锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 考点目录 锐角三角函数的定义 三角函数的计算 利用三角函数解三角形 考点一 锐角三角函数的定义 例1.(25-26九年级上云南昆明月考)如图，在正方形网格中，己知ABC的三个顶点均在格点上，则∠BAC的 正弦值为() A B A.1 B.3 c.io D. √10 10 3 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D, 由网格的特点可得CD=1,AD=3, AC=√AD2+CD2=V10, asin∠BAC=sin∠DAC=CD=L=o AC1010 故选：C B D 则sinB的值为() A.5 B.25 D.V5 5 5 C.2 2 【答案】B 【详解】解：如图，在ABC中，∠C=90°，an4= 锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 B A ÷tan4=BC-1 AC2' 设BC=k(k>0),则AC=2k, AB=BC+AC=k2+(2k)2=5k=5k, sin B=AC AB' .'.sin B=- 2k-22W5 5kV55 故选：B 例3.(25-26九年级上陕西西安月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=15,过点C作 CD⊥AB于点D,则cos LACD的值为一 B 【件案】9 【详解】解：在Rt△ABC中，LACB=90°，AC=8,BC=15, 六AB=√AC2+BC2=17, ∠ACB=90°，CD⊥AB, ∠ACD+∠A=90°，∠A+LB=90°， ∠ACD=∠B, cos∠ACD=cos∠B=BC=15 AB 17 15 故答案为： 17 例4.Cas26九年缓上陕西榜林期未)在R△48C中，∠C=0,BC=4am4=子，测B的长为一 【答案】23 【详解】解：在Rt△4BC中，∠C=90°，BC=4,amA=BC-2 ΓAC=3 锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 所以AC=6, 由勾股定理得AB=VAC2+BC2=√62+42=√36+16=√52=2√13. 故答案为：213. 变式1.（25-26九年级上·安微合肥月考)如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，ABC的每个顶点都在网格 点上，则sinA的值为() B 1 A.3 B D. 4 【答案】C 【详解】解：如图，取BC的中点D,连接AD,则AD⊥BC,过点C作CE⊥AB,垂足为E, 由网格可得，AC=AB=V22+42=2√5，BC=V22+22=2√2， 则BC边上的高AD=V32+32=3√2， 由三角形的面积公式得，BC·AD=AB·CE, 即2√2x3√2=25.CE, CE= -1 5 ∴sin BAC=CE_3 AC 5 故选：C. 变式2.(25-26九年级上上海奉贤·期末)在Rt ABC中，∠ACB=90°，AB=c,AC=b,BC=a,那么下列各 式正确的是() A.tan4=b B.cosA=a a c 锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 C.sin B=b c D.cotB=b a 【答案】C 【详解】解：如下图所示， A迹顶：am4-C:4C=6,8C:4,8n4=二，故A达攻错误 b B达项：os4-6:4B=,4C=b,:cosA ，故B选项错误； c C选项：sinB=AC ,:48=,BC=a,SmB=。,故C选项正确 D选项：otB4C=h,8C=a,co188分改D选项错泥 C B 故选：C 变式3.(25-26九年级上·浙江嘉兴期末)如图，在2×2的正方形网格中，点A,B,C都是格点，则tan∠BAC的 值为 【等) 【详解】解：过C作CN⊥AB于N, M 6 由网格可得：AM=BM=VP+1P=√2，LBMC=45°， 锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 Cw=MCsin∠BMC=lx5-5，,MN=MC-eos∠BMC=lx5_5, 22 22 2 tan∠BAC=CNW=CW 2 1 NM+W+迈3' 2 故答案为：} 变式4.(25-26九年级上山东青岛月考)在ABC中，∠C=90°，BC=2AC,则cosA的值为 【答案】55 55 【分析】本题考查了直角三角形的边角关系，利用勾股定理求斜边，再根据余弦定义求解. 【详解】解：BC=2AC, 设AC=x,则BC=2x. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=VAC2+BC=Vx2+(2x2=V5x=V5x 'cos4=AC=x5 故答案为： 5 5 锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 考点二 三角函数的计算 例1.(25-26九年级上·浙江宁波期末)计算：3sim30°-cos245°+tan60°. 【答案】1+5 2 【详解】解： 原式=3x1 22 +5 31 +5 22 =1+5. 例2.(25-26九年级上江苏南通月考)(1)计算：2sin30°+cos245°-tan30°.tan60°； (2)计算：c0s30°.tan60°-sin45°.cos45°. 【答案】 21 【详解】解：(1)2sin30°+cos245°-tan30°.tan60° 2 =2×+ 2 22 1 =1+-1 2 1 =23 (2)cos30°.tan60°-sin45°.cos45 55-2x2 2 22 31 22 =1. 例3.(25-26九年级上·上海静安·期末)计算：sin230°- 1 cot450-1 2-tan60° cot30° 【答案】-子25 1 【详解】解：sin230°- cot45°)J 2-tan60° (cot30° 6 锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 -12+5-5, 44-3 =-2-5-5, 4 1-25. =- 4 故答案为：-子-25。 变式1.(25-26九年级上江苏常州月考)计算： (1)2sin60°-tan45°+4sin30°； (2)c0s245°-c0s60°+tan30°. 【答案】(I)3+1 Q 3 【详解】(1)解：2sin60°-tan45°+4sin30° 2x 2 =√5-1+2 =V5+1: (2)解：cos245°-cos60°+tan30° 21,5 (22+3 113 223 5 = 3 变式2.(25-26九年级上河南周口月考)计算： (V2(2cos45°-sin60+24。 4 (2)sin30°- 2c0s45°+3tan'30 3 【答案】(1) 2 (2) 19 7 锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 【详解11)解：原式=5×2x5526 、224 =2x-3+6 22 -2-6,6 22 =2； @限式的 11,11 2233 11,1 =229 1 变式3.(25-26九年级上·河北保定·月考)计算： (1)tan45°-sin30°.c0s60°； (2)tan30°.tan60°+cos230°-sin245°.tan45°. 【答案】a 4 @ 【详解】(1)解：原式=1-x} 22 =1-1 4 3 (2)解：原式=」 =1+31 42 5 4 8 锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 考点三 利用三角函数解三角形 例1.(25-26九年级上陕西榆林期末)如图，在ABC中，AB=6,∠B为锐角，AD1BC,垂足为D,若 cosB=7,anC=3V5.求∠B的度数及BC的长. B D C 【答案】∠B=60°，BC=4 2.AD I BC, 1 【详解】解：：∠B为锐角，且cosB= BD=,∠B=60°， AB 2 :AB=6, .BD=3. 在RtA ABD中，AD=√AB2-BD2=V6-32=3√3， tanc 4D=3, CD CD=AD3V3 =1. 353V5 .BC=BD+CD=3+1=4. 例2.(2425九年级上山东福海月考)在48C中，48=6，∠B为锐角且casB方mC=3、5。 A B (1)求∠B的度数. (2)求BC的长. 9 锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 【答案】(1)∠B=60° (2)BC=4 【详解】(1)解：“LB为锐角且cosB=2, 1 ∠B=60°； (2)解：过点A作AH⊥BC于H, B H C 1 cos B= 21 BH 1 AB2’ AB=6, BH=3, 在Rt△ABH中，AH=VAB2-BH2=V62-32=3V5, tanC=3√5， AH =35, CH 即3v5 =3V5, CH 解得CH=1, BC=BH+CH=3+1=4. @3、2425九年级下山东济南开学考试)知图，在ABC中，已知B=3，,4C=4,sin1=?,求ABC的面积，一 B 【答案】4 【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥AC于点D, 10锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 考点目录 锐角三角函数的定义 三角函数的计算 利用三角函数解三角形 考点一 锐角三角函数的定义 例1.(25-26九年级上云南昆明月考)如图，在正方形网格中，己知ABC的三个顶点均在格点上，则∠BAC的 正弦值为() A B A.1 B.3 C.vio D.1o 10 3 2,(2526九年级上贵州铜仁月考)在ABC中，∠C=90°，若an4,则sinB的值为(】 A.5 B.25 C. D. 5 5 2 例3.(25-26九年级上陕西西安·月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=15,过点C作 CD⊥AB于点D,则cosZACD的值为 D B 6九年级上~陕西榆林：期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4,an4二，则AB 锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 变式1.(25-26九年级上：安徽合肥月考)如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，ABC的每个顶点都在网格 点上，则sinA的值为() B A A. 3 B.3 4 c p. 变式2.(25-26九年级上·上海奉贤·期末)在Rt ABC中，∠ACB=90°，AB=c,AC=b,BC=a,那么下列各 式正确的是() b A.tanA= B.cosA=a a b C.sin B= D.cotB=b c a 变式3.(25-26九年级上浙江嘉兴·期末)如图，在2×2的正方形网格中，点A,B,C都是格点，则tanZBAC的 值为 B 变式4.(25-26九年级上山东青岛月考)在ABC中，∠C=90°，BC=2AC,则cosA的值为 锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 考点二 三角函数的计算 例1.(25-26九年级上.浙江宁波·期末)计算：3sin30°-cos245°+tan60°. 例2.(25-26九年级上，江苏南通月考)(1)计算：2sin30°+cos245°-tan30°.tan60°； (2)计算：cos30°.tan60°-sin45°.cos45°. 创3.(2526九年级上上海静安期未)计算：sin230°-2-n60 cot45o）1 cot30°J 锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 变式1.(25-26九年级上·江苏常州月考)计算： (1)2sin60°-tan45°+4sin30°； (2)cos245°-cos60°+tan30°. 变式2.(25-26九年级上·河南周口月考)计算： (0)V2(2c0s45°-sim60°1+24 4 (2)sin30°-V2 cos45°+-tan230° 2 3 变式3.(25-26九年级上河北保定·月考)计算： (1)tan45°-sin30°.cos60°； (2)tan30°.tan60°+cos230°-sin245°.tan45°. 锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 考点三 利用三角函数解三角形 例1.(25-26九年级上陕西榆林期末)如图，在ABC中，AB=6,∠B为锐角，AD1BC,垂足为D,若 cosB 2,tanC=3V5,求∠B的度数及BC的长. B D C 例2.(2425九年级上-山东淄博，月考)在4BC申，4B=6,∠B为锐角且cosB=anC=35. B C (1)求∠B的度数. (2)求BC的长. 锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 例3.(2425九年级山东济南：开学考试)如图。在4BC中，已知4B3，AC三4，sn4,求4BC的面积 B 例4.(25-26九年级上~湖南张家界·月考)如图，在ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=3V2. C A30° 45°B (1)求AC的值. (2)求ABC的面积（结果保留根号） 6 锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 变式1.(25-26九年级上江苏苏州期中)在Rt△ABC中，LC=90°，AB=8,BC=4W3,求AC的长和∠A的度 数 变式2.(25-26九年级上·江苏苏州期中)如图，在ABC中，CD⊥AB于D点，AB=11,CD=6,tanA=2,求： A D (I)BD的长； (2)sinB的值. 锐角三角函数的定义、三角函数的计算、利用三角函数解三角形专项训练 变式3.(25-26九年级上山东济南月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D, AC=4,BC=3. D B (1)求CD的长； (2)求LACD的正切值. 变式4.(24-25九年级上山东济南月考)如图所示，在ABC中，BC=4,∠B=45°，∠BCA=105°，求AC的长. (结果保留根号)