第02讲 导数的运算讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学复习导数专题（新高考通用）

该高中数学高考复习资料聚焦导数的运算与几何意义核心考点，按基本公式、四则运算、复合函数到切线方程的逻辑层次构建知识体系，通过高考分析明确考查要求，知识要点系统梳理公式法则，解题策略指导方法技巧，题型归纳覆盖10类高频题型，帮助学生逐步突破导数运算难点。 资料以数学思维培养为核心，采用分步拆解法解析复合函数求导，设计“在点处”与“过点处”切线方程分类讨论活动，通过变式训练和巩固提升分层练习，确保学生掌握导数几何意义应用。既提升学生规范运算与逻辑推理能力，又为教师提供精准复习节奏把控的实用工具。

第02讲 导数的运算 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 7 题型归纳 8 题型01：求基本初等函数的导数 8 题型02：求函数的四则运算的导数 12 题型03：特殊函数的导函数 23 题型04：求某点处的导数值 24 题型05：求复合函数的导数 28 题型06：利用导数求函数式中的参数 36 题型07：解析式中含的导数问题 37 题型07：求切线方程 39 （一）利用导数求在某点处的切线方程 39 （二）利用导数求过点处的切线方程 41 （三）利用导数公式求切点坐标 43 （四）切线的平行、垂直问题 47 （五）曲线切线的斜率、倾斜角问题 53 （六）公切线问题 57 （七）切线条数问题 62 （八）已知切线求参数范围 64 题型08：根据导数的几何意义求参数的值 65 题型09：导数及其几何意义的综合应用 66 题型10：利用切线求距离最值 68 巩固提升 71 1. 考查频率：导数的运算是导数板块的基础，在高考中每年必考，既会单独以选择题、填空题形式出现（分值 5 分），也会融合在导数的几何意义、单调性、极值最值等解答题中进行综合考查。 2. 考查重点： ①基本初等函数的导数公式（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、常数函数）的直接应用。 ②导数的四则运算法则（和差积商），尤其是积、商法则的变形应用。 ①复合函数的求导法则（“链式法则”），这是高考的核心难点，常结合指数、对数、三角函数的复合形式考查。 ④与导数的几何意义（求切线斜率、切线方程）结合的综合题型，是高频考点。 3. 命题趋势：近年来高考对导数运算的考查更注重“隐性综合”，不再局限于单纯的求导计算，而是要求在复杂函数（如含参数、分段函数、抽象函数）求导的基础上，结合单调性、极值等问题进行分析，对运算的准确性和规范性要求较高。 1. 基础目标 ①熟记并能准确默写基本初等函数的导数公式，无混淆、无遗漏。 ②掌握导数的四则运算法则，能熟练对和、差、积、商形式的函数求导。 ③理解复合函数的结构特征，会用“链式法则”对简单复合函数（一次复合）求导。 2. 进阶目标 ①能对复杂复合函数（多次复合，如 y=\ln(\sin x^2)）分步求导，明确每一步的内层、外层函数。 ② 掌握分段函数在分段点处的导数求法（利用导数定义），以及非分段点处的常规求导方法。 ③能结合导数的几何意义，通过求导解决切线斜率、切线方程相关问题。 3. 核心目标 ①形成“先分析函数结构 → 选择合适求导法则 → 规范运算 → 检验结果”的求导思维流程，确保运算零失误。 ②能在含参数函数的求导中，准确区分“参数”与“变量”，避免运算错误。 知识点一：基本初等函数的导数 基本初等函数 导数 特别地 常数函数（为常数） ， 幂函数 （为有理数） ， 指数函数 对数函数 正弦函数 余弦函数 要点诠释： 1. 常数函数的导数为0，即（为常数） ，其几何意义是曲线（为常数）在任意点处的切线平行于x轴. 2. 有理数幂函数的导数等于幂指数与自变量的（－1）次幂的乘积，即. 3. 在数学中，“”表示以（=2.71828）为底数的对数；“”表示以10为底数的常用对数. 常见幂函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝ f(x)＝ f′(x)＝ 知识点二：和、差、积、商的导数 函数和差积商的求导法则： （1）和差积的求导法则: [cf(x)]′＝cf′(x)； [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； （2）商的倒数与商的求导法则: (f (x)≠0)； (g(x)≠0)． (3)其它结论：[af (x)±bg(x)]′＝af ′(x)±bg′(x)． 导数的加法法则 导数的减法法则 导数的乘法法则 导数的除法法则 要点诠释： 1. 上述法则也可以简记为： （ⅰ）和（或差）的导数：， 推广：． （ⅱ）积的导数：， 特别地：（c为常数）． （ⅲ）商的导数：， 两函数商的求导法则的特例 ， 当时，． 这是一个函数倒数的求导法则． 2．两函数积与商求导公式的说明 （1）类比：，（v≠0），注意差异，加以区分． （2）注意：且（v≠0）． 3．求导运算的技巧 在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量． 4 .实际是一个数 代表函数在处的导数值；是函数值的导数，且. 5. 多用乘法求导运算 连乘积形式 先展开化为多项式的形式，再求导 公式形式 观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 对数形式 先化为和、差的形式，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 含待定系数 如含f'（a），a，b等的形式，先将待定系数看成常数，再求导 知识点三：复合函数的导数 1.复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量的函数，是自变量的函数，则函数是自变量的复合函数. 例如：函数是由和复合而成的. 2.复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点处的对应点处也可导，，则复合函数在点处可导，并且，或写作 3.复合函数求导一般步骤 ：分层：将复合函数分出内层、外层. ：各层求导：对内层，外层分别求导，得到，. ：求积并回代：求出两导数的积，然后将用替换，即可得到的导数. 要点诠释： 1. 整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。 2. 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。 同一个问题可有多种不同的求导方法，若能化简的式子，则先化简，再求导。 注意:设函数在点处有导数，函数在点处对应点处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或些写作. ①； ②； ③； ④； ⑤. 知识点四：导数的几何意义 1. 平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 换一种表述： 曲线上一点及其附近一点， 经过点、作曲线的割线， 则有。 要点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。 2.导数的几何意义——曲线的切线 定义：如右图，当点沿曲线无限接近于点， 即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线。 T 也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。 要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关。 （2）切线斜率的本质———函数在处的导数。 （3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性。 ①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直。 ②，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴零度角，瞬时无增减。 （4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点； 为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？” 过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线C都用“与C有且只有一个公共点”来定义C的切线呢？如图1-1-2-1的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sin x的一部分，直线2显然与曲线C有唯一公共点M，但我们不能说直线2与曲线C相切；而直线1尽管与曲线C有不止一个公共点，但我们可以说直线1是曲线C在点N处的切线。 曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标; ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 （2）在点处的切线与过点（x0，y0）的切线的区别。 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点（x0，y0）的切线，则强调切线是过点（x0，y0），此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求过点（x0，y0）的切线方程时，先应判断点（x0，y0）是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点（x0，y0）代入，求得切点的坐标，进而求过点（x0，y0）的切线方程。 求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 1. 公式与法则应用策略 ①归类法：求导前先判断函数类型（基本初等函数、四则运算组合函数、复合函数），再对应选择公式或法则。 ②分步拆解法：对于复合函数，遵循“由外到内”的原则分步求导。 ③化简优先法：对于含分式、根式的函数，先化简（如将分式拆分为整式和分式的和、根式化为幂函数形式）再求导，减少运算量。 2. 易错点规避策略 ①警惕商法则的符号错误： ②复合函数求导不遗漏中间变量：多次复合时，每一层都要求导并相乘。 ③区分参数与变量： 题型01：求基本初等函数的导数 【典型例题1】若函数的导函数为偶函数，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数奇偶性的定义与判断、基本初等函数的导数公式 根据题意，求出每个函数的导函数，进而判断答案. 对A，，为奇函数； 对B，，为奇函数； 对C，，为偶函数； 对D，，既不是奇函数也不是偶函数. 故选：C. 【典型例题2】（多选）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】ABD 【解析】基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值 利用基本初等函数的导数公式逐项判断，可得出合适的选项. 对于A选项，若，则，A对； 对于B选项，若，则，故，B对； 对于C选项，若，则，C错； 对于D选项，若，则，D对. 故选：ABD. 【变式训练1-1】设函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，得，，所以． 故选：B 【变式训练1-2】下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】基本初等函数的导数公式 利用基本初等函数的导数即可得解. 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 【变式训练1-3】（多选）下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，，A错误，故A满足题意； 对于B，，B错误，故B满足题意； 对于C，，C正确，故C不满足题意； 对于D，，D错误，故D满足题意. 故选：ABD. 【变式训练1-4】(多选)下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，因为是常数函数，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，则，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练1-5】（多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】导数的乘除法、导数的加减法、基本初等函数的导数公式 利用基本初等函数的导数公式可判断AC选项；利用导数的四则运算可判断BD选项. 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：BC. 【变式训练1-6】已知函数及其导数，若存在使得则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数：（1） ；（2）  ；（3）  ；（4）； 其中没有“巧值点”的函数是（        ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】A 【解析】根据题意利用“巧值点”的定义及方程解的情况判断即可. 2.（24-25高三上·上海松江·期中）曲线在点处的切线方程是 ． 直接求导得，代入求得斜率即可. 由，则，所以， 所以在点处的切线方程为，即． 故答案为： 【变式训练1-7】函数的导数 . 【答案】 【解析】利用导数运算求得正确答案. 由于， 所以. 故答案为： 【变式训练1-8】函数在处的切线方程为 【答案】 【解析】求导，根据切点和导数的几何意义得到切线斜率，由点斜式写出方程. ，则，于是在处的切线斜率为，故切线方程为：，即. 故答案为： 【变式训练1-9】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【解析】（1）由幂函数的导数公式有； （2）由幂函数的导数公式有； （3）由幂函数的导数公式有； （4）由指数函数的导数公式有； （5）由对数函数的导数公式有. 对于，，不存在“巧值点”； 对于，，令可得或，有“巧值点”； 对于，，令， 因为与的图象有一个公共点，所以有解，有“巧值点”； 对于，，令，可知是的一个解，有“巧值点”. 故选：A 题型02：求函数的四则运算的导数 【典型例题1】函数的导函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 【典型例题2】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 则， 故选：C. 【典型例题3】多选）下列求导运算正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，；对于B，，故A错B对， 对于C，，故C对； 对于D，，故D对， 故选：BCD. 【典型例题4】无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！已知函数，则它的导函数 【答案】 【解析】根据导数的乘法法则，计算即可得出答案. 根据导数的乘法运算法则， 可知， 所以，. 故答案为：. 【典型例题5】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1） （2） （3） 【变式训练1-1】若函数满足，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【解析】由，得， 易知为奇函数，所以， 所以． 故选：D 【变式训练1-2】函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 借助导数的运算法则计算即可得. . 故选：B. 【变式训练1-3】函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 借助导数的运算法则计算即可得. . 故选：B. 【变式训练1-4】若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】利用导数的几何意义，求出切线斜率，再借助垂直关系求出值. 函数，求导得， 因此曲线在点处的切线斜率为， 而切线与直线垂直，所以. 故选：B 【变式训练1-5】若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】利用导数的几何意义，求出切线斜率，再借助垂直关系求出值. 函数，求导得， 因此曲线在点处的切线斜率为， 而切线与直线垂直，所以. 故选：B 【变式训练1-6】已知，则 ． 【答案】 【解析】由导数四则运算法则即可求解. . 故答案为：. 【变式训练1-7】函数的导数 ． 【答案】 【解析】根据导数计算公式直接计算即可. 函数的导数为， 函数的导数为， 根据导数加法运算公式，函数的导数. 故答案为：. 【变式训练1-8】已知一罐汽水放入冰箱后的温度（单位：）与时间（单位：h）满足函数关系，则大约经过 分钟，温度的瞬时变化率为（精确到1分钟） 【答案】104 【解析】利用导数的几何意义计算即可. 易知，则， 则分钟. 故答案为：104 【变式训练1-9】某赛车启动时的位移（米）和时间（秒）的关系满足，则时赛车的瞬时速度是 （米/秒）． 【答案】90 【解析】根据导数的物理意义求解即可. 由导数的物理意义可得该质点在第秒时的瞬时速度即函数在时的导数值， 因为 所以， 所以， 所以质点在第3秒时的瞬时速度为（米/秒）． 故答案为：90． 【变式训练1-10】已知函数，则 . 【答案】 【解析】求导，再求值. ，. 故答案为： 【变式训练1-11】无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！已知函数，则它的导函数 【答案】 【解析】根据导数的乘法法则，计算即可得出答案. 根据导数的乘法运算法则， 可知， 所以，. 故答案为：. 【变式训练1-12】设，函数在处的切线方程为，则 . 【答案】/2.75 【解析】求解导函数，计算处的导数值，再由切线方程得切线的斜率，由导数的几何意义列式求解出的值，再根据函数解析式求解切点坐标，并代入切线方程即可求解出的值，从而计算出的值. 由得， 因为函数在处的切线方程为， 所以， 所以， 所以， 当时，，即切点为， 将代入得， 所以. 故答案为： 【变式训练1-13】设表示在处的导数值， 已知，则 【答案】/ 【解析】先对函数求导，然后将代入导函数可求出. 由，得 ， 令，则，解得， 故答案为： 【变式训练1-14】设函数的导函数为，且，则 ． 【答案】 【解析】求导，将代入导函数可得，然后可得. 因为 所以，整理得 所以 所以. 故答案为： 【变式训练1-15】已知，则=______________. 【答案】 【解析】 . 【变式训练1-16】已知，则=______________. 【答案】 【解析】 【变式训练1-17】已知，则 ． 【答案】 【解析】由导数四则运算法则即可求解. . 故答案为：. 【变式训练1-18】函数的导数 ． 【答案】 【解析】根据导数计算公式直接计算即可. 函数的导数为， 函数的导数为， 根据导数加法运算公式，函数的导数. 故答案为：. 【变式训练1-19】设，函数在处的切线方程为，则 . 【答案】/2.75 【解析】求解导函数，计算处的导数值，再由切线方程得切线的斜率，由导数的几何意义列式求解出的值，再根据函数解析式求解切点坐标，并代入切线方程即可求解出的值，从而计算出的值. 由得， 因为函数在处的切线方程为， 所以， 所以， 所以， 当时，，即切点为， 将代入得， 所以. 故答案为： 【变式训练1-20】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】基本初等函数的导数公式、导数的乘除法 （1）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （2）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （3）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （1）. （2）. （3）. 【变式训练1-21】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【解析】（1）解：由已知可得. （2）解：由已知可得. （3）解：由已知可得. （4）解：由已知可得. （5）解：由已知可得. （6）解：由已知可得. （7）解：由已知可得. 【变式训练1-21】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)： 【答案】(1)(2)；(3) 【解析】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以； （3）解：因为， 所以. 【变式训练1-22】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【解析】（1）解：由已知可得. （2）解：由已知可得. （3）解：由已知可得. （4）解：由已知可得. （5）解：由已知可得. （6）解：由已知可得. （7）解：由已知可得. 【变式训练1-23】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】基本初等函数的导数公式、导数的乘除法 （1）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （2）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （3）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （1）. （2）. （3）. 【变式训练1-24】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1） （2） （3） 题型03：特殊函数的导函数 【典型例题】设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，所以 所以故选. 【变式训练3-1】设，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 设函数.当时，；又 ，所以（当且仅当时），所以是上的增函数.故选 题型04：求某点处的导数值 【典型例题1】设函数满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】导数定义中极限的简单计算 根据导数的定义及极限的运算性质计算可得. ， 故选：B 【典型例题2】已知，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】先求出导数，再代入求值即可． 由，则，所以． 故选：C． 【典型例题3】无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！已知函数，则 . 【答案】 【解析】根据函数的求导公式计算，带入即可. 函数， . 故答案为： 【变式训练4-1】已知函数的导数为，若，则（    ） A．26 B．12 C．8 D．2 【答案】D 【解析】求某点处的导数值、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 根据题意求出导函数，进而可得，，即可得解. ∵， ∴， 所以，解得， ∴， ∴. 故选：D. 【变式训练4-2】已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【解析】已知函数的导函数为，利用求导公式对进行求导，再把代入，即可求解． 函数的导函数为，且满足， ，把代入可得， 解得． 故选：C． 【变式训练4-3】已知函数及其导函数定义域均为，满足，且为奇函数，记，其导函数为，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】求某点处的导数值、导数的运算法则、函数对称性的应用、函数周期性的应用 根据函数满足的关系式求导可得关于对称，且关于对称，利用对称轴和对称中心可得的周期为6，可求得结果. 因为，两边同时求导可得：， 又，即，可得关于对称， 对两边同时求导可得，则关于对称； 又为奇函数，则，求导可得， 所以关于对称，同时，则关于对称， 由关于对称得，， 由关于对称得，， 故，可得， 所以，故的周期为6； 同理的周期也为6， 因此， 由可知，令可得； 由关于对称，可得； 所以 故选：D. 【变式训练4-4】已知，则 ． 【答案】 【解析】求导后代入计算即可； 由题意得，所以. 故答案为：. 【变式训练4-5】若，则 ． 【答案】 【解析】求导可得，代入计算，即可求解. 因为，则. 故答案为： 【变式训练4-6】已知函数，则 . 【答案】 【解析】先求导，再令即可. ， 所以. 故答案为：. 【变式训练4-7】已知函数，则 ． 【答案】8 【解析】根据函数在某点处的导数的定义求解。 根据题意，，则，又． 故答案为：8 【变式训练4-8】已知函数，则 . 【答案】/ 【解析】在等式两边求导，再令，即可得出的值. 因为，则， 所以，，故. 故答案为：. 【变式训练4-9】已知函数的导数为，若，则 ． 【答案】 【解析】求出函数的导函数，令，解得即可. 因为， 则，令可得 解得. 故答案为： 【变式训练4-10】若函数满足，则 . 【答案】 【解析】求导可得，令运算求解即可. 因为，可得， 令，可得，解得. 故答案为：. 【变式训练4-11】已知函数的导函数为，且，则的图象在处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】对给定的函数求导，并求出参数值，再利用导数的几何意义求出切线方程作答. 函数，求导得：，则，解得， 因此，，则， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 题型05：求复合函数的导数 【典型例题1】下列求导计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由导数的运算法则及复合函数的求导公式依次分析选项，综合可得答案． 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误． 故选：B． 【典型例题2】（多选）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 利用基本函数和复合函数的求导法则求解即可. 选项A，，故A正确； 选项B，，故B错误； 选项C，，故C正确； 选项D，，故D错误. 故选：AC. 【典型例题3】（多选）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 利用基本函数和复合函数的求导法则求解即可. 选项A，，故A正确； 选项B，，故B错误； 选项C，，故C正确； 选项D，，故D错误. 故选：AC. 【典型例题4】函数的导数为 ． 【答案】 【解析】因为：． 故答案为： 【典型例题5】函数的导函数为 ． 【答案】 【解析】根据复合函数的导函数运算求解. 由题意可知：， 所以. 故答案为：. 【变式训练5-1】已知函数的导函数是，且，则实数a的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】，则，解得． 故选：B. 【变式训练5-2】已知某函数的导数为，则这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，函数可以看作和的复合函数， ∴，符合题意； 对于B，，∴，不符合题意； 对于C，可以看作和的复合函数， ∴，不符合题意； 对于D，，∴，不符合题意． 故选：A. 【变式训练5-3】已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解析】已知切线（斜率）求参数 设切点坐标为，求导，从而有斜率，再由点在曲线上求解. 解：设切点坐标为， 因为，所以， 所以切线的斜率， 又，即，解得， 所以由，得. 故选：D. 【变式训练5-4】（多选）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】简单复合函数的导数、导数的运算法则 由基本初等函数的导数与导数的运算法则计算即可. ，， ，. 故选：BC. 【变式训练5-5】（多选）下列导数运算正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】导数的乘除法、简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 利用初等函数以及复合函数求导公式逐项求导即可. 选项A，，故A错误； 选项B，，故B正确； 选项C，，故C正确； 选项D，，故D错误， 故选：BC. 【变式训练5-6】（多选）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】简单复合函数的导数、导数的运算法则 由基本初等函数的导数与导数的运算法则计算即可. ，， ，. 故选：BC. 【变式训练5-7】（多选）下列导数运算正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】导数的乘除法、简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 利用初等函数以及复合函数求导公式逐项求导即可. 选项A，，故A错误； 选项B，，故B正确； 选项C，，故C正确； 选项D，，故D错误， 故选：BC. 【变式训练5-8】已知函数，则 . 【答案】 【解析】函数，求导得， 所以. 故答案为： 【变式训练5-9】对于，且这类函数的求导，可以使用下面的方式进行： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：. 根据框内的信息，函数的导数 ． 【答案】 【解析】因为，故可得， 所以，即， 所以. 故答案为：. 【变式训练5-10】已知，则 ． 【答案】 【解析】根据简单复合函数的求导法则计算可得. 因为，则. 故答案为： 【变式训练5-11】已知函数，满足，则它的导函数 （请注明定义域）. 【答案】 【解析】根据复合函数的导数运算法则求解. 由题可知，函数的定义域为， ， 故答案为: . 【变式训练5-12】设函数，则 . 【答案】 【解析】由复合函数的导数公式即可求得答案. 因为，所以， 故答案为：. 【变式训练5-13】已知函数，则函数的导函数 . 【答案】 【解析】根据基本初等函数以及复合函数的求导法则，即可得出答案. 由已知可得，. 故答案为：. 【变式训练5-14】已知函数，则 . 【答案】 【解析】先求导，然后再求. 由导数的运算可知，，. 故答案为： 【变式训练5-15】已知函数，则该函数图像在点处的切线的倾斜角的大小是 ． 【答案】 【解析】先求导，再由导数的几何意义可得，再结合倾斜角的范围求解即可. 因为，所以， 则， 设直线的倾斜角为，则， 又，所以， 故答案为：. 【变式训练5-16】求下列函数的导数： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】直接利用求导公式计算得到答案. （1）， （2），. 【变式训练5-17】某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）满足关系，其中. (1)求的导数； (2)计算，并解释它的实际意义. 【答案】(1) (2)，实际意义见解析 【解析】（1）利用复合函数的求导法则即可得解； （2）将代入（1）中导数，再利用导数的意义解释即可. （1）因为， 令，则可以看作和的复合函数， 根据复合函数的求导法则，有 . （2）由（1）得， 它表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为． 题型06：利用导数求函数式中的参数 【典型例题】已知，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】导数的乘除法 根据导数的运算求导函数，由解方程，即可求得的值. ， 因为，所以， 解得. 故选：B. 【变式训练6-1】已知函数在区间上的平均变化率为4，则m的值为 ． 【答案】3 【解析】平均变化率 由平均变化率的概念求解即可. ，所以，解得． 故答案为：3. 【变式训练6-2】已知，，且，则 . 【答案】 【解析】已知某点处的导数值求参数或自变量、基本初等函数的导数公式 对给定函数求导，再求出在3处的导数值即得. 由，求导得，则，由，求导得， 所以. 故答案为： 【变式训练6-3】已知函数，若，则 . 【答案】/ 【解析】已知某点处的导数值求参数或自变量、导数的运算法则 利用导数的运算法则及求导公式求出导数，再由给定的导数值求出. 函数，求导得， 于是，所以. 故答案为： 题型07：解析式中含 f ′ ()的导数问题 【典型例题1】已知函数，则（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以， 故选：D 【典型例题2】已知函数的导数为，且，则（    ） A． B．1 C．1 D．e 【答案】B 【解析】由，得， 当时，，解得， 所以，则. 故选：B 【变式训练7-1】已知函数，则（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 令，得， ∴， 所以，故 故选：D. 【变式训练7-2】已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以. 令，得，所以， 所以，则. 故选：B． 【变式训练7-3】已知函数，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】，则，解得. 故选：D. 【变式训练7-4】若f (x) = 2x + x2 ，则等于 ( ) A ．2 B ．0 C ．-2 D ．-4 【答案】D 【解析】因为f (x) = 2xf,(1) + x2 ，所以f,(x) = 2f,(1) + 2x 所以f,(1) = 2f,(1) + 2 ，得f, (1) = -2所以f,(x) = -4 + 2x ，所以f,(0) = -4故选：D 【变式训练7-5】已知函数f(x) = x x2 + x -1 ， 是f (x ) 的导函数，则f (1) + f, (2) = ． 【答案】24 【解析】因为f (x) = x3 + x2 + x -1，所以f, (x ) = 3x 2 + x +1 ，所以f, (1) = 4 + ，即f, (1) = 8 ， 故f (1) + f,(2) = 3 + 21 = 24 ．故答案为： 24 【变式训练7-6】已知函数 = x3 - x2 + 2 ，则f (2) = ( ) 10 A ． 一2 B ． C ．6 D ．14 3 【答案】C 【解析】 f,(x) = 3x2 - 2f,(1)x ，则f,(1) = 3 - 2f,(1) → f,(1) = 1，则f(x) = x 3 - x2 + 2 ， f(2) = 23 - 22 + 2 = 6 故选：C 【变式训练7-7】已知函数f (x) = x3 + x2 - x ，则 的值为 ． 【答案】 题型07：求切线方程【解析】 ∵ f (x) = x3 + x2 - x ， ∴ = 3f, (-1)x2 + 2x -1 ， 故答案为： . （一）利用导数求在某点处的切线方程 【典型例题1】曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】由求导得：， 依题意，， 故曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 【典型例题2】曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【解析】，则，， 故所求切线方程为，即. 故答案为： 【变式训练7-1-1】函数的图象在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】∵， ∴， ∴， 又， 故所求切线的方程为，即． 答案： 【变式训练7-1-2】函数在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】因为，所以切点坐标为， 又，则切线的斜率， 由直线的点斜式方程可得，即， 所以切线方程为. 故答案为： 【变式训练7-1-3】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）由题设，，则，又， 所以处的切线方程为，整理得. （2）由（1），令时，；令时，； 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. （二）利用导数求过点处的切线方程 【典型例题1】过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 【典型例题2】过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 【答案】C 【解析】由，得， 设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为. 因为点在切线上，所以，即， 结合题意，则，是上述方程的根，所以根据韦达定理得. 故选：. 【变式训练7-2-1】过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【答案】D 【解析】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或-1． 故选：D 【变式训练7-2-2】过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【解析】由，得为偶函数， 故过原点作的两条切线一定关于y轴对称． 当时，，则， 设切点为，故，解得或（舍）， 所以切线斜率为1，从而切线方程为． 由对称性知：另一条切线方程为． 故选：A 【变式训练7-2-3】（多选）设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】BC 【解析】设为直线上任意一点， 过点作的切线，切点为， 则函数图象在点B处的切线方程为， 即，   整理得，， 解得1或 当时，，方程仅有一个实根，切线仅可以作1条； 当时，，方程有两个不同实根，切线可以作2条. 故选：. （三）利用导数公式求切点坐标 【典型例题1】设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 根据导数几何意义可求得切线方程，进而得到，累乘即可得到结果. ，， 在点处的切线方程为：， 令得：， . 故选：D. 【典型例题2】已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式 设切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点求出，即可求出切点的坐标. 设切点坐标为，由，得， 则过切点的切线方程为， 把点代入切线方程得，，即， 又，所以，则， 则切点坐标为. 故选：A 【变式训练7-3-1】若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求过一点的切线方程、求平行线间的距离 设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果. 设与直线平行的直线的方程为， ∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小， 设切点， ，所以， ，，， 点，直线的方程为， 两点间距离的最小值为平行线和间的距离， 两点间距离的最小值为. 故选：. 【变式训练7-3-2】已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（    ） A．（，-1） B．（e，1） C．（，） D．（0，1） 【答案】B 【解析】直线过原点， 设是曲线上任意一点， ，所以在点的曲线的斜率为， 所以在点的曲线的切线方程为， 即，将代入上式得， 所以切点为. 故选：B 【变式训练7-3-3】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____. 【答案】. 【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 设点，则.又， 当时，， 点A在曲线上的切线为， 即， 代入点，得， 即， 考查函数，当时，，当时，， 且，当时，单调递增， 注意到，故存在唯一的实数根，此时， 故点的坐标为. 【变式训练7-3-4】直线和曲线相切，则的值为 ，切点坐标为 ． 【答案】 【解析】设直线与曲线的切点为，则 由题意可知，，解得或， 当时，， 又点在直线上，将，. 代入得，与已知条件矛盾，不合题意舍去． 当时，. 将代入直线中，得. 故答案为：，. 【变式训练7-3-5】曲线在点A处的切线方程为，则切点A的坐标为 ． 【答案】 【解析】由，得，因为，所以， 则切点A的横坐标为－1，所以， 解得，所以A的坐标为． 故答案为：. 【变式训练7-3-6】已知函数，直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 【答案】直线l的方程为，切点的坐标为 【解析】设切点为， 因为 ，所以． 当趋于0时，趋于，即， 所以切线方程为， 因为切线过原点，所以， 所以，解得， 所以，故直线l的方程为，又，所以切点的坐标为． 【变式训练7-3-7】过点能作曲线的切线 条，切点坐标为 【答案】 或 【解析】，设切点为， 则切线方程为， 将代入得， 整理得，解得或， 所以切线有2条，切点坐标为或. 故答案为：2；或. （四）切线的平行、垂直问题 【典型例题1】曲线在点处的切线平行于直线. (1)求切点坐标； (2)求切线的方程. 【答案】(1)； (2). 【解析】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） （1）根据导数的几何意义，结合两平行线的性质进行求解即可； （2）结合（1）的结论，利用直线的点斜式方程进行求解即可. （1）因为点处的切线平行于直线， 所以过该点的曲线的切线的斜率， 由，所以，因此， 所以切点坐标为：； （2）由直线的点斜式方程可知：. 【典型例题2】已知函数的图象经过点，且在点A处的切线与直线垂直． (1)求a，b的值； (2)求经过点且与曲线相切的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【解析】导数的加减法、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求过一点的切线方程 （1）求导，根据题意结合导数的几何意义分析列式求解； （2）设切点，切线斜率，求直线方程并代入点运算求解即可. （1）由，则， 因为的图象在点处的切线与直线垂直， 则，解得. （2）由（1）可设切线与曲线相切于点， 则切线斜率， 则切线的方程为， 将点代入方程整理得，解得或． 当时，切线方程为． 当时，切线方程为． 故经过点且与曲线相切的切线方程为或． 【变式训练7-4-1】已知，曲线在点处的切线与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】导数的加减法、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 利用导数的几何意义求出点的坐标，然后利用点斜式可得出直线的方程. 因为，其中，则， 直线的斜率为，由，可得，且，即点， 所以，直线的方程为，即. 故选：B. 【变式训练7-4-2】已知曲线，试在曲线上找一点，使得曲线在点P处的切线平行于直线. 【答案】. 【解析】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 利用导数的几何意义直接求解. 因为，所以. 因为曲线在点处的切线平行于直线，所以，解得：. 所以切点坐标，切线方程为，即. 故P的坐标. 【变式训练7-4-2】已知是曲线上的一点.写出该曲线在点P处的切线方程，并分别求出切线斜率为和切线平行于x轴时切点P的坐标. 【答案】答案见解析 【解析】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 先将曲线改写成函数式的形式，然后求导数，再用点斜式写出切线方程．再分别令导数等于1和，求出，即可求出各自的切点坐标． 解：将曲线方程转化为函数：， 所以， 因为是曲线上的一点， 所以，， 所以该曲线在点P处的切线方程为， 即； 令得，所以当时，，故切点坐标为； 令得， 当时，；当时，， 故切点坐标为． 【变式训练7-4-3】已知函数在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 由题意得，由此求解即可. 函数，求导得：， 因为在处的切线与直线垂直， 所以在处的切线斜率为，解得. 故选：D 【变式训练7-4-4】若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 . 【答案】 【解析】已知切线（斜率）求参数 根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，根据直线垂直的性质，即可得出答案. 因为，所以， ，， 曲线在点处的切线斜率为， 又因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以. 故答案为：. 【变式训练7-4-5】曲线过点的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【解析】已知直线垂直求参数、已知切线（斜率）求参数、求过一点的切线方程 设切点坐标为，根据两直线垂直利用导数的几何意义求得，再由两点间斜率公式解方程组可得结果. 易知直线的斜率为，则切线斜率； 又，设切点坐标为，易知， 则， 又点和切点的斜率为； 联立，解得. 故答案为： 【变式训练7-4-6】已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 【答案】(1) (2). 【解析】（1），，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为， 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，从而. 【变式训练7-4-7】曲线在 处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】解：令，则， 依题意，即，解得； 故选：B 【变式训练7-4-8】若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ∴， 设切点坐标为，则切线的斜率， 解得，所以， 故切线的方程为，即． 故选：A 【变式训练7-4-9】若曲线在点处的切线与直线平行，则 . 【答案】 【解析】由题意知，令，则 ，， ， 所以点在曲线上， ， ， ，， ， 所以， 又曲线在点处的切线与直线平行， 所以，得. 故答案为：. 【变式训练7-4-10】已知曲线y＝在点处的切线与直线平行，且与的距离等于，求直线的方程. 【答案】或 【解析】由导数的几何意义，得曲线y＝在点处的切线的斜率为 ， 所以曲线y＝在点处的切线方程为 ，即.　 设直线l的方程为，则 由题意可知，，解得或， 所以直线的方程为或. （五）曲线切线的斜率、倾斜角问题 【典型例题1】过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求过一点的切线方程 设切点，结合导数的几何意义可得切线方程，根据切线过点，可得，进而确定切线斜率. 由，得， 设切点为， 则切线斜率， 即切线方程为， 又切线过点， 则， 整理可得， 解得或或， 则切线斜率为或或， 故选：D． 【典型例题2】（多选）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】求曲线切线的斜率（倾斜角）、基本（均值）不等式的应用、直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 求导，结合基本不等式求出导函数的取值范围，从而得到倾斜角的取值范围. 因为，所以． 因为，所以（当且仅当，即时取等号）， 所以，所以． 又因为，所以． 故选：CD． 【变式训练7-5-1】过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【答案】D 【解析】求过一点的切线方程 分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解． 解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或-1． 故选：D 【变式训练7-5-2】函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】导数（导函数）概念辨析 由导数的几何意义分析可得，和的几何意义，结合图像可得解. 由函数的图像可知， 当时，单调递增， ，，. 随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， . 故选：A. 【变式训练7-5-3】点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】斜率与倾斜角的变化关系、导数的加减法、求曲线切线的斜率（倾斜角） 先由导数的几何意义，求出切线的斜率的范围，再求出倾斜角的范围即可. 由可得， ，即， 当时，； 当时，. ， 故选：. 【变式训练7-5-4】若曲线在处的切线的倾斜角为，则 . 【答案】3 【解析】求曲线切线的斜率（倾斜角）、导数的运算法则、正、余弦齐次式的计算 根据导数的几何意义求得，再利用正弦与余弦的齐次式计算即可. 因为， 所以，，则. 故答案为：3. 【变式训练7-5-5】过原点与曲线相切的一条切线的方程为 . 【答案】或或(写出其中一条即可) 【解析】根据曲线表示抛物线的一部分，设其切线方程为，利用判别式法求解；设的切线的切点为，利用导数法求解. 解：设曲线表示抛物线的一部分， 设其切线方程为，代入， 得.由，得. 当时，，符合题意， 当时，，均符合题意， 所以切线方程. 设的切线的切点为. 由，得，， 得切线方程为. 将的坐标代入切线方程，得， 所以，所以切线方程为. 故答案为：或或(写出其中一条即可) 【变式训练7-5-6】已知函数. (1)求曲线在处的切线的方程； (2)求过原点O与曲线相切的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）设出切点坐标，根据切线斜率和导数列方程，求得切点坐标，进而求得切线方程. （1）因为，所以. ，， 所以曲线在处的切线方程为， 即直线的方程为. （2）设过原点的直线与曲线切于点. 则的斜率， 所以，整理得，所以， 所以， 所以直线的方程为，即. （六）公切线问题 【典型例题1】试写出曲线与曲线的一条公切线方程 . 【答案】或（写出一个即可） 【解析】设出切点坐标，根据切线斜率相等，建立等式，解出即可. 设公切线与曲线切于点， 与曲线切于点. 由，得.由，得. 令，即，则， 且， 即， 化为， 所以，解得或. 当时，，， 此时切线的方程为，即. 当时，，， 此时切线的方程为，即. 综上可知，切线的方程为或，写出任意一个即可. 故答案为：或，写出任意一个即可. 【典型例题2】已知曲线在点处的切线与曲线相切，求的值. 【答案】 【解析】导数的运算法则、求过一点的切线方程 求出的导数，求得切线的斜率可得切线方程，再由切线方程与曲线方程联立，根据得到的值. ∵，， ∴曲线在点处的切线方程为，即， 又∵直线与曲线相切， 当时，曲线变为直线，与已知直线平行， ∴，可得，消去得， 由得. 【典型例题3】已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【答案】 【解析】设公共点为，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程. 解：因为函数与的图象关于直线对称， 所以与互为反函数，所以， 则．由，得， 设直线与函数的图象的切点坐标为， 与函数的图象的切点坐标为， 则直线的斜率，故， 显然，故， 所以直线的倾斜角为， 故选：B． 【变式训练7-6-1】已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则 . 【答案】 【解析】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 由导数的几何意义分别表示公切线方程，再由公切线过过原点得出. 设该公切线过函数、函数的切点分别为，. 因为，所以该公切线的方程为 同理可得，该公切线的方程也可以表示为 因为该公切线过原点，所以，解得. 故答案为： 【变式训练7-6-2】已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为 . 【答案】1 【解析】由，，有，， 在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为， 则有，得， 所以，可得. 故答案为：1. 【变式训练7-6-3】已知曲线与的公切线为，则实数 . 【答案】 【解析】由函数，可得， 设切点坐标为，可得，则切线方程为， 即，与公切线重合，可得， 可得，所以切线方程为， 对于函数，可得，设切点为，则 则 ，解得. 故答案为： 【变式训练7-6-4】在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】设点的坐标为， 显然这两条曲线的公切线存在斜率，设为， 因此切线方程为， 设曲线的切点为，即， 由，所以过该切点的切线的斜率为， 则有， 设的切点为，即， 由，所以过该切点的切线的斜率为， 则有， 由题意可知：，于是有： ，得，或， 当时，则有， 当时，则有， 由可解，. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用导数的几何意义求出公切线的方程. 【变式训练7-6-5】已知函数和，其中a，b为常数且． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 （1）由题意对函数求导，求出切点和切线的斜率，根据点斜式求切线方程即可， （2）设曲线在点处的切线斜率为1，求导计算可得；设曲线在点处的切线斜率为1，求导计算可得，再由直线的斜率为1，可得的关系，由于，则，从而即可求出的取值范围． （1）当时，， 当时，切点为， ，切线斜率为， 切线方程为，即． （2）的定义域为的定义域为， 且， 设曲线在点处的切线斜率为1，则， 所以，则， 设曲线在点处的切线斜率为1，则， 所以，则， 直线的斜率， 所以，     由于，则， 所以的取值范围为． （七）切线条数问题 【典型例题】过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【解析】求过一点的切线方程 根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可. 由， 当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线； 当点是不切点时，设切点为，则切线的斜率为， 切线方程为：，该切线过点， 于是有 或（舍去）， 综上所述：过点可作曲线的切线条数为， 故选：B 【变式训练7-7-1】已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求过一点的切线方程、已知切线（斜率）求参数、导数的乘除法 先对函数求导，设切点，写出切线方程，将点代入切线方程，得到，根据切线有两条，得到方程有两根，结合判别式即可求出结果. 由得， 设过点的直线与曲线切于点， 则切线斜率为， 所以切线方程为 因为切线过点， 所以，整理得， 因为过点的切线有两条， 所以方程有两不同实根， 因此，解得或， 即实数a的取值范围是. 故选：B 【变式训练7-7-2】设函数，，曲线有两条斜率为的切线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】简单复合函数的导数、根据二次函数零点的分布求参数的范围 由可得出，令，则，分析可知，函数在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 因为， 则， 令，可得， 可得， 因为，令，则，且函数在上单调递增， 令，其中， 因为曲线有两条斜率为的切线，则函数在上有两个不等的零点， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练7-7-3】判断曲线在点处是否有切线，如果有，求出切线的斜率. 【答案】在点处有切线,切线的斜率为0. 【解析】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 先判断点在曲线上，再利用导数 . 解：当时，，所以点在曲线上. 由题得，所以切线的斜率. 所以在点处有切线,切线的斜率为0. （八）已知切线求参数范围 【典型例题】若直线y = x + 2 与曲线y = x3 + bx2 + c (b，c ∈ R ) 相切于点M (1，3) ，则c = ． 【答案】 3 【解析】直线y = x + 2 与曲线y = x3 + bx2 + c (b，c ∈ R ) 相切于点M (1，3) ，则1+b + c = 3 ，故b + c = 2 ． 又y ' = 3x2 + 2bx ，当x = 1 时， 3 + 2b = 1 ，所以b = -1 ，则c = 3． 【变式训练7-8-1】已知曲线y = x3 与曲线y = ln - x 在x = x0 处的切线互相垂直，则x0 = ． 【答案】 【解析】对于y = x3 ， y,=3x2 ； 对于y = ln - ) ， y 由于两条曲线在x = x0 (x0 > 0) 处的切线互相垂直， 所以3xx0 - x x0 (2) - 3x0 -1=0 ，解得x （负根舍去）. 【变式训练7-8-2】已知函数g(x ) = x3 + ax ，若曲线g(x)在x =0 处的切线也与曲线h (x )= -lnx 相切，则a = ． 【答案】 - 【解析】 由已知g ,(x) = 3x2 + a ， g ,(0) = a ，又g (0) = 0 ，所以切线方程为y = ax ， 又h,(x) = - ，设h(x) 上切点坐标为(x0, y0 ) ， 则 a ， x ， 由y0 = ax0 得ln x0 = 1 ， x0 = e ， 所以a 题型08：根据导数的几何意义求参数的值 【典型例题】已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ． 【答案】3 【解析】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数、导数的加减法 先设在上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在上的切点，即可求出a的值. 设直线l与曲线相切于点， 由，得，因为l与曲线相切， 所以消去，得，解得． 设l与曲线相切于点，由，得，即， 因为是l与曲线的公共点， 所以消去，得，即，解得． 故答案为：3. 【变式训练8-1】若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则的值为 . 【答案】 【解析】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、已知切线（斜率）求参数 根据导数的几何意义结合条件即得. 设切点，则由，得， 由，得，则 解得. 故答案为：e. 【变式训练8-2】已知直线是曲线在点处的切线方程，则 【答案】e 【解析】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法 利用导数的几何意义求切线方程，并写出的形式确定参数，即可得结果. 由题设，且，则， 所以，切线方程为，即， 所以，故. 故答案为： 【变式15-3】（22-23高二下·湖南长沙·阶段练习）若直线与曲线相切，则实数 ． 【答案】 【解析】已知切线（斜率）求参数、导数的加减法 设切点为，利用导数的几何意义结合点为直线与曲线的公共点，可得出关于、的方程组，即可解得的值. 设切点为，由，得，则， 因为点为直线与曲线的公共点，则， 所以，，即，可得，故. 故答案为：. 题型09：导数及其几何意义的综合应用 【典型例题】已知函数的图象过点，且. (1)求，的值； (2)求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 【答案】(1) (2) 【解析】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法 （1）根据题目条件列出方程组求解； （2）利用导数求出切线斜率，再求直线在坐标轴上的截距即可求三角形面积. （1）由，得， 由题意可得，，解得； （2）由（1）得，，， ∴，， ∴曲线在点处的切线方程为，即. 取，得，取，得. ∴曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 【变式训练9-1】已知曲线在点处的切线与圆相切，该圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或1 【答案】C 【解析】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 求出曲线在点处的切线方程，利用直线与圆相切的几何关系即可求出圆的半径． 由，得， 故切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为. 又因为与圆相切， 所以的半径，解得或， 所以圆的半径为或. 故选：C 【变式训练9-2】已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是 . 【答案】8 【解析】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数、基本不等式“1”的妙用求最值 根据题意结合导数的几何意义分析可得，再结合基本不等式运算求解. 由题意可得：的导数为， 设切点为，切线斜率，则在该点的切线方程为，即， 由题意可得，整理得， 则，当且仅当时取等号， 故的最小值为8. 故答案为：8. 【变式训练9-3】已知点和点是曲线上的两点，且点的横坐标是，点的纵坐标是，求： (1)割线的斜率； (2)在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【解析】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法、已知两点求斜率 （1）求出点、的坐标，利用斜率公式可求得割线的斜率； （2）求出切线的斜率，再利用点斜式可得出所求切线的方程. （1）解：当时，，即点， 令，可得，解得，即点， 因此，割线的斜率为. （2）解：对函数求导得， 所以，曲线在点处切线的斜率为， 所以，曲线在点处的切线方程为，即. 题型10：利用切线求距离最值 【典型例题1】设点 A在直线 x - y +1 = 0 上，点 B在函数f (x ) = ln x 的图象上，则 AB 的最小值为 . 【答案】 1 + ln3 【解析】设函数f (x ) = lnx 与直线3x - y +1 = 0 平行的切线为l ，则l 的斜率为 3 ， 由 (x ) = = i3 ，得x = ，所以切点为P((| , - ln3), ， 则点P 到直线l 的距离就是AB 的最小值，即 ln3 . 【典型例题2】曲线f(x) = ln(x 一1)+ x +1 上的点到直线y = 2x + 4 的距离的最小值为 【答案】 【解析】 f(x) 的定义域为(1, +∞) ，求导得f, 令 (x ) = 2 ，解得x = 2 ，则f (2) = 3 ，故切点坐标为(2, 3)， 故曲线f (x )上的点到直线y = 2x + 4 的距离的最小值即为切点(2, 3) 到直线y = 2x + 4 的距离，即为 . 【变式训练10-1】已知点 A在函数f (x) = ex 一 2x 的图象上，点 B在直线l : x + y + 3 = 0 上，则 A，B两点之间距离的最小值是 ． 【解析】要使得 A，B两点之间距离最小，即直线l 与曲线y = f(x) 的切线平行时，两平行线间的距离即为 A，B两点之间最小的距离， 由题意可得 (x) = ex 一 2 ，令f(x ) = ex 一 2 = 一1 ，解得x = 0 ．由f (0) = 1 ，所以曲线的切线方程为y一1 = 一x ，即x + y 一1 = 0则两直线间的距离d ， 则 A，B两点之间的最短距离是2． 【变式训练10-2】已知点 P 在函数f (x ) = xex +1 的图象上，点 Q 在函数g 的图象上，则 PQ 的最小值为 . 【答案】 2 【解析】 由函数f (x ) = xex +1 ，求导可得： (x ) = (1+ x )ex ，则f, (0) = 1， 在 A(0, 1) 处的切线方程为y -1 = 1 × (x - 0) ，整理可得： y = x + 1； 由函数g 求导可得： ，则 (1) = 1， 在B(1,0) 处的切线方程为y- 0 = 1× (x -1) ，整理可得y = x - 1 ； 由直线AB 的斜率kAB 易知：直线 AB 分别与两条切线垂直..故答案为： 2 . 【变式训练10-3】设点 A 在直线x - y +1 = 0 上，点 B 在函数f (x) = ln x 的图象上，则 AB 的最小值为 . 【答案】 1 + ln3 【解析】设函数f (x) = lnx 与直线x - y +1 = 0 平行的切线为l ，则l 的斜率为 3 ， 由 ，得x 所以切点为P 则点P 到直线l 的距离就是AB 的最小值，即 ln3 .故答案为： ln3 . 【变式训练10-4】若点P 是曲线y = lnx - 上任意一点，则点P 到直线l : x + y - 4 = 0 距离的最小值为 ( ) A． B． s2 C．2 D． 2、i2 【答案】D 【解析】过点P 作曲线y = lnx - x2 的切线， 当切线与直线l : x + y - 4 = 0 平行时，点P 到直线l : x + y - 4 = 0 距离最小.设切点为P(x0, y0 )(x0 > 0), y, = - 2x ，所以切线斜率为k 由题知x0 = -1 ，解得x0 = 1 或x0 = - （舍）， :P(1, -1) ，此时点P 到直线l : x + y - 4 = 0 距离d .故选：D 一、单选题 1．已知函数，则（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】因为， 所以，则. 故选：B 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 则，得，故B错误； 所以，， 则，， ，故AD错误，C正确. 故选：C. 3．已知函数，则曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 故， 故在处的切线方程为，即. 故选：B 4．已知，使得命题“曲线在点处的切线与曲线没有公共点”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，则切线斜率， 故曲线在点处的切线方程为，即， 联立，得， 因为切线与曲线没有公共点， 所以方程没有实数解， 当时，方程有唯一解，不满足题意， 当时，，可得. 综上所述，， 由是的真子集，符合题意. 故选：B. 5．已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设切点坐标为，由，得， 则过切点的切线方程为， 把点代入切线方程得，，即， 又，所以，则， 则切点坐标为. 故选：A 6．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 设过点的直线与曲线切于点， 则切线斜率为， 所以切线方程为 因为切线过点， 所以，整理得， 因为过点的切线有两条， 所以方程有两不同实根， 因此，解得或， 即实数a的取值范围是. 故选：B 二、多选题 7．下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：AD 8．若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】AB 【解析】由题意可得，， 因为在直线l上，当为的切点时， 则，所以直线l的方程为， 又直线l与相切， 所以满足，得； 当不是的切点时， 设切点为， 则， 所以，得， 所以，所以直线的方程为. 由，得， 由题意得，所以. 综上得或. 故选:AB 三、填空题 9．若曲线在处的切线的倾斜角为，则 . 【答案】3 【解析】因为， 所以，，则. 故答案为：3. 10．已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 令，得，解得，所以切线斜率为2， 因为，令，得， 解得，所以切点坐标为. 所以在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 11．已知曲线存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】，依题意知有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解. 令，则，所以有两个不同的实数解， 所以与的图象有两个交点. ， 因为，所以，又，故, 故实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 12．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）设，， 则 ． （2）设，，， 则． （3）设，，， 则． （4）设，， 则． 13．写出过点，并且和曲线相切的直线方程． 【答案】和 【解析】当时，上式化为，这样的曲线不存在，故， 所以曲线化为，其导函数为 设过点的直线与曲线相切于点，则切线的斜率为 所以切线方程为 由切线过点，所以，解得或 当时，切线方程为： 当时，切线方程为： 因此，过点A有两条切线，方程分别为和， 如图所示．    14．已知与曲线在点处相切，为该曲线另一条切线，且． （1）求直线及直线的方程； （2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积． 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）设直线、的斜率分别为、， 对函数求导得，则， 所以，直线的方程为，即， 设直线与曲线的切点坐标为，则， 因为，则，解得，则， 所以，直线的方程为，即； （2）直线与轴交于点，直线与轴交于点， 联立，解得， 因此，由直线、和轴所围成的三角形的面积为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 导数的运算 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 8 题型归纳 8 题型01：求基本初等函数的导数 8 题型02：求函数的四则运算的导数 10 题型03：特殊函数的导函数 14 题型04：求某点处的导数值 14 题型05：求复合函数的导数 16 题型06：利用导数求函数式中的参数 19 题型07：解析式中含的导数问题 20 题型07：求切线方程 21 （一）利用导数求在某点处的切线方程 21 （二）利用导数求过点处的切线方程 21 （三）利用导数公式求切点坐标 22 （四）切线的平行、垂直问题 24 （五）曲线切线的斜率、倾斜角问题 26 （六）公切线问题 27 （七）切线条数问题 29 （八）已知切线求参数范围 30 题型08：根据导数的几何意义求参数的值 30 题型09：导数及其几何意义的综合应用 31 题型10：利用切线求距离最值 31 巩固提升 32 1. 考查频率：导数的运算是导数板块的基础，在高考中每年必考，既会单独以选择题、填空题形式出现（分值 5 分），也会融合在导数的几何意义、单调性、极值最值等解答题中进行综合考查。 2. 考查重点： ①基本初等函数的导数公式（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、常数函数）的直接应用。 ②导数的四则运算法则（和差积商），尤其是积、商法则的变形应用。 ①复合函数的求导法则（“链式法则”），这是高考的核心难点，常结合指数、对数、三角函数的复合形式考查。 ④与导数的几何意义（求切线斜率、切线方程）结合的综合题型，是高频考点。 3. 命题趋势：近年来高考对导数运算的考查更注重“隐性综合”，不再局限于单纯的求导计算，而是要求在复杂函数（如含参数、分段函数、抽象函数）求导的基础上，结合单调性、极值等问题进行分析，对运算的准确性和规范性要求较高。 1. 基础目标 ①熟记并能准确默写基本初等函数的导数公式，无混淆、无遗漏。 ②掌握导数的四则运算法则，能熟练对和、差、积、商形式的函数求导。 ③理解复合函数的结构特征，会用“链式法则”对简单复合函数（一次复合）求导。 2. 进阶目标 ①能对复杂复合函数（多次复合，如 y=\ln(\sin x^2)）分步求导，明确每一步的内层、外层函数。 ② 掌握分段函数在分段点处的导数求法（利用导数定义），以及非分段点处的常规求导方法。 ③能结合导数的几何意义，通过求导解决切线斜率、切线方程相关问题。 3. 核心目标 ①形成“先分析函数结构 → 选择合适求导法则 → 规范运算 → 检验结果”的求导思维流程，确保运算零失误。 ②能在含参数函数的求导中，准确区分“参数”与“变量”，避免运算错误。 知识点一：基本初等函数的导数 基本初等函数 导数 特别地 常数函数（为常数） ， 幂函数 （为有理数） ， 指数函数 对数函数 正弦函数 余弦函数 要点诠释： 1. 常数函数的导数为0，即（为常数） ，其几何意义是曲线（为常数）在任意点处的切线平行于x轴. 2. 有理数幂函数的导数等于幂指数与自变量的（－1）次幂的乘积，即. 3. 在数学中，“”表示以（=2.71828）为底数的对数；“”表示以10为底数的常用对数. 常见幂函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝ f(x)＝ f′(x)＝ 知识点二：和、差、积、商的导数 函数和差积商的求导法则： （1）和差积的求导法则: [cf(x)]′＝cf′(x)； [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； （2）商的倒数与商的求导法则: (f (x)≠0)； (g(x)≠0)． (3)其它结论：[af (x)±bg(x)]′＝af ′(x)±bg′(x)． 导数的加法法则 导数的减法法则 导数的乘法法则 导数的除法法则 要点诠释： 1. 上述法则也可以简记为： （ⅰ）和（或差）的导数：， 推广：． （ⅱ）积的导数：， 特别地：（c为常数）． （ⅲ）商的导数：， 两函数商的求导法则的特例 ， 当时，． 这是一个函数倒数的求导法则． 2．两函数积与商求导公式的说明 （1）类比：，（v≠0），注意差异，加以区分． （2）注意：且（v≠0）． 3．求导运算的技巧 在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量． 4 .实际是一个数 代表函数在处的导数值；是函数值的导数，且. 5. 多用乘法求导运算 连乘积形式 先展开化为多项式的形式，再求导 公式形式 观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 对数形式 先化为和、差的形式，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 含待定系数 如含f'（a），a，b等的形式，先将待定系数看成常数，再求导 知识点三：复合函数的导数 1.复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量的函数，是自变量的函数，则函数是自变量的复合函数. 例如：函数是由和复合而成的. 2.复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点处的对应点处也可导，，则复合函数在点处可导，并且，或写作 3.复合函数求导一般步骤 ：分层：将复合函数分出内层、外层. ：各层求导：对内层，外层分别求导，得到，. ：求积并回代：求出两导数的积，然后将用替换，即可得到的导数. 要点诠释： 1. 整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。 2. 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。 同一个问题可有多种不同的求导方法，若能化简的式子，则先化简，再求导。 注意:设函数在点处有导数，函数在点处对应点处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或些写作. ①； ②； ③； ④； ⑤. 知识点四：导数的几何意义 1. 平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 换一种表述： 曲线上一点及其附近一点， 经过点、作曲线的割线， 则有。 要点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。 2.导数的几何意义——曲线的切线 定义：如右图，当点沿曲线无限接近于点， 即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线。 T 也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。 要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关。 （2）切线斜率的本质———函数在处的导数。 （3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性。 ①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直。 ②，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴零度角，瞬时无增减。 （4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点； 为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？” 过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线C都用“与C有且只有一个公共点”来定义C的切线呢？如图1-1-2-1的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sin x的一部分，直线2显然与曲线C有唯一公共点M，但我们不能说直线2与曲线C相切；而直线1尽管与曲线C有不止一个公共点，但我们可以说直线1是曲线C在点N处的切线。 曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标; ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 （2）在点处的切线与过点（x0，y0）的切线的区别。 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点（x0，y0）的切线，则强调切线是过点（x0，y0），此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求过点（x0，y0）的切线方程时，先应判断点（x0，y0）是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点（x0，y0）代入，求得切点的坐标，进而求过点（x0，y0）的切线方程。 求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 1. 公式与法则应用策略 ①归类法：求导前先判断函数类型（基本初等函数、四则运算组合函数、复合函数），再对应选择公式或法则。 ②分步拆解法：对于复合函数，遵循“由外到内”的原则分步求导。 ③化简优先法：对于含分式、根式的函数，先化简（如将分式拆分为整式和分式的和、根式化为幂函数形式）再求导，减少运算量。 2. 易错点规避策略 ①警惕商法则的符号错误： ②复合函数求导不遗漏中间变量：多次复合时，每一层都要求导并相乘。 ③区分参数与变量： 题型01：求基本初等函数的导数 【典型例题1】若函数的导函数为偶函数，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数奇偶性的定义与判断、基本初等函数的导数公式 根据题意，求出每个函数的导函数，进而判断答案. 对A，，为奇函数； 对B，，为奇函数； 对C，，为偶函数； 对D，，既不是奇函数也不是偶函数. 故选：C. 【典型例题2】（多选）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】ABD 【解析】基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值 利用基本初等函数的导数公式逐项判断，可得出合适的选项. 对于A选项，若，则，A对； 对于B选项，若，则，故，B对； 对于C选项，若，则，C错； 对于D选项，若，则，D对. 故选：ABD. 【变式训练1-1】设函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式训练1-2】下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（多选）下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】(多选)下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练1-5】（多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-6】已知函数及其导数，若存在使得则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数：（1） ；（2）  ；（3）  ；（4）； 其中没有“巧值点”的函数是（        ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【变式训练1-7】函数的导数 . 【变式训练1-8】函数在处的切线方程为 【变式训练1-9】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 题型02：求函数的四则运算的导数 【典型例题1】函数的导函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 【典型例题2】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 则， 故选：C. 【典型例题3】多选）下列求导运算正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，；对于B，，故A错B对， 对于C，，故C对； 对于D，，故D对， 故选：BCD. 【典型例题4】无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！已知函数，则它的导函数 【答案】 【解析】根据导数的乘法法则，计算即可得出答案. 根据导数的乘法运算法则， 可知， 所以，. 故答案为：. 【典型例题5】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1） （2） （3） 【变式训练2-1】若函数满足，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【变式训练2-2】函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练2-5】若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练2-6】已知，则 ． 【变式训练2-7】函数的导数 ． 【变式训练2-8】已知一罐汽水放入冰箱后的温度（单位：）与时间（单位：h）满足函数关系，则大约经过 分钟，温度的瞬时变化率为（精确到1分钟） 【变式训练2-9】某赛车启动时的位移（米）和时间（秒）的关系满足，则时赛车的瞬时速度是 （米/秒）． 【变式训练2-10】已知函数，则 . 【变式训练2-11】无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！已知函数，则它的导函数 【变式训练2-12】设，函数在处的切线方程为，则 . 【变式训练2-13】设表示在处的导数值， 已知，则 【变式训练2-14】设函数的导函数为，且，则 ． 【变式训练2-15】已知，则=______________. 【变式训练2-16】已知，则=______________. 【变式训练2-17】已知，则 ． 【变式训练2-18】函数的导数 ． 【变式训练2-19】设，函数在处的切线方程为，则 . 【变式训练2-20】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【变式训练2-21】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7). 【变式训练2-22】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)： 【变式训练2-23】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7). 【变式训练2-24】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【变式训练2-25】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 题型03：特殊函数的导函数 【典型例题】设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，所以 所以故选. 【变式训练3-1】设，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 题型04：求某点处的导数值 【典型例题1】设函数满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】导数定义中极限的简单计算 根据导数的定义及极限的运算性质计算可得. ， 故选：B 【典型例题2】已知，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】先求出导数，再代入求值即可． 由，则，所以． 故选：C． 【典型例题3】无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！已知函数，则 . 【答案】 【解析】根据函数的求导公式计算，带入即可. 函数， . 故答案为： 【变式训练4-1】已知函数的导数为，若，则（    ） A．26 B．12 C．8 D．2 【变式训练4-2】已知函数的导函数为，且满足，则（    ） 【变式训练4-3】已知函数及其导函数定义域均为，满足，且为奇函数，记，其导函数为，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【变式训练4-4】已知，则 ． 【变式训练4-5】若，则 ． 【变式训练4-6】已知函数，则 . 【变式训练4-7】已知函数，则 ． 【变式训练4-8】已知函数，则 . 【变式训练4-9】已知函数的导数为，若，则 ． 【变式训练4-10】若函数满足，则 . 【变式训练4-11】已知函数的导函数为，且，则的图象在处的切线方程为 ． 题型05：求复合函数的导数 【典型例题1】下列求导计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由导数的运算法则及复合函数的求导公式依次分析选项，综合可得答案． 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误． 故选：B． 【典型例题2】（多选）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 利用基本函数和复合函数的求导法则求解即可. 选项A，，故A正确； 选项B，，故B错误； 选项C，，故C正确； 选项D，，故D错误. 故选：AC. 【典型例题3】（多选）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 利用基本函数和复合函数的求导法则求解即可. 选项A，，故A正确； 选项B，，故B错误； 选项C，，故C正确； 选项D，，故D错误. 故选：AC. 【典型例题4】函数的导数为 ． 【答案】 【解析】因为：． 故答案为： 【典型例题5】函数的导函数为 ． 【答案】 【解析】根据复合函数的导函数运算求解. 由题意可知：， 所以. 故答案为：. 【变式训练5-1】已知函数的导函数是，且，则实数a的值为（   ） A． B． C． D．1 【变式训练5-2】已知某函数的导数为，则这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式训练5-4】（多选）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-5】（多选）下列导数运算正确的有（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-6】（多选）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-7】（多选）下列导数运算正确的有（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-8】已知函数，则 . 【变式训练5-9】对于，且这类函数的求导，可以使用下面的方式进行： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：. 根据框内的信息，函数的导数 ． 【变式训练5-10】已知，则 ． 【变式训练5-11】已知函数，满足，则它的导函数 （请注明定义域）. 【变式训练5-12】设函数，则 . 【变式训练5-13】已知函数，则函数的导函数 . 【变式训练5-14】已知函数，则 . 【变式训练5-15】已知函数，则该函数图像在点处的切线的倾斜角的大小是 ． 【变式训练5-16】求下列函数的导数： (1) (2) 【变式训练5-17】某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）满足关系，其中. (1)求的导数； (2)计算，并解释它的实际意义. 题型06：利用导数求函数式中的参数 【典型例题】已知，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】导数的乘除法 根据导数的运算求导函数，由解方程，即可求得的值. ， 因为，所以， 解得. 故选：B. 【变式训练6-1】已知函数在区间上的平均变化率为4，则m的值为 ． 【变式训练6-2】已知，，且，则 . 【变式训练6-3】已知函数，若，则 . 题型07：解析式中含 f ′ ()的导数问题 【典型例题1】已知函数，则（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以， 故选：D 【典型例题2】已知函数的导数为，且，则（    ） A． B．1 C．1 D．e 【答案】B 【解析】由，得， 当时，，解得， 所以，则. 故选：B 【变式训练7-1】已知函数，则（    ） A．6 B．3 C． D． 【变式训练7-2】已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【变式训练7-3】已知函数，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练7-4】若f (x) = 2x + x2 ，则等于 ( ) A ．2 B ．0 C ．-2 D ．-4 【变式训练7-5】已知函数f(x) = x x2 + x -1 ， 是f (x ) 的导函数，则f (1) + f, (2) = ． 【变式训练7-6】已知函数 = x3 - x2 + 2 ，则f (2) = ( ) 10 A ． 一2 B ． C ．6 D ．14 3 【变式训练7-7】已知函数f (x) = x3 + x2 - x ，则 的值为 ． 题型07：求切线方程 （一）利用导数求在某点处的切线方程 【典型例题1】曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】由求导得：， 依题意，， 故曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 【典型例题2】曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【解析】，则，， 故所求切线方程为，即. 故答案为： 【变式训练7-1-1】函数的图象在点处的切线方程为 ． 【变式训练7-1-2】函数在点处的切线方程为 ． 【变式训练7-1-3】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． （二）利用导数求过点处的切线方程 【典型例题1】过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 【典型例题2】过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 【答案】C 【解析】由，得， 设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为. 因为点在切线上，所以，即， 结合题意，则，是上述方程的根，所以根据韦达定理得. 故选：. 【变式训练7-2-1】过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【变式训练7-2-2】过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式训练7-2-3】（多选）设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 （三）利用导数公式求切点坐标 【典型例题1】设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 根据导数几何意义可求得切线方程，进而得到，累乘即可得到结果. ，， 在点处的切线方程为：， 令得：， . 故选：D. 【典型例题2】已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式 设切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点求出，即可求出切点的坐标. 设切点坐标为，由，得， 则过切点的切线方程为， 把点代入切线方程得，，即， 又，所以，则， 则切点坐标为. 故选：A 【变式训练7-3-1】若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3-3】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____. 【变式训练7-3-4】直线和曲线相切，则的值为 ，切点坐标为 ． 【变式训练7-3-5】曲线在点A处的切线方程为，则切点A的坐标为 ． 【变式训练7-3-6】已知函数，直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 【变式训练7-3-7】过点能作曲线的切线 条，切点坐标为 （四）切线的平行、垂直问题 【典型例题1】曲线在点处的切线平行于直线. (1)求切点坐标； (2)求切线的方程. 【答案】(1)； (2). 【解析】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） （1）根据导数的几何意义，结合两平行线的性质进行求解即可； （2）结合（1）的结论，利用直线的点斜式方程进行求解即可. （1）因为点处的切线平行于直线， 所以过该点的曲线的切线的斜率， 由，所以，因此， 所以切点坐标为：； （2）由直线的点斜式方程可知：. 【典型例题2】已知函数的图象经过点，且在点A处的切线与直线垂直． (1)求a，b的值； (2)求经过点且与曲线相切的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【解析】导数的加减法、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求过一点的切线方程 （1）求导，根据题意结合导数的几何意义分析列式求解； （2）设切点，切线斜率，求直线方程并代入点运算求解即可. （1）由，则， 因为的图象在点处的切线与直线垂直， 则，解得. （2）由（1）可设切线与曲线相切于点， 则切线斜率， 则切线的方程为， 将点代入方程整理得，解得或． 当时，切线方程为． 当时，切线方程为． 故经过点且与曲线相切的切线方程为或． 【变式训练7-4-1】已知，曲线在点处的切线与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-4-2】已知曲线，试在曲线上找一点，使得曲线在点P处的切线平行于直线. 【变式训练7-4-2】已知是曲线上的一点.写出该曲线在点P处的切线方程，并分别求出切线斜率为和切线平行于x轴时切点P的坐标. 【变式训练7-4-3】已知函数在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-4-4】若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 . 【变式训练7-4-5】曲线过点的切线与直线垂直，则 . 【变式训练7-4-6】已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 【变式训练7-4-7】曲线在 处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．2 D．4 【变式训练7-4-8】若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-4-9】若曲线在点处的切线与直线平行，则 . 【变式训练7-4-10】已知曲线y＝在点处的切线与直线平行，且与的距离等于，求直线的方程. （五）曲线切线的斜率、倾斜角问题 【典型例题1】过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求过一点的切线方程 设切点，结合导数的几何意义可得切线方程，根据切线过点，可得，进而确定切线斜率. 由，得， 设切点为， 则切线斜率， 即切线方程为， 又切线过点， 则， 整理可得， 解得或或， 则切线斜率为或或， 故选：D． 【典型例题2】（多选）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】求曲线切线的斜率（倾斜角）、基本（均值）不等式的应用、直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 求导，结合基本不等式求出导函数的取值范围，从而得到倾斜角的取值范围. 因为，所以． 因为，所以（当且仅当，即时取等号）， 所以，所以． 又因为，所以． 故选：CD． 【变式训练7-5-1】过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【变式训练7-5-2】函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-5-3】点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-5-4】若曲线在处的切线的倾斜角为，则 . 【变式训练7-5-5】过原点与曲线相切的一条切线的方程为 . 【变式训练7-5-6】已知函数. (1)求曲线在处的切线的方程； (2)求过原点O与曲线相切的直线的方程. （六）公切线问题 【典型例题1】试写出曲线与曲线的一条公切线方程 . 【答案】或（写出一个即可） 【解析】设出切点坐标，根据切线斜率相等，建立等式，解出即可. 设公切线与曲线切于点， 与曲线切于点. 由，得.由，得. 令，即，则， 且， 即， 化为， 所以，解得或. 当时，，， 此时切线的方程为，即. 当时，，， 此时切线的方程为，即. 综上可知，切线的方程为或，写出任意一个即可. 故答案为：或，写出任意一个即可. 【典型例题2】已知曲线在点处的切线与曲线相切，求的值. 【答案】 【解析】导数的运算法则、求过一点的切线方程 求出的导数，求得切线的斜率可得切线方程，再由切线方程与曲线方程联立，根据得到的值. ∵，， ∴曲线在点处的切线方程为，即， 又∵直线与曲线相切， 当时，曲线变为直线，与已知直线平行， ∴，可得，消去得， 由得. 【典型例题3】已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【答案】 【解析】设公共点为，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程. 解：因为函数与的图象关于直线对称， 所以与互为反函数，所以， 则．由，得， 设直线与函数的图象的切点坐标为， 与函数的图象的切点坐标为， 则直线的斜率，故， 显然，故， 所以直线的倾斜角为， 故选：B． 【变式训练7-6-1】已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则 . 【变式训练7-6-2】已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为 . 【变式训练7-6-3】已知曲线与的公切线为，则实数 . 【变式训练7-6-4】在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为 ． 【变式训练7-6-5】已知函数和，其中a，b为常数且． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围． （七）切线条数问题 【典型例题】过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【解析】求过一点的切线方程 根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可. 由， 当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线； 当点是不切点时，设切点为，则切线的斜率为， 切线方程为：，该切线过点， 于是有 或（舍去）， 综上所述：过点可作曲线的切线条数为， 故选：B 【变式训练7-7-1】已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-7-2】设函数，，曲线有两条斜率为的切线，则实数的取值范围是 . 【变式训练7-7-3】判断曲线在点处是否有切线，如果有，求出切线的斜率. （八）已知切线求参数范围 【典型例题】若直线y = x + 2 与曲线y = x3 + bx2 + c (b，c ∈ R ) 相切于点M (1，3) ，则c = ． 【答案】 3 【解析】直线y = x + 2 与曲线y = x3 + bx2 + c (b，c ∈ R ) 相切于点M (1，3) ，则1+b + c = 3 ，故b + c = 2 ． 又y ' = 3x2 + 2bx ，当x = 1 时， 3 + 2b = 1 ，所以b = -1 ，则c = 3． 【变式训练7-8-1】已知曲线y = x3 与曲线y = ln - x 在x = x0 处的切线互相垂直，则x0 = ． 【变式训练7-8-2】已知函数g(x ) = x3 + ax ，若曲线g(x)在x =0 处的切线也与曲线h (x )= -lnx 相切，则a = ． 题型08：根据导数的几何意义求参数的值 【典型例题】已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ． 【变式训练8-1】若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则的值为 . 【变式训练8-2】已知直线是曲线在点处的切线方程，则 【变式训练8-3】（22-23高二下·湖南长沙·阶段练习）若直线与曲线相切，则实数 ． 题型09：导数及其几何意义的综合应用 【典型例题】已知函数的图象过点，且. (1)求，的值； (2)求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 【变式训练9-1】已知曲线在点处的切线与圆相切，该圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或1 【变式训练9-2】已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是 . 【变式训练9-3】已知点和点是曲线上的两点，且点的横坐标是，点的纵坐标是，求： (1)割线的斜率； (2)在点处的切线方程. 题型10：利用切线求距离最值 【典型例题1】设点 A在直线 x - y +1 = 0 上，点 B在函数f (x ) = ln x 的图象上，则 AB 的最小值为 . 【答案】 1 + ln3 【解析】设函数f (x ) = lnx 与直线3x - y +1 = 0 平行的切线为l ，则l 的斜率为 3 ， 由 (x ) = = i3 ，得x = ，所以切点为P((| , - ln3), ， 则点P 到直线l 的距离就是AB 的最小值，即 ln3 . 【典型例题2】曲线f(x) = ln(x 一1)+ x +1 上的点到直线y = 2x + 4 的距离的最小值为 【答案】 【解析】 f(x) 的定义域为(1, +∞) ，求导得f, 令 (x ) = 2 ，解得x = 2 ，则f (2) = 3 ，故切点坐标为(2, 3)， 故曲线f (x )上的点到直线y = 2x + 4 的距离的最小值即为切点(2, 3) 到直线y = 2x + 4 的距离，即为 . 【变式训练10-1】已知点 A在函数f (x) = ex 一 2x 的图象上，点 B在直线l : x + y + 3 = 0 上，则 A，B两点之间距离的最小值是 ． 【变式训练10-2】已知点 P 在函数f (x ) = xex +1 的图象上，点 Q 在函数g 的图象上，则 PQ 的最小值为 . 【变式训练10-3】设点 A 在直线x - y +1 = 0 上，点 B 在函数f (x) = ln x 的图象上，则 AB 的最小值为 . 【变式训练10-4】若点P 是曲线y = lnx - 上任意一点，则点P 到直线l : x + y - 4 = 0 距离的最小值为 ( ) A． B． s2 C．2 D． 2、i2 一、单选题 1．已知函数，则（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知，使得命题“曲线在点处的切线与曲线没有公共点”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 8．若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（    ） A．1 B． C． D． 三、填空题 9．若曲线在处的切线的倾斜角为，则 . 10．已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 . 11．已知曲线存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为 . 四、解答题 12．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 13．写出过点，并且和曲线相切的直线方程． 14．已知与曲线在点处相切，为该曲线另一条切线，且． （1）求直线及直线的方程； （2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $