②∵，b的立方根等于2， ∴，， ∴， ∴； ③∵某正实数b的两个不同平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ④∵， ∴ ∵a是的整数部分， ∴． ∵， ∴， ∵b是不超过的最大整数， ∴， ∴． ∴满足的结论是①③④， 故答案为：①③④ 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)与－3.4． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键； （1）根据“正数大的反而小”进行比较两个负数的大小； （2）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵， ． （2）解：∵，且， ， ， ． 4．（24-25七年级下·安徽·月考）观察下列等式，并回答下列问题： ①； ②； ③； ④； (1)请写出第⑤个等式：_______；计算_______． (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）． (3)比较与1的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果； （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为； （3）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：， ， 故答案为：；． （2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为， 故答案为：． （3）解：∵， ∴． 【变式训练6 实数的混合运算】 1．（24-25八年级上·四川眉山·月考）将，，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，实数的运算，由题意可得，每三个数一循环，即以，，为一个循环节，求出表示的数为，表示的数正好是1，即可得解． 【详解】解：由题意可得，每三个数一循环，即以，，为一个循环节， 在数列中是第个，，故表示的数正好是第10轮的最后一个，为， 在数列中是第个，，故表示的数正好是1， ∴与表示的两个数的积是， 故选：B． 2．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）如图，正方形边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，画出了如图所示的四叶幸运草，则四叶幸运草的周长是 ．（不含正方形边长） 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长计算，四叶幸运草的周长为个半圆的弧长个圆的周长，由圆的周长公式即可得出结果，由题意得出四叶幸运草的周长个圆的周长是解题的关键． 【详解】解：由题意得，四叶幸运草的周长为个半圆的弧长个圆的周长， ∴四叶幸运草的周长， 故答案为：． 3．（2025七年级下·广东东莞·模拟预测）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)3 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先分别计算各项后，再进行加减运算即可． （2）原式先计算乘法和化简绝对值，再合并即可； （3）原式先化简算术平方根、立方根和乘方计算后，再进行加减运算即可； （4）原式先分别计算各项后，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（25-26七年级上·浙江金华·期中）在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答问题： (1)如果的小数部分为的整数部分为b，求的值； (2)已知：，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1) 1 (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是正确解答的关键． （1）估算无理数、的大小，确定、的值，再代入计算即可； （2）估算的大小，进而得出的大小，确定、的值，再代入计算即可． 【详解】（1），， 的小数部分，的整数部分， ， 答：的值为1； （2）， ， 又，其中是整数，且， ，， ． 【变式训练7 新定义下的实数运算】 1．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，（为正整数）．例：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算以及求代数式的值．正确理解新定义是解题的关键． 根据新定义分别计算和的值，再求和，然后与各选项比较. 【详解】解：∵， ∴， A选项，， B选项，， C选项，， D选项，， 故选D． 2．（25-26八年级上·江西吉安·月考）定义新运算：对于任意实数、，都有，比如，数字和在该新运算下的结果为，计算过程如下：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，根据新运算的定义可得， 由于 ，故 ，再进行计算. 【详解】解： ． 故答案为：. 3．（25-26七年级上·重庆巴南·期中）在学习完《有理数》后，小辉对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下： （、为有理数且） (1)若是绝对值最小的有理数，是最大的负整数，求的值； (2)已知满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）绝对值最小的有理数是，最大的负整数是，根据新定义运算规则代入数值计算即可； （2）由非负性先求出的值，再根据新定义运算规则代入数值计算即可． 本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解题中的新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由条件得， ； （2）∵， ∴， 解得， ． 4．（25-26七年级上·浙江温州·期中）对于任何有理数，我们用表示不超过的最大整数，如：，意思是不超过的最大整数是1．现对进行如下操作：取的五分之一，再取不超过它的最大整数，重复进行操作．进行次操作之后开始变为固定值，其操作过程如下：． (1)计算：________；________． (2)已知整数68，先取其四分之一，再取不超过它的最大整数，如此操作重复多少次后开始变为固定值？其固定值是多少？写出你的操作过程． (3)已知整数进行次“取其三分之一，再取不超过它的最大整数”的操作后开始变为固定值，且能被整除，写出所有符合条件的的值． 【答案】(1)1，2 (2)重复4次后有固定值，固定值为0 (3) 【分析】本题考查了新定义（取整函数）的运算，解题的关键是准确理解表示不超过的最大整数这一概念． （1）根据的定义直接计算两个式子的值； （2）按照 “取四分之一，再取不超过它的最大整数” 的规则逐步操作，直到得到固定值； （3）找到临界数据，结合能被整除的条件，求出所有符合条件的的值． 【详解】（1）解： ，不超过的最大整数是， ． ：，不超过的最大整数是；   ：，不超过的最大整数是； ． 故答案为：；． （2）解：， 所以如此操作至少重复4次后开始变为固定值0． （3）解：因为， ， ， ， 所以能取到的最大数和最小数分别是和， 又因为能被3整除，所以，，，，，． 因为， ， ， 所以能取到的最大数和最小数分别是和， 又因为能被3整除，所以，，，，，． 综上：所有符合条件的的值为：． 【变式训练8 实数运算的实际应用】 1．（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 【详解】解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 3．（24-25七年级下·陕西安康·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【答案】(1) (2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 (3)长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 【变式训练9 与实数运算相关的规律题】 1．（24-25七年级下·重庆·开学考试）已知恒等式，其中为正整数，下列说法： ①； ②当时，； ③当为奇数时，； ④当为偶数时，． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法的应用及实数的运算，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题． 利用整式的乘法法则，当时，，， 可判断①错误；当时，，经过计算，可判断②错误；当为奇数时，令,则，，得，可判断③正确；当为偶数时，当时， ； 当时，； ,依此类推，可判断④正确；即可判断出有几个正确的． 【详解】解：①当时，，， 故①错误； ②当时，， ，，，，， ， 故②错误； ③当为奇数时，令, 则 ， ， ， 故③正确； ④当为偶数时， 当时，， ； 当时，， ； , 依此类推， 故④正确； 故答案为：B． 2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）已知，，，，，……（即当为大于1的偶数时，；当为大于1的奇数时，），按此规律，计算： ， ． 【答案】 【分析】根据代数式计算出各数，发现规律，即可得出答案． 【详解】解：∵，，，，， ∴，，，，， 根据题意得出：，， ，……… 可知，6个数是一个循环，， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查与实数相关的规律题，正确计算找出规律是解题的关键． 3．（24-25七年级上·吉林长春·期中）若a是不为1的有理数，我们把称为a的伴随数．比如：2的伴随数是． (1)求的伴随数． (2)若，是的伴随数，是的伴随数，…以此类推， 则______，______，______． (3)若，是的伴随数，是的伴随数，…以此类推，则______． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算法则计算即可； （3）根据新定义的运算法则计算，，，，的值，发现，，，为一个循环，从而的解． 【详解】（1）解：的伴随数是； （2），，； （3），，，，， 由上述计算得，，，，为一个循环， ， ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算和新定义-数a的伴随数，能灵活运用有理数的运算法则进行计算是解此题的关键． 4．（25-26八年级上·河北保定·月考）先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知两个连续的正整数的平方的倒数之和加上1的算术平方根等于1加上较小的正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律可得答案； （3）根据（1）（2）的规律把所求式子裂项计算，再根据新定义可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：①； ②； ③； ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 1．（2025七年级下·湖南·专题练习）下列各数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②还有π与有理数的和差积商；③有规律但无限不循环的小数． 根据无理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是有理数，不符合题意； B．是无理数，符合题意； C．是有理数，不符合题意； D．是分数，不是无理数，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川广元·月考）若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值为（    ） A．2021 B．2020 C．4041 D．1 【答案】D 【分析】先估算的取值范围，再求出与的取值范围，从而求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分和小数部分． 3．（24-25七年级下·北京·期中）如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：大正方形的边长为， ， ，即， 又， ， ， ， ， 与最接近的整数是6， 即大正方形的边长最接近的整数是6， 故选：D． 4．（24-25七年级上·河南商丘·月考）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2023次输出的结果是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据程序框图的运算规则依次运算找到规律即可解答． 【详解】解：由于开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 故从第3次开始，3次一个循环，分别是， ， 第2023次输出的结果是2． 故选C． 【点睛】本题考查了代数式求值在程序框图的应用，知道运算规则是解题的关键． 5．（24-25七年级下·重庆巴南·期中）我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用． 表示距离（为正整数）最近的正整数例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论： ； 时，的值有个； ； ； 当时，的值为． 以上结论中正确的结论有个（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义通过估算无理数的值，找到数字变化的规律，再用规律去解答题． 【详解】解：表示距离最近的正整数， ，所以正确； 当时，为，，，，，一共有个， 所以错误； ，，，，，，，，，，，， ， 所以正确； 由，，，，，，，，，，，；可得个，个，个，个， 所以； 故正确； ， ， 所以正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的知识和发现规律并运用规律解题的方法，难度较大． 6．（24-25七年级下·广东中山·期中）式子值的整数部分是 ． 【答案】 【分析】本题考查估算无理数的大小，估算无理数的大小，进而估算的大小，确定它的整数部分即可． 【详解】∵， ∴ ∴的整数部分为， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·四川宜宾·期中）比较大小：① ；② （填“”，“”，“”号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，理解并掌握实数比较大小的方法是解题关键． ①由，易得，然后根据“负数比较大小，绝对值大的反而小”即可获得答案；②首先由可知，进而可得，然后比较与大小即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：；． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）有四个实数分别是，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为 ． 【答案】 【分析】根据有理数和无理数的概念列出式子，再根据实数的运算顺序进行计算． 【详解】解：四个实数分别为中有理数为32，-23；无理数为； 有理数的和与无理数的积的差为-8+9-×=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）对于任意两个实数a，b，定义一种新运算“”，规定．如，那么 ，的最小值为 ． 【答案】 4 8 【分析】本题考查了实数的混合运算、去绝对值，以及一种新的运算，将所求的式子转化是解题的关键．根据运算法则，把要求的式子转化成我们学过的内容，再计算即可． 【详解】， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 所以的最小值为8， 故答案为：4，8 10．（24-25七年级上·湖北孝感·月考）在求的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的2倍， 于是他设：①然后在①式的两边都乘以2，得：②；②﹣①得，，即．则 的值为 ． 【答案】 【分析】读懂小明的解题方法，找出数字变化的规律，模仿即可求解． 【详解】解：设①， 则②， ②－①，得， 解得S＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的运算过程，灵活应用该方法求和是解题的关键． 11．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的运算、立方根及算术平方根，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）先去绝对值，然后再根据实数的运算可进行求解； （2）根据立方根、算术平方根可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明． (1)已知两个实数a，b，则． (2)两个无理数的和一定是无理数． 【答案】(1)不正确；举例见详解 (2)不正确；举例见详解 【分析】本题考查实数的性质，通过举反例判断说法的正确性． （1）考虑b的符号并举例即可判断． （2）考虑互为相反数的无理数即可求解． 【详解】（1）解：不正确，理由如下： 当时，，例如，则，因此说法不正确． （2）解：不正确，理由如下： 两个无理数的和不一定是无理数，例如无理数和， 它们的和为0（有理数），因此说法不正确． 13．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，这条边的另一个端点分别为数轴上的点和点． (1)点表示的数为_____，点表示的数为_____，线段的长度为_____； (2)一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，设点表示的数为． ①实数的值为_____； ②若是的相反数，，求的值． 【答案】(1)，， (2)①；②或 【分析】本题考查了实数与数轴、实数的运算、利用平方根解方程等知识，熟练掌握实数与数轴的性质是解题关键． （1）根据实数与数轴可得点表示的数，再根据实数的运算可得线段的长度； （2）①根据实数与数轴的性质，利用点表示的数加上2即可得； ②先根据相反数的定义可得的值，再利用平方根解方程可得的值，然后代入计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得：点表示的数为， 点表示的数为， 线段的长度为， 故答案为：，，． （2）解：①∵一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，且点表示的数为，点表示的数为， ∴， 故答案为：． ②∵是的相反数，， ∴， ∵， ∴， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 14．（24-25七年级上·湖南长沙·月考）阅读材料： 求：， 解：设…① 将等式①两边同时乘2，得： …② 得： 即 请你根据以上材料，解答： (1)计算：； (2)已知数列：，，，，，…． ①它的第100个数是多少？ ②求这列数中前100个数的和． 【答案】(1) (2)①它的第100个数是；②这列数中前100个数的和为 【分析】（1）令和为S，用S乘3减S即可得解； （2）①根据数列中的数的规律： ，进行计算即可；②令和为S，用S乘3加S即可得解． 【详解】（1）解：设…①， 将等式①两边同时乘3，得： …② 得： ， 即； （2）解：①由，，，，，…可知： 第个数为：， ∴第100个数为：； ②设…①， 将等式①两边同时乘3，得： …② 得： ， 即． 【点睛】本题考查数字类规律探究．通过题目给出的数据和运算方法，抽象概括出数字规律是解题的关键． 15．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）【阅读理解】 【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题： 如果，其中a是整数，且，那么，． 【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值． 解：， ． 且，解得：，． 请解答： (1)如果，其中m是整数，且，那么 ， ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的立方根； (3)已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)－1或－5 【分析】本题考查无理数的性质和等式的性质，正确理解等式得性质是解题的关键． （1）根据夹逼法可得，依此可求和； （2）根据夹逼法可得，依此可求和，代入算式进行计算即可； （3）已知x，y是有理数，所以也是有理数，根据材料二可得方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解： ，其中m是整数，且 ， 故答案为：，． （2）解： 的整数部分为b 的立方根为． （3）解： 且， 解得， 当时， 当时， 答：的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $