2025年北师大版中考数学专题 函数图像 复习及解析

2025年北师大版中考数学专题——《函数图像》复习 1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+a和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3. 二次函数图象如图所示，其对称轴为直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx+与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 5．函数y＝ax2+2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（   ） A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 8．若一元二次方程ax2+bx+3＝0有两个不相等的实数根，则二次函数y＝ax2+bx+3的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．已知点M（﹣1，1）与反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 10．如图，函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象的顶点为，下列判断正确个数为（　　） ①ab＜0； ②b﹣3a＝0； ③ax2+bx≥m﹣2； ④点（﹣4.5，y1）和点（1.5，y2）都在此函数图象上，则y1＝y2； ⑤9a＝8﹣4m． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 11．一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c C．若（﹣，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜c D．﹣ac+bk＞0 12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③3a+c＝0；④抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中正确的是 　 　.（只填写序号） 13. 如图，抛物线经过点，顶点为M，且抛物线与y轴的交点为B，则下列结论： ①当时，； ②； ③； ④的面积为． 正确的有（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②④ 14.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，与y轴交于点C，下面四个结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③；④使△ACB为等腰三角形的a的值有且只有2个．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15. 如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ； ； ； 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； 若点，均在该二次函数图象上，则．其中正确结论的序号为____． 16．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c实常数，且a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 … y … m 2 2 n … 且当时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．其中正确的结论是 　 　． 17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 3 … y … 0 4 7 10 … 回答下列问题： ①抛物线的对称轴是 　 　． ②不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　 　． ③若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　． 18．已知：平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（﹣3，0），则下列结论正确的有（　　） （1）a﹣b+c＜0；（2）4a2﹣2bc＞0；（3）将抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位时，它会过原点；（4）直线y＝2ax﹣c不过第四象限． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19. 已知二次函数（，，为常数，，）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论： ①； ②若点，，均在该二次函数图象上，则； ③方程的两个实数根为，，且，则； ④若为任意实数，则． 其中，正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 20.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＞0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣9a．正确结论的序号为（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 21．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，下列四个结论： ①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝6； ②若点C（﹣5，y1）、D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2； ③对于任意实数t，总有at2+bt≥4a+2b； ④对于a的每一个确定值（a＞0），若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）有根，则p≥1﹣16a，其中正确的结论是 　 　．（填写序号） 22.已知平面直角坐标系的原点为O，抛物线的顶点为C，该抛物线与x轴的正半轴交于点B，若为等腰直角三角形，则b的值为________ 23.对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1，请结合上述材料，解决问题：若M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，则x＝　 　 ． 24．约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③a+b+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 2025年北师大版中考数学专题——《函数图像》复习解析 1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+a和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下， ∴a＜0， ∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧， ∴a、b异号，即b＞0． ∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴c＞0， ∴一次函数y＝bx+a的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限， 故选：B． 2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下， ∴a＜0， ∵该抛物线对称轴位于y轴的左侧， ∴a、b同号，即b＜0． ∵当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0． ∴一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限， 反比例函数的图象在第一、三象限， 故选：B． 3. 二次函数图象如图所示，其对称轴为直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据开口方向和二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴有两个不同的交点，得到，则点在第二象限，点在x轴坐标轴，据此可得答案． 【详解】解：∵函数开口向下，二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∴点在第二象限， ∵二次函数与x轴有两个不相同的交点， ∴， ∴点在x轴正半轴上， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx+与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定ab＜0，由抛物线与y轴的交点位置确定c＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数经过第二、三、四象限，根据反比例函数的性质得到反比例函数图象在第二、四象限，由此可对各选项进行判断． 【解答】解：∵抛物线对称轴在y轴右侧， ∴ab＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， 对于一次函数y＝cx+，c＜0，图象经过第二、四象限；＜0，图象与y轴的交点在x轴下方；对于反比例函数y＝，ab＜0，图象分布在第二、四象限． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口，当a＜0时，抛物线向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点．也考查了一次函数图象与反比例函数图象． 5．函数y＝ax2+2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＝﹣＜0，和x轴的正半轴相交，故选项错误； B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＝﹣＜0，和x轴的负半轴相交，故选项正确； C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+2x+1的图象应该开口向下，故选项错误； D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+3x+1的图象应该开口向上，故选项错误． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查函数图象和性质．解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、反比例函数的图象的性质． 根据二次函数的图象开口向下可知，，则，而根据反比例函数的图象性质可判断出a的正负；由一次函数的图象与性质可知和c的正负，即可得到答案． 【详解】解∵二次函数的图象开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴， ∴． A、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴A不符合： B、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴B不符合： C、∵在反比例函数中，，在一次函数中， ，， ∴C符合： D、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴D不符合． 故选：C． 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题可先由二次函数y＝ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝ax+b的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误． 故选：A． 8．若一元二次方程ax2+bx+3＝0有两个不相等的实数根，则二次函数y＝ax2+bx+3的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，利用一元二次方程ax2+bx+3＝0有两个不相等的实数根得到抛物线与x轴有2个交点，则可对C选项进行判断；当a＞0时，若b＜0，抛物开口向上，抛物线的对称轴在y轴的右侧，利用一次函数的性质可对A、B进行判断；当a＜0时，抛物开口向下，利用一次函数的性质可对D选项进行判断． 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+3＝0有两个不相等的实数根， ∴二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴有2个交点，所以C选项不符合题意； 当a＞0时，若b＜0，抛物开口向上，抛物线的对称轴在y轴的右侧，一次函数经过第一、三象限，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，所以A选项符合题意，B选项不符合题意； 当a＜0时，抛物开口向下，一次函数经过第二、四象限，所以D选项不符合题意． 故选：A． 9．已知点M（﹣1，1）与反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＞﹣1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过二、四象限， ∴k＜0， 由图知当x＝﹣1时，y＝﹣k＜1， ∴k＞﹣1， ∴抛物线y＝2kx2﹣4x+k2开口向下， 对称轴为x＝﹣＝，＜﹣1， ∴对称轴在直线x＝﹣1的左边． ∴当x＝0时，y＝k2＜1． 故选：C． 10．如图，函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象的顶点为，下列判断正确个数为（　　） ①ab＜0； ②b﹣3a＝0； ③ax2+bx≥m﹣2； ④点（﹣4.5，y1）和点（1.5，y2）都在此函数图象上，则y1＝y2； ⑤9a＝8﹣4m． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据抛物线的开口方向得a＜0，由顶点坐标可得b＝3a＜0，b﹣3a＝0，以此可判断①②；再根据二次函数的性质可得当x＝时，y取得最大值为m，以此可判断③；根据离抛物线对称轴距离相等点的函数值相等可判断④；将顶点坐标代入函数解析式中，化简即可判断⑤． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象的顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线x＝， ∴b＝3a＜0， ∴ab＞0，故①错误； 由上述可知，b＝3a， ∴b﹣3a＝0，故②正确； ∵抛物线开口向下， ∴当x＝时，y取得最大值为m， ∴无论x取何值都有ax2+bx+2≤m， ∴ax2+bx≤m﹣2，故③错误； ∵抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1.5，﹣1.5﹣（﹣4.5）＝1.5﹣（﹣1.5）， ∴y1＝y2，故④正确； ∵函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象的顶点为， ∴， 整理得：9a﹣6b+8＝4m， ∵b＝3a， ∴9a﹣18a+8＝4m， ∴9a＝8﹣4m，故⑤正确． 综上，正确的结论有②④⑤，共3个． 故选：C． 11．一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c C．若（﹣，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜c D．﹣ac+bk＞0 【分析】A选项将ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移项可得，ax2+2ax+c＞kx+b，根据图象求解判断为对； B选项当x≥0时，抛物线最高点（即ax2+2ax﹣b的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），即可求解判断为对； C选项抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，所以在抛物线上与点（0，c）关于对称轴x＝﹣1对称的点是（﹣2，c），但是﹣2＜﹣＜﹣1，所以，y1＞c，可判断为错； D选项因为抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，所以，a＜0，c＞0，因为直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，所以k＜0，b＜0，即可判断为对． 【解答】解：A选项，对于ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移项可得，ax2+2ax+c＞kx+b，对应于图中即是抛物线在直线上方的部分，由图可知，两个曲线交点的x坐标为x＝n和x＝m，所以，n＜x＜m，所以A正确； B选项，当x≥0时，抛物线最高点（即ax2+2ax+c的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），所以，当x≥0时，ax2+2ax+c≤c，所以B正确； C选项，在抛物线中，有对称轴公式可知，抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，所以在抛物线上与点（0，c）关于对称轴x＝﹣1对称的点是（﹣2，c），但是﹣2＜﹣＜﹣1，所以，y1＞c，所以C错误； D选项，因为抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，所以，a＜0，c＞0，因为直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，所以k＜0，b＜0，所以，﹣ac+bk＞0，D正确． 故选：C． 12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③3a+c＝0；④抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中正确的是 　①③④　.（只填写序号） 【分析】依据题意，抛物线开口向下，从而a＜0，又对称轴是直线x＝1，故﹣＝1，则b＝﹣2a＞0，再结合抛物线交y轴正半轴，故可判断①；由对称轴是直线x＝1，则当x＝﹣2时的函数值与x＝4时函数值相等，又由图象可得，当x＝4时，y＜0，故当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故可以判断②；由对称性当x＝﹣1时的函数值与当x＝3的函数值相等，所以当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，再结合b＝﹣2a，则可判断③正；由x1+x2＞2，故＞1，进而可得M，N的中间位置在对称轴的右侧，M离对称轴近，N离对称轴远，又抛物线开口向下，进而可以判断④． 【解答】解：由题意，抛物线开口向下， ∴a＜0． 又对称轴是直线x＝1， ∴﹣＝1． ∴b＝﹣2a＞0． 又抛物线交y轴正半轴， ∴c＞0． ∴abc＜0，故①正确． 由对称轴是直线x＝1， ∴当x＝﹣2时的函数值与x＝4时函数值相等． 又由图象可得，当x＝4时，y＜0． ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故②错误． 由对称性当x＝﹣1时的函数值与当x＝3的函数值相等， ∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0． 又b＝﹣2a， ∴3a+c＝0，故③正确． 由题意，∵x1+x2＞2， ∴＞1． ∴M，N的中间位置在对称轴的右侧． ∴M离对称轴近，N离对称轴远． 又抛物线开口向下， ∴y1＞y2，故④正确． 故答案为：①③④． 13. 如图，抛物线经过点，顶点为M，且抛物线与y轴的交点为B，则下列结论： ①当时，； ②； ③； ④的面积为． 正确的有（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，三角形面积公式等知识，求出抛物线的对称轴，可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，可判断①，当时，，可判断②，把代入，求出，则，得到抛物线的顶点为，可判断③，设抛物线对称轴交轴于，则， 得到，，，，根据可判断④，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①抛物线的对称轴为： ， ∵， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，，故①符合题意； ②当时，， ∴，故②符合题意； ③把代入，得：， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点为， ∴，故③符合题意； ④设抛物线对称轴交轴于，则，如图： ∴，，， 当时，， ∴， ∴， ∴ ，故④不符合题意， 综上，符合题意的有①②③， 故选：C． 14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，与y轴交于点C，下面四个结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③；④使△ACB为等腰三角形的a的值有且只有2个．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由于抛物线开口向上得到a＞0；利用对称轴为直线x＝﹣＞0得到b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对①进行判断；由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，得到对称轴为直线x＝1，则﹣＝1，即2a+b＝0，可对②进行判断；当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，可得到a与c的关系，可对③进行判断；要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，分别求出a的值即可判断④． 【解答】解：∵抛物线开口向上 ∴a＞0； ∵对称轴为直线x＝﹣＞0， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0，则abc＞0，故①正确； ∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，则﹣＝1，即2a+b＝0，故②正确； ∵A点坐标为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a， ∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a， ∴﹣+c＝＝＝， ∵a＞0， ∴﹣+c＜0，故③错误； 要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC， 当AB＝BC＝4时， ∵BO＝3，△BOC为直角三角形， 又∵OC的长即为|c|， ∴c2＝16﹣9＝7， ∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c＝﹣， 与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝； 同理当AB＝AC＝4时， ∵AO＝1，△AOC为直角三角形， 又∵OC的长即为|c|， ∴c2＝16﹣1＝15， ∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c＝﹣， 与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝； 同理当AC＝BC时， 在△AOC中，AC2＝1+c2， 在△BOC中BC2＝c2+9， ∵AC＝BC， ∴1+c2＝c2+9，此方程无解． 经解方程组可知只有两个a值满足条件．故④正确． 故选：C． 15. 如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ； ； ； 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； 若点，均在该二次函数图象上，则．其中正确结论的序号为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象特征可判断，根据对称轴可判断，根据抛物线与轴的交点即对称轴确定抛物线与轴的另一个交点后可判断，方程的解可看作与的交点可判断，点与关于直线对称可判断． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴ ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故正确， ∵， ∴，故错误， ∵抛物线与轴的一个交点为，对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴， ∵， ∴，故正确； 方程的解可看作与的交点， ∵， 当过抛物线顶点时，两函数只有一个交点，即方程有两个相等实数根，故错误； ∵点与关于直线对称， ∴，故正确； 故答案为: ． 16．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c实常数，且a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 … y … m 2 2 n … 且当时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．其中正确的结论是 　②③　． 【分析】根据待定系数法得到二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，根据题意代入x＝时，得到a﹣a+2＜0，解不等式求得a＜﹣，进一步求得b＞0，c＞0，即可判断①；由表格数据可知m＝2a+2，n＝42a+2，即可得出m+n＝4a+4，由a＜﹣，即可得出m+n＜﹣，即可判断②；根据抛物线的对称性可知抛物线与x轴负半轴交点横坐标在﹣和0之间，即可判断③；由y1＞y2，根据图象上点的坐标特征求得t即可判断④． 【解答】解：将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得：， 解得， ∴二次函数为：y＝ax2﹣ax+2， ∵当x＝时，对应的函数值y＜0， ∴a﹣a+2＜0， ∴a＜﹣， ∴b＞， ∴a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①不正确； ∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n， ∴m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2， ∴m+n＝4a+4， ∵a＜﹣， ∴m+n＜﹣，故②正确； ∵抛物线过（0，2），（1，2）， ∴抛物线对称轴为x＝， 又∵当x＝时，对应的函数值y＜0， ∴根据对称性：当x＝﹣时，对应的函数值y＜0， 而x＝0时y＝2＞0， ∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在﹣和0之间， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间，故③正确； ∵P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上， ∴y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2， 若y1＞y2，则a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2， 即a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）＞a（t+1）2﹣a（t+1）， ∵a＜0， ∴（t﹣1）2﹣（t﹣1）＜（t+1）2﹣（t+1）， 解得t＞，故④不正确， 故答案为：②③． 17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 3 … y … 0 4 7 10 … 回答下列问题： ①抛物线的对称轴是 　x＝　． ②不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　﹣1＜x＜8　． ③若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＜　． 【分析】①先根据表中数据求出函数解析式，再化为顶点式，从而求出对称轴； ②令①中的y＝0，解方程求出方程的解，从而得出抛物线与x轴的交点坐标，由函数的图象得出不等式ax2+bx+c＞0的解集； ③根据抛物线的开口方向和最高点，得出k的取值范围． 【解答】解：①把x＝﹣1，y＝0；x＝0，y＝4，x＝1，y＝7代入y＝ax2+bx+c， 得， 解得， ∴y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+， ∴抛物线的对称轴为直线x＝， 故答案为：x＝； ②令y＝0，则﹣x2+x+4＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝8， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（8，0）， ∵抛物线开口向下， ∴ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜8， 故答案为：﹣1＜x＜8； ③由①知，抛物线的顶点为（，）， ∵方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝k有两个交点， ∴k的取值范围是k＜， 故答案为：k＜． 18．已知：平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（﹣3，0），则下列结论正确的有（　　） （1）a﹣b+c＜0；（2）4a2﹣2bc＞0；（3）将抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位时，它会过原点；（4）直线y＝2ax﹣c不过第四象限． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），则x＝0时，y＜0，即a﹣b+c＜0，于是可对（1）进行判断； 根据抛物线与x轴有2个交点得到b2﹣4ac＞0，利用抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，则b＝2a，于是可对（2）进行判断； 根据抛物线与x轴的一个交点为（1，0），则可对（3）进行判断； 根据a＞0，c＜0，则可对（4）进行判断． 【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，且图象经过点（﹣3，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0）， ∴x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故正确； （2）∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， ∴b＝2a， ∴4a2﹣2bc＞0，故正确； （3）∵抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）、（1，0）， ∴将抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位时，它会过原点；故正确； （4）∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）、（1，0）， ∴抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ∴c＜0， ∴﹣c＞0， ∴直线y＝2ax﹣c经过第一、二、三象限，不过第四象限，故正确． 故选：D． 19. 已知二次函数（，，为常数，，）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论： ①； ②若点，，均在该二次函数图象上，则； ③方程的两个实数根为，，且，则； ④若为任意实数，则． 其中，正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，依据题意，由抛物线经过，对称轴为直线，得出，再结合二次函数的性质可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断②，由抛物线的对称性可得抛物线与轴交点坐标，从而判断③，由时取最大值可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ，故①错误； ， 抛物线开口向下． 又点，，均在该二次函数图象上，且点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小， ∴，故②正确； ∵二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线 ∴另一个交点坐标为， 方程可以看成与的交点，函数大致图象如下： ∴由图可得，故③正确； ∵对称轴为直线，抛物线开口向下． ∴抛物线最大值为， 若为任意实数，则，故④正确． 综上，正确的有②③④． 故选：C． 20．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＞0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣9a．正确结论的序号为（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【分析】依据题意，由抛物线经过（﹣2，0），再结合二次函数的性质可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断②，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断③，由x＝1时y取最大值可判断④． 【解答】解：由题意，∵对称轴是直线x＝1，a＜0， ∴当x＜1时，y随x的增大而增大． ∵﹣2＜﹣1，抛物线过点（﹣2，0）， ∴当x＝﹣1时y＝a﹣b+c＞0，故①正确． ∵a＜0， ∴抛物线开口向下． 又点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，且点（6，y3）到对称轴的距离最大，点（2，y2）到对称轴的距离最小， ∴y3＜y1＜y2，②错误． ∵方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2， ∴抛物线与直线y＝﹣1的交点的横坐标为x1，x2． 由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为（4，0）， ∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣2，0），（4，0）， ∵抛物线开口向下，x1＜x2， ∴x1＜﹣2，x2＞4，故③正确． ∵﹣＝1， ∴b＝﹣2a． ∵4a﹣2b+c＝0， ∴c＝2b﹣4a＝﹣8a， ∵抛物线的最大值为a+b+c， ∴若m为任意实数，则am2+bm+c⩽a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a， ∴am2+bm+c⩽﹣9a，故④正确． 故选：B． 21．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，下列四个结论： ①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝6； ②若点C（﹣5，y1）、D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2； ③对于任意实数t，总有at2+bt≥4a+2b； ④对于a的每一个确定值（a＞0），若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）有根，则p≥1﹣16a，其中正确的结论是 　②③④　．（填写序号） 【分析】根据题目中的二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝1的根为x1＝﹣2，x2＝6，故①错误； 该抛物线的对称轴为直线x＝＝2，函数图象开口向上，若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2，故②正确； 当x＝2时，函数取得最小值y＝4a+2b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≥4a+2b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≥4a+2b，故③正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点， ∴， ②﹣①得，32a+8b＝0，即b＝﹣4a， ①×3+②得，48a+4c＝4，即c＝1﹣12a， 若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）有根，则p≥， ∴p≥1﹣16a，故④正确； 故答案为：②③④． 22. 已知平面直角坐标系的原点为O，抛物线的顶点为C，该抛物线与x轴的正半轴交于点B，若为等腰直角三角形，则b的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】考查了二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的性质等知识．画出图象，抛物线的对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D，开口向下，顶点坐标为，得到，进一步求出，由等腰直角三角形的性质得到，则，解方程并检验即可． 【详解】解：如图，抛物线的对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D，开口向下，顶点坐标为， ∴， 当时，， 解得或， ∴点B的坐标为， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴ 解得，或， 经检验，或是方程的解， 当时，顶点为原点，不合题意； ∴， 故答案为： 23．对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1，请结合上述材料，解决问题：若M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，则x＝　﹣2或﹣3　 ． 【分析】根据min{a，b，c}表示这三个数中最小的数以及偶次方非负性，得min{x2，﹣3}＝﹣3，再根据用M{a，b，c}表示这三个数的平均数解决此题． 【解答】解：∵x2≥0， ∴x2＞﹣3， ∴min{x2，﹣3}＝﹣3， ∵M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}， ∴＝﹣3， ∴x＝﹣2或x＝﹣3． 故答案为：﹣2或﹣3． 24．约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③a+b+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【分析】先根据题意求出m，n的取值，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解． 【解答】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”， ∴A，B关于原点对称， ∴m＝4，n＝﹣1， ∴A（1，4），B（﹣1，﹣4）， 代入y＝ax2+bx+c（a≠0） 得， ∴， ∴①②正确， ∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧， ∴﹣＞2， ∴﹣＞2， ∴﹣1＜a＜0，④正确， ∵a+c＝0， ∴0＜c＜1，c＝﹣a， 当x＝时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝a+2﹣a＝2﹣a， ∵﹣1＜a＜0， ∴﹣a＞0， ∴a+b+c＝2﹣a＞0，③错误． 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $