第07讲 导数与不等式证明讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学复习导数专题（新高考通用）

null 第07讲 利用导数证明不等式 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 7 题型归纳 9 题型01：直接法证明不等式 9 题型02：分析法证明不等式 11 题型03：移项作差构造函数 16 题型04: 及时换元后构造函数 23 题型05: 等价转化后构造函数 26 题型06: 找出同构关系后构造函数 29 题型07：隐零点法 35 题型08: 选择关键部位构造函数 43 题型09: 放缩法证明不等式 45 （一）参数放缩 45 （二）利用结论放缩 49 （三）切线放缩 53 题型10:拆分法证明不等式 56 题型11:双变量不等式的证明 64 题型12:数列不等式的证明 68 题型13: 三角函数类型不等式的证明 78 高考导数压轴大题不等式证明 79 题型01：无限和裂项型数列不等式证明 79 题型02：累积型数列不等式证明 81 题型03：三角函数型不等式证明 84 题型04：凸凹翻转证明不等式 86 题型05：零点不等式证明 88 题型06：同构型不等式 90 题型07：双变量比值代换型 93 题型08：双变量不等式和差换元型 94 题型09：双变量不等式韦达定理型 97 题型10：导数新定义的不等式证明问题 99 巩固提升 105 1. 分值占比：导数与不等式证明是高考数学压轴题核心考点，单独考查或结合单调性、极值、恒成立问题考查，分值约12~15分，属于难题层级。 2. 考查形式： ①直接证明：给定函数证明f(x)\≥ g(x)、f(x)>h(x)等形式的不等式； ②间接证明：结合恒成立求参数范围、证明数列不等式、证明多元不等式，本质均转化为导数研究函数最值的问题； ③核心载体：以指数函数、对数函数、幂函数的组合函数为主，偶见三角函数与导数结合的不等式证明（新高考趋势）。 3. 命题趋势：新高考更注重构造函数的灵活性、放缩法的合理运用和分类讨论的严谨性，弱化复杂求导运算，强化逻辑推理能力。 1. 掌握导数证明不等式的三大核心思路，能根据不等式形式选择最优方法； 2. 熟练运用构造函数法，掌握常见的构造技巧和变形手段； 3. 理解放缩法的原理，熟记高考常用的放缩公式，能精准放缩避免过度或不足； 4. 攻克多元不等式和数列不等式的导数证明方法，突破压轴难点； 5. 培养分类讨论、等价转化的数学思想，确保证明过程逻辑严谨。 导数中的不等式证明是高考的常考题型，是高考的热点问题，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果. (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 知识一 构造法证明不等式 1、移项作差构造函数 移项作差法是证明不等式的最常用的方法，将含的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性 ． 2、及时换元后构造函数 由于是证明两个变量的大小关系问题，通过换元，将两元变换成一元，这样降低了问题的难度，使之变成我们熟悉的、容易解决的问题了． 3、等价转化后构造函数 在充分挖掘题目内涵的基础上，将待证的不等式进行转化、变形，使之等价变形为另一个大小关系证明的问题，然后再通过建立新函数轻松地解决了问题． 如等价转化为进而构造函数； 4、挖出同构关系后构造函数 由于待证的不等式比较复杂，在分析、化简、变形的基础上，再经过换元处理，成功的找到了同构关系，然后通过设新函数，这样，成功地解决问题就是很容易了． 5、选择关键部位构造函数 在解题过程中，根据大小比较的需要，对表达式中的一部分采用构造函数处理，也是一个重要的解题思路，这种求解方法的关键是精确替换，以起作用、易解决为替换原则． 知识二 放缩法证明不等式 放缩式是放缩法的重要组成部分，是放缩法的"骨肉". 用好放缩法的关键在于灵活运用放缩式，我们既然想去放缩一个式子来证明不等式，那最基本、最重要的就是掌握一些重要的放缩式. 这里将放缩式分为基本放缩式和变形放缩式.基本放缩式也就是常说的“不等式串”，大部分放缩式都由它变形而来，是必须掌握的放缩式. 放缩小技巧： 1.不等号的方向 放缩中，我们应注意想放缩的那一项的位置是否在分母上或是否带有负号，有时需要变更它的符号.比如，当时，由放缩式可得到,又可得到 2.整体代换 整体代换使用的是数学中的整体思想，比如，这个式子中便运用了此方法，学会将已知的放缩式变更为解题需要的放缩式很重要． 3.调整次数 一般来说，调整次数有以下几个功能：便于配方，便于约分，便于合并同类项.比如，已知，为了证明，则必须证明，通过先求导再讨论单调性来证明比较麻烦，而我们知道完全平方非负，且，所以有. 放缩法主要解决问题的类型： 1、函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目的.放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝.但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的"度"，容易造成不能同向传递. 2、切线放缩：若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放缩法进行放缩解决问题. 拓展： （1）若在区间D上二阶可导，且，则对任意，有 （2）若在区间D上二阶可导，且，则对任意，有 （1）（2）的几何意义是凸（凹）函数的图像在其切线的上（下）方. 知识三 拆分法证明不等式（构造双函数） 利用不等式性质对所证不等式进行拆分，转化成为的形式，若能证明，即可得：，本方法的优点在于对的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强，如果与不满足，则无法证明.所以用此类方法解题的情况不多。 知识点四、指对同构证明不等式 在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法. 五个常见变形： . 知识点五 利用“隐零点”证明不等式： 关键在于“设而不求”及“等量代换”，常见的有不含参和含参两种类型： ①不含参函数的隐零点问题：已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的根为，则(i)有关系式f′()＝0成立；(ii)注意确定的合适范围. ②含参函数的隐零点问题：已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x，a)＝0的根为，则①有关系式f′(，a)＝0成立，该关系式给出了，a的关系； ②注意确定的合适范围，往往和a的取值范围有关. 注意：对于函数f(x)＝ex在x＝0处的泰勒展开式如下： ex＝1＋＋＋＋…＋＋…⇒ex≥x＋1. 类似的，常用泰勒展开式拟合的不等式还有： ln(1＋x)＝x－＋－＋…＋(－1)n－1·＋…⇒ln(x＋1)≤x； sinx＝x－＋－…＋(－1)n－1·＋…⇒sinx≤x； cosx＝1－＋－＋…＋(－1)n·＋…⇒cosx≥1－x2. .由≥x＋1演绎出的一些常见不等结构： （一）基础方法：构造函数法（最核心） 解题步骤 1. 等价转化：移项构造新函数F(x)=f(x)-g(x)，将不等式证明转化为证明F(x)min≥0； 2. 求导分析：求F'(x)，分析F'(x)的符号，确定F(x)的单调性、极值点； 3. 求最值：求出F(x)在定义域内的最小值（需验证端点、极值点）； 4. 下结论：若F(x)min≥0，则原不等式成立。 关键技巧 ①若直接构造的函数求导后形式复杂，可先对原不等式等价变形（如两边同乘/除正数、取对数、拆分重组）再构造； ②含参数时，先分离参数或分类讨论，再分析函数最值。 （二）进阶方法1：放缩法 适用场景 直接构造函数求导后无法求出极值点（隐零点），或证明数列不等式时，需通过放缩简化证明。 解题要点 ①放缩要适度：需保证放缩后的不等式方向与原不等式一致，且放缩后的函数易分析最值； ② 结合隐零点：若函数存在隐零点，可利用F'()=0化简F()，再结合放缩公式证明F()≥0。 （三）进阶方法2：多元不等式证明 适用场景 不等式含两个变量,（如已知f()=f()，证明+>2，为极值点），是压轴题高频难点。 核心思路：消元+构造/对称化构造 1. 消元法：利用f()=f()建立,的等量关系，将多元转化为一元函数，再用构造法证明； 2. 对称化构造：设>，令t=-（t>0），或构造G(x)=f(x)-f(2-x)（极值点偏移模型），转化为证明G(x)>0（x>）。 （四）特殊类型：数列不等式证明 适用场景 证明的数列不等式，常与导数放缩结合。 解题步骤 1. 利用导数证明单变量不等式：如证明 < f(n)-f(n-1)； 2. 裂项相消：对放缩后的式子求和，消去中间项，得到数列和的范围，完成证明。 常见易错点 1. 构造函数时忽略定义域，导致求最值时出错； 2. 隐零点问题中，未利用F'()=0化简，直接求导陷入复杂运算； 3. 放缩法使用不当，出现放缩过度，导致证明失败； 4. 多元不等式中，未正确转化变量，无法将多元降为一元； 5. 证明过程逻辑不严谨，缺少最值验证、等号成立条件分析。 备考建议 1. 夯实基础：熟练掌握基本初等函数的导数公式、单调性与极值的判断方法，确保求导运算无错； 2. 分类刷题：按“单变量构造→隐零点+放缩→多元不等式→数列不等式”的顺序刷题，总结每种类型的解题模板； 3. 熟记放缩公式：通过反复练习，掌握放缩公式的适用场景和变形技巧； 4. 重视逻辑：书写证明过程时，明确单调性、最值的推导过程，避免跳步导致失分。 题型01：直接法证明不等式 【典型例题1】已知函数. (1)求函数在处的切线方程. (2)证明：. 【答案】见解析 【解析】（1）求导可得，又，可求切线方程； （2）求导得，令，再求导，进而判断在上单调递增，可得在上单调递增，，可得结论. （1）由，可得， ，又， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由，可得， 令，可得， 当时，，所以在上单调递增， 又，即， 所以在上单调递增， 所以，当时，， 当时，， 综上所述：. 【典型例题2】已知函数，为的极值点. (1)求a； (2)证明：. 【答案】见解析 【解析】（1）求导，由求解； （2）转化为证，令，由证明. （1）解：， 依题意，，解得， 经检验符合题意，所以； （2）由（1）可知，， 要证，即证， 设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，取得极小值，也是最小值， 因为，， 所以. 【变式训练1-1】已知函数，． (1)求的最小值； (2)证明：． 【变式训练1-2】已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：. 【变式训练1-2】已知函数g(x)＝＋a. (1)若函数g(x)在[1,3]上为单调函数，求a的取值范围； (2)已知a>－1，x>0，求证：g(x)>x2ln x. 【变式训练1-3】已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直． (1)求a，b的值； (2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. 【变式训练1-4】已知函数f(x)＝ln x＋，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a>0时，证明：f(x)≥. 题型02：分析法证明不等式 【典型例题1】已知函数． （Ⅰ）当时，求在，上最大值及最小值； （Ⅱ）当时，求证． 【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ），； 时，；，时，； （1）是函数的极小值，即的最小值；又，（2）； 的最大值是； 函数在上的最小值是0，最大值是； （Ⅱ），要证明原不等式成立，只要证明； 设，则； 函数在上是增函数，（1）； ； 原不等式成立． 【典型例题2】已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：函数的图象位于直线的下方； 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 （1）求导，再根据导数的几何意义求解即可； （2）定义域为，要证函数的图象位于直线的下方，即证，构造函数，通过求解函数的最大值即可证. （1），则， 又， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）因为，所以，要证明，只需要证明， 即证， 令，则， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 故在取极大值也是最大值，故， 所以恒成立，即原不等式成立， 所以函数的图象位于直线的下方. 【典型例题3】已知函数 (1)求在处的切线; (2)若，证明当时，. 【答案】见解析 【解析】（1）因为，所以，切线斜率为 因为，所以切点为 切线方程为即 （2）法一：令，所以， 所以在单调递增，， 所以，所以， 所以要证只需证明 变形得 因为 所以只需证明，即 两边同取对数得： 令， 则 显然在递增， 所以存在当时递减， 当时递增; 因为 所以在上恒成立，所以原命题成立 法二：设则， 要证： 需证： 即证： 因为，需证，即证： ①时必然成立 ②时，因为所以只需证明， 令，， 令， ∴在上为增函数 因为 ，所以 所以存在，使得 ∴在上为减函数，在上为增函数 ∴ 综上可知，不等式成立 【变式训练2-1】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若关于的不等式恒成立，证明：且． 【变式训练2-2】已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)求证：当时，. 【变式训练2-3】已知函数． (1)若在定义域内是单调函数，求a的取值范围； (2)若有两个极值点，，求证：． 【变式训练2-4】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【变式训练2-5】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【变式训练2-6】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当，且时，． 【变式训练2-7】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在唯一的极值点，证明：． 【变式训练2-8】设函数，． 【变式训练2-9】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 题型03：移项作差构造函数 【典型例题1】证明以下不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】见解析 【解析】（1）解：令，则有. 令，即，解得； 令，即，解得， 所以在单调递减，上单调递增， 所以，即. 所以. （2）解：令，则. 令，即，解得； 令，即，解得， 所以在单调递增，上单调递减， 所以，即， 所以. （3）解：由（1）得，所以（当且仅当时取等号）①. 由（2）得，所以（当且仅当时取等号）② 因为①式与②式取等号的条件不同，所以. 【典型例题2】已知函数. (1)求该函数在点处的切线方程； (2)证明：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）令，其中，利用导数分析函数在区间上的单调性可证得结论成立. （1）解：因为，该函数的定义域为，则， 所以，，， 因此，曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：令，则， 当时，，则函数在上为减函数， 故当时，，则. 【典型例题3】已知函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【解析】（1）构造函数，利用函数的最值即可证明不等式； （2），对分类讨论即可得出函数的单调性． （1）当时，令， ， 可得时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增， 时，函数取得极小值即最小值，， ∴，即． （2）函数的定义域为， ，   当时， 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减； 当时，时，，函数单调递增区间为；时，，函数单调递减； 当时，，，函数在单调递增． 综上，当时，函数在单调递增，在单调递减； 当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增. 【典型例题4】已知函数. (1)若是的极小值点，求的取值范围； (2)若只有唯一的极值点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）利用导数分，和讨论函数单调性即可求解； （2）由（1）可知当时，此时有唯一的极大值点，题意转化成，令，利用导数求其最值即可 （1）由可得， 当时，， 则当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故是的极大值点，不符合题意，舍去； 当时，令，则或； 由可得当时，，单调递增；当或时，，单调递减， 故是的极大值点，不符合题意，舍去； 当时，， ①若，即，，故在上单调递增，不符合题意，舍去； ②若，即时， 当或时，，单调递增；当时，，单调递减， 故是的极大值点，不符合题意，舍去； ③若，即时， 当时，，单调递减；当或时，，单调递增， 故是的极小值点，符合题意. 综上所述，的取值范围. （2）由（1）可知，当时，此时有唯一的极大值点，要证：， 设，， 设，，， 当，当， 于是在单调递增，在单调递减， 于是， 则由可得， 当，当， 且在单调递减，在单调递增， 那么，即证 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 【变式训练3-1】求证： (1)（）； (2)； (3)（）． 【变式训练3-2】已知函数. (1)求该函数在点处的切线方程； (2)证明：当时，. 【变式训练3-3】已知为正实数，构造函数．若曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求证：． 【变式训练3-4】已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)证明：当时， 【变式训练3-5】设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)证明：． 【变式训练3-6】已知函数，. (1)求的极值； (2)证明：. 【变式训练3-7】已知函数的导函数为. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【变式训练3-8】已知函数（为常数），记. (1)若函数在处的切线过原点，求实数的值； (2)对于正实数，求证：； (3)当时，求证：. 【变式训练3-9】已知函数，． (1)若，证明：当时； (2)当时，，求a的取值范围． 【变式训练3-10】已知函数. (1)若，求的极值； (2)若，，求证：. 【变式训练3-11】已知函数，. (1)若函数在上单调递增，求a的取值范围； (2)若，求证：. 【变式训练3-12】已知函数. (1)若存在极值，求的取值范围； (2)若，，证明：. 【变式训练3-13】已知函数 (1)当，且时，证明：； (2)是否存在实数a，使函数在上单调递增?若存在，求出a的取值范围；不存在，说明理由． 【变式训练3-14】已知函数，，曲线与曲线在处的切线互相平行． （1）求的值； （2）求证：在上恒成立． 题型04:及时换元后构造函数 【典型例题1】已知函数f(x)＝ln x－ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)．求证：x1x2>e2. 【答案】见解析 【解析】不妨设x1>x2>0， 因为ln x1－ax1＝0，ln x2－ax2＝0， 所以ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)，ln x1－ln x2＝a(x1－x2)，所以＝a， 欲证x1x2>e2，即证ln x1＋ln x2>2. 因为ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)， 所以即证a>， 所以原问题等价于证明>， 即ln>， 令c＝(c>1)， 则不等式变为ln c>. 令h(c)＝ln c－，c>1， 所以h′(c)＝－＝>0， 所以h(c)在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(c)>h(1)＝ln 1－0＝0， 即ln c－>0(c>1)，因此原不等式x1x2>e2得证． 【典型例题2】已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R. (1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程； (2)若a＝－2，正实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求证：x1＋x2≥. 【答案】见解析 【解析】(1)当a＝0时，f(x)＝ln x＋x，则f(1)＝1，所以切点为(1，1)，又因为f′(x)＝＋1，所以切线的斜率k＝f′(1)＝2，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. (2)证明：当a＝－2时，f(x)＝ln x＋x2＋x(x>0)．　 由f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0， 得ln x1＋x＋x1＋ln x2＋x＋x2＋x1x2＝0， 从而(x1＋x2)2＋(x1＋x2)＝x1x2－ln(x1x2)， 令t＝x1x2(t>0)，令φ(t)＝t－ln t，得φ′(t)＝1－＝， 易知φ(t)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以φ(t)≥φ(1)＝1，所以(x1＋x2)2＋(x1＋x2)≥1，因为x1>0，x2>0，所以x1＋x2≥. 【典型例题3】已知函数. (1)求出的极值点； (2)证明：对任意两个正实数，且，若，则. 【答案】(1)是的极小值点，无极大值点 (2)证明见解析 【解析】（1）对求导，判断导函数的正负号，得函数的单调性，得函数的极值点； （2）换元令，根据用分别表示，，将证明转化为证明，构造，求导数，证明其大于零即可. （1）函数的定义域为，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是的极小值点，无极大值点. （2）证明：由（1），在上单调递减，在上单调递增， 因为，不妨设， 令，则，， 由，得，即，即， 即，解得，，所以， 故要证，即证，即证，即证， 因为，所以，所以即证， 令，， 因为，所以在上是增函数， 所以，所以在上是增函数， 所以，所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：根据得等式，设，用分别表示，，用分析法将证明转化为证明. 【变式训练4-1】已知函数有两个零点，，且， (1)求的取值范围； (2)证明： 【变式训练4-2】已知函数有两个不同的零点. (1)求实数的取值范围； (2)若方程有两个不同的实数根，证明：. 【变式训练4-3】已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)若，（）是的两个极值点，证明：． 【变式训练4-4】已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)证明：当时，． 题型05: 等价转化后构造函数 【典型例题】已知函数设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数存在两个极值点，证明： 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）求出函数的定义域与导函数，再对分类讨论，讨论的符号，的单调性，即可得出答案． （2）求导得，，又存在，为的极值点，则，即的存在两个根为，，且，，由韦达定理可得，，要证明存在，，使得，即证明存在，，，即可得出答案． （1）解：因为定义域为， 则， 令，解得或， 若，则当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则当或时，当时， 所以在上单调递减，在和上单调递增； 若，则在上恒成立，所以在上单调递增； 若，则当或时，当时， 所以在上单调递减，在和上单调递增； 综上可得：当时在上单调递减，在上单调递增， 当时在上单调递减，在和上单调递增， 当时在上单调递增， 当时在上单调递减，在和上单调递增. （2）证明：因为，， 所以，， 则， 又存在，为的极值点，则， 所以的两个根为，，且，， 即的存在两个根为，，且，， 所以，， 因为，， 所以，即， 要证明存在，，使得， 即证， 即证明存在，，使得， 又， 即证明存在，，， 即证明存在，，， 即证明存在，，， 即证明存在，，， 令，则当时，， 所以需要证明在上存在区间单调递增， 因为， 所以当时，，即在上单调递增，得证． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 【变式训练5-1】已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求的值； (2)判断函数单调性并说明理由； (3)证明：对，都有成立. 题型06: 找出同构关系后构造函数 【典型例题1】已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：在上恒成立； （3）求证：当时，． 【答案】见解析 【解析】（1）解：函数的定义域为，， 令，即，△，解得或， 若，此时△，在恒成立， 所以在单调递增． 若，此时△，方程的两根为： ，且，， 所以在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增． 若，此时△，方程的两根为： ，且，， 所以在上单调递增． 综上所述：若，在单调递增； 若，在，上单调递增， 在上单调递减． （2）证明：由（1）可知当时，函数在上单调递增， 所以（1），所以在上恒成立． （3）证明：由（2）可知在恒成立， 所以在恒成立， 下面证，即证2 ， 设，， 设，， 易知在恒成立， 所以在单调递增， 所以， 所以在单调递增， 所以， 所以，即当时，． 法二：，即， 令，则原不等式等价于， ，令，则，递减， 故，，递减， 又，故，原结论成立． 【典型例题2】已知 (1)将，，，按由小到大排列，并证明； (2)令 求证: 在内无零点. 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【解析】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 （1）构造函数，结合导数研究单调性，即可比较； （2）将问题转化为，结合(1)可转化为证明，令，利用导数证明即可. （1）令， 则，令， 则， 因为，所以， 则在上单调递增， 则， 所以当时，，则， 所以在上单调递增， 则， 即当时，， 又，当时，， 即当时， 综上： （2）要证在内无零点， 只需证 由（1）知 只需证； 即证：， 即证：， 令， 则。 令，则， 当时，，则在上单调递增； 所以当时，， 则在单调递增， 所以 即在内无零点. 【典型例题3】 已知函数. (1)判断极值点的个数； (2)当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）先对求导，再构造函数，利用导数研究的图像，从而分类讨论与，得到的正负情况，由此得解； （2）利用同构法得到，再构造函数，从而将问题转化为证明，再构造函数，由此得证. （1）因为，所以， 令，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 当时，，若，则，若，则， 所以只有一个极值点； 当时，存在，，使， 当时，；当时，； 所以若，则；若，则；若，则；若，则； 所以有三个极值点； 综上，当时，只有一个极值点；当时，有三个极值点. （2）， 令，则， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以， 令，则等价于， 因为，所以等价于， 令，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 因为，所以，故. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 【变式训练6-1】已知函数． (1)讨论函数的单调性及极值，并判断方程的实根个数； (2)证明：． 【变式训练6-2】已知函数． (1)讨论在区间上的单调性； (2)当时，证明：． 【变式训练6-3】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【变式训练6-4】已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若是的两个极值点，证明：． 【变式训练6-5】己知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数，求证：. 【变式训练6-6】已知函数，其中是自然对数的底数. (1)当时，求曲线在点处的切线的斜截式方程； (2)当时，求出函数的所有零点； (3)证明：. 题型07：隐零点法 【典型例题1】已知函数. （1）求的极值； （2）若在上的最大值为，求证：. 【答案】见解析 【解析】（1）直接求导分析即可； （2）零点不可求，隐零点代换表示，然后求出的范围，再利用的单调性即可获解. （1）因为函数，定义域为， 所以. 由，得；由，得. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以的极小值为，无极大值. （2）因为， 所以. 令，则， 当时，，所以在上单调递增. 因为，， 所以存在使得，即，即. 故当时，，此时； 当时，，此时. 即在上单调递增，在上单调递减， 则. 令，则， 所以在上单调递增.则当时，，， 所以. 由（1）知在上单调递减， 因为，， 所以. 【典型例题2】已知函数 (1)讨论的单调性; (2)证明:当时， 【答案】见解析 【解析】（1）求导，按照的正负，讨论正负得解； （2）令，分和两种情况讨论，利用导数判断单调性，求出最小值证明. （1），， 当时，易知，所以函数在R上单调递减， 当时，令，解得， 令，解得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 综上，当时，函数在R上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）令，， ，令，， 则，所以在上单调递增， 当时，，又， 有，，即单调递减， ，，即单调递增， 所以，而此时， 所以当时，成立； 当时，可得，， 所以 又， 所以存在，使得，即， ，，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，由可得， ， 下面证明，， 令， ， 所以在上单调递增， ， 即得证，即成立， 综上，当时，成立. 【典型例题3】已知函数. （1）讨论函数单调性； （2）当时，求证：. 【答案】见解析 【解析】（1）根据的导函数进行分类讨论单调性 （2）欲证，只需证，构造函数，证明，这时需研究的单调性，求其最大值即可 解：（1）的定义域为， ， ① 当时，由得，由，得， 所以在上单调递增，在单调递减； ②当时，由得，由，得，或， 所以在上单调递增，在单调递减，在单调递增； ③当时，，所以在上单调递增； ④当时，由，得，由，得，或， 所以在上单调递增，在单调递减，在单调递增. （2）当时，欲证，只需证， 令，，则， 因存在，使得成立，即有，使得成立. 当变化时，，的变化如下： 0 单调递增 单调递减 所以. 因为，所以，所以. 即， 所以当时，成立. 【典型例题4】已知函数（）. (1)求在区间上的最大值与最小值； (2)当时，求证：. 【答案】见解析 【解析】（1）求导（）（），分，讨论求解； （2）方法一：隐零点法，由，，转化为证明，令，（），由成立即可；方法二：（同构）由，，转化为，进而变形为，再构造函数（），证即可. （1）解：（）（）， 令，则， 当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增， 所以，. 当时，，则当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增， 所以， 而，.所以 综上所述，当时，，； 当时，所以，. （2）方法一：隐零点法 因为，，所以，欲证，只需证明， 设，（），， 令，易知在上单调递增， 而，， 所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的使得， 即，因此，， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以 所以，因此. 方法二：（同构） 因为，，所以，欲证，只需证明， 只需证明， 因此构造函数（）， ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增： 所以，所以， 所以， 因此. 【变式训练7-1】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，. 【变式训练7-2】已知函数 (1)当时，求的零点； (2)若恰有两个极值点，求的取值范围. 【变式训练7-3】已知函数． (1)若实数，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)设，若且，使得，证明：． 【变式训练7-4】已知函数． (1)已知点在函数的图象上，求函数在点P处的切线方程． (2)当时，求证． 【变式训练7-5】函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若直线是函数的切线，求实数的值； (3)当时，证明：． 【变式训练7-6】已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)当时，证明：． 【变式训练7-7】已知函数 (1)讨论的单调性; (2)证明:当时， 题型08:选择关键部位构造函数 【典型例题】已知函数. (1)若是的极小值点，求的取值范围； (2)若只有唯一的极值点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）利用导数分，和讨论函数单调性即可求解； （2）由（1）可知当时，此时有唯一的极大值点，题意转化成，令，利用导数求其最值即可 （1）由可得， 当时，， 则当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故是的极大值点，不符合题意，舍去； 当时，令，则或； 由可得当时，，单调递增；当或时，，单调递减， 故是的极大值点，不符合题意，舍去； 当时，， ①若，即，，故在上单调递增，不符合题意，舍去； ②若，即时， 当或时，，单调递增；当时，，单调递减， 故是的极大值点，不符合题意，舍去； ③若，即时， 当时，，单调递减；当或时，，单调递增， 故是的极小值点，符合题意. 综上所述，的取值范围. （2）由（1）可知，当时，此时有唯一的极大值点，要证：， 设，， 设，，， 当，当， 于是在单调递增，在单调递减， 于是， 则由可得， 当，当， 且在单调递减，在单调递增， 那么，即证 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 【变式训练8-1】已知函数. (1)若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求实数的值； (2)证明：若，则. 【变式训练8-2】已知函数 (1)讨论的单调性； (2)证明：. 【变式训练8-3】已知函数. (1)若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求实数的值； (2)证明：若，则. 题型09:放缩法证明不等式 （1） 参数放缩 【典型例题1】已知函数. (1)若，求的极值点； (2)证明：当时，曲线恒在图象的上方. 【答案】(1)为的极小值点，无极大值点 (2)证明见解析 【解析】（1）求导后，根据的正负可确定单调性，由极值点的定义可得结果； （2）由可推导得到；根据所证结论可知只需证得即可；分别令、，利用导数可求得和，由可证得结论. （1）当时，，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 是的极小值点，无极大值点. （2）当时，，则，， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，； 设，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； ，， 在上恒成立，即，， 又，， 即当时，曲线恒在图象的上方. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的极值点、证明两函数图象位置关系的问题；本题第二问求解的关键是能够结合放缩的思想去掉变量，将两函数图象位置关系的证明转化为不等式的证明问题，进而通过构造函数的方式进一步将问题转化为两函数最值之间关系的求解问题. 【典型例题2】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：不等式. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）求导，然后分和两种情况讨论的单调性即可； （2）法一：将证明成立转化为证成立，然后根据单调性得到，即可得到； 法二：将证明成立转化为证成立，然后根据的单调性得到，即可得到. （1）定义域为，， ①若恒成立，即恒成立，因为，所以恒成立，所以，因为，当且仅当即时，等号成立，所以，即时，在上是单调递增； ②当时，则的根为，， 由，得，，由，得或，，得.∴在，上单调递增，在上单调递减. 综上，时，在上是单调递增； 时，在，上单调递增；在上单调递减. （2）要证，只须证. ∵，即证. 法一：∵，∴只需证， 则，令，恒成立， ∴在上单调递增，又，. ∴使，即，∴. 当时，，即；当时，，即， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴. ∴，得证. 法二：令，只须证. ，令，则.∵，∴，∴在上单调递增. 又∵，而，∴，使，∴，即. ∵，在上单调递增，∴，即， 又知，知.当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，得证. 【点睛】导数证明不等式方法： （1）构造函数：转化为求函数的最值问题； （2）放缩法：要证，而，只要证明即可，可以通过函数不等式，切线不等式进行放缩. （3）隐零点法：当导数零点不可求时可先证明零点存在，再用此零点代入求函数最小值； （4）转化为比较两个函数最值大小：要证，只要证即可. 【变式训练9-1-1】已知函数，若恒成立， (1)求实数的取值范围； (2)当时，证明：. 【变式训练9-1-2】已知函数. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)当时，证明恒成立. 【变式训练9-1-3】已知函数. （1）求函数的极值； （2）若，求证：. （2） 利用结论放缩 【典型例题1】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若对恒成立，求k的取值范围； (3)求证：对，不等式恒成立. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】(1)对函数求导，利用导数的几何意义即可求解； (2)根据题意将不等式进行等价转化为求函数在的最小值问题，利用导数求解即可； (3)结合（2）的结论，构造函数，利用导数即可求解. （1）因， 所以，所以所求切线方程为， 即； （2）因为在上恒成立， 而，令得 所以 ①当，即时，， 所以在上单调递增，则，满足题意； ②当，即时，设， 则的对称轴为， 所以在上存在唯一零点，当时，， 所以在上单调递减，故，不合题意. 综上，k的取值范围为； （3）由（2），当时，在恒成立，即， 令， 则，故在上单调递增， 所以，即在上恒成立. 综上可得，对，不等式恒成立. 【点睛】关键点点睛：第三问解题关键是在（2）中令得到，将所证明的不等式转化为证明在上恒成立即可. 【典型例题2】已知函数为常数. (1)若，求的最小值； (2)在（1）的条件下，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由可求出，然后利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值； （2）将问题转化为证成立，令，则只需证明，构造函数，利用导数求出其最小值大于等于零即可. （1）由题得，则，所以， 所以 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. （2）证明：由（1）知：，所以要证 即证，即证， 即证， 因为，所以即证， 令，则只需证明， 由（1）知，令， 则在递增， 所以当时，取得最小值0， 所以，即， 所以原不等式成立. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是将问题转化为，然后通过换元，构造函数，利用导数求其最值即可，考查数转化思想和计算能力，属于较难题. 【变式训练9-2-1】已知函数（）． (1)若函数的极大值为0，求实数a的值； (2)证明：当时，． 【变式训练9-2-2】已知函数． (1)若在上恒成立，求实数a的值； (2)证明：当时，． 【变式训练9-2-3】已知函数，其中. (1)求曲线在点处切线的倾斜角； (2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围； (3)证明：. 【变式训练9-2-4】已知函数，（，）. (1)讨论函数的单调性； (2)若，证明：. （三）切线放缩 【典型例题1】函数，在点处的切线方程为． (1)求； (2)，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）根据已知结合曲线的切线得出，即可解出，，即可得出答案； （2）令，，根据导数得出，即，则要证明，只需证明，令，根据导数得出，即，要证明，只需证明，令，根据导数即可证明，即可得出答案. （1）， 在点处的切线方程为， ，解得，， 所以． （2）令，， 则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即． 若要证明，只需证明， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以当时，，即， 所以． 故只需证明． 令， 则， 所以在上单调递减， 所以当时，， 所以． 综上知，． 【典型例题2】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，都有. 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是. (2)证明见解析. 【解析】（1）函数求导，找到导函数零点，判断零点分定义域所得区间导数的符号得到函数的单调区间. （2）化简结论，构造函数，求导研究函数的单调性，证明，结合，利用不等式的性质证明结论. （1），令，则， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）要证明，即证， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， ，所以， 要证， 因为时，，，此时不等式成立， 当时，，， 只需再证时，即可. 令， ，所以，当且仅当时取等号， 所以时，； 综上所述，当时，都有. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 【变式训练9-3-1】已知函数． (1)求函数的极值； (2)当时，恒成立，求证：． 【变式训练9-3-2】已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行. (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)设，其中为的导函数.证明：对任意，. 【变式训练9-3-3】已知函数. （1）求函数的极值； （2）若，求证：. 题型10:拆分法证明不等式 将不等式转化为两个函数的最值进行比较 【典型例题1】已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）当且，求证：. 【答案】（1）见解析（2）证明见解析 【解析】（1）函数定义域为，求出导函数，通过，，判断导函数符号，求解函数的单调区间；（2）运用分析法转化证明，要证，只需证，法一中要证，只需证：，令，求导判断导数值符号即可；法二中只需证，设，，在上恒成立，求出，的最值进行比较即可；法三中只需证：.设，判断，函数单调递增，，证明即可. （1）函数定义域为， . ①若时，则，在上单调递减； ②若时，，令或. 又， 在上单调递减，在上单调递增；    ③若时，， 令或. 又， 在上单调递减，在上单调递增； （2）法一：，， 要证，只需证， 只需证：， 只需证：，设， 即， 在上单调递减，所以，即原不等式成立. 法二：要证，只需证， ，只需证， 设，， 在上恒成立， 所以在上单调递增. 所以， ， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，， 即原不等式成立. 法三：，. 要证：成立， 只需证：. 设， ， 所以在上单调递增， 所以. 即原不等式成立. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及构造法的应用，考查分类讨论以及转化思想的应用，是难题. 【典型例题2】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【答案】见解析 【解析】（1）求导，分为，两种情况讨论的正负，得出的单调性； （2）对要证的不等式进行等价变形得，构造函数，，通过导数研究两个函数的最值，证得结论. （1）由题意可得. 则时，由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减. （2）因为，所以. 因为，所以. 要证，即证，即证. 设，则. 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 故. 设，则. 当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减. 故. 因为，且两个最值的取等条件不同， 所以， 即当时，. 【典型例题3】已知函数． (1)若函数有两个极值点，求的取值范围； (2)若曲线在点处的切线与轴垂直，求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）根据条件知，有两个正的变号零点，即方程有两个不相等的正实根，有及韦达定理得到不等式，解出后验证即可； （2）根据条件，可求得，不等式转化为，利用导数考察不等式左右两边函数的最值即可证明. （1）由题，， 函数的定义域为， ， 因为有两个极值点， 所以方程有两个不相等的正实根， 设为，且，得， 且，得． 当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以在处有极小值，在处有极大值， 因此的取值范围是． （2）因为，则， 由题意知，得， 故，所以， 即， 即． 令，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以． 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以． 显然与不同时为0， 所以，故. 【变式训练10-1】已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若为的导函数，设．证明：对任意，． 【变式训练10-2】已知函数． (1)若曲线在处的切线方程为，求的值及的单调区间． (2)若的极大值为，求的取值范围． (3)当时，求证：． 【变式训练10-3】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：． 【变式训练10-4】已知函数． (1)证明函数有唯一极小值点； (2)若，求证：． 【变式训练10-5】已知函数. (1)判断0是否为的极小值点，并说明理由； (2)证明：. 【变式训练10-6】已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）当且，求证：. 【变式训练10-7】已知函数． (1)若函数有两个极值点，求的取值范围； (2)若曲线在点处的切线与轴垂直，求证：． 【变式训练10-8】已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)求证：当时，. 【变式训练10-9】已知函数． (1)若在定义域内是单调函数，求a的取值范围； (2)若有两个极值点，，求证：． 【变式训练10-10】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【变式训练10-11】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 题型11:双变量不等式的证明 【典型例题1】已知. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，，证明：. 【答案】见解析 【解析】（1）求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性； （2）借助换元法，令，，，可得、是方程的两个正根，借助韦达定理可得，，即可用、表示，进而用表示，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得. （1）当时，， ， 则当，即时，， 当，即时，， 故的单调递减区间为、，单调递增区间为； （2），令，即， 令，，则、是方程的两个正根， 则，即， 有，，即， 则 ， 要证，即证， 令， 则， 令，则， 则在上单调递减， 又，， 故存在，使，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又，则，故， 即，即. 【典型例题2】已知函数. (1)求出的极值点； (2)证明：对任意两个正实数，且，若，则. 【答案】(1)是的极小值点，无极大值点 (2)证明见解析 【解析】（1）对求导，判断导函数的正负号，得函数的单调性，得函数的极值点； （2）换元令，根据用分别表示，，将证明转化为证明，构造，求导数，证明其大于零即可. （1）函数的定义域为，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是的极小值点，无极大值点. （2）证明：由（1），在上单调递减，在上单调递增， 因为，不妨设， 令，则，， 由，得，即，即， 即，解得，，所以， 故要证，即证，即证，即证， 因为，所以，所以即证， 令，， 因为，所以在上是增函数， 所以，所以在上是增函数， 所以，所以， 所以. 【点睛】：根据得等式，设，用分别表示，，用分析法将证明转化为证明. 【变式训练11-1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，为函数的两个零点，求证：． 【变式训练11-2】已知函数有两个零点，，且， (1)求的取值范围； (2)证明： 【变式训练11-3】已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)若，（）是的两个极值点，证明：． 【变式训练11-4】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，为函数的两个零点，求证：． 【变式训练11-5】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若，满足. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 【变式训练11-6】已知. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，，证明：. 【变式训练11-7】已知函数． (1)讨论的单调性． (2)已知是函数的两个零点． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）是的导函数．证明：． 题型12:数列不等式的证明 【典型例题1】已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)的减区间为，增区间为. (2) (3)见解析 【解析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性. （2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围. （3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式. （1）当时，，则， 当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. （2）设，则， 又，设， 则， 若，则， 因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数， 所以. 当时，有，     所以在上为减函数，所以. 综上，. （3）取，则，总有成立， 令，则， 故即对任意的恒成立. 所以对任意的，有， 整理得到：， 故 ， 故不等式成立. 【点睛】：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式. 【典型例题2】已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）利用导数的几何意义求斜率； （2）问题化为时，构造，利用导数研究单调性，即可证结论； （3）构造，，作差法研究函数单调性可得，再构造且，应用导数研究其单调性得到恒成立，对作放缩处理，结合累加得到，即可证结论. （1），则， 所以，故处的切线斜率为； （2）要证时，即证， 令且，则， 所以在上递增，则，即. 所以时. （3）设，， 则， 由（2）知：，则， 所以，故在上递减，故； 下证， 令且，则， 当时，递增，当时，递减， 所以，故在上恒成立， 则， 所以，，…，， 累加得：，而， 因为，所以， 则， 所以，故； 综上，，即. 【点睛】：第三问，作差法研究单调性证右侧不等关系，再构造且，导数研究其函数符号得恒成立，结合放缩、累加得到为关键. 【典型例题3】已知函数． (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：．（且） 【答案】(1)递增区间为，递减区间为． (2) (3)证明见解析 【解析】（1）对函数求导,再根据的正负分类讨论单调性即可; （2）若恒成立，即，根据（1）中的单调性求出其最大值即可列式求解. （3）由（2）知当时,有在恒成立，令,即可推出，再对不等式两边累加求和,即可推出结论. （1）函数的定义域为． ． ①时，，的递增区间为，无递减区间； ③时，令得；令得， 所以的递增区间为，递减区间为． （2）由（1）知，时，在上递增，，不合题意， 故只考虑的情况，由（1）知 即 综上，的取值范围为． （3）由（2）知：当时，恒成立，所以， 所以当恒成立，令， 进而， 即，． 所以．（且） 即．（且） 【点睛】：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 【典型例题4】已知函数． (1)若在恒成立，求实数a的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由题意可得恒成立，令，求导得，利用导数分类可求实数a的取值范围； （2）由（1）知当时，可得在恒成立，当时，可得，利用累加法可得结论. （1）在恒成立． 构造函数，则在恒成立． 当时，，所以在上单调递增， 所以，矛盾，故舍去 当时，由得，所以在上单调递增， 故，均有，矛盾，故舍去 当时，，所以在上单调递减， 所以，满足题意； 综上，实数a的取值范围为 （2）由（1）知当时，恒成立， 即在上恒成立，当且仅当时取等号． 所以当时，可得 同理，，， 两边分别累加得： 即 即 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是通过（1）中的结论得到，再代入得到其他不等式，最后累加即可证明. 【变式训练12-1】已知函数． (1)证明：时，； (2)证明：． 【变式训练12-2】已知函数. (1)时，求的零点个数; (2)若恒成立，求实数的最大值; (3)求证:. 【变式训练12-3】已知函数. (1)若，求实数的值； (2)已知且，求证：. 【变式训练12-4】设数列的前项之积为，满足. (1)设，求数列的通项公式； (2)设数列的前项之和为，证明：. 【变式训练12-5】已知函数. （1）当时，不等式恒成立，求的最小值； （2）设数列，其前项和为，证明：. 【变式训练12-6】已知函数（）. (1)证明：； (2)若正项数列满足，且，记的前项和为，证明：（）. 【变式训练12-7】已知函数. (1)求的单调区间； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)已知数列满足：，且.证明：. 【变式训练12-8】已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，设正项数列满足：， ①求证：； ②求证：. 【变式训练12-9】已知函数 (1)证明：； (2)证明：． 【变式训练12-10】已知. (1)当，证明； (2)讨论的单调性； (3)利用（1）中的结论，证明：. 【变式训练12-11】已知函数. (1)当时，，求的取值范围； (2)函数有两个不同的极值点（其中），证明：； (3)求证：. 【变式训练12-12】已知函数（其中为自然对数的底数），． (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的都有不等式成立，求实数a的值． (3)设，证明：． 【变式训练12-13】已知函数，为的导数 (1)讨论的单调性； (2)若是的极大值点，求的取值范围； (3)若，证明：． 【变式训练12-14】已知函数（），. (1)讨论函数的单调性； (2)证明：（）； (3)证明：（）. 【变式训练12-15】已知函数， (1)求的最小值； (2)证明：. 【变式训练12-16】已知函数 (1)若函数在内点处的切线斜率为，求点的坐标； (2)①当时，求在上的最小值； ②证明：． 题型13: 三角函数类型不等式的证明 【典型例题】已知函数，．当，时，求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：要证，即证，只需证， 因为，也就是要证，令， 因为，所以， 所以在上为减函数， 所以，所以得证． 【变式训练13-1】已知函数，. (1)求函数的极小值； (2)证明：当时，. 【变式训练13-2】已知函数， (1)求的最小值； (2)证明：. 【变式训练13-3】已知函数 (1)若函数在内点处的切线斜率为，求点的坐标； (2)①当时，求在上的最小值； ②证明：． 高考导数压轴大题不等式证明 题型01：无限和裂项型数列不等式证明 证明不等式，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，即 这样一来，设， 则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立. 【典型例题】如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积. (1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积； (2)当时，求证：； (3)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）由基本函数的导数公式和题中新定义的含义计算即可. （2）先由新定义的运算得到，再构造函数，利用导数分析单调性，证明结论. （3）先证明时，再利用结论，得，累加法可得答案. （1）由，得.由题意可得所求面积.令，则是常数） 所以， 即曲线在上与轴围成的封闭图形的面积为. （2）令，可得（是常数），所以， 要证，只需证，令， 当时，，所以在上单调递减，所以当时，，所以，即. （3）由（2）得，当时，.因为，所以. 即.所以.. ..累加可得 ， 即， 所以. 【点睛】：构造函数，求导证明，进而得到，利用累加法得出答案. 【变式训练1-1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：且） (3)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练1-2】已知函数，， (1)求函数的单调区间及最值； (2)若对任意，有成立，求的取值范围； (3)求证：. 题型02：累积型数列不等式证明 累加列项相消证明法 证明不等式为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，如转化为 累积相消型 这样一来，设， 则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立. 证明不等式为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项常数，但可以通过取对数，把左边的积转化为对数和型，如转化为 累加或者累积相消型 【典型例题】已知函数， (1)讨论的单调性； (2)当时，以为切点，作直线交的图像于异于的点，再以为切点，作直线交的图像于异于的点，…，依此类推，以为切点，作直线交的图像于异于的点，其中．求的通项公式． (3)在（2）的条件下，证明： 【答案】(1)答案见解析(2)(3)证明见解析 【解析】（1）利用导数分成，，三种情况讨论函数的单调性； （2）根据所给的规则求出切点为的切线方程，再进一步求得，结合等比数列的定义得出结果； （3）当时，先证明成立，得出，再结合等比数列求和得出结果. （1） ①若，当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ②若，则，则在R上单调递增， ③若，当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 综上所述： ①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，则在R上单调递增； ③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，，，切点，切线斜率：， 故切线方程为：， 联立得：， 化简得：，因式分解得：． 故上式亦满足由作切线而得到的的横坐标，故， ，则是以为首项，以为公比的等比数列,故，故. （3）构造，，故在上单调递减，故故当时，，故， 则，，……， 将上式累加，得 ， 故， 故. 【变式训练2-1】已知函数，． (1)求函数的最值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)证明不等式：． 【变式训练2-2】已知正项数列的前项和为，首项. (1)若，求数列的通项公式； (2)若函数，正项数列满足：. （i）证明：； （ii）证明：. 题型03：三角函数型不等式证明 对于含有三角函数型不等式证明： 1.证明思路和普通不等式一样。 2.充分利用正余弦的有界性 3.三角函数与函数的重要放缩公式：. 【典型例题】已知函数． (1)求的极值； (2)已知，证明：． 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【解析】（1）求导后，分别在和的情况下得到单调性，结合极值定义可得结果； （2）令，结合（1）中结论，采用赋值方式可得到；令，利用导数可证得，采用放缩的方式可证得不等式. （1）由题意知：定义域为，； ①当时，，， 在上单调递增，无极值； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 的极小值为，无极大值； 综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. （2）令，则， 由（1）知：，，即， 令，则且，，， 取，则，即， 令，则， 在上单调递增，，即， ， 即. 【点睛】：本题考查利用导数求解函数极值、证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是能够对于灵活应用（1）中所求结论，并通过构造函数的方式对所证不等式进行合理放缩，从而整理得到结果. 【变式训练3-1】已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的值； (2)求证：． 【变式训练3-2】已知函数． (1)若的图象不在轴的下方，求的取值集合； (2)证明：． 题型04：凸凹翻转证明不等式 凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明，若可将不等式左端拆成，且的话，就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取为上凸型函数，为下凹型函数来完成证明. 【典型例题】已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析 【解析】（1）对求导，得到，利用导数的几何意义，得到函数在处的切线的斜率，即可求解； （2）对求导，得到，构造函数，利用零点存在性原理，可得，使得，从而得到的单调区间，进而得到，再利用，即可证明结果； （3）根据条件，将问题转化成证明在上恒成立，构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，求出单调区间，进而得到，即可证明结果. （1）因为，则， 所以，又，所以函数在处的切线方程为. （2）因为，则， 令，则，所以在区间上单调递减， 又，，所以，使得，即， 当时，，当时，， 得到在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，又，得到， 又，当且仅当时取等号，又，则， 所以，得证. （3）因为，由，得到， 又，得到，即， 所以要证，即证，即证， 令，则在区间上恒成立，所以， 即证在上恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 得到，所以，即，命题得证. 【点睛】关键点点晴，对于第（2）问，利用导数与函数单调性间的关系，结合零点存在性原理，求出函数的“隐零点”，进而得到，再结合，利用基本不等式，即可求解；对于第（3）问，利用同构思想，将问题转化成求证，通过换元，转化成在上恒成立，构造函数，利用导数，求出函数最小值，即可求解. 【变式训练4-1】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当时，求证：时，成立.参考数据. 【变式训练4-2】已知函数，m，． (1)当时，求的最小值； (2)当时，讨论的单调性； (3)当时，证明：，． 题型05：零点不等式证明 三个零点型不等式证明常见思维，关键是问题的转化．证明不等式问题第一步转化是消元，把三个根用一个变量表示，第二步构造新函数，证明的最小值，第三步由导数求得极小值点的范围，并对变形，第四步换元，最终转化为关于的多项式不等式，问题易于解决． 【典型例题】已知函数. (1)若函数在其定义域上单调递减，求实数a的最小值. (2)若函数存在两个零点，设 （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)．(2)（i）；（ii）证明见解析. 【解析】（1）求出函数的导数，借助给定单调性列出不等式求解. （2）（i）利用导数探讨函数的最值，再列出不等式求出的范围；（ii）由（1）的信息，结合零点的意义推理证得，构造函数，结合函数的零点证得即可. （1）函数的定义域为，由在上单调递减， 得，恒成立，即恒成立， 而当时，，当且仅当时取等号，因此， 所以的最小值为. （2）（ⅰ）函数的定义域为，， 令，求导得，函数在上单调递减， 而，则当时，，即；当时，，即， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，， 而当时，，当时，， 由函数存在两个零点，得，解得， 所以实数m的取值范围是. （ⅱ）由（1）知当时，，当时，， 由（ⅰ）知，则，， 由，得， ，整理得， 两式相减得，因此； 记，令，求导得， 函数在上单调递增，，即， 整理得，而 ，即， 因此，即， 所以. 【变式训练5-1】已知函数，，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设函数，且，是的两个零点. （i）求a的取值范围； （ii）证明：. 【变式训练5-2】已知函数． (1)讨论的极值点个数； (2)证明：，； (3)若关于x的方程有两个不同实根，，求a的取值范围，并证明：． 题型06：同构型不等式 常见同构技巧： 【典型例题】已知函数在上没有极值. (1)求实数的取值范围； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）由题意将函数求导，将问题等价转化为不等式恒成立问题，整理不等式，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，结合分类讨论，可得答案； （2）由（1）可得函数的单调性，化简不等式，整理不等式利用同构思想，构造新函数，利用导数研究新函数单调性，进一步化简不等式，再利用对数运算分离参数，再构造新函数，利用导数研究新函数的最值，可得答案. （1）因为，所以. 因为在上没有极值，且，所以在上恒成立. 设，则. 当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 当时，要证，只需证对恒成立， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以，所以； 当时，要证，只需证对恒成立， 因为在上单调递减，且，所以.故. （2）由（1）知在上单调递增. 因为，所以，即. 设，则，所以在上单调递增， 所以等价于.因为，所以， 所以，所以恒成立.令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，即，故的取值范围为. 【点睛】：本题解题的难点在于第二问，解题的关键在于两点：1、利用函数单调性化简不等式，在化简不等式时要注意括号里代数式的取值范围与函数单调区间的包含关系；2、整理不等式同构函数，在同构函数时要注意整体思想的应用. 【变式训练6-1】已知函数（）. (1)求在区间上的最大值与最小值； (2)当时，求证：. 【变式训练6-2】已知函数，. (1)讨论极值点的个数； (2)若恰有三个零点和两个极值点. （i）证明：； （ii）若，且，证明：. 题型07：双变量比值代换型 【典型例题】已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可求解； （2）令得，令，则，从而令，则利用导数求出最小值可得答案. （1）当时，， 曲线在处切线的斜率为，又切线方程为，即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点，则，得. ，令，则，故， 则，， 令，则，令，则，在上单调递增， ，，则在上单调递增，，故. 【点睛】：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 【变式训练7-1】已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，不等式恒成立，求a的值； (3)若实数m，n满足，证明：. 【变式训练7-2】已知函数. (1)若函数在其定义域上单调递减，求实数a的最小值. (2)若函数存在两个零点，设 （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：. 题型08：双变量不等式和差换元型 【典型例题】已知函数有3个极值点，其中是自然对数的底数． (1)求实数的取值范围； (2)求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】（1）易知0是函数的一个极值点，则函数有2个零点，利用导数讨论函数的性质可得，即.由零点的存在性定理和即可求解； （2）由（1），设，只需证．由得，令得，则只需证，利用导数讨论函数的性质得出，即可证明.当然也可以采用对称设法来证明. （1）由题意，得， 由，得或，所以0是函数的一个极值点． 所以有2个不相等的实数根，且这2个根均不为0和． 令，则． 当时，恒成立，故在定义域上是增函数，不可能有2个零点； 当时，由，得，由，得， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以，即，所以． 又． 由零点存在定理可知，在上存在唯一零点．    令，则，令得， 令得，所以在上递增，在上递减， 所以，， 所以， 由零点存在定理可知，在上存在唯一零点． 因为所以，综上，的取值范围是． （2）证明：由（1）知，0是函数的一个极值点．不妨设，所以只要证明． 由得，即两式相除得． 令，则． 所以，所以． 所以要证明，只要证明， 即，其中，所以． 所以只要证明．令， 所以，从而恒成立， 所以在上是减函数，所以． 所以在上是增函数，所以，即证：． 另解：由，知，所以，且为的两根． 记，则，当，，当， 故在上递增，在上递减． 不妨取，所以要证，即要证， 只要证，又，故只要证， 即要证，也即要证(#)． 令，则． 而当时，，故在上递减， 故，故在上递增，故，所以(#)成立， 故． 【点睛】破解含双参不等式证明题，先由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；进而巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，求出函数的最值；最后回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果. 【变式训练8-1】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，； (3)如果，且，证明：． 【变式训练8-2】已知函数，其中． (1)当时，讨论关于的方程的实根个数； (2)当时，证明：对于任意的实数，都有． 题型09：双变量不等式韦达定理型 【典型例题】已知函数（） (1)当时，讨论函数的单调性. (2)若有两个极值点 ①求的取值范围 ②证明： 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. (2)①；②证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，再根据导数和函数单调性的关系，即可求解； （2）①首先求函数的导数，转化为关于一元二次方程有2个不同的正实根，即可求解； ②首先求，再利用韦达定理，转化为关于的函数，再通过不等式构造函数，利用导数判断导函数单调性，再结合零点存在性定理，求函数的最大值，证明函数的最大值小于0，即可证明不等式. 【详解】（1）当时，（）， 令， 如图表示的关系如下， 1 3 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 在上单调递减，在上单调递增. （2）①，因为有两个极值点 即：在有两个不相等的实根，所以，所以， ②由①得 要证 即证：，只需证 令令 则恒成立，所以在上单调递减 又因为由零点存在性定理得：，使得，即， 所以，单调递增. 时，，单调递减. 则 因为在上单调递增所以 所以，即得证. 【点睛】思路点睛：本题第二问，转化为“隐零点”问题，求函数的最大值. 【变式训练9-1】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点，求证：． 【变式训练9-2】已知函数. (1)讨论的极值点个数； (2)当时，记，证明：当为锐角时，； (3)若函数有两个极值点、，且，证明：. 题型10：导数新定义的不等式证明问题 【典型例题1】帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，.其中，，…，.已知在处的阶帕德近似为. (1)求实数a，b的值； (2)设，证明：； (3)已知是方程的三个不等实根，求实数的取值范围，并证明：. 【答案】见解析 【解析】（1）结合题意，利用导数计算即可得； （2）由题意可得，借助导数研究其单调性即其正负即可得解； （3）设，借助导数，分及进行讨论，结合函数单调性与零点的存在性定理计算可得当且仅当时，存在三个不等实根，且满足，且，结合（2）中所得，代入计算并化简即可得解. （1）依题意可知，，因为，所以， 此时，，因为，， 所以，， 因为，所以； （2）依题意，， ， 故在单调递增， 由，故，，，， 综上，，； （3）不妨设，令， ， 当时，，此时单调递增，不存在三个不等实根； 当时，令，其判别式， 若，即，恒成立，即， 此时单调递减，不存在三个不等实根； 若，即，存在两个不等正实根， 此时有当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又因为，且，故， 因为，所以，即， 所以， 所以存在，满足， 又因为， 故存在，满足， 故当且仅当时，存在三个不等实根， 且满足，且， 由（2）可知，当时，， 因此，， 故， 化简可得：， 因此，命题得证. 【典型例题2】若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）假设存在两个不同的数满足条件，通过求出即可得证； （2）（ⅰ）利用“切合函数”的定义得出关系式，通过构造新函数，通过新函数的单调性得出证明. （ⅱ）利用与的关系，把待证不等式转化为关于的不等式，构造函数，利用单调性证明即可. （1）假设存在两个不同的数，满足题意， 易知，由题意可得 ， 即， ，，， ， 又， 所以. 因为，即， 化简可得，又， 所以， 代入， 可得或， 所以为“切合函数”. （2）由题意知， 因为为“切合函数”， 故存在不同的数(不妨设)使得 ， 即， 整理得， （ⅰ）先证， 即， ， 令，则由，知， 要证，只需证， 即， 设 ， 易知， 故在单调递减，所以， 故有， 由上面的式知, 所以.                                           （ⅱ）由上面的得， ， 又， 所以且， 故要证，                   只需证， 即 ， 设， 则即证 ， 设， 则， 即也就是在单调递增， ， 所以在单调递增， 所以 ， 因为， 所以， 所以， 所以原不等式成立. 【变式训练10-1】微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下: 如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数. (1)若，求函数在上的“拉格朗日中值点”； (2)若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于； (3)若，且，求证:. 【变式训练10-2】帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，. 已知在处的阶帕德近似为.注：，，，，… (1)求实数的值； (2)当时，试比较与的大小，并证明； (3)定义数列：，，求证：. 1．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 2．已知函数． (1)若方程恰有个实数解，求实数的取值范围； (2)证明：． 3．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)设，当时，证明：． 4．已知函数． (1)证明：当时，恒成立； (2)若且，证明：，． 5．已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若存在两个非负零点，求证：． 6．已知函数，其中为自然对数的底数，. (1)当时，函数有极小值，求； (2)证明：恒成立； (3)证明：. 7．已知为正实数，函数. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)求证：（）. 8．已知函数（）． (1)若函数的极大值为0，求实数a的值； (2)证明：当时，． 9．已知函数，为函数的导函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，，若，，且，证明：. 10．已知函数（）. (1)若函数的极大值为0，求实数a的值； (2)证明：当时，. 11．已知函数（其中为自然对数的底数），． (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的都有不等式成立，求实数a的值． (3)设，证明：． 12．已知函数． (1)讨论函数的零点个数； (2)若存在不同的正实数使得，证明：． 13．已知. (1)当，证明； (2)讨论的单调性； (3)利用（1）中的结论，证明：. 14．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若a，b为两个不相等的实数，且满足，求证：． 15．已知函数. (1)若在定义域上具有唯一单调性，求的取值范围； (2)当时，证明：. 16．已知函数. (1)当时，，求实数的取值范围； (2)证明：（）． 17．已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)求证：，其中，. 18．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)①当时，恒成立，求的取值范围； ②证明：. 19．若函数有两个零点，且. (1)求a的取值范围； (2)若在和处的切线交于点，求证：. 20．已知有两个极值点、，且． (1)求的范围； (2)当时，证明：． 21．已知函数． (1)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若，求证：． 22．已知函数． (1)若在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)证明：． 23．已知 (1)当时，求单调区间； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)设，，证明：． 24．已知函数． (1)若，求的值； (2)证明：． 25．已知函数． (1)当a=0时，求函数的最小值； (2)当的图像在点处的切线方程为y=1时，求a的值，并证明：当时，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $