专题二十六 数形结合思想 课件-2026届高三数学二轮复习

专题二十六　数形结合思想 数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确. 思想概述 方法一　利用数形结合求解函数与方程、不等式问题 　　利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题. 　(1)已知函数f(x)=函数F(x)=f(x)-b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且满足x1<x2<x3<x4，则-的取值范围是 A.(2，+∞) B. C. D.[2，+∞) 例1 思路分析　函数F(x)=f(x)-b有四个不同的零点→y=f(x)的图象与y=b的图象有四个不同的交点→画出y=f(x)的图象与y=b的图象，结合函数图象，可得x1+x2=-2，x3x4=1，-=-=+ =+→利用单调性求解即可. √ f(x)== 由二次函数的对称性，可得x1+x2=-2， 由x3=-x4 ，可得x3x4=1， 函数F(x)=f(x)-b有四个不同的零点， 等价于y=f(x)的图象与y=b的图象有四个不同的交点， 画出y=f(x)的图象与y=b的图象，如图. 解析 由图可得1<b≤2， ∴1<x3≤2⇒x3∈， ∴-=- =+ =+， 令t=，则t∈， ∴+=+t的取值范围是. 解析 (2)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是 A.(-∞，0] B.(-∞，1] C.[-2，1] D.[-2，0] 思路分析　作出函数y=|f(x)|的图象和函数y=ax的图象→结合图象可知直线y=ax介于切线l与x轴之间→利用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解. √ 由题意可作出函数y=|f(x)|的图象和函数y=ax的图象，如图所示. 由图象可知，函数y=ax的图象是过原点的直线， 函数y=|f(x)|在区间(-∞，0]上的解析式为y=x2-2x， 求其导数可得y'=2x-2，当x=0时，y'=-2， 故y=x2-2x在原点处的切线l的斜率为-2， 当直线y=ax介于l与x轴之间时，符合题意， 故直线y=ax的斜率a的取值范围是[-2，0]. 解析 方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)可转化为函数y=f(x)与y=g(x)图象的位置关系. 规律方法 方法二　利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题 向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等. 　若|a|=|b|=|c|=2，且a·b=0，(a-c)·(b-c)≤0，则|a+b-c|的取值范围是 A.[0，2+2] B.[0，2] C.[2-2，2+2] D.[2-2，2] 例2 思路分析　作以O为圆心，2为半径的圆→a，b，c的终点在圆上→ ∠AOB=90°→点C在劣弧AB上→作a+b=→求||的最值. √ ∵|a|=|b|=|c|=2，且a·b=0，∴a，b，c的终点在圆上，且a⊥b，如图所示，令=a，=b，=c，=a+b， ∵(a-c)·(b-c)≤0， ∴点C在劣弧AB上运动， ∴|a+b-c|表示C，D两点间的距离||. ||的最大值是||=||=2， ||的最小值为||-2=2-2. ∴|a+b-c|的取值范围是[2-2，2]. 解析 应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离. 规律方法 方法三　几何动态问题中的数形结合 对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解. 　已知点P∈，则点P到动直线x-y-m=0 (m∈R)的最大距离的最小值为　　　　.  例3 思路分析　由函数y=xln x与y=-xln x的图象可知，点P位于图中阴影部分区域→点P到直线x-y-m=0(m∈R)的最大距离的最小值为函数y=-xln x上切线斜率为1的点到直线x-y-1=0的距离的一半→求解即可. 由|y|≤≤|ln x|，得0<x≤1，又≤|ln x|， 当y≥0时，y≤-xln x，当y<0时，y≥xln x， 令F(x)=xln x，F(x)的定义域为(0，+∞)， 令F'(x)=ln x+1=0，解得x=， 由F'(x)>0，可得x>， 由F'(x)<0，可得0<x<， 所以F(x)在上单调递减，在上单调递增， 解析 则F(x)min=F=ln=-. 作出函数F(x)=xln x与G(x)=-xln x的图象如图， 由此可知，点P位于图中阴影部分区域， 则点P到直线x-y-m=0(m∈R)的最大距离的最小值为函数y=-xln x上切线斜率为1的点到直线x-y-1=0的距离的一半. y=-xln x⇒y'=-ln x-1， 设-ln x0-1=1，得x0=e-2， 则点(e-2，2e-2)到直线x-y-1=0的距离为==. 解析 故点P到动直线x-y-m=0(m∈R)的最大距离的最小值为×=. 解析 几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数解析式求解，但一味地强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单. 规律方法 专题训练 一、单项选择题 1.(2025·长沙检测)已知a是单位向量，向量b满足|a-b|=3，则|b|的最大值为 A.2 B.4 C.3 D.1 √ 设=a，=b， 因为|a-b|=3， 即|-|=||=3， 即||=3， 所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上，如图所示. 又a是单位向量，则||=1， 故||的最大值为||+||=1+3=4，即|b|的最大值为4. 解析 2.(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是 A.[-1，1]∪[3，+∞) B.[-3，-1]∪[0，1] C.[-1，0]∪[1，+∞) D.[-1，0]∪[1，3] √ 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 则f(0)=0. 又f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(2)=0， 画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示， 则函数f(x-1)的大致图象如图(2)所示. 当x≤0时，要满足xf(x-1)≥0，则f(x-1)≤0， 得-1≤x≤0. 解析 当x>0时，要满足xf(x-1)≥0， 则f(x-1)≥0， 得1≤x≤3. 故满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1，0]∪[1，3]. 解析 3.(2025·北京模拟)已知定点A(3，0)，B(0，4)，若点C在圆O：x2+y2=4上运动，则2|CA|+|CB|的最小值为 A.2 B.6 C.2+2 D.2+2 √ 设点C(x，y)， 则|CB|==2， 设点D(0，t)，且|CD|=|CB|， ∴==， 解得t=1，∴存在点D(0，1)，使得|CD|=|CB|， ∴2|CA|+|CB|=2=2(|CA|+|CD|)≥2|AD|(当且仅当A，C，D三点共线且点C在点A，D之间时取等号)， ∴(2|CA|+|CB|)min=2|AD|=2=2. 解析 4.(2025·德阳期末)已知函数f(x)=|2x-3|，若关于x的方程[f(x)]2-2mf(x)+3=0有4个不同的实数根，则实数m的取值范围是 A.(-∞，-)∪(，+∞) B.(-∞，-)∪(，2) C.(，+∞) D.(，2) √ 令t=f(x)=|2x-3|，则关于t的方程t2-2mt+3=0在(0，3)内有两个不同的实数根， 则 解得<m<2. 解析 5.已知椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x-4)2+(y-3)2=1上任意一点，则|MN|-|MF1|的最小值为 A.5+3 B.5-3 C.3+5 D.3-5 √ 如图，M为椭圆C上任意一点，N为圆E上任意一点， 则|MF1|+|MF2|=4，|MN|≥|ME|-1，当且仅当M，N，E三点共线且点N在点M，E之间时，等号成立， ∴|MN|-|MF1|=|MN|-(4-|MF2|)=|MN|+|MF2|-4≥|ME|+|MF2|-5≥|EF2|-5， 当且仅当M，N，E，F2四点共线且点M，N在点F2，E之间时，等号成立. ∵F2(1，0)，E(4，3)， 则|EF2|==3， ∴|MN|-|MF1|的最小值为3-5. 解析 6.已知函数f(x)=若对任意的b∈(-1，+∞)，关于x的方程f(x)=b都有实数根，则实数a的取值范围是 A.(-∞，0] B.(-∞，0]∪[1，+∞) C.(-∞，0]∪[1，2) D.(-∞，0]∪[1，log23] √ ∵y=的定义域为(-∞，2)∪(2，+∞)，∴a≤2. ∵y===1+在(-∞，a)上单调递减， 且当x→-∞时，y→1， y=2x-2在[a，+∞)上单调递增，且当x→+∞时，y→+∞， ∴可作出y=(x<2)和y=2x-2的图象，如图所示， ∵对于任意的b∈(-1，+∞)，关于x的方程f(x)=b都有实数根， ∴当a=2时，y=2x-2≥2，则当b∈[1，2)时，方程f(x)=b没有实数根，不符合题意； 解析 当a<2时，令2a-2≤-1或 解得a≤0或1≤a≤log23. 综上所述，实数a的取值范围为(-∞，0]∪[1，log23]. 解析 7.已知函数f(x)=cos ωx-sin ωx(ω>0)，若f(x)在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，则ω的取值范围是 A. B. C. D. √ f(x)=cos ωx-sin ωx=2cos， 令t=ωx+，由x∈[0，2π]，则t∈， 因为f(x)在区间[0，2π]上有且仅有4个零点和1个极大值点， 即y=2cos t在上有且仅有4个零点和1个极大值点. 作出y=2cos t的图象(如图所示)， 则≤2πω+<4π，解得≤ω<，故ω的取值范围是. 解析 8.(2025·北京海淀区模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)- |x-k|恰有2个零点，则实数k的取值范围是 A.[-1，e) B.(-∞，-1]∪[e，+∞) C.(-1，1] D.(-∞，-1)∪[1，+∞) √ 由题意知，要使得g(x)=f(x)-|x-k|恰有2个零点，即g(x)=0有两个实数根. 当x>0时，g(x)=|ln x|-|x-k|，令g(x)=0，可得|ln x|=|x-k|； 当x≤0时，g(x)=ex-|x-k|， 令g(x)=0，可得|x-k|=ex. 在同一坐标系下，作出函数y=|ln x|，y=ex(x≤0)和y=|x-k|的图象， 如图所示， 由函数y=ln x，可得y'=，则当x=1时，y=0，y'=1， 解析 故函数y=ln x在x=1处的切线方程为y=x-1. 又由函数y=-ln x，可得y'=-， 则当x=1时，y=0，y'=-1， 故函数y=-ln x在x=1处的切线方程为y=-x+1， 所以函数y=|ln x|的图象与y=|x-1|的图象只有一个公共点， 结合图象得，当k≤-1时，g(x)恰有3个零点； 解析 当-1<k≤1时，g(x)恰有2个零点； 当k>1时，g(x)恰有3个零点， 要使得g(x)恰有2个零点，则满足-1<k≤1， 所以实数k的取值范围为(-1，1]. 解析 二、多项选择题 9.(2025·昆明模拟)某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则 A.三项都参加的有1人 B.只参加拔河的有3人 C.只参加4人足球的有2人 D.只参加羽毛球的有4人 √ √ 根据题意，设A={x|x是参加拔河的同学}，B={x|x是参加4人足球的同学}，C= {x|x是参加羽毛球的同学}， 则card(A)=8，card(B)=7，card(C)=5， 又card(A∩B)=4，card(A∩C)=card(B∩C)=3， 所以card(A∩B∩C)=12-[(8+7+5)-(4+3+3)]=2， 所以三项都参加的有2人，只参加拔河的有3人， 只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人. 解析 10.(2025·大连模拟)如图所示，线段AB是☉C的弦，其中AB=6，AC=5，点D为☉C上任意一点，则以下结论正确的有 A.||≤10 B.·=18 C.当·=18时，sin∠DAB= D.·的最大值是36 √ √ 对于A，||=|+|≤||+||=10，当且仅当A，C，D共线时取等号，A正确； 对于B，过点C作CE⊥AB于点E，交☉C于点F，G，则E是AB的中点，AE=3，CE=4， ·=||||=18，B正确； 对于C，当·=18时， ||||cos∠DAB=18， 解得||cos∠DAB=3， 解析 由选项B知，||cos∠DAB=||，此时点D与点F，G之一重合， 当点D与点F重合时，DE=9，AD=3，sin∠DAB=， 当点D与点G重合时，DE=1，AD=，sin∠DAB=， C错误； 对于D，·=·(+)=·+·=18+·≤18+||||=48， 当且仅当与同向共线时取等号，D错误. 解析 $