湖南省邵阳市新宁县焦家垅中学2024-2025学年七年级上学期竞赛数学试卷

2024-2025学年湖南省邵阳市新宁县焦家垅中学七年级（上）竞赛 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.数轴上某一个点表示的数为a，比a小2的数用b表示，那么的最小值为(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2.美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为(    ) A. B. C. D. 3.如图，下列各三角形中的三个数之间存在一定的规律，根据你发现的规律，确定最后一个三角形中y与n之间的关系式是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，若要求出两个阴影部分周长的差，只要知道下列哪个图形的面积(    ) A. 正方形① B. 正方形② C. 正方形③ D. 大长方形 5.曹老师有一包糖果，若分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗；若分给个学生，则每个学生分3颗，还剩颗，则a的值可能是(    ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6.我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000千米报废，后轮行驶3000千米报废，如果在自行车行驶若干千米后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶(    ) A. 4000 千米 B. 3750 千米 C. 4250 千米 D. 3250 千米 7.已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是(    ) ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么实数，的值始终不变； ④若用x表示y，则 A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①③④ 8.为响应习总书记“绿水青山，就是金山银山”的号召，某校今年3月争取到一批植树任务，领到一批树苗，按下列方法依次由各班领取：第一班领取全部的和100棵，第二班领取余下的和200棵，第三班领取余下的和300棵，…，最后树苗全部被领完，且各班领取的树苗相等，则班级数为(    ) A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 9.如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，则大长方形的面积是(    ) A. B. C. D. 10.从如图所显示的时刻开始，经过40分钟后时钟的时针与分针所成夹角的度数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知，，求的值      . 12.已知，，若的值与b无关，则a的值为      . 13.已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当取得最大值时，这个四位数的最小值是______. 14.如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为4时，求最后输出的结果y是      . 15.如图，在数轴上点A、B表示的数分别为、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过______秒后，M、N两点间的距离为12个单位长度． 三、计算题：本大题共1小题，共8分。 16.已知A、B两点在数轴上表示的数为a和b，M、N均为数轴上的点，且 若A、B的位置如图所示，试化简： 如图，若，，求图中以A、N、O、M、B这5个点为端点的所有线段长度的和； 如图，M为AB中点，N为OA中点，且，，若点P为数轴上一点，且，试求点P所对应的数为多少？ 四、解答题：本题共6小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 已知关于x、y的方程组的解满足，求代数的值． 18.本小题7分 已知多项式 若多项式的值与字母x的取值无关，求a、b的值； 在的条件下，先化简多项式，再求它的值． 19.本小题8分 观察发现：；；…根据你发现的规律，回答下列问题： 利用你发现的规律计算：… 灵活利用规律解方程：… 20.本小题8分 定义：对于任意实数a，b，如果满足，那么称a，b互为“美好数”，点为“美好点”. 下列命题：①若点为“美好点”，则点也一定为“美好点”；②存在与1互为“美好数”的数；③若点a与b互为相反数，则一定不是“美好点”.其中真命题是______填序号 若为“美好点”，求a的值. 已知x，y是二元一次方程组的解，请判断点是否为“美好点”？若是，请求m的值；若不是，请说明理由. 21.  22.本小题10分 已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向右移动. 直接写出______，______，______. 设点P向右运动时，在数轴上对应的数为x，则代数式的最大值为______. 当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点到达C点时停止运动，Q点也停止运动.求：当P点开始运动后多少秒，P、Q两点之间的距离为2？ 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：比a小2的数用b表示， ， ， 那么的最小值就是在数轴上找一点a到原点和到2的距离最小， 显然这个点就是在0与2之间， 当a在区间0与2之间时， 为最小值， 的最小值为2， 故选： 理解绝对值的定义，如表示数轴上点a到2的距离；表示a到原点的距离； 本题考查绝对值的定义，难点在于对这个式子的理解并用绝对值意义来解答． 2.【答案】C  【解析】解：由题意得： ， 被污染的代数式为， 故选： 根据除式=被除式商式，列出算式，进行计算即可． 本题主要考查了分式的乘除，解题关键是熟练掌握分式的乘除法则和几种常见的分解因式的方法． 3.【答案】C  【解析】解：根据题意得： 第1个图：，， 第2个图：，， 第3个图：，， …， 以此类推第n个图： 故选： 根据题意得：第1个图：，第2个图：，第3个图：，…以此类推第n个图：，即可得到答案． 本题考查了函数关系式和规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可． 4.【答案】B  【解析】解：如图，    设，，正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，正方形③的边长为c，  ，，，，，，，，  ，  ，  ，  只要知道正方形②的边长b，就可以求出两个阴影部分周长的差．  只要知道正方形②的面积，就可求出两个阴影部分周长的差．  故选： 要求两个阴影部分周长的差，则需要从“代数”的角度解决此问题，故设，，正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，正方形③的边长为进而推断出以及，那么，两个阴影部分的周长之差为2b，所以只需要知道正方形②的边长，即知道正方形②的面积就可以知道两个阴影部分的周长． 本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算是解决本题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：根据分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗，可得共有颗糖， 根据分给个学生，则每个学生分3颗，还剩颗，可得共有颗糖， ， 解得：， 因为a，m为正整数， 所以或1， 当时，， 当时，，没有这个选项，舍弃． 故选： 根据分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗可得共有颗糖，根据分给个学生，则每个学生分3颗，还剩颗，可得共有颗糖，根据糖果数量相等列出等式即可解答． 本题考查了列代数式的应用，关键是能根据题意表示出糖果的数量． 6.【答案】B  【解析】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k， 则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为， 又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km， 分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程， ， 两式相加，得， 则  千米 故选： 设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可． 本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 7.【答案】D  【解析】【分析】 此题主要考查了二元一次方程组的解的知识点，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值. 先用a表示出二元一次方程组的解，然后逐项判断即可. 【解答】 解：解方程组，得， ①当时，，，x，y的值互为相反数，结论①正确； ②当时，，，方程，结论②错误； ③，故无论a取什么实数，的值始终不变，结论③正确； ④因为， 所以， 因为， 所以， 所以，整理得，结论④正确. 所以①③④正确. 故选 8.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是得出各班的树苗数都相等这个等量关系，因为第一班，第二班领取数量好表示，所以我们就选取这两班建立等量关系．设树苗总数为x棵，根据各班的树苗数都相等，可得出第一班和第二班领取的树苗数相等，由此可得出方程． 【解答】 解：设树苗总数x棵，根据题意得： ， 解得：， 把代入可得； 第一班也就是每个班取1000棵， 共有班级数是：个 故选 9.【答案】C  【解析】解：设每个小长方形的长为x cm，宽为y cm， 根据题意得：， 解得：， ， 即大长方形的面积是， 故选： 设每个小长方形的长为x cm，宽为y cm，根据各边之间的关系，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：分针每分钟转了， 时针每小时转了， 时针每分钟转了， 图上显示的时刻为2：00，当经过40分钟之后时间为2：40， 此时时针所形成的角度为：， 分针所形成的角度为：， 则分针与时针所形成的角度为：， 故选： 分针每分钟转了，时针每分钟转了可求得结果，得到时针与分针之间的夹角即可解答． 本题考查了钟面角，掌握分针每分钟转了，时针每分钟转了可求得结果，得到时针与分针之间的夹角是解题的关键． 11.【答案】1或7  【解析】解：，，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时， 或 注意绝对值的意义：绝对值等于正数的数有2个，且互为相反数； 互为相反数的两个数的平方相等． 考查了绝对值的性质和平方的性质，注意此题应考虑四种情况． 12.【答案】3  【解析】解：，， ， 的值与b无关， ， ， 故答案为： 根据整式的加减计算法则求出，再根据的值与b无关，即含b的项的系数为0进行求解即可 本题主要考查了整式加减中的无关型问题，正确求出是解题的关键． 13.【答案】1119  【解析】解：依题意得：， 则原式最大， 则，时，四位数要取最小值且可以重复， 所以此数为 故答案为 要使取得最大值，则保证两正数之差最大，于是，，再根据低位上的数字不小于高位上的数字解答． 此题考查了绝对值的性质，同时要根据低位上的数字不小于高位上的数字进行逻辑推理． 14.【答案】  【解析】解：输入，代入得：， 将代入得：， 将代入得：， 则输出的结果为 故答案为： 根据题中的程序流程图，将代入计算，得到结果为小于1，将代入计算得到结果为1，将代入计算得到结果大于1，即可得到最后输出的结果． 此题考查了代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键． 15.【答案】2或18  【解析】解：分两种情况， ①当点N沿着数轴向右移动，则点M表示的数为，点N表示的数为， 由得，， 解得，舍去，或； ①当点N沿着数轴向左移动，则点M表示的数为，点N表示的数为， 由得，， 解得，舍去，或； 故答案为：2或 用含有时间t的代数式表示MN的距离，利用方程求解即可． 考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的线段的距离表示方法是解题的关键． 16.【答案】解：由已知有：， ， 又 答：所有线段长度的和为 为AB的中点，N为OA的中点 ， 又 解得： 若点P在点A的左边时，点P在原点的左边图略 故点P所对应的数为 若点P在点A的右边时，点P在原点的右边图略 故点P所对应的数为3 答：P所对应的数为或  【解析】由图可知ab的符号，再确定、的符号，然后根据绝对值的性质解答即可． 先列举出所有的线段，求出它们的和，再观察与AB、MN的关系即可解答． 此题点P可能在原点的左边，也可能在原点的右边，要分类讨论． 本题涉及的知识点有比较线段的长短、数轴以及绝对值，解题的关键是数形结合，此题比较复杂． 17.【答案】解：， ①②得：， 把代入②得：， 代入得：， 解得：， 则原式  【解析】此题考查了二元一次方程组的解法及二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 把m看做已知数求出x与y，代入，求出m的值，即可确定出原式的值． 18.【答案】解：    ，  多项式的值与字母x的取值无关，  ，，  ；  ；       ，  当，时，原式  【解析】先去括号，再合并同类项，得出，，求出a、b的值即可；  先去括号，再合并同类项，最后代入求出即可． 本题考查了整式的加减和求值，能正确根据合并同类项法则合并同类项是解此题的关键． 19.【答案】解：由题意得： … ， … 经检验，当时， 是的解．  【解析】由题分析得：，故… 根据第问，推断出，故…由，解得将代入是否为进而求出 本题主要考查代数式的运算以及解分式方程，熟练掌握代数式的运算以及解分式方程是解决本题的关键． 20.【答案】解：①； 若为“美好点”， 则有， 解得； 当时，点是“美好点”． 理由如下： 解方程， 可得， 若点是“美好点”， 则有， 解得， 所以当时，点是“美好点”．  【解析】解：因为点为“美好点”，则有， 所以， 所以点也一定为“美好点”，故命题①是真命题； 设1与x互为“美好数”，则有，该方程无解， 所以不存在与1互为“美好数”的数，故命题②是假命题； 若，则有， 所以此时是“美好点”，故命题③是假命题； 综上所述，真命题是①． 故答案为：①； 见答案； 见答案． 若点为“美好点”，则有，易得，即可判断命题①；设1与x互为“美好数”，则有，而该方程无解，即可判断命题②；若，则有，即可判断命题③； 根据“美好点”的定义建立关于a的一元一次方程并求解，即可获得答案； 解方程组，结合“美好点”的定义建立关于m的一元一次方程并求解，即可获得答案． 本题主要考查了新定义“美好点”和“美好数”、真假命题的判定、解二元一次方程、解一元一次方程等知识，正确理解新定义“美好点”和“美好数”是解题关键． 21.【答案】    【解析】  22.【答案】，，9； ； 点P运动到点B时，点Q再从点A出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动， 当点P运动2秒时，； 点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动， ，，， 点P从点B运动至点C的时间为：，点Q从点A运动至点C的时间为：， 可将P，Q两点距离为2的情况分为以下4种， 设点P从点B运动t s后，P，Q两点距离为2， ，，， ①如图1，当点P，点Q向右运动，且点P在点Q右侧时， ，， ， 解得：， ， 点开始运动后的第8秒，P，Q两点之间的距离为2； ②如图2，当点P，点Q向右运动，且点P在点Q左侧时， ，， ， 解得：， ， 点开始运动后的第10秒，P，Q两点之间的距离为2； ③如图3，当点P向右运动，点Q向左运动，且点P在点Q左侧时， ， ， ，， ， 解得：， ， 点开始运动后的第秒，P，Q两点之间的距离为2； ④如图，当点P向右运动，点Q向左运动，且点P在点Q右侧时， ， ， ，， ， 解得：， ， 点开始运动后的第秒，P，Q两点之间的距离为2； 综上，当点P运动的第8，10，，秒，P，Q两点之间的距离为  【解析】解：非负数的和为0，这几个非负数都对应0得： ，，， ，，， 故答案为：，，9； 设点P向右运动时，在数轴上对应的数为x，则代数式， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，代数式的最大值为15， 故答案为：15； 点P运动到点B时，点Q再从点A出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动， 当点P运动2秒时，； 点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动， ，，， 点P从点B运动至点C的时间为：，点Q从点A运动至点C的时间为：， 可将P，Q两点距离为2的情况分为以下4种， 设点P从点B运动t s后，P，Q两点距离为2， ，，， ①如图1，当点P，点Q向右运动，且点P在点Q右侧时， ，， ， 解得：， ， 点开始运动后的第8秒，P，Q两点之间的距离为2； ②如图2，当点P，点Q向右运动，且点P在点Q左侧时， ，， ， 解得：， ， 点开始运动后的第10秒，P，Q两点之间的距离为2； ③如图3，当点P向右运动，点Q向左运动，且点P在点Q左侧时， ， ， ，， ， 解得：， ， 点开始运动后的第秒，P，Q两点之间的距离为2； ④如图，当点P向右运动，点Q向左运动，且点P在点Q右侧时， ， ， ，， ， 解得：， ， 点开始运动后的第秒，P，Q两点之间的距离为2； 综上，当点P运动的第8，10，，秒，P，Q两点之间的距离为 根据非负数和为0即可求解； 设点P表示的数为x，分为当时，当时，当时，分别化简即可判断； 根据点Q的运动速度可知点Q从A运动至C的时间为7s，点P从点B运动至点C所需时间为15s，即可将P，Q两点距离为2的情况分为4种，利用线段之间的等量关系分别求解即可． 本题考查数轴的应用，非负实数的性质，一元一次方程的应用等知识点，解题的关键是利用分类讨论逐一讨论． 第18页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $