圆：扇形弧长与面积的计算、圆锥的相关计算、阴影面积的相关计算专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

圆：扇形弧长与面积的计算、圆锥的相关计算、阴影面积的相关计算专项训练 圆：扇形弧长与面积的计算、圆锥的相关计算、阴影面积的相关计算专项训练 考点目录 扇形弧长与面积的计算 圆锥的相关计算 阴影面积的相关计算 考点一 扇形弧长与面积的计算 例1．（25-26九年级上·北京平谷·期末）如图，是的内接三角形，．若的半径为3，则劣弧的长为（　　） A． B． C． D．2π 例2．（25-26九年级上·天津滨海·期末）已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，慧慧同学制作了一把扇形纸扇（如图）．已知，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一面绘制山水画，则山水画所在纸面的面积 ．（结果保留） 例4．（25-26九年级上·浙江温州·月考）若圆的半径为4，则的圆心角所对的弧长为 ． 变式1．（25-26九年级上·贵州黔西·期末）如图，扇子上的精美图案是兴仁市某校学生在社团课上利用蜡染制作的，扇形完全打开后，扇面（即扇形）的面积为，竹条，的长均为，、分别为、的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，正六边形内接于，的半径为6，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·新疆喀什·期末）如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为 ．（结果保留） 变式4．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在正六边形中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，则的长是 ． 考点二 圆锥的相关计算 例1．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是2，则圆锥的母线为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 例2．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计）．若该圆锥的底面圆周长为，扇形的圆心角的度数是，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·新疆和田·期末）草帽是中国特有的传统草编工艺品．乐乐决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的圆锥形草帽（如图）．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠，则此扇形卡纸的圆心角的度数为 ． 例4．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的直径为 ． 变式1．（25-26九年级上·贵州黔西·月考）某校九年级学生参加社会实践活动，学习编织圆锥形工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点，，均在格点上．若每个小正方形的边长为1，则这个圆锥的底面直径是（   ） A． B． C．3 D． 变式2．（2025·四川绵阳·三模）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，，，若上面圆锥的侧面积为5，则下面圆锥的侧面积为（   ） A．10 B． C． D． 变式3．（2026·新疆·一模）已知一个圆锥体的三视图如图所示，三角形的高为3，圆的直径为8，则这个圆锥体的侧面积为 ． 变式4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，将扇形围成一个圆锥，若扇形半径为9，，则圆锥的底面半径为 ． 考点三 阴影面积的相关计算 例1．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，圆内接正三角形的边长为，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）如图，已知扇形，，，点，分别在，上，点在弧上．若四边形是菱形，则图中阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，正六边形内接于，已知的面积为，则阴影部分面积为 ． 例4．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点D、E、F．若，则求阴影部分的面积 ． 例5．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）如图，已知点是外一点，交于点，，弦，对应的圆心角度数为，连接． (1)求的长； (2)求证：是的切线； (3)求阴影部分的面积． 例6．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，为的弦，为的切线，分别与，相交于点D，E，且． (1)求证：． (2)若，，求阴影部分的面积． 变式1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，．以为圆心长为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 变式2．（23-24九年级上·山东烟台·期末）已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，连接，则扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在扇形中，，，C是上靠近点B的三等分点，过点C作，垂足为D，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 变式4．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，，分别以点、为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 变式5．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，是的直径，是上一点，是的中点，为延长线上一点，且，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 变式6．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，已知是半圆的直径，是半圆上的一点，连接，并延长到点，使，连接． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆：扇形弧长与面积的计算、圆锥的相关计算、阴影面积的相关计算专项训练 圆：扇形弧长与面积的计算、圆锥的相关计算、阴影面积的相关计算专项训练 考点目录 扇形弧长与面积的计算 圆锥的相关计算 阴影面积的相关计算 考点一 扇形弧长与面积的计算 例1．（25-26九年级上·北京平谷·期末）如图，是的内接三角形，．若的半径为3，则劣弧的长为（　　） A． B． C． D．2π 【答案】B 【详解】解：如图，连接， 由圆周角定理得：， ∴劣弧的长为． 故选：B． 例2．（25-26九年级上·天津滨海·期末）已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设半径为， 弧长公式，其中，， ， ，故半径为， 故选：D． 例3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，慧慧同学制作了一把扇形纸扇（如图）．已知，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一面绘制山水画，则山水画所在纸面的面积 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：； 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·浙江温州·月考）若圆的半径为4，则的圆心角所对的弧长为 ． 【答案】 【详解】解：∵圆的半径为4，圆心角为， ∴弧长为． 故答案为：． 变式1．（25-26九年级上·贵州黔西·期末）如图，扇子上的精美图案是兴仁市某校学生在社团课上利用蜡染制作的，扇形完全打开后，扇面（即扇形）的面积为，竹条，的长均为，、分别为、的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设扇形的圆心角为． 根据题意，得：， 解得， 即圆心角． ∵、分别为、的中点， ∴， ∴的长为． 故选：B． 变式2．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，正六边形内接于，的半径为6，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， 正六边形内接于， ， 的半径为6， ； 故选：B． 变式3．（25-26九年级上·新疆喀什·期末）如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为 ．（结果保留） 【答案】/ 【详解】解：根据旋转可知：， ∴． 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在正六边形中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：∵正六边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 考点二 圆锥的相关计算 例1．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是2，则圆锥的母线为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】解：圆锥的底面周长， 则：， 解得． 故选：B． 例2．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计）．若该圆锥的底面圆周长为，扇形的圆心角的度数是，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设圆锥的母线长为． 根据题意，得， 解得， ， ∴圆锥的侧面积为． 例3．（25-26九年级上·新疆和田·期末）草帽是中国特有的传统草编工艺品．乐乐决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的圆锥形草帽（如图）．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠，则此扇形卡纸的圆心角的度数为 ． 【答案】/144度 【详解】解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， 解得， 所以此扇形卡纸的圆心角的度数为． 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的直径为 ． 【答案】8 【详解】解∶扇形的弧长为（cm）， 设圆锥底面半径为，则，解得， 故底面直径为． 故答案为8． 变式1．（25-26九年级上·贵州黔西·月考）某校九年级学生参加社会实践活动，学习编织圆锥形工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点，，均在格点上．若每个小正方形的边长为1，则这个圆锥的底面直径是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：由勾股定理得，，， ，， ， ， 优弧的长为：， 则圆锥底面半径为：， 则圆锥底面直径为， 故选：． 变式2．（2025·四川绵阳·三模）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，，，若上面圆锥的侧面积为5，则下面圆锥的侧面积为（   ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【详解】， 而， ∴为等边三角形， ，， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同， ∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于， ∴下面圆锥的侧面积． 故选：D． 变式3．（2026·新疆·一模）已知一个圆锥体的三视图如图所示，三角形的高为3，圆的直径为8，则这个圆锥体的侧面积为 ． 【答案】 【详解】解：根据三视图得到 圆锥的底面圆的直径为8，即底面圆的半径为4，圆锥的高为3， 所以圆锥的母线长， 所以这个圆锥的侧面积是． 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，将扇形围成一个圆锥，若扇形半径为9，，则圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为， 则有， 解得． 故答案为：． 考点三 阴影面积的相关计算 例1．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，圆内接正三角形的边长为，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作、边上的高、，交于点O， ∵为正三角形，边长为， ∴，O为等边的外接圆的圆心， ∴正三角形的面积为：，， ∴等边的外接圆的面积为：， ∵以等边的各边为直径作半圆， ∴三个半圆的半径为：， ∴三个半圆的面积为：， ∴阴影部分的面积为：． 故选：B． 例2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）如图，已知扇形，，，点，分别在，上，点在弧上．若四边形是菱形，则图中阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，过作于．    ∵ 四边形是菱形，， ∴ ，， 又， ∴ ， 由得，则， ∴，， 即，解得，即， ∴，， ∴， 故选：A． 例3．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，正六边形内接于，已知的面积为，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵的面积为， ∴的半径为6， 又∵正六边形内接于， ∴阴影部分圆心角为， ∴， 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点D、E、F．若，则求阴影部分的面积 ． 【答案】 【详解】解：连接、，，，并延长交于K，过点E作于G，过点D作于H， ∵是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点D、E、F． ∴，，平分，，，，且， ∴，点K与点F重合，即O，F，B三点共线， ∴垂直平分，同理垂直平分，垂直平分， ∴点D是的中点，点F是的中点， ∴，，， ∵，则， ∴，， ∴，， ∴弓形面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为． 例5．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）如图，已知点是外一点，交于点，，弦，对应的圆心角度数为，连接． (1)求的长； (2)求证：是的切线； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：连接， 弦，的度数为， 与的度数等于， ． ， 是等边三角形， ． （2）证明：，， ， ． 是等边三角形， ， ． ， ． 是的半径， 是的切线． （3）解：∵，， ∴ ∴ ∴， ∴阴影部分面积． 例6．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，为的弦，为的切线，分别与，相交于点D，E，且． (1)求证：． (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， 解得， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 变式1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，．以为圆心长为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵以为圆心长为半径画圆， ∴， 故选C． 变式2．（23-24九年级上·山东烟台·期末）已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，连接，则扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由翻折的性质可知，， ∵， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∴， ∴扇形的弧长． 故选：B． 变式3．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在扇形中，，，C是上靠近点B的三等分点，过点C作，垂足为D，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，C是上靠近点B的三等分点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为 ． 故答案为：． 变式4．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，，分别以点、为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【详解】解：在中，，，， ，， ， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为： 变式5．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，是的直径，是上一点，是的中点，为延长线上一点，且，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， 是的中点， ． 又， ，即， ． ， ， ． 即 又是的半径， 是的切线． （2）解：， ． ， ， ∴， 又． ， 为等边三角形， ， ， 在中， 答：阴影部分的面积为． 变式6．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，已知是半圆的直径，是半圆上的一点，连接，并延长到点，使，连接． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是半圆的直径， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴． ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴ 2 学科网（北京）股份有限公司 $