第01讲 导数的定义概念讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学复习导数专题（新高考通用）

第01讲 导数的定义概念 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 8 题型归纳 9 题型01：物体的平均速度与瞬时速度 9 题型02: 函数的平均变化率与瞬时变化率 10 题型03：导数定义的理解与应用 12 题型04：导数定义中极限的简单计算 13 题型05：求函数在某点处的导数 14 题型06：导数几何意义的应用 14 题型07：求曲线“在”与“过”某点的切线 17 巩固提升 18 1. 考查频率与题型： 导数的定义是高考数学的基础高频考点，选择题、填空题中常单独考查导数的概念辨析、利用定义求瞬时变化率；解答题中则作为导数几何意义、导数运算的前置基础，隐含在切线方程求解、函数单调性分析等问题里。 2. 考查方向： ① 核心考查平均变化率→瞬时变化率的极限思想，要求理解导数定义式 的本质。 ② 常结合抽象函数、分段函数、三角函数、指数对数函数，考查导数定义的灵活变形 ③注重与实际问题结合，比如利用导数定义求物体的瞬时速度、曲线在某点的瞬时变化率。 3.命题趋势： 近年高考更强调对定义本质的理解，弱化复杂运算，增加对极限思想和数学抽象素养的考查，常设置易混淆的选项（如混淆平均变化率与瞬时变化率）。 1. 基础目标： 准确理解导数的定义，区分平均变化率和瞬时变化率的概念，牢记导数定义的标准形式与常见变形形式。 2. 能力目标： 能利用导数定义求简单函数在某点的导数，或求解含极限的导数定义型问题；能结合导数定义判断分段函数在分段点处的可导性。 3. 素养目标： 体会从“有限”到“无限”的极限思想，提升数学抽象和逻辑推理能力，为后续导数的几何意义、导数应用奠定基础。 知识点一：物体的平均速度与瞬时速度 1、平均速度 设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为 2、瞬时速度 （1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度； （2）一般地，当无限趋近于0时，无限趋近于某一个常数，我们就说当趋近于0时，的极限就是，这时就是物体在时的瞬时速度， 即瞬时速度 知识点二：函数从到的平均变化率 1、定义式： 2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． 3、意义：刻画函数值在区间上变化的快慢． 4、平均变化率的几何意义： 设，是曲线上任意不同的两点， 函数的平均变化率为割线AB的斜率，如图． 【注意】Δx是变量在处的改变量，且是附近的任意一点，即Δx＝－≠0，但Δx可以为正，也可以为负． 5、求平均变化率的步骤： 第一步：先计算函数值的改变量； 第二步：再计算自变量的改变量； 第三步：求平均变化率； 知识点三：函数在x＝处的瞬时变化率 1.定义：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变．如果当趋近于时，平均变化趋近于一个常数l（也就是说平均变化率与某个常数l的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l称为函数在点的瞬时变化率． 定义式 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 【注意】 ①“无限趋近于0”的含义趋于0的距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数，且始终. ②“函数在的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 “函数在处的导数”是一个数值，是针对而言的，与给定的函数及的位置有关，而与无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与，无关． 2. 瞬时变化率的变形形式 3.“当趋近于零时，趋近于常数”可以用符号“”记作：“当时，”，或记作“”，符号“”读作“趋近于”．函数在的瞬时变化率，通常称为在处的导数，并记作．这时又称在处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当时，”或 “”． 注：是个数． 知识点四：导数的定义： 设函数，当自变量从变到时，函数值从变到，函数值关于的平均变化率为.当趋于，即趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数在点的导数，通常用符号表示，记作 要点诠释： ①导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在某一时刻的瞬间变化率. ②对于不同的实际问题，平均变化率有不同的实际意义.如位移运动中，位移从时间到的平均变化率即为到这段时间的平均速度 ③增量可以是正数，也可以是负数，但是不可以等于0.的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数. ④时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近. ⑤函数在处的导数还可以用符号表示. 利用定义求导数的步骤： ①求函数的增量：； ②求平均变化率：； ③取极限得导数： 知识点五：导数的几何意义 1. 平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 换一种表述： 曲线上一点及其附近一点， 经过点、作曲线的割线， 则有。 要点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。 2.导数的几何意义——曲线的切线 定义：如右图，当点沿曲线无限接近于点， 即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线。 T 也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。 要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关。 （2）切线斜率的本质———函数在处的导数。 （3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性。 ①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直。 ②，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴零度角，瞬时无增减。 （4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点； 为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？” 过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线C都用“与C有且只有一个公共点”来定义C的切线呢？如图1-1-2-1的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sin x的一部分，直线2显然与曲线C有唯一公共点M，但我们不能说直线2与曲线C相切；而直线1尽管与曲线C有不止一个公共点，但我们可以说直线1是曲线C在点N处的切线。 曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标; ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 （2）在点处的切线与过点（x0，y0）的切线的区别。 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点（x0，y0）的切线，则强调切线是过点（x0，y0），此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求过点（x0，y0）的切线方程时，先应判断点（x0，y0）是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点（x0，y0）代入，求得切点的坐标，进而求过点（x0，y0）的切线方程。 知识点六：导数的物理意义 1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数， 即有。 2.V＝S/t　表示即时速度;a=V/t 表示加速度。 知识点七：求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 注意两种情况： ①曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是： ②曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。 1. 定义直接应用法 解题步骤： S1. 计算 ; S2. 化简； S3. 求 ，即得。 2. 变形匹配法 适用场景：题目给出的极限式子与导数定义式形式不同（如自变量增量为 2h、-h 等）。 解题步骤：观察极限式的结构，通过恒等变形（如配凑、换元）转化为导数定义的标准形式； 3. 分段函数可导性判断策略 适用场景：判断分段函数在分段点 处的可导性。 解题步骤： S1. 先判断函数在处的连续性（可导必连续，不连续必不可导）； S2. 分别利用导数定义求左导数 和右导数 ； S3. 若= ，则函数在 处可导，否则不可导。 题型01：物体的平均速度与瞬时速度 【典型例题1】一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】，， 因为物体在这段时间内的平均速度为， 所以，解得，故选：A 【变式训练1-1】某质点沿曲线运动的方程为（x表示时间，表示位移），则该质点从x＝2到x＝3的平均速度为（ ） A．－5 B．5 C．－6 D．6 【变式训练1-2】已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（ ） A．经过4s后物体向前走了10m B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s C．物体在第4秒内向前走了10m D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s 【变式训练1-3】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（ ） A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s 【变式训练1-4】如图所示为物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是______． ①在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度； ③在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度． 题型02: 函数的平均变化率与瞬时变化率 (一）平均变化率 【典型例题】已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数， 所以该函数在区间上的平均变化率为 ， 故选：A 【变式训练2-1】函数在区间上的平均变化率等于（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式训练2-2】若函数在区间上的平均变化率为5，则t等于（ ） A． B．2 C．3 D．1 【变式训练2-3】如图所示为物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是______． ①在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度； ③在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度． （二）瞬时变化率 【典型例题】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（    ） A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s 【答案】D 【解析】该物体在时间段上的平均速度为，当无限趋近于0时，无限趋近于3，即该物体在s时的瞬时速度为3m/s． 故选：D 【变式训练2-4】设，则（ ） A． B． C．4 D．8 【变式训练2-5】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则物体在t=0 s时的瞬时速度为______m/s；瞬时速度为9 m/s的时刻是在t=______s时． 【变式训练2-6】小明从家里到学校行走的路程s与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的个数为______． （1）； （2）； （3）对于，存在，使得； （4）整个过程小明行走的速度一直在加快． 题型03：导数定义的理解与应用 【典型例题1】已知函数，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】解：因为， 所以 故选：D 【典型例题2】若函数在处可导，则的结果（ ）． A．与，h均无关 B．仅与有关，而与h无关 C．仅与h有关，而与无关 D．与，h均有关 【答案】B 【解析】因为， 所以结果仅与有关，而与h无关，故选：B. 【变式训练3-1】设在处可导，则（ ）． A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知函数在处的导数为，则等于（ ） A．－2 B．－1 C．2 D．1 【变式训练3-3】已知函数的导函数为，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】已知函数，则（    ） A．4 B．6 C．2 D．3 【变式训练3-6】一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系是，则在时的瞬时速度为（    ） A．1 B．3 C．－2 D．2 【变式训练3-7】一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为1cm的球状物体后，水面高度为6cm，如图所示.已知该水杯的底面圆半径为3cm，若从时刻开始，该球状物体的半径以1cm/s的速度变长(在该球状物体膨胀的过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出)，则在时刻，水面上升的瞬时速度为 cm/s. 【变式训练3-8】（多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-9】一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是（位移：m，时间：s）. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在时的瞬时速度； (3)求到时的平均速度. 题型04：导数定义中极限的简单计算 【典型例题】已知为可导函数，且，则_______． 【答案】 【解析】根据函数在处的导数的定义及极限的运算即可求解. 解：因为. 故答案为：. 【变式训练4-1】已知函数，若，则__________. 【变式训练4-2】设函数在R上可导，则当d趋近于0时，趋近于______． 题型05：求函数在某点处的导数 【典型例题】已知是定义在R上的可导函数，若，则______. 【答案】## 【解析】根据导数的定义计算可得结果. 由导数的定义，可得. 故答案为： 【变式训练5-1】函数在处的导数为（ ） A．2 B． C． D． 【变式训练5-2】已知函数在处的导数为3，则函数的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】设函数，若，则（ ） A．2 B． C．3 D． 【变式训练5-4】设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式训练5-5】定义，已知函数在内的导函数为，的值为（ ） A． B． C． D． 题型06：导数几何意义的应用 【典型例题1】已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象可知，即.故选：D 【典型例题2】如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到，利用导数的概念解出即可. 依题意可知切点， 函数的图象在点处的切线方程是， ，即 又 即 故选：D. 【变式训练6-1】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知函数的图象如下所示，为的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】已知函数，，，，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-5】已知函数的图像在点处的切线方程是，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式训练6-6】设函数在点处的切线方程为，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 题型07：求曲线“在”与“过”某点的切线 【典型例题1】曲线过点的切线方程是____________． 【答案】或 【解析】设切点为，则， 当时，趋于2a，所以所求切线的斜率为2a， 故，解得， 所以所求的切线方程为或． 故答案为：或. 【变式训练7-1】曲线在点处的切线斜率是（ ） A．9 B．6 C． D． 【变式训练7-2】求函数的图象上过原点的切线方程． 【变式训练7-3】曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为______． 一、单选题 1．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A．0 B． C．1 D． 3．函数在区间上的平均变化率为（    ） A．3 B．2 C． D． 4．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.25秒时的瞬时速度为（　  　） A．6.75米/秒 B．6.55米/秒 C．5.75米/秒 D．5.55米/秒 5．已知是定义在R上的可导函数，若，则（    ） A．0 B．2 C． D． 6．设在处可导，下列式子与相等的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的图像在点处的切线方程是，则（    ） A． B．2 C． D．3 8．已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T内完成房产供应量任务S．已知房产供应量S与时间t的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．若不存在，则曲线在点处也可能有切线 B．若曲线在点处有切线，则必存在 C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在 D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在 三、填空题 11．已知函数，其中，则此函数在区间上的平均变化率为__________. 12．已知函数，则______． 13．若函数在区间上的平均变化率为3，则_____________. 14．如图，已知直线l是曲线在处的切线，则的值为___________． 四、解答题 15．求函数在区间和上的平均变化率. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 导数的定义概念 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 8 题型归纳 9 题型01：物体的平均速度与瞬时速度 9 题型02: 函数的平均变化率与瞬时变化率 11 题型03：导数定义的理解与应用 14 题型04：导数定义中极限的简单计算 18 题型05：求函数在某点处的导数 19 题型06：导数几何意义的应用 20 题型07：求曲线“在”与“过”某点的切线 24 巩固提升 26 1. 考查频率与题型： 导数的定义是高考数学的基础高频考点，选择题、填空题中常单独考查导数的概念辨析、利用定义求瞬时变化率；解答题中则作为导数几何意义、导数运算的前置基础，隐含在切线方程求解、函数单调性分析等问题里。 2. 考查方向： ① 核心考查平均变化率→瞬时变化率的极限思想，要求理解导数定义式 的本质。 ② 常结合抽象函数、分段函数、三角函数、指数对数函数，考查导数定义的灵活变形 ③注重与实际问题结合，比如利用导数定义求物体的瞬时速度、曲线在某点的瞬时变化率。 3.命题趋势： 近年高考更强调对定义本质的理解，弱化复杂运算，增加对极限思想和数学抽象素养的考查，常设置易混淆的选项（如混淆平均变化率与瞬时变化率）。 1. 基础目标： 准确理解导数的定义，区分平均变化率和瞬时变化率的概念，牢记导数定义的标准形式与常见变形形式。 2. 能力目标： 能利用导数定义求简单函数在某点的导数，或求解含极限的导数定义型问题；能结合导数定义判断分段函数在分段点处的可导性。 3. 素养目标： 体会从“有限”到“无限”的极限思想，提升数学抽象和逻辑推理能力，为后续导数的几何意义、导数应用奠定基础。 知识点一：物体的平均速度与瞬时速度 1、平均速度 设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为 2、瞬时速度 （1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度； （2）一般地，当无限趋近于0时，无限趋近于某一个常数，我们就说当趋近于0时，的极限就是，这时就是物体在时的瞬时速度， 即瞬时速度 知识点二：函数从到的平均变化率 1、定义式： 2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． 3、意义：刻画函数值在区间上变化的快慢． 4、平均变化率的几何意义： 设，是曲线上任意不同的两点， 函数的平均变化率为割线AB的斜率，如图． 【注意】Δx是变量在处的改变量，且是附近的任意一点，即Δx＝－≠0，但Δx可以为正，也可以为负． 5、求平均变化率的步骤： 第一步：先计算函数值的改变量； 第二步：再计算自变量的改变量； 第三步：求平均变化率； 知识点三：函数在x＝处的瞬时变化率 1.定义：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变．如果当趋近于时，平均变化趋近于一个常数l（也就是说平均变化率与某个常数l的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l称为函数在点的瞬时变化率． 定义式 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 【注意】 ①“无限趋近于0”的含义趋于0的距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数，且始终. ②“函数在的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 “函数在处的导数”是一个数值，是针对而言的，与给定的函数及的位置有关，而与无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与，无关． 2. 瞬时变化率的变形形式 3.“当趋近于零时，趋近于常数”可以用符号“”记作：“当时，”，或记作“”，符号“”读作“趋近于”．函数在的瞬时变化率，通常称为在处的导数，并记作．这时又称在处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当时，”或 “”． 注：是个数． 知识点四：导数的定义： 设函数，当自变量从变到时，函数值从变到，函数值关于的平均变化率为.当趋于，即趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数在点的导数，通常用符号表示，记作 要点诠释： ①导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在某一时刻的瞬间变化率. ②对于不同的实际问题，平均变化率有不同的实际意义.如位移运动中，位移从时间到的平均变化率即为到这段时间的平均速度 ③增量可以是正数，也可以是负数，但是不可以等于0.的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数. ④时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近. ⑤函数在处的导数还可以用符号表示. 利用定义求导数的步骤： ①求函数的增量：； ②求平均变化率：； ③取极限得导数： 知识点五：导数的几何意义 1. 平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 换一种表述： 曲线上一点及其附近一点， 经过点、作曲线的割线， 则有。 要点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。 2.导数的几何意义——曲线的切线 定义：如右图，当点沿曲线无限接近于点， 即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线。 T 也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。 要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关。 （2）切线斜率的本质———函数在处的导数。 （3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性。 ①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直。 ②，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴零度角，瞬时无增减。 （4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点； 为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？” 过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线C都用“与C有且只有一个公共点”来定义C的切线呢？如图1-1-2-1的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sin x的一部分，直线2显然与曲线C有唯一公共点M，但我们不能说直线2与曲线C相切；而直线1尽管与曲线C有不止一个公共点，但我们可以说直线1是曲线C在点N处的切线。 曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标; ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 （2）在点处的切线与过点（x0，y0）的切线的区别。 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点（x0，y0）的切线，则强调切线是过点（x0，y0），此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求过点（x0，y0）的切线方程时，先应判断点（x0，y0）是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点（x0，y0）代入，求得切点的坐标，进而求过点（x0，y0）的切线方程。 知识点六：导数的物理意义 1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数， 即有。 2.V＝S/t　表示即时速度;a=V/t 表示加速度。 知识点七：求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 注意两种情况： ①曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是： ②曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。 1. 定义直接应用法 解题步骤： S1. 计算 ; S2. 化简； S3. 求 ，即得。 2. 变形匹配法 适用场景：题目给出的极限式子与导数定义式形式不同（如自变量增量为 2h、-h 等）。 解题步骤：观察极限式的结构，通过恒等变形（如配凑、换元）转化为导数定义的标准形式； 3. 分段函数可导性判断策略 适用场景：判断分段函数在分段点 处的可导性。 解题步骤： S1. 先判断函数在处的连续性（可导必连续，不连续必不可导）； S2. 分别利用导数定义求左导数 和右导数 ； S3. 若= ，则函数在 处可导，否则不可导。 题型01：物体的平均速度与瞬时速度 【典型例题1】一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】，， 因为物体在这段时间内的平均速度为， 所以，解得，故选：A 【变式训练1-1】某质点沿曲线运动的方程为（x表示时间，表示位移），则该质点从x＝2到x＝3的平均速度为（ ） A．－5 B．5 C．－6 D．6 【答案】A 【解析】由题得该质点从x＝2到x＝3的平均速度为．故选：A． 【变式训练1-2】已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（ ） A．经过4s后物体向前走了10m B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s C．物体在第4秒内向前走了10m D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s 【答案】D 【解析】∵物体做直线运动的方程为， 根据导数的物理意义可知，函数的导数是t时刻的瞬时速度， ∴表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s．故选：D． 【变式训练1-3】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（ ） A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s 【答案】D 【解析】该物体在时间段上的平均速度为 ， 当无限趋近于0时，无限趋近于3， 即该物体在s时的瞬时速度为3m/s．故选：D 【变式训练1-4】如图所示为物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是______． ①在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度； ③在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度． 【答案】③④ 【解析】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故①错误． 瞬时速度为切线斜率，故②错误． 在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为， 因为，，所以，故③正确．同理④正确． 故答案为：③④． 题型02: 函数的平均变化率与瞬时变化率 (一）平均变化率 【典型例题】已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数， 所以该函数在区间上的平均变化率为 ， 故选：A 【变式训练2-1】函数在区间上的平均变化率等于（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】根据平均变化率公式计算可得； 解：因为，， 所以，即函数在区间上的平均变化率为； 故选：C 【变式训练2-2】若函数在区间上的平均变化率为5，则t等于（ ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】C 【解析】因为函数在区间上的平均变化率为5， 所以，解得：或. 因为区间，所以，所以.故选：C 【变式训练2-3】如图所示为物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是______． ①在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度； ③在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度． 【答案】③④ 【解析】根据平均速度的公式判断①③④，从而①错误，③④正确； 根据瞬时速度与切线斜率的关系作出判断②错误； 在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故①错误． 瞬时速度为切线斜率，故②错误． 在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为，，所以，故③正确．同理④正确． 故答案为：③④． （二）瞬时变化率 【典型例题】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（    ） A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s 【答案】D 【解析】该物体在时间段上的平均速度为，当无限趋近于0时，无限趋近于3，即该物体在s时的瞬时速度为3m/s． 故选：D 【变式训练2-4】设，则（ ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【解析】 ， 故选：C 【变式训练2-5】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则物体在t=0 s时的瞬时速度为______m/s；瞬时速度为9 m/s的时刻是在t=______s时． 【答案】     1     4 【解析】由瞬时速度的定义可求解. ， 即物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s． 设物体在时刻的瞬时速度为9 m/s， 又， 所以，物体在t=4 s时的瞬时速度为9 m/s． 故答案为：1；4 【变式训练2-6】小明从家里到学校行走的路程s与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的个数为______． （1）； （2）； （3）对于，存在，使得； （4）整个过程小明行走的速度一直在加快． 【答案】3 【解析】对于（1）（2），根据平均速度的定义结合图判断即可，对于（3），由图象可知，从而可得结论，对于（4），根据曲线在各点处的切线方程的斜率的大小判断即可. 解：由题意，可知，，． 由题中图像可知，且，因此， 而，所以， 因此，此时，所以（1）正确； 因为， ，故成立，（2）正确； 由题中图像可知，直线与曲线的交点为，故存在，使得，即当时，，故（3）正确； t时刻的瞬时速度为，判断瞬时速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，由题中图像可知，当时，切线方程的斜率最大， 故而在此时，瞬时速度最快，因此，（4）不正确． 故答案为：3． 题型03：导数定义的理解与应用 【典型例题1】已知函数，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】解：因为， 所以 故选：D 【典型例题2】若函数在处可导，则的结果（ ）． A．与，h均无关 B．仅与有关，而与h无关 C．仅与h有关，而与无关 D．与，h均有关 【答案】B 【解析】因为， 所以结果仅与有关，而与h无关，故选：B. 【变式训练3-1】设在处可导，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵在处可导， ∴，故选：C. 【变式训练3-2】已知函数在处的导数为，则等于（ ） A．－2 B．－1 C．2 D．1 【答案】A 【解析】根据导数的定义可知.故选：A 【变式训练3-3】已知函数的导函数为，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以，故选：D. 【变式训练3-4】某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据平均速度的含义，进行计算即可求得答案. 当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为：． 故选：A. 【变式训练3-5】已知函数，则（    ） A．4 B．6 C．2 D．3 【答案】A 【解析】对函数求导并求出在0处的导数值，再利用导数定义计算作答. 函数，求导得，则， 所以. 故选：A 【变式训练3-6】一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系是，则在时的瞬时速度为（    ） A．1 B．3 C．－2 D．2 【答案】D 【解析】利用导数的物理意义可直接求导得到结果. 由得：， 当时，， 即物体在时的瞬时速度为2. 故选：D. 【变式训练3-7】一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为1cm的球状物体后，水面高度为6cm，如图所示.已知该水杯的底面圆半径为3cm，若从时刻开始，该球状物体的半径以1cm/s的速度变长(在该球状物体膨胀的过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出)，则在时刻，水面上升的瞬时速度为 cm/s. 【答案】4 【解析】根据体积公式求出函数，再求导函数可以求得瞬时速度. 杯中水的体积为 设在该过程中水面高度为h，则 即 令函数    则 故在时刻， 水面上升的瞬时速度为4 cm/s. 故答案为：4. 【变式训练3-8】（多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，，A满足； 对于B，，B不满足； 对于C，，C满足； 对于D，， D不满足，故选：AC 【变式训练3-9】一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是（位移：m，时间：s）. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在时的瞬时速度； (3)求到时的平均速度. 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）根据初速度的定义求解即可， （2）根据瞬时速度的定义求解即可， （3）根据平均速度的定义求解即可. （1）初速度 （2） ， 所以此物体在时的瞬时速度为，方向与初速度方向相反， （3）， 所以到时的平均速度为 题型04：导数定义中极限的简单计算 【典型例题】已知为可导函数，且，则_______． 【答案】 【解析】根据函数在处的导数的定义及极限的运算即可求解. 解：因为. 故答案为：. 【变式训练4-1】已知函数，若，则__________. 【答案】 【解析】依题意，. 故答案为： 【变式训练4-2】设函数在R上可导，则当d趋近于0时，趋近于______． 【答案】## 【解析】由导数的定义，当时，，即可得出结果 因为函数在R上可导，且， 当时，，所以． 故答案为： 题型05：求函数在某点处的导数 【典型例题】已知是定义在R上的可导函数，若，则______. 【答案】## 【解析】根据导数的定义计算可得结果. 由导数的定义，可得. 故答案为： 【变式训练5-1】函数在处的导数为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】， 所以函数在处的导数为.故选：D. 【变式训练5-2】已知函数在处的导数为3，则函数的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A：，故A正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：，故C不正确； 对于D：，故D不正确，故选：A. 【变式训练5-3】设函数，若，则（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】∵，且， ∴．故选：A． 【变式训练5-4】设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】解：因为存在导函数且满足， 所以，即曲线上的点处的切线的斜率为， 故选：A. 【变式训练5-5】定义，已知函数在内的导函数为，的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， ， ∴ ，故选：B． 题型06：导数几何意义的应用 【典型例题1】已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象可知，即.故选：D 【典型例题2】如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到，利用导数的概念解出即可. 依题意可知切点， 函数的图象在点处的切线方程是， ，即 又 即 故选：D. 【变式训练6-1】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图知：，即.故选：A 【变式训练6-2】已知函数的图象如下所示，为的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率， 结合图象知：，而，故选：B. 【变式训练6-3】如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可知切点， 函数的图象在点处的切线方程是， ，即 又 即故选：D. 【变式训练6-4】已知函数，，，，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据导数的几何意义，画出各个函数图象在处的切线，根据切线的斜率来判断即可． 依次作出，，，在的切线，如图所示： 根据图形中切线的斜率可知． 故选：A． 【变式训练6-5】已知函数的图像在点处的切线方程是，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【解析】由点处的切线方程是可得：, 时，,故, , 故选：B 【变式训练6-6】设函数在点处的切线方程为，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【解析】根据曲线某点处的导数等于切线的斜率，得，再根据可求解. 函数在点处的切线方程为， 则. 故选:C. 题型07：求曲线“在”与“过”某点的切线 【典型例题1】曲线过点的切线方程是____________． 【答案】或 【解析】设切点为，则， 当时，趋于2a，所以所求切线的斜率为2a， 故，解得， 所以所求的切线方程为或． 故答案为：或. 【变式训练7-1】曲线在点处的切线斜率是（ ） A．9 B．6 C． D． 【答案】A 【解析】∵， ∴， ∴， 由导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率是；故选：A 【变式训练7-2】求函数的图象上过原点的切线方程． 【答案】或 【解析】设切点坐标为，则， ∵ , 所以切线方程为． 因为切线过原点，所以， 即，解得或， 所以切线方程为或. 【变式训练7-3】曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为______． 【答案】或 【解析】易知曲线在点P处的切线的斜率为，设， 因为， 当时，， 所以，则点P的坐标为或． 故答案为：或. 一、单选题 1．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可； 解：如图分别令、、、、所对应的点为、、、、， 由图可知， 所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快； 故选：C 2．已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】对条件变形，利用导数的定义求解出到数值. 因为，所以， 故 故选：B 3．函数在区间上的平均变化率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】根据平均变化率的定义计算即可 由题，函数在区间上的平均变化率为 故选：D 4．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.25秒时的瞬时速度为（　  　） A．6.75米/秒 B．6.55米/秒 C．5.75米/秒 D．5.55米/秒 【答案】D 【解析】依据瞬时速度定义利用极限去求他在0.25秒时的瞬时速度即可 则他在0.25秒时的瞬时速度为5.55米/秒 故选：D 5．已知是定义在R上的可导函数，若，则（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】依据导数的定义，利用题给条件去求的值即可. 由导数的定义，可得． 故选：D 6．设在处可导，下列式子与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据导函数的定义，将各选项中的式子化简，即可判断出答案. 对于A，,A错误； 对于B，，B正确； 对于C, ，C错误； 对于D，，D错误， 故选：B 7．已知函数的图像在点处的切线方程是，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】利用导数的几何意义求出和，即可求得. 函数的图像在点处的切线的斜率就是在该点处的导数，即就是切线的斜率，所以. 又， 所以. 故选：D 8．已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用导数的几何意义和直线的斜率公式，结合图象得出答案． 和分别表示函数在和处的切线斜率，结合图象可得，而，表示过和两点的直线斜率，则 故选：D 二、多选题 9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T内完成房产供应量任务S．已知房产供应量S与时间t的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果. 单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡， 故函数的图象应一直下凹的.则选项B满足条件， 所以在时间[0，T]内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的是ACD选项， 故选：ACD. 10．下列说法正确的是（    ） A．若不存在，则曲线在点处也可能有切线 B．若曲线在点处有切线，则必存在 C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在 D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在 【答案】AC 【解析】由的意义判断各个选项即可. ，不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在； 当斜率不存在时，切线也可能存在，其切线方程为，故AC正确. 故选：AC. 三、填空题 11．已知函数，其中，则此函数在区间上的平均变化率为__________. 【答案】5 【解析】根据平均变化率的知识求得正确答案. 函数在区间上的平均变化率为. 故答案为： 12．已知函数，则______． 【答案】－1 【解析】根据导数的定义计算． ． 故答案为：． 13．若函数在区间上的平均变化率为3，则_____________. 【答案】2 【解析】利用函数平均变化率的计算公式，列式计算作答. 函数在区间上的平均变化率为， 所以. 故答案为：2 14．如图，已知直线l是曲线在处的切线，则的值为___________． 【答案】 【解析】求出直线的斜率即得导数值． 由已知，所以． 故答案为：． 四、解答题 15．求函数在区间和上的平均变化率. 【答案】在区间和上的平均变化率分别为和. 【解析】根据题意，由平均变化率的定义求出函数在两个区间上的平均变化率，即可得答案． 解：根据题意，函数， 在区间，的平均变化率为， 在区间，的平均变化率为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $