第05讲 利用导数求函数的单调性讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学复习导数专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与函数单调性核心考点，涵盖导函数与原函数图像识别、含参/不含参函数单调性分析、已知单调性求参数、构造函数比较大小与解不等式等高考高频题型，知识架构从概念本质到综合应用层层递进，通过知识要点梳理、解题策略指导、真题题型归纳等环节，帮助学生构建“导数符号判断—单调区间分析—参数范围求解—综合应用拓展”的完整逻辑体系，突破分类讨论、构造转化等难点。 讲义以核心素养为导向，创新采用“题型分层+方法建模”教学策略，如含参单调性讨论中通过“导数类型（一次/二次）—零点位置—符号判断”三步法培养逻辑推理能力，构造函数比较大小时引导学生从“变量关系—函数模型—单调性应用”建立数学抽象思维。设置基础巩固、能力提升、综合应用三级训练题组，配合典型例题精讲和变式训练，确保学生在有限时间内掌握解题通法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统且具针对性的教学支持。

第05讲 导数与函数的单调性 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 6 题型01：导函数与原函数函数图象 6 题型02： 不含参数的函数的单调性 12 题型03： 含参数的函数的单调性 17 （一）导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） 17 （二）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型-二次项系数不含参 19 （三）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型-二次项系数含参 25 （四）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 31 题型04： 已知单调性求参数值 35 （一）已知函数在区间上单调 35 （二）已知函数在区间上存在单调区间 42 （三）已知函数在区间上不单调 45 （四）已知函数有三个单调区间 48 题型05：单调性的应用——构造函数比较大小 50 题型05:单调性的应用——构造函数解不等式 55 题型07：利用导数的运算法则构造函数 60 题型08：通过变量构造具体函数 65 题型09：通过数值构造具体函数 69 题型10：切线放缩与泰勒展开式 72 巩固提升 78 1. 考纲定位 导数与函数的单调性是高考数学核心考点，属于导数应用的基础模块，衔接导数的几何意义与函数极值、最值问题，在选择、填空、解答题中均有分布，解答题常作为导数综合题的第一问，分值占比约5-12分。 2. 命题趋势 ①基础题型：直接考查利用导数求解不含参函数的单调区间，或已知单调区间求参数的取值范围，侧重对导数运算、不等式求解的基本能力考查。 ②综合题型：与含参函数的分类讨论结合，需根据参数范围分析导数符号的变化；或与函数的奇偶性、周期性、不等式证明、零点问题联动，考查逻辑推理与综合应用能力。 ③创新方向：结合实际应用问题（如优化问题），通过分析函数单调性确定最值；或引入分段函数、抽象函数，增加思维难度。 3. 高频考点分布 ①选择/填空题：求函数单调区间、判断单调性与参数的关系、比较函数值大小（利用单调性）。 ②解答题：含参函数单调性的分类讨论、已知单调性求参数范围、单调性在极值/零点问题中的铺垫应用。 4. 易错点警示 ①忽略函数定义域对单调区间的限制，直接求解导数大于零（或小于零）的不等式。 ②含参讨论时，遗漏参数的临界值（如导数为零的点是否在定义域内）。 ③混淆“函数在区间上单调”与“函数的单调区间包含该区间”的区别。 1. 知识目标 ①理解导数与函数单调性的核心关系：函数在区间内可导时，f'(x)>0 则函数单调递增，f'(x)<0 则函数单调递减；明确 f'(x)≥0（或 ≤0）且等号仅在有限个点成立时，函数仍单调。 ②掌握不含参函数单调区间的求解步骤，能准确处理定义域对单调区间的限制。 ③学会含参函数单调性的分类讨论方法，能根据参数范围分析导数零点的存在性、零点的大小关系及零点是否在定义域内。 2. 能力目标 ①提升导数运算能力，熟练对多项式函数、分式函数、指数对数函数、三角函数等常见函数求导。 ②培养逻辑推理能力，能利用函数单调性解决比较函数值大小、证明不等式、分析函数零点个数等衍生问题。 ③强化分类讨论与数形结合思想的应用，能借助导数图像分析函数单调性的变化规律。 3. 素养目标 ①渗透数学抽象素养，理解导数符号与函数增减性之间的本质联系。 ②提升数学运算与逻辑推理素养，在含参讨论中做到条理清晰、不重不漏。 知识点一：函数的单调性的概念 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 知识点二：函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f(x)在(a，b)上单调递增 f(x)在(a，b)上单调递减 f(x)在(a，b)上是常数函数 1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2. (1)在函数定义域内讨论导数的符号． (2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”． 知识点三：由函数的单调性求参数的取值范围： 条件 结论 可导函数f(x)在(a，b)上 单调递增 在(a，b)上恒成立 单调递减 在(a，b)上恒成立 常数函数 在(a，b)上恒成立 存在单调递增区间 在(a，b)上有解 存在单调递减区间 在(a，b)上有解 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 含参函数单调性讨论依据： （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 知识点四：利用导数判断函数单调性的步骤： 方法一：第1步，确定函数的定义域，求出导函数f′(x)； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 方法二：第1步，确定函数的定义域，求出导函数f′(x)； 第2步，解不等式，结合定义域得到递增区间； 或解不等式得到递减区间； 知识点五：单调性的应用 1.比较大小：若自变量不在同一单调区间内，则要转化到同一个单调区间上，再进行比较． 2.利用单调性比较大小或解不等式，关键是构造辅助函数，利用构造的函数的单调性进行比较． 3.恒成立问题的处理思路 (1)恒成立；恒成立． (2)恒成立；恒成立． (3)恒成立；恒成立． (5)． 4.“有解”问题的处理思路 (1)有解；有解． (2)有解；有解． (3)有解；有解． (4)，使得 1. 基础题型：不含参函数单调区间的求解 步骤1：确定函数 f(x) 的定义域（关键前提，避免因忽略定义域导致区间错误）。 步骤2：求导函数 f'(x)，并将其化简为便于判断符号的形式（如因式分解）。 步骤3：解不等式 f'(x)>0 和 f'(x)<0，结合定义域确定函数的单调递增、递减区间。 2. 核心题型：含参函数的单调性讨论 ①策略1：导数为一次函数型 若 f'(x)=kx+b（k 含参），先讨论 k=0 时 f'(x) 的符号；再讨论 k eq0 时，导数零点 x=-\frac{b}{k} 是否在定义域内，结合定义域分区间判断符号。 ②策略2：导数为二次函数型 若 f'(x)=ax^2+bx+c（a 含参），先讨论 a=0 转化为一次函数；再讨论 a eq0 时，计算判别式 \Delta，根据 \Delta\le0（导数符号不变）和 \Delta>0（求零点，比较零点与定义域的位置关系）分类，逐区间判断导数符号。 ③关键原则：先定零点，再看区间，分类不重不漏。 3. 拓展题型：已知单调性求参数范围 ①等价转化：函数 f(x) 在区间 D 上单调递增f'(x)≥0 在 D 上恒成立；单调递减 f'(x)≤e0 在 D 上恒成立（等号仅在有限个点成立）。 ②求解方法：分离参数法（优先）或分类讨论法，将恒成立问题转化为求函数最值问题。 题型01：导函数与原函数函数图象 【典型例题1】设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A．   B． C．   D． 【答案】D 【解析】解法一：因为在和上，在和上， 所以函数在，上单调递增，在，上单调递减， 观察各选项知，只有D符合题意. 解法二：由题图知，在的左侧大于、右侧小于， 所以函数在处取得极大值，观察各选项知，只有D符合题意.故选：D. 【典型例题2】已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由导函数图象知，，恒成立，即函数在上单调递增， 而函数在上单调递增，在上单调递减， 因此在上，函数的变化率逐渐增大， 即函数图象逐渐由缓变陡，选项AD不满足， 在上，函数的变化率逐渐减小，即函数图象逐渐由陡变缓， 选项C不满足，选项B符合题意.故选：B. 【典型例题3】如图是函数的导函数的图象，若，则的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由的图象可知，当时，，则在区间上， 函数上各点处切线的斜率在区间内， 对于A，在区间上，函数上各点处切线的斜率均小于0，故A不正确； 对于B，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B不正确； 对于C，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C不正确； 对于D，由的图象可知，当时，， 当时，，当时，， 所以函数上各点处切线的斜率在区间内，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 而函数的图象均符合这些性质，故D正确.故选：D 【典型例题4】已知函数的导函数图像如图所示，则的图像是图四个图像中的（ ）． A． ． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，单调递增，则在上增的越来越快， 当时，单调递减，则在上增的越来越慢， 当时，单调递减，则在上减的越来越快， 当时，单调递增，则在上减的越来越慢， 只有A选项符合.故选：A. 【典型例题5】已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是(　　) 　　　　 　　　　　 　　A　　　　　　 　　B　　　　　 　　　C　　　 　　　　　D 【答案】A 【解析】设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，则g′(x)＝2－2cos x≥0．所以f′(x)在R上单调递增，故选A． 【变式训练1-1】已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数的图像、单调性以及导数等知识确定正确答案. 由图可知，当时，单调递减，，由此排除BD选项. 当时，从左向右，是递增、递减、递增，对应导数的符号为，由此排除C选项， 所以A选项正确;故选：A 【变式训练1-2】已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由的图象知，当时，，故，单调递增； 当时，，故，当，，故， 等号仅有可能在x＝0处取得， 所以时，单调递减； 当时，，故，单调递增，结合选项只有C符合.故选：C. 【变式训练1-3】设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（    ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 【答案】B 【解析】由图象可知，函数在上单调递减，A错误；函数在上单调递增，B正确，C错误； 函数在处取得极小值，D错误. 故选：B. 【变式训练1-4】如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A．在区间（－2，1）上，是增函数 B．当时，取到极小值 C．在区间（1，3）上，是减函数 D．在区间（4，5）上，是增函数 【答案】D 【解析】由导函数图象知，在时，，递减，A错； 时，取得极大值（函数是先增后减），B错； 时，，递增，C错； 时，，递增，D正确． 故选：D． 【变式训练1-5】已知函数的图象是下列四个图象之一，函数的图象如图所示，则函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设导函数与横轴的交点为，设， 由导函数的图象可知：当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减，由此可以确定选项C符合， 故选：A 【变式训练1-6】函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由导函数的图象， 函数有三个极值点，一个小于0，两个大于0，设， 当或，，单调递减； 当或，，单调递增； 只有D符合题意， 故选：D 【变式训练1-7】 设是的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f(x)和y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D． 【变式训练1-8】已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先通过特值代入易得A项符合，对于B, C, D项，通过图象观察分析可得，结合两函数图象交点的位置舍去C项. 由可得 对于，当时，在第一象限上递减，对应图象在第四象限且递增，故A正确； 对于在第一象限上与的图象在上都单调递增，故且，则. 又由可得，即与的图象交点横坐标应大于1，显然C错误，B, D正确；故选：C. 【变式训练1-9】已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可以是(　　) 【答案】C 【解析】根据导函数的正负与原函数的单调性的关系，结合导函数f′(x)的图象可知，原函数 f(x)先单调递增，再单调递减，最后缓慢单调递增，选项C符合题意，故选C． 【变式训练1-10】已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的单调增区间是 ． 【答案】和【分析】根据导函数的图象得到导数大于零的的取值范围，得解. 【解析】设函数为，由图象可得，当，， 所以函数的单调区间是和.故答案为：和. 【变式训练1-11】函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(　　) 　 【答案】D 【解析】由函数f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以 在(－∞，0)上，f′(x)＞0；在(0，＋∞)上，f′(x)＜0，选项D满足． 【变式训练1-12】已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，则下面四个图象中，的图象大致是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项. 当时，，则，则单调递增； 当时，，则，则单调递减； 当时，，则，则单调递减； 当时，，则，则单调递增； 则单调递增区间为，；单调递减区间为；故仅选项C符合要求；故选：C 题型02： 不含参数的函数的单调性 【典型例题1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，由，得， 所以函数的单调递增区间是． 故选：D. 【典型例题2】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为， ， 令，得，解得， 故函数的单调递增区间为． 故选：B． 【典型例题3】若函数，则函数的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】因为的定义域为，则， 令，，则， 在上单调递减，且， ∴当时，，即， 当时，，即， ∴在上单调递增，在上单调递减， 即函数的单调递减区间为. 【典型例题4】函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为. ，则. 令，解得.故选：D 【变式训练2-1】函数的单调递增区间是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出函数导数，解不等式即可得出递增区间. 因为函数，所以， 令，解得或，所以函数的单调递增区间为；故选：A 【变式训练2-2】函数的单调递减区间是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求导，令，利用导数求的单调递减区间. 由题意可知：的定义域为，且， 令，解得，所以函数的单调递减区间是.故选：B. 【变式训练2-3】函数的单调增区间是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】通过求导，令导函数大于，即可求解. 函数的定义域为，， 令，解得，所以函数的单调递增区间为.故选： 【变式训练2-4】已知，函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求导，通过即可求解. 因为，所以，令，解得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的单调递增区间为， 故选：C． 【变式训练2-5】已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则函数在内的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出，再利用导数求出单调递减区间. 函数，求导得，则， 由曲线在点处的切线方程为，得，解得， 于是，由，得，而，解得， 所以函数在内的单调递减区间是. 故选：A 【变式训练2-6】函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出导数，利用导数大于0可得答案. 函数 的定义域为 ， ， 由 得，解得 ， 所以 的单调增区间为 . 故选：B. 【变式训练2-7】函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，求得，结合的解集，即可求得函数的递增区间. 由函数，可得其定义域为， 且， 令，解得，所以函数的单调增区间为． 故选：C. 【变式训练2-8】函数的单调递增区间为 . 【答案】 【解析】，， 当时，，，，所以，单调递减； 当时，，，，所以，单调递增； 所以在的单调递增区间为，故答案为： 【变式训练2-9】函数的单调递增区间为________． 【答案】 【解析】 令，解得 又函数的定义域为 则函数的单调递增区间为． 故答案为：． 【变式训练2-10】已知函数，写出函数的单调递减区间 ． 【答案】 【解析】利用导数判断函数的单调性即可. ，， 令，即，解得或. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增. 综上可知，函数的单调递减区间为. 故答案为：. 【变式训练2-11】已知函数. (1)求的单调区间； 【答案】见解析 【解析】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (1)由已知，所以， 令，可得，，可得， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式训练2-12】已知函数. (1)当时，求的单调区间； 【答案】见解析 【解析】(1)增区间为，减区间为； （1）当时，. ∴，令，得. ∴当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 故函数的减区间为，增区间为； 题型03： 含参数的函数的单调性 （一）导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） 【典型例题1】若，讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【解析】由题知的定义域为，． （i）若a＜0，则，所以在上单调递增． （ii）若a＞0，则当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 【典型例题2】已知函数，求函数的单调区间. 【答案】当时，的增区间为； 当时，的增区间为，减区间为. 【解析】因为 当时，在上单调递减； 当时，令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述： 当时，的增区间为； 当时，的增区间为，减区间为. 【变式训练3-1-1】已知函数，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析. 【解析】函数的定义域为，且， 当时，在上恒成立，所以此时在上为增函数， 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上为减函数，在上为增函数， 综上：当时，在上为增函数， 当时，在上为减函数，在上为增函数； 【变式训练3-1-2】已知函数，其中，求函数的单调区间. 【答案】答案见解析. 【解析】由题意知函数的定义域为,， ①当时，令，可得，此时函数的增区间为， 令，可得,此时函数减区间为； ②当时，令，可得，此时函数的增区间为， 令，可得，此时函数减区间为 综上所述：当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为，减区间为. 【变式训练3-1-3】已知函数. (1)讨论的单调性. 【答案】(1)答案见解析 【解析】. 当时，在上单调递增. 当时，若；若. 则在上单调递减，在上单调递增. 当时，若；若. 则在上单调递增，在上单调递减. 【变式训练3-1-4】已知函数． (2)讨论的单调性． 【答案】见解析 【解析】（2）求导得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （二）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型-二次项系数不含参 【典型例题1】已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程． (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)见解析 【解析】（1）当时，，则， ∴， ∴， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）函数的定义域为， , 当时，由得或，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，由恒成立， 所以在上单调递增； 当时，由得或，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 综上可知：当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 【典型例题2】已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值和最小值； (2)试讨论函数的单调性． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)答案见解析 【解析】（1）由题意时，函数， 所以， 令得或，， 当或时，； 当时，； 所以在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数在时取得极大值，且； 在时取得极小值．且， 又，， 所以函数在区间上取得最大值为，最小值为； （2），且， 当时，，此时在单调递增； 当时，时，，此时单调递增； 时，，此时单调递减； 当时，时，，此时单调递增； 时，，此时单调递减； 综上所述：当时，函数单调递增区间为， 当时，函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为． 当时，函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为． 【典型例题3】已知函数． (1)记，若对定义域内任意的，恒成立，求实数的范围； (2)试讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)见解析 【解析】（1）显然， 即，对恒成立， 当时，； 当时，． 综上，． （2）由（1）知 ①当时，， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 即当时在上递减，上递增                           ②当时， 当时，由（1）知在单调递增            当时，当时，，当时,故当和时，，当时，,因此在上单调递减，在上单调递增          当时，当时，，当时,故当和时，，当时，,在上递减，上递增 【典型例题4】已知函数． (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【解析】（1）的定义域为，. 当时，在区间递减；在区间递增. 当时，在上递增. 当时，在区间递减；在区间递增. 【变式训练3-2-1】已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)见解析 【解析】(1)设． 当时，则，在R上单调递增， 当时，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增． 【变式训练3-2-2】已知函数，.讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【解析】因为，故可得， 令，可得或； 当时，，此时在上单调递增； 当时，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述：当时， 在上单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在和单调递增，在单调递减. 【变式训练3-2-3】已知函数，若，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【解析】， ，， 且， ①当时，， 或时，，单调递增， 时，，单调递减； ②当时，， 或时，，单调递增， 时，，单调递减； ③当时，， 时，，单调递减， ，，单调递增； 综上，当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在，单调递增，在单调递减； 当时，在，单调递增，在单调递减. 【变式训练3-2-4】已知函数． (2)若，试讨论的单调性． 【答案】见解析 【解析】（2）的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【变式训练3-2-5】已知函数. (2)当时，求函数的单调区间. 【答案】见解析 【解析】（2）当时，，， 令，得，， 当时，， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为 当时，， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为； 综上所述，当时，的单调增区间为和，单调减区间为； 当时，的单调增区间为和，单调减区间为． 【变式训练3-2-6】已知函数． (2)讨论的单调性． 【答案】见解析 【解析】（2）求导得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【变式训练3-2-7】已知函数. (2)讨论的单调性. 【答案】见解析 【解析】（2）. ①当时，由，得或. 若，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在和上单调递增，在上单调递减. 若，则，为R上的增函数. 若，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在和上单调递增，在上单调递减 ②当时，由，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在上单调递减，在上单调递增. 【变式训练3-2-8】已知函数 (1)讨论函数的单调性. 【答案】见解析 【解析】对导函数因式分解，分，和三种情况，讨论得到函数的单调性. 定义域为R，，令得或 ①当即时，令得或，令得， 故在单调递减，在，上单调递增； ②当即时，恒成立，故在R上单调递增； ③当即时，令得或，令得， 在上单调递减，在，上单调递增； 综上，当时，在单调递减，在，上单调递增； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增； （三）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型-二次项系数含参 【典型例题1】已知函数. (1)若，证明：； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【解析】（1）当时，令， ， 可得时，，此时函数单调递减； 时，，此时函数单调递增， 时，函数取得极小值即最小值，． ∴，即 （2）函数的定义域为， ， 时， 时，，此时函数单调递增，时，，此时函数单调递减； 时，，，此时函数在单调递增； 时，时，，此时函数单调递增区间为；时，，此时函数单调递减． 时，时，，此时函数单调递增区间为；时，，此时函数单调递减． 综上，当时，函数在单调递增，在单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减. 【典型例题2】求函数的单调递减区间. 【答案】答案见解析 【解析】求导后，分类讨论判定导数值为负的情况即可. 函数的定义域是，. ①当时，在上恒成立，故在上单调递减. ②当时，若，则； 若，则， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上可知，当时，的单调递减区间为，当时，的单调递减区间为. 【典型例题3】已知函数，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【解析】求出函数的导数，讨论a的取值范围，结合二次函数的性质判断导数正负，即可求得答案. 函数的定义域为. . 当时，，若，则； 若，则0，所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，，若或，则， 若，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，若或，则； 若，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减. 【变式训练3-3-1】已知函数，． (1)若在处取得极值，求的值； (2)设，试讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）因为 , 所以 因为在处取得极值, 所以, 解得: . 验证: 当时, 易得在处取得极大值. （2） 因为 所以, ① 若, 则当 时, 所以函数在 上单调递增; 当时, , 函数在上单调递减. ②若 当 时, 易得函数在 和上单调递增, 在上单调递减; 当时, 恒成立, 所以函数在上单调递增; 当时, 易得函数在 和上单调递增, 在上单调递 减. 【变式训练3-3-2】已知函数（）． (1)若是函数的极值点，求在区间上的最值； (2)求函数的单调增区间． 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2)答案见解析 【解析】（1）因为，所以， 因为已知是函数的极值点． 所以是方程的根， 所以，故，经检验符合题意，     所以，则， 所以当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增；     又，，，     且， 所以在区间上的最小值为， 最大值为； （2） 解：， 所以， 因为，， 当时，令，解得或， 所以函数的单调增区间为，，     当时，恒成立，所以函数的单调增区间为，     当时，令，解得或， 所以函数的单调增区间为，， 综上可得，当时单调增区间为，； 当时单调增区间为； 当时单调增区间为，. 【变式训练3-3-3】若函数，，讨论f (x)的单调性． 【答案】答案见解析 【解析】因为，所以， 当时，， 令，解得，且时，，时，， 所以当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， 又，所以当或时，，当时，， 所以当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， 又，所以当或时，，当时，， 所以当时，在，上单调递减，在上单调递增； 综上得：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递减，在上单调递增； 【变式训练3-3-4】已知函数，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【解析】求出函数的导数，讨论a的取值范围，结合二次函数的性质判断导数正负，即可求得答案. 函数的定义域为. . 当时，，若，则； 若，则 0，所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，，若或，则， 若，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，若或，则； 若，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减. 【变式训练3-3-5】已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性． 【答案】见解析 【解析】定义域为(0，＋∞)，；令f′(x)＝0，得x＝或x＝1. ①当0<a<1时，>1，∴x∈(0,1)和时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减； ②当a＝1时，＝1，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ③当a>1时，0<<1，∴x∈和(1，＋∞)时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减； 当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． （四）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 【典型例题1】已知函数，讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析. 【解析】因为，所以， 而 （当且仅当时取等号）， 当时，，此时的增区间为， 当时，令， 则， 令，则或，时，则， 综上：当时，的增区间为； 当时，的增区间为和，减区间为. 【典型例题2】已知函数，讨论的单调性． 【答案】在上是单调递减，在上单调递增. 【解析】，令，得． 因为，则，即原方程有两不等根，设为， 由，所以（舍去），． 则当时，，当时，， ∴在上是单调递减，在上单调递增 【变式训练3-4-1】已知函数. (1)求的单调区间； 【答案】(1)答案见解析； 【解析】（1） 函数定义域为.. 令，则有. i.当时，恒成立，有，所以在上单增，无减区间； ii. 当时，令解得：，. 当时，的对称轴，所以在上单增. 又，所以恒成立，所以有，所以在上单增，无减区间； 当时，的对称轴，且， . 由二次函数的性质可得： 在上；在上；在上. 所以在上，有，单增；在上有，单减；在上有，单增. 即在上单增， 在上单减， 在上单增. 综上所述：当时，的递增区间为，， 递减区间为， 当时，的递增区间为，无减区间. 【变式训练3-4-2】设函数 (1)求函数的单调区间； 【答案】(1)见解析 【解析】的定义域为， ，令，， ①当时，，所以在上单调递减， ②当时，，所以在上单调递减， ③当时，令，则， 且，所以在上单调递减，在 上单调递增. 综上：，的单调减区间为， ，的单调减区间为，单调增区间为 . 【变式训练3-4-3】已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【解析】的定义域是， ， 当时，在定义域上恒成立，在单调递增. 当时，令得， 当和时，，当时，， 所以在区间和上单调递增，在区间上单调递减 【变式训练3-4-4】已知函数，其中，． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案不唯一，具体见解析 【解析】（1）解：因为定义域为，所以，①当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，没有减区间；②当时，令时，，且，令得，所以的增区间为．令得，所以的减区间为 【变式训练3-4-5】讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【解析】由题意知的定义域为，， 对于，. ①当时，，在上单调递增； ②当时，令，即，解得， 令，则或； 令，则. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，f(x)在，上单调递增， 在上单调递减. 【变式训练3-4-6】判断函数的单调性． 【答案】在上单调递减 【解析】因为 所以， 令， 所以， 所以在上单调递减， 所以，即， 所以函数在上单调递减. 题型04： 已知单调性求参数值 （一）已知函数在区间上单调 【典型例题1】已知函数在区间单调递增，则的最大值为(    ) A．1 B． C． D． 【答案】B【分析】转化为在上恒成立，分离参数，即可得到答案. 【解析】因为函数在区间单调递增，所以在区间上恒成立， 即；令，，则，所以在上单调递增， 则，故，即的最大值为，故选：B 【典型例题2】若函数在上单调递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】换元法转化为在上恒成立；再构造函数，即可解答. 【解析】在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立；令，则，所以在上恒成立. 又因为在上单调递增，所以当时，故；故选：D. 【典型例题3】若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数在区间 内有意义， 则， 设则 ， ( 1 ) 当 时， 是增函数， 要使函数在区间内单调递增， 需使 在区间内内单调递增， 则需使，对任意恒成立 , 即对任意恒成立； 因为时，所以与矛盾，此时不成立. ( 2 ) 当时，是减函数， 要使函数在区间内单调递增， 需使在区间内内单调递减， 则需使 对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为， 所以， 又，所以. 综上，的取值范围是 故选：B 【典型例题4】已知函数在区间上单调，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题可得，令，设，，可得在上单调递减.最后讨论，两种情况可得答案. 令，,，设， 则， ∵，∴，，∴在上单调递减， ∴． 当即时，， 此时在上单调递增，则， 又，则，即当时满足题意； 当即时，，当时，， ∴，使得．即存在使得， 且满足在上单调递增，在上单调递减， 不满足题意．综上所述满足题意的实数的取值范围是． 故答案为： 例题4．设函数，若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】，， 令，解得或， 令，解得. 故在上严格增，在上严格减，在上严格增. 又在区间上是单调函数， 则只需，解得. 故实数m的取值范围为. 【典型例题5】已知函数（为自然数对数的底数）. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)递减区间是和，递增区间是；(2). 【解析】(1)当时，，求导得， 解得或，解得， 所以函数的单调递减区间是和，单调递增区间是； (2)依题意，， 因函数在上单调递增，则， 令，，显然在上单调递增，于是得时，，则， 所以的取值范围是. 【变式训练4-1-1】若函数在上单调递增，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据条件得即在上恒成立，构造函数，， 由二次函数的性质求出的最值即可解决问题. 在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立，令，，变形得， 因为，所以，所以当，即时，，所以；故选：A． 【变式训练4-1-2】上随机取一个实数，使在上单调递增的概率是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用导数求为增函数的等价条件，再由几何概型公式代入计算，即可得到结果. 由题意可得在上恒成立， 则在上恒成立，即，则所求概率为；故选：D 【变式训练4-1-3】设，若函数在递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】转化为在上恒成立，用指数函数单调性得，即可得解. 因为函数在递增，所以在上恒成立， 则，即在上恒成立， 由函数单调递增得，又，所以，所以， 所以即，解得，所以的取值范围是；故选：B 【变式训练4-1-4】若函数在区间上单调递增，则的可能取值为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由，结合题意在上恒成立求范围，即可判断. 由题设恒成立，所以上恒成立，即恒成立， 而在上递增，故；所以A符合要求；故选：A 【变式训练4-1-5】已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为．故选：C． 【变式训练4-1-6】若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（ ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】由，由已知递减区间，则得：， 故，1是的两根，，，故选：A 【变式训练4-1-7】若函数是单调递增函数，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数单调性与导数的关系得到恒成立即可求解； ， 依题意，恒成立， 令，， 由，可得：，由，可得：， 所以在单调递减，在单调递增； 所以的最小值为， 所以，解得， 故选：B 【变式训练4-1-8】已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得在上恒成立，利用给定单调性建立不等式并分离参数，构造函数并求出最小值，即可得出实数a的取值范围. 函数的定义域为，求导得. 由在定义域内单调递减，得在上恒成立， 即在上恒成立，而 因此当时，取得最小值，则， 因此实数a的取值范围是. 故选：D 【变式训练4-1-9】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】因为在上单调递增， 则恒成立， 即恒成立， 由于， 所以， 即的取值范围是. 故答案为： 【变式训练4-1-10】已知函数在区间上单调，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题可得，令，设，，可得在上单调递减.最后讨论，两种情况可得答案. 令，,，设， 则， ∵，∴，，∴在上单调递减， ∴． 当即时，， 此时在上单调递增，则， 又，则，即当时满足题意； 当即时，，当时，， ∴，使得．即存在使得， 且满足在上单调递增，在上单调递减， 不满足题意．综上所述满足题意的实数的取值范围是． 故答案为： 【变式训练4-1-11】若函数f(x)＝a－12x＋a的减区间为(－2，2)，求实数a的值． 【答案】a＝1. 【解析】(x)＝3a－12. 易知2和－2是(x)的零点，且(x)在(－2，2)之间为负，则a＞0， ∴(2)＝(－2)＝12a－12＝0，解得a＝1. 【变式训练4-1-12】已知函数，若g(x)在(－2，－1)内为减函数，求实数a的取值范围. 【答案】(－∞，－3] 【解析】根据题意，g′(x)＝x2－ax＋2，g(x)在(－2，－1)内为减函数， ∴x2－ax＋2≤0在(－2，－1)内恒成立， ∴即解得 所以实数a的取值范围是(－∞，－3]. 【变式训练4-1-13】（1）若在是减函数，求实数m的取值范围； （2）已知函数在R上无极值点，求a的值. 【答案】（1）；（2）1 【解析】（1）依题意知，在内恒成立， 所以在内恒成立，所以， 因为的最小值为1， 所以，所以实数m的取值范围是. （2），依题意有， 即，，解得. 【变式训练4-1-14】已知函数． (1)若在，上是减函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) 【解析】(1)函数的定义域为， ， 在，上是减函数， 在，内恒成立， 在，内恒成立， 设，则， ，，在，内单调递增， ， 由可得． （二）已知函数在区间上存在单调区间 【典型例题1】若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为 ，且其导数为． 由存在单调递减区间知在 上有解，即有解． 因为函数的定义域为 ，所以． 要使有解，只需要的最小值小于，所以，即， 所以实数的取值范围是 ．故选:B． 【典型例题2】已知函数，. （1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围； 【答案】（1）；（2）最大值点为.. 【解析】（1）∵在上存在单调递增区间， ∴在上有解， 即在上成立， 而的最大值为， ∴， 解得：. 【变式训练4-2-1】已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】转化为在上有解，得到在上有解， 令，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 因为函数，可得， 因为函数在上存在单调递减区间，可得在上有解， 即在上有解，令，则，且， 当时，，所以；当时，，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，故，所以；故选：D． 【变式训练4-2-2】已知函数，若在区间上存在单调递增区间”，求的取值范围． 【答案】 【解析】将题意转化为当时，有解，即有解，求出即可得出答案. 因为，所以， 若在上存在单调递增区间， 则当时，有解，即有解， ，即， 故的取值范围是． 【变式训练4-2-3】已知函数，当若在区间上存在减区间，求的取值范围. 【答案】 【解析】，，在区间上存在减区间，即有解. 考虑恒成立时，， 设，，故，故. 故当时，在上不恒成立，即存在使，即在区间上存在减区间. 综上所述：. 【变式训练4-2-4】已知函数（且）存在单调递减区间，求实数的取值范围． 【答案】． 【解析】∵，∴（）． ∵函数存在单调递减区间， ∴在上有无穷多个解． ∴关于的不等式在上有无穷多个解． ①当时，函数的图象为开口向上的抛物线， ∴关于的不等式在上总有无穷多个解． ②当时，函数的图象为开口向下的抛物线， 其对称轴为直线． 要使关于的不等式在上有无穷多个解， 则，解得，此时． 综上所述，实数的取值范围为． 【变式训练4-2-5】已知函数． （Ⅰ）若函数在上存在单调递减区间，求的取值范围； 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）由题意得． 令，可得． 在上存在单调递减区间，等价于不等式在上有解， 所以，解得． （三）已知函数在区间上不单调 【典型例题1】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为(    ) A． B． C． D．m>1 【答案】B 【解析】由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可． 函数的定义域为，且， 令，得，因为在区间上不单调，所以，解得：；故选：B. 【典型例题2】已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 当时，，即函数在区间上单调递增，不符合题意 当时，， 则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 要使得函数在区间上不是单调函数，则 解得 故选：C 【典型例题3】若对于任意 ，函数在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，若存在，在区间上为单调函数， 则①在上恒成立，或②在上恒成立． 由①得在上恒成立，由于，所以， 即在上恒成立，由于函数均为上的单调递减函数， 所以单调递减，当时，取最大值，则， 又存在，所以， 当时，取到最小值-5，所以，即； 由②得在上恒成立，则，即， 所以存在，函数g(x)在区间(t,3)上为单调函数的m的取值范围为或， 因此使函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为. 故答案为： 【变式训练4-3-1】已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数 所以. 因为在上不单调. 所以在上有解， 又在上单调递增， 所以，， 解得 故. 故选：C 【变式训练4-3-2】函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则的取值范围是______________． 【答案】 【解析】函数的定义域为，. 令，，可得，列表如下： 极小 所以，函数在处取得极小值， 由于函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数， 则，由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练4-3-3】若函数在上不单调，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】因为函数在上不单调， 所以函数在存在变号零点， 由可得：，， 于是，解得：5. 故答案为： 【变式训练4-3-4】已知函数在上不单调，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】解：函数 ， 函数在，上不单调， 在，上有解 在，上有解 在，上有解 或 且且且△， 或，而， 故答案为：． 【变式训练4-3-5】已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，求b的取值范围． 【答案】b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞). 【解析】解：若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立， 则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0， 解得－1≤b≤2， 由题意知y′≥0不恒成立， 故b<－1或b>2， 所以b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞). （四）已知函数有三个单调区间 【典型例题1】若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据导函数有两个不等根计算即可. 由题意得函数的定义域为，， 要使函数恰有三个单调区间，则有两个不相等的实数根， ∴，解得且，故实数a的取值范围为， 【典型例题2】若函数有三个单调区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，函数，可得， 要使得函数有三个单调区间， 则满足，即. 故选：A. 【典型例题3】已知函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，∴有三个单调区间，∴，解得且． 故选B． 【变式训练4-4-1】已知在上存在三个单调区间，则的取值范围是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【解析】若在上存在三个单调区间， 只需有个不相等的实数根， 即只需，解得：或， 故选D． 【变式训练4-4-2】若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数，所以， 由函数恰好有三个不同的单调区间，即有两个不同的零点， 所以方程满足且，解得或， 所以实数的取值范围是，故选D. 【变式训练4-4-3】已知函数，若函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是__________. 【答案】. 【解析】解：由，可得 ， 函数，若函数存在三个单调区间 即0有两个不等实根，即有两个不等实根，转化为与的图像有两个不同的交点 令，即，即在上单调递减，在上单调递增，，当时，， 所以的范围为, 故答案为： 【变式训练4-4-5】若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】解：由题意知，由函数恰好有三个单调区间，得有2个不同的实根， 所以需满足且方程的， 解得或，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练4-4-6】若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】,则, 若函数恰好有三个单调区间, 则有两个不同的零点, 即有两个不同的根, 所以且, 故答案为:. 【变式训练4-4-7】若有三个单调区间，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】， 因为有三个单调区间， 所以方程有两个不相等的实数根， 即或， 故答案为： 题型05：单调性的应用——构造函数比较大小 【典型例题1】设则a，b，c之间的大小关系式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 构造函数，得， 由得时， 知在区间上是增函数，于是，即.故选：B． 【典型例题2】设，，，则的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 故当时，函数取得最大值， 因为，，， ， 当时，函数单调递增， 可得，即．故选：B． 【典型例题3】已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用奇偶函数的判断方法，得到为偶函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，根据条件有，再比较的大小，即可求解. 易知的定义域为，关于原点对称 又，所以为偶函数， 又， 当时，，所以当时，， 令，则恒成立，所以在上单调递增， 则当时，，所以当时，，即在区间上单调递增， 因为， 又易知，，， 所以， 故选：B. 【点晴】关键点点晴：本题的关键在利用当时，，从而有当时，，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，可得，即在区间上单调递增，即可求解. 【典型例题4】已知奇函数满足.当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先证明4为的一个周期，可得，再利用导数证明在上单调递增，从而可得答案. 由奇函数满足，得， 则，所以4为的一个周期， 则， 当时，，令， 则，所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，故. 故选：B. 【变式训练5-1】已知，则（ ） A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【答案】B 【解析】设，则， 当时，，递减； 当时，，递增； 又， 即， 则， ∴f（π）＞f（4）＞f（5），即b＞a＞c．故选：B． 【变式训练5-2】设，，.则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，其中，则， 令，， 所以当时，，所以在上单调递减， 故当时，，所以当时，， 所以在上单调递增，所以， 又，所以.故选：A. 【变式训练5-3】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 构造函数1）， 则， 当时，在上单调递增， 所以，所以.故选:D. 【变式训练5-4】已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】证明函数为偶函数，利用导数判断函数的单调性，比较大小，可得大小关系. 函数的定义域为， ，故为偶函数， 当时，，令， 则，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增， 因为函数为减函数，所以， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，所以，，故. 故选：A. 【变式训练5-5】，设，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据函数的奇偶性，以及构造函数利用导数求解单调性即可. 当时，由得，所以为偶函数． 又，当时，令，则， 所以在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减． ，，所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增，所以， 即，所以，得． 故，从而，即；故选：C． 【变式训练5-6】(多选题)函数的导函数为，若当时，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为，所以，由，得， 所以，所以函数在上单调递减， 因为，所以， 即，所以，A正确； ，B正确；，C正确；，D错误. 【变式训练5-7】己知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造，利用导数证明，代入可比较的大小，根据对数函数的性质可判断的大小，从而可求解. 设，则，所以在上单调递减， 所以，所以，所以，即， 所以，即，所以，即. 由，可得，即，即，所以，即. 综上所述，；故选:B. 题型05:单调性的应用——构造函数解不等式 【典型例题1】设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，，且，则不等式f(x)g(x)>0的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数F(x)＝f(x)·g(x)．由题意可知，当x<0时，， 所以F(x)在上单调递增． 又因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数， ，所以F(x)是定义在R上的奇函数， 从而F(x)在上单调递增． 而F(3)＝f(3)g(3)＝0，所以F(－3)＝－F(3)＝0， 当时，f(x)g(x)>0的解为； 当时，f(x)g(x)>0的解为； 综上可知不等式f(x)g(x)>0的解集为.故选：A. 【典型例题2】已知是定义在上的偶函数且，若，则的解集为 . 【答案】 【解析】令，则 ， 由于，所以，故在上单调递减， 又是定义在上的偶函数且，故，所以， 等价于，因此， 故的解集为， 故答案为： 【典型例题3】已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则的解集为 ． 【答案】 【解析】当时，因为，所以， 所以，所以在上为增函数， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，且的定义域为，关于原点对称， 所以也是定义在上的奇函数，且， 又因为在上为增函数，所以在上为增函数， 由，得， 所以，因为在上为增函数， 所以，即. 所以的解集为.故答案为： 【典型例题4】已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【解析】依题意令，，则， 因为当时，， 所以当时，， ∴在上单调递减， 则等价于，即， ∴，解得，所以所求不等式的解集为.故答案为： 【典型例题5】已知定义在R上的偶函数的导函数为，当x>0时，，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】当时，，∴， 令，∴在上单调递减， 又是定义在上的偶函数，∴是上的奇函数，即在上单调递减， ∵，∴， 当，即时，， ∴； 当，即时，， ∴，则. 故不等式的解集为. 故答案为：. 【变式训练6-1】已知函数，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先求函数的解析式，再根据导数判断函数的单调性，根据函数的单调性，解抽象不等式. ，得， 所以，，， 所以函数在单调递增， 所以，即，即， 即，且，得且. 故选：C 【变式训练6-2】已知函数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求导，结合基本不等式可求解函数的单调性，结合奇偶性可将问题转化为，利用三角函数的性质求解最值即可得解. 因为，则， 则在上单调递增，因为，所以是奇函数. 因为等价于， 所以，即恒成立， 所以. 故选：B. 【变式训练6-3】已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 故为奇函数，， 故函数单调递增，故故解集为. 故选：B. 【变式训练6-4】在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf′(x)＜0的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－2，－1)∪(1，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】A 【解析】在(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f(x)单调递增，所以f′(x)＞0，使xf′(x)＜0的范围为(－∞，－1)； 在(－1，1)上，f(x)单调递减，所以f′(x)＜0，使xf′(x)＜0的范围为(0，1)． 综上，关于x的不等式xf′(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)． 【变式训练6-5】已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)>1的解集为 ． 【答案】 【解析】f′(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，当且仅当x＝0时取“＝”，∴f(x)在R上单调递增，又f(0)＝1，∴原不等式可化为f(2x－3)>f(0)，即2x－3>0，解得x>，∴原不等式的解集为． 【变式训练6-6】设函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－cosx，则不等式f(2x－1)＋f(x－2)>0的解集为(　) A．(－∞，1)　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．(1，＋∞) 【答案】D 【解析】当x≥0时，f(x)＝ex－cosx，此时有f′(x)＝ex＋sinx>0，则f(x)在[0，＋∞)上为增函数， 又f(x)为R上的奇函数，故f(x)在R上为增函数． f(2x－1)＋f(x－2)>0⇒f(2x－1)>－f(x－2)⇒f(2x－1)>f(2－x)⇒2x－1>2－x，解得x>1， 即不等式的解集为(1，＋∞)． 【变式训练6-7】已知函数，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先判断函数的单调性和奇偶性，从而由函数的单调性与奇偶性解不等式即可. 的定义域为R，， 所以，在上，，则函数单调递减，在上，，则函数单调递增. 因为，所以是偶函数. 由，可得，于是，即， 化简得，解得，即；故选：D. 【变式训练6-8】已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为 ． 【答案】∪[2，＋∞) 【解析】由f(x)图象特征可得，在和[2，＋∞)上f′(x)≥0，在上f ′(x)<0， 所以xf ′(x)≥0⇔或⇔0≤x≤或x≥2，所以xf ′(x)≥0的解集为∪[2，＋∞)． 【变式训练6-9】f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】f(－x)＝(－x)3＋2x＋e－x－ex＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． 又f ′(x)＝3x2－2＋ex＋≥0－2＋2＝0，所以函数f(x)为单调递增函数． 不等式f(a－1)＋f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤－f(a－1)＝f(1－a)，所以2a2≤1－a，解得－1≤a≤． 【变式训练6-10】若函数f(x)＝lnx＋ex－sinx，则不等式f(x－1)≤f(1)的解集为 ． 【答案】(1，2] 【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝＋ex－cos x．∵x>0，∴ex>1，∴f′(x)>0，∴f(x) 在(0，＋∞)上单调递增，又f(x－1)≤f(1)，∴0<x－1≤1，即1<x≤2，原不等式的解集为(1，2]． 题型07：利用导数的运算法则构造函数 导数关系构造函数的一些常见结构： (1)对于不等式f'(x)+ g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)+g(x). (2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)-g(x). 特别地，对于不等式f'(x)> k，构造函数F(x)= f(x)-kx. (3)对于不等式f'(x)g(x)+ f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)·g(x). (4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)=. (5)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0，构造函数F(x)=. (6)对于不等式f'(x)+f(x)>0，构造函数F(x)=. (7)对于不等式f'(x)+kf(x)>0，构造函数F(x)=. 【典型例题1】已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，利用导数求得单调递增，得到，即可求解. 根据题意知，即，构造函数， 可得，因为，所以， 所以在上单调递增， 则，两边同乘，即． 故选:B 【典型例题2】设定义域为的函数的导函数为.已知，，若在上恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先利用导函数的奇偶性分析原函数的奇偶性，再构造函数，根据题意分析单调性，结合不等式有意义，分类讨论，并结合同构特点利用单调性解不等式可得. 令，由， 则，故， 由，令，则，故， 故，可知为偶函数； 令，则， 当时，由，则，即在上严格递增， 则当时，，则； 则由偶函数对称性可知，当时，. 由，则. 不等式可化为，其中且. 当时，，则， 故不等式无解； 当时，，可得，即， 由在上严格递增，可知，解得， 所以； 综上所述，不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据题意中导函数满足的不等关系及所求解不等式，构造函数，利用新函数的单调性求解抽象不等式. 【典型例题3】函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造一个新的函数，然后根据函数的单调性来确定不等式的解集. 设. 对求导，则. 已知，即，而恒成立，所以恒成立. 这说明函数在上单调递增. 已知，则. 不等式可变形为，即，也就是. 因为在上单调递增，所以. 不等式的解集为，. 故选：B 【变式训练7-1】已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造，利用导数研究单调性，再依次比较各项对应函数值大小即可. 设，则，则在上单调递增， 对于A，，化简得，错； 对于B，，化简得，错； 对于C，，化简得，对； 对于D，，化简得，错. 故选：C 【变式训练7-2】定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由构造函数，判断的单调性，结合选项和函数的单调性比较函数值的大小即可. 构造函数，则， 因为，所以，故是增函数. 由得，， 即，故A正确； 由得，， 即，故B正确； 由得，， 即，故C错误； 由得，， 即，即，故D正确. 故选：ABD． 【变式训练7-2】已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 【答案】或 【解析】由题意构造，进而在上是增函数，根据奇偶函数的定义判断的奇偶性，原不等式等价于，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 令， 则， 由当时，，所以， 即在上是增函数， 由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以， 所以是偶函数，在递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或． 故答案为：或 【变式训练7-3】定义在上的函数的导函数为，当时，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】构造，求导得出函数的单调性，利用单调性解不等式即可． 解：令 则，， 当时，， 所以当时，， ，故在上为减函数， 令， 则， 所以， 故不等式的解集为 故答案为： 题型08：通过变量构造具体函数 【典型例题1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先构造函数，利用函数的单调性即可得到结果. 构造函数，定义域为， 求导得，当时，，函数单调递增； 又因为，即， 由函数的单调性得， 故选：A 【典型例题2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，因为，即可判断选项A；由，得，构造函数，利用导数分析函数的单调性，利用单调性比较大小，即可判断选项C；由知，两边取对数即可判断选项B；由，所以，即可判断选项D. 对于A选项，当时，，因为，所以A错误； 对于C选项，，由， 得， 令，则，，由， 得，由，得，则函数在上单调递减， 在上单调递增，且时，，当时， ，如图，因为，由，得，即， 所以，选项C正确； 对于B选项，由知，则即，所以B错误； 对于D选项，因为， 所以，得，D错误. 故选：C． 【典型例题3】已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，通过其单调性和奇偶性即可求解； 构造函数，易知其为偶函数， ， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以在单调递减，单调递增，又其为偶函数， 所以即， 等价于，即， 故选：B 【变式训练8-1】已知角、满足：，，且，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 令，因为， 所以单调递增，所以， 因为，，所以，故， 故，，故AB错误， 因为在上单调递减， 所以，即，C错误， 又在上单调递减， 所以，即,D正确， 故选: D． 【变式训练8-2】已知，若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数并利用导函数判断函数的单调性，然后分三种情况讨论，然后根据三角函数的单调性即可得 令，得， 若，则 所以在上单调递增， 当时，则， 所以， 又在上单调递增，所以，， 当时，， 又在上单调递增，所以，不合题意； 当时，， 所以， 又在上单调递增， 所以，所以，， 综上可得， 故选：A 【点睛】关键点点睛：构造判断单调性，然后分类讨论，利用放缩法对变形，结合正余弦函数的单调性即可得. 【变式训练8-3】已知，，且，其中为自然对数的底数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】原因变形为，进而变形为，令，求导可得函数在上单调递增，从而可得，可判断A；进而计算可得，判断B；进而得，计算可判断CD. 因为，，所以， 又因为，所以， 所以，令，求导得， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以，所以，故A正确； 所以，所以，所以，故B错误； 因为，所以，故C正确； 又，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：关键在于由原式变形放缩得到，进而构造函数，通过单调性解决问题. 题型09：通过数值构造具体函数 【典型例题1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可通过构造函数且，利用导数求出其单调性，即可比较得出各数的大小. 因为，所以构造函数且， 则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上可知，在与上单调递減，在上单调递增. 所以. 又因为，所以， 可得. 故选：C. 【典型例题2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数，则有、、，结合导数计算可得其单调性，即可得解. 令，则， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 又、、， 由，故. 故选：C. 【变式训练9-1】设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式，可得． 设，（），则. 令得，所以函数在区间单调递增. 因为，所以， 即，即，所以． 故选：B 【变式训练9-2】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易得，，，构建函数，求导判断其单调性，利用单调性比较大小即可. 由题意可得，，， 设，，则， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，，，且， 可得，，所以. 故选：D. 【变式训练9-3】已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造函数得出函数单调性可知，再由的近似值可得结论. 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，取得极大值，则，， 故． 故选：D 【变式训练9-4】已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是 .（用“<”号连接）． 【答案】 【解析】由题意构造函数，求导研究其单调性，根据题目中的等式，对应函数值的大小，可得答案. 构造函数， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， ， ， 因为，所以，即， 而，b，，所以， 故答案为：. 题型10：切线放缩与泰勒展开式 常用放缩：，， 放缩结论补充1：不等式， 放缩结论补充2： 对于，该不等式在R上恒成立，若令，则有 ，当时，不等式两边同乘，则有， 最后得出 放缩结论补充3： 对于，令，则有，可得. 附：常用公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【典型例题1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解. [方法一]：构造函数 因为当 故，故，所以； 设， ，所以在单调递增， 故，所以， 所以，所以，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以，故选A [方法三]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. [方法四]：构造函数 因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以， 故选：A． [方法五]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以． 故选：A． 【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法； 方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解． 【典型例题2】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，通过其单调性可判断，进而可求解. 易知，， 构造函数， 求导，易知当时，，单调递增； 所以， 所以， 所以， 故选：A 【典型例题3】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用导数可证，故可得，从而可得三数的大小关系. 令，所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以，所以， 当且仅当时取等号，则当时，， 即，所以； 因为，故，当且仅当时等号成立， 故，故． 综上可知． 故选：B． 【变式训练10-1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，利用单调性可判断的大小，构造函数，利用单调性可判断的大小，进而可得结论. 令，求导得， 令，所以，所以在上单调递增， 所以，所以，所以单调递增， 所以，所以， 所以，所以，即， 令，求导得， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以. 故选：B. 【变式训练10-2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用计算即可. 令， 则， 显然时，时， 所以在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以（时取得等号）， （时取得等号）， 故，即. 故选：B 【变式训练10-3】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，利用导数求得的单调性和最小值，得到，得出；再构造函数，求得在上递增，结合，得到，即可求解. 构造函数，则， 令时，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以函数在处取最小值，所以，（且）， 可得，所以； 再构造函数，可得， 因为，可得，，所以，在上递增， 所以，可得，即，所以， 综上可得：. 故选：A. 【变式训练10-4】已知，，，则a，b，c的大小关系为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数以及函数，分别利用导数研究其单调性，进而根据单调性比较函数值的大小. 令，， 当时，，，，单调递增， ，即，，即； 令， ， 令， 令，， 当时，，单调递增， ， 在上单调递减，， ，在上单调递减， ，即， 综上所述. 故选:C. 一、选填题 1．函数的单调递增区间是（    ） A．和 B． C． D． 【答案】D 【解析】先求得，令求解即可． 函数的定义域为， ， 令，可得， 所以的单调递增区间是． 故选：D． 2．若函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依据题意转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. 因为，所以， 因为在上单调递减，所以对恒成立， 得到，即对恒成立， 令，则对于恒成立， 当时，由反比例函数性质得在上单调递减， 得到，即，故D正确. 故选：D 3．已知（其中为自然对数的底数），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据式子特点，构建函数，利用导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，则可得结果. 根据的形式转化可得， 从而构造函数， 则， ， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在，上单调递增，，即， 又， 所以，即. 故选：C. 4．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用导数说明函数在上的单调性，结合单调性判断即可. 因为， 所以， 所以当时，， 所以在上单调递增， 因为， 所以，即． 故选：B． 5．若都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】将所给不等式转化为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此得出正确的选项. 根据题意，若，则. 设. 所以可得在，函数为增函数. 对于，其导数. 若，解得，即函数的递增区间为； 若都有成立，即在，函数为增函数，则的最大值为1. 故选：B. 6．已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据单调性将问题转化为在上恒成立，分离参数，构造函数，利用导数求解单调性得最值求解. 由于在区间上单调递增，故在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即的最小值为． 故选：C． 7．已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求导函数，再应用单调递增导函数大于等于0，再构造函数求函数最小值，列不等式求参数范围即可. 函数定义域为，， 因为函数在定义域内单调递增，所以, 所以在恒成立，所以 设， 所以单调递减；单调递增； 所以， 所以. 故选：A. 8．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，不等式转化为，构造函数，求导得到单调性，结合，得到，根据单调性解不等式，求出解集. 令，则， 所以不等式等价转化为不等式，即， 构造函数，则， 由题意，，所以为上的增函数， 又，所以， 所以，解得，即， 所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路： 比如：若，则构造， 若，则构造， 若，则构造， 若，则构造. 9．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，，即可比较的大小，构造函数，即可比较的大小，即可得解. 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，即， 所以， 令，则， 当时，， 所以函数在上单调递增， 所以，即，即， 所以， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，即， 所以，即， 综上所述. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：构造函数，， ，是解决本题的关键. 10．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用指数函数的性质可得，构造函数证明即可比较大小. 令，求导得，即函数在上单调递减， 则，即，因此； 令，求导得， 函数在上单调递增，则，即，因此， 所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 11．已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可. 解：因为，， 设， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，， 又因为， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题关键在于观察式子的共同特征，构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小，然后结合对数运算，利用作差法比较可得. 12.(多选)设函数，则(    ) A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上递增，在上递减，在上递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确；故选：ACD. 13.已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为(    )． A． B．e C． D． 【答案】C 【解析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为．故选：C． 14.设，若函数在上递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】等价于恒成立，据此可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立，故， 而，故，故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是；故答案为： 二、解答题 1.已知函数 (1)当时，讨论的单调性； 【答案】见解析 【解析】(1)求导,然后令,讨论导数的符号即可; (1) 令,则；则 当 当,即；当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 2.已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】见解析 【解析】(1)先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； (1)因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 3.已知函数． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(2)即在区间上恒成立，整理变形可得在区间 由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立，则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则，当，时，由于， 所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是 4.已知函数 (2)设，讨论函数在上的单调性； 【答案】见解析 【解析】(2)在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解； (2)因为， 所以， 令，则，∴在上单调递增， ∴;∴在上恒成立，∴在上单调递增. 5.设函数． (1)求的单调区间； 【答案】见解析 【解析】(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性. (1)，当，；当，， 故的减区间为，的增区间为. 6.已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】见解析 【解析】(1)的定义域为．由得，， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， 7.已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】见解析 【解析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可； (1)由函数的解析式可得：， 当时，若，则单调递减，若，则单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减，若，则单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减，若，则单调递增； 8.已知且，函数． (1)当时，求的单调区间； 【答案】见解析 【解析】(1)求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性； (1)当时，, 令得,当时，,当时，, ∴函数在上单调递增；上单调递减； 9.已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】见解析 【解析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性； (1)由函数的解析式可得：，导函数的判别式， 当时，在R上单调递增， 当即时，的解为：， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上可得：当时，在R上单调递增， 当时，在，上 单调递增，在上单调递减. 10.设函数，其中. (1)讨论的单调性； 【答案】见解析 【解析】(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性. (1)函数的定义域为，又，因为，故， 当时，；当时，；所以的减区间为，增区间为. 11.已知函数. (1)当时，讨论的单调性； 【答案】见解析 【解析】(1)求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间； (1)当时，，， 令，解得，令，解得， 所以的减区间为，增区间为； 12.已知函数f(x)=sin2xsin2x. (1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性； 【答案】见解析 【解析】(1)求导，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可； (1)由函数的解析式可得：，则： ， 在上的根为：， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增. 13.已知函数，()． (1)若函数的图象在处的切线平行于x轴，求a的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)(2)答案见解析 【解析】（1）借助导数的几何意义计算即可得解； （2）求导后因式分解，再结合的取值讨论导数的正负即可得函数的单调性. （1）， 由题意可得，解得； （2），， 当时，若，则，若，则， 故在上单调递增，上单调递减； 当时，若，则， 若，则， 故在、上单调递增，上单调递减； 当时，则， 故在上单调递增； 当时，若，则， 若，则， 故在和上单调递增，上单调递减； 综上所述：若，则在上单调递增，上单调递减； 若，则在、上单调递增，上单调递减； 若，则在上单调递增； 若，则在、上单调递增，上单调递减. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 导数与函数的单调性 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 6 题型01：导函数与原函数函数图象 6 题型02： 不含参数的函数的单调性 11 题型03： 含参数的函数的单调性 12 （一）导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） 12 （二）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型-二次项系数不含参 13 （三）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型-二次项系数含参 16 （四）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 18 题型04： 已知单调性求参数值 19 （一）已知函数在区间上单调 19 （二）已知函数在区间上存在单调区间 23 （三）已知函数在区间上不单调 24 （四）已知函数有三个单调区间 26 题型05：单调性的应用——构造函数比较大小 27 题型05:单调性的应用——构造函数解不等式 29 题型07：利用导数的运算法则构造函数 32 题型08：通过变量构造具体函数 35 题型09：通过数值构造具体函数 37 题型10：切线放缩与泰勒展开式 39 巩固提升 43 1. 考纲定位 导数与函数的单调性是高考数学核心考点，属于导数应用的基础模块，衔接导数的几何意义与函数极值、最值问题，在选择、填空、解答题中均有分布，解答题常作为导数综合题的第一问，分值占比约5-12分。 2. 命题趋势 ①基础题型：直接考查利用导数求解不含参函数的单调区间，或已知单调区间求参数的取值范围，侧重对导数运算、不等式求解的基本能力考查。 ②综合题型：与含参函数的分类讨论结合，需根据参数范围分析导数符号的变化；或与函数的奇偶性、周期性、不等式证明、零点问题联动，考查逻辑推理与综合应用能力。 ③创新方向：结合实际应用问题（如优化问题），通过分析函数单调性确定最值；或引入分段函数、抽象函数，增加思维难度。 3. 高频考点分布 ①选择/填空题：求函数单调区间、判断单调性与参数的关系、比较函数值大小（利用单调性）。 ②解答题：含参函数单调性的分类讨论、已知单调性求参数范围、单调性在极值/零点问题中的铺垫应用。 4. 易错点警示 ①忽略函数定义域对单调区间的限制，直接求解导数大于零（或小于零）的不等式。 ②含参讨论时，遗漏参数的临界值（如导数为零的点是否在定义域内）。 ③混淆“函数在区间上单调”与“函数的单调区间包含该区间”的区别。 1. 知识目标 ①理解导数与函数单调性的核心关系：函数在区间内可导时，f'(x)>0 则函数单调递增，f'(x)<0 则函数单调递减；明确 f'(x)≥0（或 ≤0）且等号仅在有限个点成立时，函数仍单调。 ②掌握不含参函数单调区间的求解步骤，能准确处理定义域对单调区间的限制。 ③学会含参函数单调性的分类讨论方法，能根据参数范围分析导数零点的存在性、零点的大小关系及零点是否在定义域内。 2. 能力目标 ①提升导数运算能力，熟练对多项式函数、分式函数、指数对数函数、三角函数等常见函数求导。 ②培养逻辑推理能力，能利用函数单调性解决比较函数值大小、证明不等式、分析函数零点个数等衍生问题。 ③强化分类讨论与数形结合思想的应用，能借助导数图像分析函数单调性的变化规律。 3. 素养目标 ①渗透数学抽象素养，理解导数符号与函数增减性之间的本质联系。 ②提升数学运算与逻辑推理素养，在含参讨论中做到条理清晰、不重不漏。 知识点一：函数的单调性的概念 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 知识点二：函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f(x)在(a，b)上单调递增 f(x)在(a，b)上单调递减 f(x)在(a，b)上是常数函数 1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2. (1)在函数定义域内讨论导数的符号． (2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”． 知识点三：由函数的单调性求参数的取值范围： 条件 结论 可导函数f(x)在(a，b)上 单调递增 在(a，b)上恒成立 单调递减 在(a，b)上恒成立 常数函数 在(a，b)上恒成立 存在单调递增区间 在(a，b)上有解 存在单调递减区间 在(a，b)上有解 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 含参函数单调性讨论依据： （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 知识点四：利用导数判断函数单调性的步骤： 方法一：第1步，确定函数的定义域，求出导函数f′(x)； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 方法二：第1步，确定函数的定义域，求出导函数f′(x)； 第2步，解不等式，结合定义域得到递增区间； 或解不等式得到递减区间； 知识点五：单调性的应用 1.比较大小：若自变量不在同一单调区间内，则要转化到同一个单调区间上，再进行比较． 2.利用单调性比较大小或解不等式，关键是构造辅助函数，利用构造的函数的单调性进行比较． 3.恒成立问题的处理思路 (1)恒成立；恒成立． (2)恒成立；恒成立． (3)恒成立；恒成立． (5)． 4.“有解”问题的处理思路 (1)有解；有解． (2)有解；有解． (3)有解；有解． (4)，使得 1. 基础题型：不含参函数单调区间的求解 步骤1：确定函数 f(x) 的定义域（关键前提，避免因忽略定义域导致区间错误）。 步骤2：求导函数 f'(x)，并将其化简为便于判断符号的形式（如因式分解）。 步骤3：解不等式 f'(x)>0 和 f'(x)<0，结合定义域确定函数的单调递增、递减区间。 2. 核心题型：含参函数的单调性讨论 ①策略1：导数为一次函数型 若 f'(x)=kx+b（k 含参），先讨论 k=0 时 f'(x) 的符号；再讨论 k eq0 时，导数零点 x=-\frac{b}{k} 是否在定义域内，结合定义域分区间判断符号。 ②策略2：导数为二次函数型 若 f'(x)=ax^2+bx+c（a 含参），先讨论 a=0 转化为一次函数；再讨论 a eq0 时，计算判别式 \Delta，根据 \Delta\le0（导数符号不变）和 \Delta>0（求零点，比较零点与定义域的位置关系）分类，逐区间判断导数符号。 ③关键原则：先定零点，再看区间，分类不重不漏。 3. 拓展题型：已知单调性求参数范围 ①等价转化：函数 f(x) 在区间 D 上单调递增f'(x)≥0 在 D 上恒成立；单调递减 f'(x)≤e0 在 D 上恒成立（等号仅在有限个点成立）。 ②求解方法：分离参数法（优先）或分类讨论法，将恒成立问题转化为求函数最值问题。 题型01：导函数与原函数函数图象 【典型例题1】设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A．   B． C．   D． 【答案】D 【解析】解法一：因为在和上，在和上， 所以函数在，上单调递增，在，上单调递减， 观察各选项知，只有D符合题意. 解法二：由题图知，在的左侧大于、右侧小于， 所以函数在处取得极大值，观察各选项知，只有D符合题意.故选：D. 【典型例题2】已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由导函数图象知，，恒成立，即函数在上单调递增， 而函数在上单调递增，在上单调递减， 因此在上，函数的变化率逐渐增大， 即函数图象逐渐由缓变陡，选项AD不满足， 在上，函数的变化率逐渐减小，即函数图象逐渐由陡变缓， 选项C不满足，选项B符合题意.故选：B. 【典型例题3】如图是函数的导函数的图象，若，则的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由的图象可知，当时，，则在区间上， 函数上各点处切线的斜率在区间内， 对于A，在区间上，函数上各点处切线的斜率均小于0，故A不正确； 对于B，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B不正确； 对于C，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C不正确； 对于D，由的图象可知，当时，， 当时，，当时，， 所以函数上各点处切线的斜率在区间内，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 而函数的图象均符合这些性质，故D正确.故选：D 【典型例题4】已知函数的导函数图像如图所示，则的图像是图四个图像中的（ ）． A． ． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，单调递增，则在上增的越来越快， 当时，单调递减，则在上增的越来越慢， 当时，单调递减，则在上减的越来越快， 当时，单调递增，则在上减的越来越慢， 只有A选项符合.故选：A. 【典型例题5】已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是(　　) 　　　　 　　　　　 　　A　　　　　　 　　B　　　　　 　　　C　　　 　　　　　D 【答案】A 【解析】设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，则g′(x)＝2－2cos x≥0．所以f′(x)在R上单调递增，故选A． 【变式训练1-1】已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是(    ) A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（    ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 【变式训练1-4】如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A．在区间（－2，1）上，是增函数 B．当时，取到极小值 C．在区间（1，3）上，是减函数 D．在区间（4，5）上，是增函数 【变式训练1-5】已知函数的图象是下列四个图象之一，函数的图象如图所示，则函数图象是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-6】函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-7】 设是的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能的是( ) A． B． C． D． 【变式训练1-8】已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是(    ) A． B． C． D． 【变式训练1-9】已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可以是(　　) 【变式训练1-10】已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的单调增区间是 ． 【变式训练1-11】函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(　　) 　 【变式训练1-12】已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，则下面四个图象中，的图象大致是(    ) A． B． C． D． 题型02： 不含参数的函数的单调性 【典型例题1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，由，得， 所以函数的单调递增区间是． 故选：D. 【典型例题2】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为， ， 令，得，解得， 故函数的单调递增区间为． 故选：B． 【典型例题3】若函数，则函数的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】因为的定义域为，则， 令，，则， 在上单调递减，且， ∴当时，，即， 当时，，即， ∴在上单调递增，在上单调递减， 即函数的单调递减区间为. 【典型例题4】函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为. ，则. 令，解得.故选：D 【变式训练2-1】函数的单调递增区间是(    ) A． B． C． D． 【变式训练2-2】函数的单调递减区间是(    ) A． B． C． D． 【变式训练2-3】函数的单调增区间是(    ) A． B． C． D． 【变式训练2-4】已知，函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则函数在内的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-6】函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-7】函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-8】函数的单调递增区间为 . 【变式训练2-9】函数的单调递增区间为________． 【变式训练2-10】已知函数，写出函数的单调递减区间 ． 【变式训练2-11】已知函数. (1)求的单调区间； 【变式训练2-12】已知函数. (1)当时，求的单调区间； 题型03： 含参数的函数的单调性 （一）导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） 【典型例题1】若，讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【解析】由题知的定义域为，． （i）若a＜0，则，所以在上单调递增． （ii）若a＞0，则当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 【典型例题2】已知函数，求函数的单调区间. 【答案】当时，的增区间为； 当时，的增区间为，减区间为. 【解析】因为 当时，在上单调递减； 当时，令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述： 当时，的增区间为； 当时，的增区间为，减区间为. 【变式训练3-1-1】已知函数，讨论函数的单调性. 【变式训练3-1-2】已知函数，其中，求函数的单调区间. 【变式训练3-1-3】已知函数. (1)讨论的单调性. 【变式训练3-1-4】已知函数． (2)讨论的单调性． （二）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型-二次项系数不含参 【典型例题1】已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程． (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)见解析 【解析】（1）当时，，则， ∴， ∴， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）函数的定义域为， , 当时，由得或，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，由恒成立， 所以在上单调递增； 当时，由得或，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 综上可知：当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 【典型例题2】已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值和最小值； (2)试讨论函数的单调性． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)答案见解析 【解析】（1）由题意时，函数， 所以， 令得或，， 当或时，； 当时，； 所以在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数在时取得极大值，且； 在时取得极小值．且， 又，， 所以函数在区间上取得最大值为，最小值为； （2），且， 当时，，此时在单调递增； 当时，时，，此时单调递增； 时，，此时单调递减； 当时，时，，此时单调递增； 时，，此时单调递减； 综上所述：当时，函数单调递增区间为， 当时，函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为． 当时，函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为． 【典型例题3】已知函数． (1)记，若对定义域内任意的，恒成立，求实数的范围； (2)试讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)见解析 【解析】（1）显然， 即，对恒成立， 当时，； 当时，． 综上，． （2）由（1）知 ①当时，， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 即当时在上递减，上递增                           ②当时， 当时，由（1）知在单调递增            当时，当时，，当时,故当和时，，当时，,因此在上单调递减，在上单调递增          当时，当时，，当时,故当和时，，当时，,在上递减，上递增 【典型例题4】已知函数． (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【解析】（1）的定义域为，. 当时，在区间递减；在区间递增. 当时，在上递增. 当时，在区间递减；在区间递增. 【变式训练3-2-1】已知函数． (1)讨论的单调性； 【变式训练3-2-2】已知函数，.讨论的单调性. 【变式训练3-2-3】已知函数，若，讨论的单调性. 【变式训练3-2-4】已知函数． (2)若，试讨论的单调性． 【变式训练3-2-5】已知函数. (2)当时，求函数的单调区间. 【变式训练3-2-6】已知函数． (2)讨论的单调性． 【变式训练3-2-7】已知函数. (2)讨论的单调性. 【变式训练3-2-8】已知函数 (1)讨论函数的单调性. （三）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型-二次项系数含参 【典型例题1】已知函数. (1)若，证明：； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【解析】（1）当时，令， ， 可得时，，此时函数单调递减； 时，，此时函数单调递增， 时，函数取得极小值即最小值，． ∴，即 （2）函数的定义域为， ， 时， 时，，此时函数单调递增，时，，此时函数单调递减； 时，，，此时函数在单调递增； 时，时，，此时函数单调递增区间为；时，，此时函数单调递减． 时，时，，此时函数单调递增区间为；时，，此时函数单调递减． 综上，当时，函数在单调递增，在单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减. 【典型例题2】求函数的单调递减区间. 【答案】答案见解析 【解析】求导后，分类讨论判定导数值为负的情况即可. 函数的定义域是，. ①当时，在上恒成立，故在上单调递减. ②当时，若，则； 若，则， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上可知，当时，的单调递减区间为，当时，的单调递减区间为. 【典型例题3】已知函数，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【解析】求出函数的导数，讨论a的取值范围，结合二次函数的性质判断导数正负，即可求得答案. 函数的定义域为. . 当时，，若，则； 若，则0，所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，，若或，则， 若，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，若或，则； 若，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减. 【变式训练3-3-1】已知函数，． (1)若在处取得极值，求的值； (2)设，试讨论函数的单调性． 【变式训练3-3-2】已知函数（）． (1)若是函数的极值点，求在区间上的最值； (2)求函数的单调增区间． 【变式训练3-3-3】若函数，，讨论f (x)的单调性． 【变式训练3-3-4】已知函数，讨论的单调性. 【变式训练3-3-5】已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性． （四）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 【典型例题1】已知函数，讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析. 【解析】因为，所以， 而 （当且仅当时取等号）， 当时，，此时的增区间为， 当时，令， 则， 令，则或，时，则， 综上：当时，的增区间为； 当时，的增区间为和，减区间为. 【典型例题2】已知函数，讨论的单调性． 【答案】在上是单调递减，在上单调递增. 【解析】，令，得． 因为，则，即原方程有两不等根，设为， 由，所以（舍去），． 则当时，，当时，， ∴在上是单调递减，在上单调递增 【变式训练3-4-1】已知函数. (1)求的单调区间； 【变式训练3-4-2】设函数 (1)求函数的单调区间； 【变式训练3-4-3】已知函数. (1)讨论的单调性； 【变式训练3-4-4】已知函数，其中，． (1)讨论的单调性； 【变式训练3-4-5】讨论函数的单调性. 【变式训练3-4-6】判断函数的单调性． 题型04： 已知单调性求参数值 （一）已知函数在区间上单调 【典型例题1】已知函数在区间单调递增，则的最大值为(    ) A．1 B． C． D． 【答案】B【分析】转化为在上恒成立，分离参数，即可得到答案. 【解析】因为函数在区间单调递增，所以在区间上恒成立， 即；令，，则，所以在上单调递增， 则，故，即的最大值为，故选：B 【典型例题2】若函数在上单调递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】换元法转化为在上恒成立；再构造函数，即可解答. 【解析】在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立；令，则，所以在上恒成立. 又因为在上单调递增，所以当时，故；故选：D. 【典型例题3】若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数在区间 内有意义， 则， 设则 ， ( 1 ) 当 时， 是增函数， 要使函数在区间内单调递增， 需使 在区间内内单调递增， 则需使，对任意恒成立 , 即对任意恒成立； 因为时，所以与矛盾，此时不成立. ( 2 ) 当时，是减函数， 要使函数在区间内单调递增， 需使在区间内内单调递减， 则需使 对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为， 所以， 又，所以. 综上，的取值范围是 故选：B 【典型例题4】已知函数在区间上单调，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题可得，令，设，，可得在上单调递减.最后讨论，两种情况可得答案. 令，,，设， 则， ∵，∴，，∴在上单调递减， ∴． 当即时，， 此时在上单调递增，则， 又，则，即当时满足题意； 当即时，，当时，， ∴，使得．即存在使得， 且满足在上单调递增，在上单调递减， 不满足题意．综上所述满足题意的实数的取值范围是． 故答案为： 例题4．设函数，若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】，， 令，解得或， 令，解得. 故在上严格增，在上严格减，在上严格增. 又在区间上是单调函数， 则只需，解得. 故实数m的取值范围为. 【典型例题5】已知函数（为自然数对数的底数）. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)递减区间是和，递增区间是；(2). 【解析】(1)当时，，求导得， 解得或，解得， 所以函数的单调递减区间是和，单调递增区间是； (2)依题意，， 因函数在上单调递增，则， 令，，显然在上单调递增，于是得时，，则， 所以的取值范围是. 【变式训练4-1-1】若函数在上单调递增，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【变式训练4-1-2】上随机取一个实数，使在上单调递增的概率是(   ) A． B． C． D． 【变式训练4-1-3】设，若函数在递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式训练4-1-4】若函数在区间上单调递增，则的可能取值为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练4-1-5】已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A． B．e C． D． 【变式训练4-1-6】若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（ ） A．1 B． C．3 D． 【变式训练4-1-7】若函数是单调递增函数，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-1-8】已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-1-9】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是________． 【变式训练4-1-10】已知函数在区间上单调，且，则实数的取值范围是 ． 【变式训练4-1-11】若函数f(x)＝a－12x＋a的减区间为(－2，2)，求实数a的值． 【变式训练4-1-12】已知函数，若g(x)在(－2，－1)内为减函数，求实数a的取值范围. 【变式训练4-1-13】（1）若在是减函数，求实数m的取值范围； （2）已知函数在R上无极值点，求a的值. 【变式训练4-1-14】已知函数． (1)若在，上是减函数，求实数的取值范围． （二）已知函数在区间上存在单调区间 【典型例题1】若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为 ，且其导数为． 由存在单调递减区间知在 上有解，即有解． 因为函数的定义域为 ，所以． 要使有解，只需要的最小值小于，所以，即， 所以实数的取值范围是 ．故选:B． 【典型例题2】已知函数，. （1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围； 【答案】（1）；（2）最大值点为.. 【解析】（1）∵在上存在单调递增区间， ∴在上有解， 即在上成立， 而的最大值为， ∴， 解得：. 【变式训练4-2-1】已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【变式训练4-2-2】已知函数，若在区间上存在单调递增区间”，求的取值范围． 【变式训练4-2-3】已知函数，当若在区间上存在减区间，求的取值范围. 【变式训练4-2-4】已知函数（且）存在单调递减区间，求实数的取值范围． 【变式训练4-2-5】已知函数． （Ⅰ）若函数在上存在单调递减区间，求的取值范围； （三）已知函数在区间上不单调 【典型例题1】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为(    ) A． B． C． D．m>1 【答案】B 【解析】由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可． 函数的定义域为，且， 令，得，因为在区间上不单调，所以，解得：；故选：B. 【典型例题2】已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 当时，，即函数在区间上单调递增，不符合题意 当时，， 则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 要使得函数在区间上不是单调函数，则 解得 故选：C 【典型例题3】若对于任意 ，函数在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，若存在，在区间上为单调函数， 则①在上恒成立，或②在上恒成立． 由①得在上恒成立，由于，所以， 即在上恒成立，由于函数均为上的单调递减函数， 所以单调递减，当时，取最大值，则， 又存在，所以， 当时，取到最小值-5，所以，即； 由②得在上恒成立，则，即， 所以存在，函数g(x)在区间(t,3)上为单调函数的m的取值范围为或， 因此使函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为. 故答案为： 【变式训练4-3-1】已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3-2】函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则的取值范围是______________． 【变式训练4-3-3】若函数在上不单调，则实数a的取值范围是______. 【变式训练4-3-4】已知函数在上不单调，则的取值范围是________. 【变式训练4-3-5】已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，求b的取值范围． （四）已知函数有三个单调区间 【典型例题1】若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据导函数有两个不等根计算即可. 由题意得函数的定义域为，， 要使函数恰有三个单调区间，则有两个不相等的实数根， ∴，解得且，故实数a的取值范围为， 【典型例题2】若函数有三个单调区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，函数，可得， 要使得函数有三个单调区间， 则满足，即. 故选：A. 【典型例题3】已知函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，∴有三个单调区间，∴，解得且． 故选B． 【变式训练4-4-1】已知在上存在三个单调区间，则的取值范围是（　　） A．或 B． C． D．或 【变式训练4-4-2】若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【变式训练4-4-3】已知函数，若函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是__________. 【变式训练4-4-5】若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是______. 【变式训练4-4-6】若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是________. 【变式训练4-4-7】若有三个单调区间，则的取值范围是______. 题型05：单调性的应用——构造函数比较大小 【典型例题1】设则a，b，c之间的大小关系式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 构造函数，得， 由得时， 知在区间上是增函数，于是，即.故选：B． 【典型例题2】设，，，则的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 故当时，函数取得最大值， 因为，，， ， 当时，函数单调递增， 可得，即．故选：B． 【典型例题3】已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用奇偶函数的判断方法，得到为偶函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，根据条件有，再比较的大小，即可求解. 易知的定义域为，关于原点对称 又，所以为偶函数， 又， 当时，，所以当时，， 令，则恒成立，所以在上单调递增， 则当时，，所以当时，，即在区间上单调递增， 因为， 又易知，，， 所以， 故选：B. 【点晴】关键点点晴：本题的关键在利用当时，，从而有当时，，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，可得，即在区间上单调递增，即可求解. 【典型例题4】已知奇函数满足.当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先证明4为的一个周期，可得，再利用导数证明在上单调递增，从而可得答案. 由奇函数满足，得， 则，所以4为的一个周期， 则， 当时，，令， 则，所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，故. 故选：B. 【变式训练5-1】已知，则（ ） A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【变式训练5-2】设，，.则（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-5】，设，，，则(    ) A． B． C． D． 【变式训练5-6】(多选题)函数的导函数为，若当时，，则(    ) A． B． C． D． 【变式训练5-7】己知，则(    ) A． B． C． D． 题型05:单调性的应用——构造函数解不等式 【典型例题1】设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，，且，则不等式f(x)g(x)>0的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数F(x)＝f(x)·g(x)．由题意可知，当x<0时，， 所以F(x)在上单调递增． 又因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数， ，所以F(x)是定义在R上的奇函数， 从而F(x)在上单调递增． 而F(3)＝f(3)g(3)＝0，所以F(－3)＝－F(3)＝0， 当时，f(x)g(x)>0的解为； 当时，f(x)g(x)>0的解为； 综上可知不等式f(x)g(x)>0的解集为.故选：A. 【典型例题2】已知是定义在上的偶函数且，若，则的解集为 . 【答案】 【解析】令，则 ， 由于，所以，故在上单调递减， 又是定义在上的偶函数且，故，所以， 等价于，因此， 故的解集为， 故答案为： 【典型例题3】已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则的解集为 ． 【答案】 【解析】当时，因为，所以， 所以，所以在上为增函数， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，且的定义域为，关于原点对称， 所以也是定义在上的奇函数，且， 又因为在上为增函数，所以在上为增函数， 由，得， 所以，因为在上为增函数， 所以，即. 所以的解集为.故答案为： 【典型例题4】已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【解析】依题意令，，则， 因为当时，， 所以当时，， ∴在上单调递减， 则等价于，即， ∴，解得，所以所求不等式的解集为.故答案为： 【典型例题5】已知定义在R上的偶函数的导函数为，当x>0时，，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】当时，，∴， 令，∴在上单调递减， 又是定义在上的偶函数，∴是上的奇函数，即在上单调递减， ∵，∴， 当，即时，， ∴； 当，即时，， ∴，则. 故不等式的解集为. 故答案为：. 【变式训练6-1】已知函数，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知函数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf′(x)＜0的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－2，－1)∪(1，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【变式训练6-5】已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)>1的解集为 ． 【变式训练6-6】设函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－cosx，则不等式f(2x－1)＋f(x－2)>0的解集为(　) A．(－∞，1)　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．(1，＋∞) 【变式训练6-7】已知函数，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【变式训练6-8】已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为 ． 【变式训练6-9】f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是 ． 【变式训练6-10】若函数f(x)＝lnx＋ex－sinx，则不等式f(x－1)≤f(1)的解集为 ． 题型07：利用导数的运算法则构造函数 导数关系构造函数的一些常见结构： (1)对于不等式f'(x)+ g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)+g(x). (2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)-g(x). 特别地，对于不等式f'(x)> k，构造函数F(x)= f(x)-kx. (3)对于不等式f'(x)g(x)+ f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)·g(x). (4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)=. (5)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0，构造函数F(x)=. (6)对于不等式f'(x)+f(x)>0，构造函数F(x)=. (7)对于不等式f'(x)+kf(x)>0，构造函数F(x)=. 【典型例题1】已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，利用导数求得单调递增，得到，即可求解. 根据题意知，即，构造函数， 可得，因为，所以， 所以在上单调递增， 则，两边同乘，即． 故选:B 【典型例题2】设定义域为的函数的导函数为.已知，，若在上恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先利用导函数的奇偶性分析原函数的奇偶性，再构造函数，根据题意分析单调性，结合不等式有意义，分类讨论，并结合同构特点利用单调性解不等式可得. 令，由， 则，故， 由，令，则，故， 故，可知为偶函数； 令，则， 当时，由，则，即在上严格递增， 则当时，，则； 则由偶函数对称性可知，当时，. 由，则. 不等式可化为，其中且. 当时，，则， 故不等式无解； 当时，，可得，即， 由在上严格递增，可知，解得， 所以； 综上所述，不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据题意中导函数满足的不等关系及所求解不等式，构造函数，利用新函数的单调性求解抽象不等式. 【典型例题3】函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造一个新的函数，然后根据函数的单调性来确定不等式的解集. 设. 对求导，则. 已知，即，而恒成立，所以恒成立. 这说明函数在上单调递增. 已知，则. 不等式可变形为，即，也就是. 因为在上单调递增，所以. 不等式的解集为，. 故选：B 【变式训练7-1】已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 【变式训练7-3】定义在上的函数的导函数为，当时，且，则不等式的解集为 ． 题型08：通过变量构造具体函数 【典型例题1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先构造函数，利用函数的单调性即可得到结果. 构造函数，定义域为， 求导得，当时，，函数单调递增； 又因为，即， 由函数的单调性得， 故选：A 【典型例题2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，因为，即可判断选项A；由，得，构造函数，利用导数分析函数的单调性，利用单调性比较大小，即可判断选项C；由知，两边取对数即可判断选项B；由，所以，即可判断选项D. 对于A选项，当时，，因为，所以A错误； 对于C选项，，由， 得， 令，则，，由， 得，由，得，则函数在上单调递减， 在上单调递增，且时，，当时， ，如图，因为，由，得，即， 所以，选项C正确； 对于B选项，由知，则即，所以B错误； 对于D选项，因为， 所以，得，D错误. 故选：C． 【典型例题3】已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，通过其单调性和奇偶性即可求解； 构造函数，易知其为偶函数， ， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以在单调递减，单调递增，又其为偶函数， 所以即， 等价于，即， 故选：B 【变式训练8-1】已知角、满足：，，且，则一定有（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】已知，若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】已知，，且，其中为自然对数的底数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型09：通过数值构造具体函数 【典型例题1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可通过构造函数且，利用导数求出其单调性，即可比较得出各数的大小. 因为，所以构造函数且， 则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上可知，在与上单调递減，在上单调递增. 所以. 又因为，所以， 可得. 故选：C. 【典型例题2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数，则有、、，结合导数计算可得其单调性，即可得解. 令，则， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 又、、， 由，故. 故选：C. 【变式训练9-1】设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式训练9-4】已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是 .（用“<”号连接）． 题型10：切线放缩与泰勒展开式 常用放缩：，， 放缩结论补充1：不等式， 放缩结论补充2： 对于，该不等式在R上恒成立，若令，则有 ，当时，不等式两边同乘，则有， 最后得出 放缩结论补充3： 对于，令，则有，可得. 附：常用公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【典型例题1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解. [方法一]：构造函数 因为当 故，故，所以； 设， ，所以在单调递增， 故，所以， 所以，所以，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以，故选A [方法三]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. [方法四]：构造函数 因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以， 故选：A． [方法五]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以． 故选：A． 【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法； 方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解． 【典型例题2】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，通过其单调性可判断，进而可求解. 易知，， 构造函数， 求导，易知当时，，单调递增； 所以， 所以， 所以， 故选：A 【典型例题3】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用导数可证，故可得，从而可得三数的大小关系. 令，所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以，所以， 当且仅当时取等号，则当时，， 即，所以； 因为，故，当且仅当时等号成立， 故，故． 综上可知． 故选：B． 【变式训练10-1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-3】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-4】已知，，，则a，b，c的大小关系为（） A． B． C． D． 一、选填题 1．函数的单调递增区间是（    ） A．和 B． C． D． 2．若函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知（其中为自然对数的底数），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．若都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 6．已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 11．已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 12.(多选)设函数，则(    ) A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 13.已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为(    )． A． B．e C． D． 14.设，若函数在上递增，则a的取值范围是 . 二、解答题 1.已知函数 (1)当时，讨论的单调性； 2.已知函数． (1)讨论的单调性； 3.已知函数． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 4.已知函数 (2)设，讨论函数在上的单调性； 5.设函数． (1)求的单调区间； 6.已知函数. (1)讨论的单调性； 7.已知函数． (1)讨论的单调性； 8.已知且，函数． (1)当时，求的单调区间； 9.已知函数． (1)讨论的单调性； 10.设函数，其中. (1)讨论的单调性； 11.已知函数. (1)当时，讨论的单调性； 12.已知函数f(x)=sin2xsin2x. (1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性； 13.已知函数，()． (1)若函数的图象在处的切线平行于x轴，求a的值； (2)讨论的单调性． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $