专题二十七 分类讨论思想 课件-2026届高三数学二轮复习

专题二十七　分类讨论思想 分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想. 思想概述 方法一　由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论 概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决. 　(1)直线l过点(0，3)与圆C：x2+y2-2x-2y-2=0交于A，B两点，且|AB|= 2，则直线l的方程为 A.3x+4y-12=0 B.3x+4y-12=0或4x+2y+1=0 C.x=0 D.x=0或3x+4y-12=0 例1 思路分析　设直线方程→斜率不存在，l：x=0→k存在，l：y=kx+3→由圆心到直线l的距离d=1求解. √ 将圆C：x2+y2-2x-2y-2=0的方程化为(x-1)2+(y-1)2=4， 则圆C的圆心坐标为(1，1)，半径为2. 当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x=0时， 代入圆的方程得y2-2y-2=0， 解得y1=1+，y2=1-， 此时|AB|=1+-(1-)=2，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3， 解析 由|AB|=2，得圆心C到直线l的距离为=1，故=1，解得k=-， 故此时直线的方程为y=-x+3，即3x+4y-12=0， 综上可得，直线l的方程为x=0 或3x+4y-12=0. 解析 (2)已知数列{an}满足a1=-2，a2=2，an+2-2an=1-(-1)n，则下列选项不正确的是 A.{a2n-1}是等比数列 B.(a2i-1+2)=-10 C.{a2n}是等比数列 D.ai=52 思路分析　an+2-2an=1-(-1)n→n为奇数，{a2n-1}为等比数列；n为偶数，{a2n}为等比数列. √ 对于A，当n是奇数时，an+2-2an=2， 所以an+2+2=2(an+2)， 又因为a1=-2，所以a1+2=0， 所以当n是奇数时，an+2=0，即an=-2， 即{a2n-1}是以-2为首项，1为公比的等比数列， 即选项A正确； 对于B，由A知，当n是奇数时，an+2=0， 所以(a2i-1+2)=0，即选项B错误； 解析 对于C，当n为偶数时，an+2-2an=0， 即an+2=2an， 又因为a2=2，所以=2， 所以{a2n}是以2为首项，2为公比的等比数列， 即选项C正确； 对于D，ai=(a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8+a10)=-10+=52， 即选项D正确. 解析 批注　涉及数列中(-1)n的问题，一般需分奇、偶讨论，当n为奇数时，首项是a1，an是第个奇数项；当n为偶数时，首项是a2，an是第个偶数项. 解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类.设直线方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(-1)n需分奇、偶两种情况，要注意分类讨论，要有理有据、不重不漏. 规律方法 方法二　由图形位置或形状引起的分类讨论 　　图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究. 　(多选)已知P是圆O：x2+y2=4上任意一点，定点A在x轴上，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当P在圆O上运动时，Q的轨迹可以是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 例2 思路分析　分类讨论点A的位置(圆内、圆上、圆外)→求||QO|-|QA||或|QA|+|QO|→利用圆锥曲线定义判断形状. √ √ √ 当点A在圆外时，如图(1)，(2)所示，设AP的中点为B，过B作AP的垂线交直线OP于Q，连接AQ，则|QP|=|QA|，则||QO|-|QA||=|OP|=2，又|AO|>2，则此时Q的轨迹为以O，A为焦点的双曲线； 解析 当点A在圆内(非原点)时，如图(3)所示， 此时|QA|+|QO|=|QO|+|QP|=|OP|=2， 又|AO|<2，则此时Q的轨迹为以O，A为焦点的椭圆； 当A在坐标原点时，如图(4)所示，此时B，Q重合，|QO|=1，则此时Q的轨迹为以O为原点，半径为1的圆； 解析 当点A在圆上时，如图(5)所示，由垂径定理，可知Q与O重合，此时Q的轨迹为点O. 批注　点A在x轴上，但没明确是在圆内、圆外，还是圆上，所以需分类讨论，仔细审题，理解题意是关键. 圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论. 规律方法 方法三　由参数变化引起的分类讨论 　　某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全. 　已知函数f(x)=ln x+，a∈R. (1)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值； 例3 思路分析　求f'(x)→分a≤1，1<a<e，a≥e讨论求最小值→a的值； f'(x)=-=，x>0， 若a≤1，则f'(x)≥0在[1，e]上恒成立， 所以f(x)在[1，e]上单调递增， 所以f(x)min=f(1)=a=，不满足题意； 若1<a<e，令f'(x)<0，解得1≤x<a， 令f'(x)>0，解得a<x≤e， 所以函数f(x)在[1，a)上单调递减，在(a，e]上单调递增， 所以f(x)min=f(a)=ln a+1=，解得a=，满足题意； 解 若a≥e，则f'(x)≤0在[1，e]上恒成立， 所以f(x)在[1，e]上单调递减， 所以f(x)min=f(e)=1+=，解得a=，不满足题意，综上，a=. 解 (2)讨论f(x)在[1，e]上的最大值. 思路分析　讨论f(x)在［1，e］上的单调性→由单调性求f(x)的最大值. 由(1)可知若a≤1，则f'(x)≥0在[1，e]上恒成立， 所以f(x)在[1，e]上单调递增， f(x)max=f(e)=1+； 若1<a<e，令f'(x)<0，解得1≤x<a，令f'(x)>0，解得a<x≤e，所以函数f(x)在[1，a)上单调递减，在(a，e]上单调递增，f(1)=a，f(e)=1+， ①当1+≥a，即1<a≤时， f(x)max=f(e)=1+， 解 ②当1+<a，即<a<e时， f(x)max=f(1)=a； 若a≥e，则f'(x)≤0在[1，e]上恒成立， 所以f(x)在[1，e]上单调递减，f(x)max=f(1)=a， 综上，当a≤时，f(x)max=f(e)=1+； 当a>时，f(x)max=f(1)=a. 解 批注　本题针对闭区间上的最值问题，讨论导数等于零的根分布在所给区间的两侧和区间内，再根据单调性进行求最值. 若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论，此类题目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，杜绝无原则的分类讨论. 规律方法 专题训练 一、单项选择题 1.已知集合 A=，B=.若 B∩∁RA= ∅，则实数m的取值范围为 A.(-∞，3] B.(-∞，9] C.(-∞，3]∪[9，+∞) D.[3，9] √ 因为集合A=，所以∁RA=(-∞，-2)∪(10，+∞). 因为集合B=，B∩∁RA=∅， 当B不为空集时，解得0≤m≤3； 当B为空集时，1+m<1-m，解得m<0. 综上，m的取值范围为(-∞，3]. 解析 2.已知a>0且a≠1，则“0<a<”是“aa>”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 当0<a<1时，由aa>=，可得a<，此时0<a<， 当a>1时，由aa>=，可得a>，此时a>1， 所以满足不等式aa>的实数a的取值范围是， 因为是的真子集， 故“0<a<”是“aa>”的充分不必要条件. 解析 3.(2025·沈阳检测)已知等比数列的前n项和为Sn，a1=-1，S10=S5，则a4等于 A.- B. C. D.4 √ 设等比数列的公比为q，q≠0.当q=1时，由a1=-1， 可得S10=-10，S5=-5， 此时S10=S5不成立； 当q≠1时，由等比数列的前n项和公式可得=×， 解得q=-. 所以a4=a1q3=. 解析 4.(2025·郑州模拟)已知函数f(x)=则不等式f(x)≥x-1的解集为 A. B.(-∞，1] C.(0，2] D.[2，+∞) √ 当x<1时，f(x)=x2-2x≥x-1， 得2x2-5x+2=(2x-1)(x-2)≥0，解得x≤或x≥2(舍去). 当x≥1时，令g(x)=ln x-1-=ln x-x，则g'(x)=-=， 所以当x∈[1，2)时，g'(x)>0，g(x)在[1，2)上单调递增； 当x∈(2，+∞)时，g'(x)<0，g(x)在(2，+∞)上单调递减， 所以g(x)≤g(2)=ln 2-1<0， 解析 即当x≥1时，ln x-1<x-1恒成立， 所以当x≥1时，不等式f(x)≥x-1无解. 综上，所求不等式的解集为. 解析 5.已知集合M={x||x-2|≤1}，定义函数f(x)=且当x∈[m，m+2]时，函数f(x)的值域为，则实数m的取值范围是 A. B. C.(-∞，1] D.∪ √ 由题意知M={x||x-2|≤1}={x|1≤x≤3}，则f(x)= 当x<0时，f(x)===+1； 当0≤x<1时，f(x)==-1； 当1≤x≤3时，f(x)=-x2+5x-5=-+； 当x>3时，f(x)==1， 解析 综上，可画出函数f(x)的大致图象，如图， 由图可知，要使函数f(x)在区间[m，m+2]上的值域为， 则需满足解得≤m≤1，故实数m的取值范围是. 解析 6.已知函数f(x)=ln x-x+-1，g(x)=-x2+2bx-4，若对任意的x1∈(0，2)，x2∈[1，2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数b的取值范围是 A. B. (1，+∞) C. D. √ 依题意，原问题等价于f(x1)min≥g(x2)max，x1∈(0，2)，x2∈[1，2]， f(x)=ln x-x+-1(x>0)， 所以f'(x)=--=. 由f'(x)>0，解得1<x<3，故函数f(x)的单调递增区间是(1，3)， 同理得f(x)的单调递减区间是(0，1)和(3，+∞)， 故在区间(0，2)上，f(x1)min=f(1)=-. 函数g(x)=-x2+2bx-4的对称轴为直线x=b， 解析 当b<1时，g(x)在[1，2]上单调递减，g(x2)max=g(1)=2b-5； 当1≤b≤2时，g(x2)max=g(b)=b2-4； 当b>2时，g(x)在[1，2]上单调递增，g(x2)max=g(2)=4b-8. 所以或或 解第一个不等式组得b<1， 解第二个不等式组得1≤b≤，第三个不等式组无解. 综上所述，实数b的取值范围是. 解析 二、多项选择题 7.对于给定的实数a，不等式ax2+(a-1)x-1<0的解集可能是 A. B. C. D.R √ √ 当a=0时，不等式可化为-x-1<0，则不等式的解集为， 当a≠0时，原不等式可化为a(x+1)<0； 则当a>0时，不等式的解集为； 当a<0时，原不等式可化为(x+1)>0， 当<-1，即-1<a<0时，不等式的解集为， 解析 当=-1，即a=-1时，不等式的解集为， 当>-1，即a<-1时，不等式的解集为. 综上，A，B符合题意，C，D不符合题意. 解析 8.(2025·昭通模拟)已知直线l：x=ty-2，圆C：x2+y2-4x-4=0，则下列说法正确的有 A.若t=1，则l与圆C相切 B.若l与圆C相交，则t<-1或t>1 C.圆C可能关于直线l对称 D.若t=，则l被圆C截得的弦长为4 √ √ √ 直线l过定点(-2，0)，圆C：(x-2)2+y2=8， 所以圆心为C(2，0)，半径为2. 对于A，若t=1，则圆心C(2，0)到直线x-y+2=0的距离为=2，所以l与圆C相切，故A正确； 对于B，依题意，由圆心C(2，0)到直线x-ty+2=0的距离为<2，解得t<-1或t>1，故B正确； 解析 对于C，将(2，0)代入到l的方程，得2=t×0-2不成立，故l不可能经过圆心C，即圆C不可能关于直线l对称，故C错误； 对于D，若t=，圆心C(2，0)到直线x-y+2=0的距离为=2，则弦长为2=4，故D正确. 解析 三、填空题 9.已知圆x2+y2=4，则经过点P(2，4)且与圆相切的直线方程为__________ 　　　　　　　.  x=2或 3x-4y+10=0 当直线的斜率不存在时，直线x=2与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y-4=k(x-2)， 即kx-y-2k+4=0. 由题意得=2， 解得k=，此时直线方程为3x-4y+10=0. 故所求直线方程为x=2或3x-4y+10=0. 解析 10.设F1，F2为椭圆+=1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则的值为　　　　.  2或 若∠PF2F1=90°，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2， 又|PF1|+|PF2|=6，|F1F2|=2， 解得|PF1|=，|PF2|=，∴=； 若∠F2PF1=90°， 则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2，且|PF1|>|PF2|， 解得|PF1|=4，|PF2|=2，∴=2， 综上所述，=或=2. 解析 $