3.1 椭圆 寒假练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修一 3.1 椭圆 寒假练习 一、选择题 1．设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知焦点在y轴上的椭圆的离心率是，则m的值是（　　） A． B． C． D．或 3．已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点，，经过M的直线与C的一个交点为N，若△MNF是正三角形，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，在中，，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 6．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆：的蒙日圆为：，过C上的动点M作的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交于A，B两点，则下列结论不正确的是（　　） A．椭圆的离心率为 B．面积的最大值为 C．到的左焦点的距离的最小值为 D．若动点D在上，将直线DA，DB的斜率分别记为，，则 7．已知椭圆关于轴､轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．已知，是椭圆的两个焦点，点是椭圆上的一动点，若，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．已知椭圆左右焦点分别为，上顶点为A，离心率为，过且为线段的垂线交于两点，则周长为（　　） A． B． C． D． 10．若点P在椭圆上，，分别为椭圆C的左右焦点，且，则的面积为（　　）． A． B．3 C．4 D．1 11．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 12．已知圆，椭圆，过C上任意一点P作圆C的切线l，交于A，B两点，过A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点Q，则（O为坐标原点）的最大值为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 二、多项选择题 13．已知椭圆的左，右两焦点分别是，其中，直线与椭圆交于A，B两点．则下列说法中正确的有（　　） A．若，则 B．若的中点为M，则 C．的最小值为 D．若，则椭圆的离心率的取值范围是 14．已知椭圆和，点在上，且直线与交于、两点，若点在上，使得，则下列结论正确的为（　　） A．、的离心率相等 B． C．直线、的斜率之积为定值 D．四边形的面积为 15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点（其中点在点的左侧），记面积为，则（　　） A． B．时， C．的最大值为 D．当时，点的横坐标为 16．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（　　） A．椭圆的方程为 B．椭圆的方程为 C． D． 三、填空题 17．椭圆上一点到左焦点的距离为6，则到右焦点的距离为　 　. 18．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于　 　. 19．如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，，，若点，分别为椭圆：（）的上､下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，则椭圆的焦距为　 　. 20．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆外一点，线段与交于点A，的内切圆与相切于点，且内切圆圆心恰在线段上.设为坐标原点，若，则的离心率为　 　. 四、解答题 21．焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上. （1）求的值. （2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率. 22．已知椭圆C的两个焦点分别为和，点在椭圆上． （1）求椭圆C的方程； （2）过点作倾斜角为的直线l交椭圆C于A、B两点，求线段的长度． 23．已知椭圆过点，且． （1）求椭圆C的方程和离心率； （2）设O为原点，直线OP与直线l平行，直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线PM，PN分别与x轴交于点E，F．当E，F都在y轴右侧时，求证：为定值． 24．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m，交椭圆于A，B两个不同点. （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围； （3）求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 25．已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为． （1）求的方程； （2）、为椭圆上两个动点，且直线、的斜率之积为，求证直线过定点． 26．若椭圆的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点（均与不重合），证明：直线的斜率之和为定值． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】椭圆的定义 【解析】【解答】因为椭圆， 所以，则， 因为，， 所以. 故答案为：B. 【分析】根据椭圆的定义可知，代入，即可得解. 2．【答案】C 【知识点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】因为焦点在y轴上，故，该椭圆的离心率是， 所以，显然满足， 故答案为：C 【分析】利用已知条件结合椭圆的焦点的位置得出实数m的取值范围，再结合椭圆的离心率公式得出满足要求的实数m的值。 3．【答案】A 【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质 【解析】【解答】因为椭圆的焦点在轴上，则，解得. 故答案为：A. 【分析】根据椭圆的标准的方程和几何性质，列出不等式组，即可求解. 4．【答案】D 【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质 【解析】【解答】不妨设，由得，，，的中点为左焦点，在等边△MNF中，， 由椭圆定义，， 所以椭圆C的离心率为. 故答案为：D. 【分析】不妨设，由得，，，的中点为左焦点，在等边△MNF中，，，由椭圆定义和椭圆的离心率公式变形得出椭圆C的离心率。 5．【答案】C 【知识点】椭圆的简单性质；余弦定理 【解析】【解答】如图所示： 在中，，有，所以，. 在中，由余弦定理，有， 化简得，即， 所以椭圆的离心率. 故答案为：C 【分析】 由已知结合勾股定理，余弦定理可建立关于a，c的等式，进而可求出椭圆的离心率 . 6．【答案】B 【知识点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】依题意，过椭圆的上顶点作y轴的垂线，过椭圆的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上， 所以，得，所以椭圆的离心率，A符合题意； 因为点M，P，Q都在圆C上，且，所以PQ为圆C的直径，所以， 所以面积的最大值为，B不正确； 设，的左焦点为，连接MF， 因为，所以， 又，所以， 则M到的左焦点的距离的最小值为，C符合题意； 由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称， 设，，则，，， 又，所以，所以，所以，D符合题意 故答案为：B. 【分析】根据定义，确定蒙日圆的点结合椭圆离心率计算判断A；根据定义求得∠PMQ=90°，再求出最大面积判断B；设出点M的坐标并求出其横坐标范围计算判断C；根据定义确定点A， B的关系，再利用”点差法”计算判断D. 7．【答案】B 【知识点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】设椭圆的方程为， 因为不在椭圆的外部， 所以，因为， 所以，化简得：， 同除以得：，结合， 解得：， 故. 故答案为：B 【分析】设椭圆的方程为，由题意得到，进而得到，同除以，结合离心率的定义，即可求解. 8．【答案】A 【知识点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】由题意，作图如下： 其中圆为以为圆心，以为半径的圆，显然，，，，，解得。 故答案为：A. 【分析】利用已知条件得出圆为以为圆心，以为半径的圆，显然，，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出，再结合椭圆的离心率公式变形，从而解一元二次不等式求解椭圆的离心率的取值范围。 9．【答案】A 【知识点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】如图： ， 椭圆可化为， 又，， ，， 设直线即， 由得， 设， 不妨设， 解得， 所以， 因为即， 所以 ， 由得，代入上式， ， 同理可得， ， 所以周长为. 故答案为：A 【分析】将椭圆方程化为，设直线即，设，联立椭圆与直线方程整理得，解得，分别计算，，，即可得到周长 . 10．【答案】A 【知识点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：由椭圆的标准方程，可得，． 所以，又由， 所以，即． 因为，所以， 即． 又因为，即， 两式相减，约分可得， 所以． 故答案为：A． 【分析】利用椭圆定义得到，再利用余弦定理得，两者联立解出，再利用三角形面积公式求出面积即可. 11．【答案】B 【知识点】椭圆的应用 【解析】【解答】椭圆的，点在椭圆内部， 如图， 设椭圆的右焦点为 ， 则 ； ； 由图形知，当在直线 上时， ， 当不在直线 上时， 根据三角形的两边之差小于第三边有， ， 当在射线 的延长线上时， 取得最小值 的最小值为． 故答案为：B 【分析】利用椭圆得出a，b 的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出c的值，再利用点在椭圆内部，设椭圆的右焦点为 ，再结合椭圆的定义得出 ，由图形知，当在直线 上时， ，当不在直线 上时，根据三角形的两边之差小于第三边有， ，所以得出当在射线 的延长线上时的 的最小值。 12．【答案】C 【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【解答】当点坐标为时，此时切线的斜率不存在， 不妨设，此时中令得：， 所以不妨令， 下面证明椭圆在处的切线方程为， 理由如下： 当切线的斜率存在时，设切线方程为， 代入椭圆方程得：， 由，化简得： ， 所以， 把代入，得：， 于是 则椭圆的切线斜率为， 所以椭圆的切线方程为，整理得：， 方程两边同除以，得到， 当切线斜率不存在时，即此时，故切线方程为， 中令，可得， 故当切线斜率不存在，切线也满足， 综上：椭圆在处的切线方程为， 故过的两切线分别为和， 联立可得：，此时，同理可得时，， 当切线的斜率存在时，设为， 因为与相切，所以，即， 与联立得： ，设， 则过的椭圆的切线方程为和， 联立得：， ， 则， 综上所述：的最大值为4. 故答案为：C 【分析】当点坐标为时，此时切线的斜率不存在，不妨设直线，此时中令得y的值，从而不妨令，当切线的斜率存在时，设切线方程为，代入椭圆方程结合判别式法得出，再结合求根公式和两点求斜率公式得出椭圆的切线斜率，再利用点斜式得出椭圆的切线方程为，整理得：，方程两边同除以，得到，当切线斜率不存在时，从而得出此时，进而得出切线方程为，在中，令，可得，故当切线斜率不存在，切线也满足，从而得出椭圆在处的切线方程，故过的两切线分别为和，联立两直线方程得出点Q的坐标，再结合两点距离公式得出OQ的长，当切线的斜率存在时，设为，再利用与相切结合点到直线的距离公式得出，再利用与联立得出过的椭圆的切线方程为和，联立得点Q的坐标，再结合两点距离公式和放缩法得出的最大值。 13．【答案】B,D 【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质 【解析】【解答】对于A，直线恒过点，即左焦点， 由椭圆的定义可知：的周长为： ， ∴ 所以A不正确 对于B，设，所以有 ，两式作差可得 设，因为的中点为M，所以， 因此，所以B符合题意； 对于C，因为直线过定点，但是不包括直线， 因为只有当时，才有最小值，所以C不正确； 对于D，， 而，所以， 显然 而， 所以，D符合题意， 故答案为：BD 【分析】根据直线恒过定点，结合椭圆的定义即可判断A、C；用点差法即可得到结果可判断B；根据向量的坐标运算，结合椭圆的定义及离心率的定义代入计算即可判断D. 14．【答案】A,C,D 【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质 【解析】【解答】设点、，椭圆、的离心率分别为、. 对于A选项，，，A对； 对于B选项，联立可得，所以，， 由题意可知，则， 因为， 则点在椭圆上，所以，，B不符合题意； 对于C选项，由B选项可知，椭圆的方程为，， 则，， 由已知可得，两式作差可得，C对； 对于D选项，显然四边形为平行四边形，其面积记为，的面积记为， 因为，所以，直线与轴必有交点，不妨设为，且， ，故， 由韦达定理可得，且， 所以， ，D对. 故答案为：ACD. 【分析】设点、，椭圆、的离心率分别为、，结合离心率的定义，可判定A正确；联立方程组求得，进而求得，根据 ，求得点，代入椭圆上，可判定B不符合题意；结合B项，得到椭圆的方程，分别求得，，结合椭圆的方程，作出得到，可判定C正确；四边形的面积记为，的面积记为，不妨设为，得到，所以，结合韦达定理进行运算，求得，可判定D正确. 15．【答案】A,C,D 【知识点】基本不等式；数量积表示两个向量的夹角；椭圆的定义；椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：由题知，，，设，则， 对于A选项，根据椭圆的定义，，故正确； 对于B选项，，故， 因为，即，所以，解得，故错误； 对于C选项，因为，当且仅当，即时等号成立，即 所以，面积为，即的最大值为，故正确； 对于D选项，，所以， 因为， 所以， 因为，， 所以，整理得，即，解得， 所以，点的横坐标为，故正确； 故答案为：ACD 【分析】由对称性可得|AF1|=|BF2|，进而可得，可判断A；设，则，求得向量的数量积求解可判断B； ，利用基本不等式可得，可得的最大值，可判断C；由余弦定理可求出点的横坐标，可判断D. 16．【答案】A,C,D 【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质 【解析】【解答】依题意，椭圆的方程为，有，由离心率为得：， 解得，因此椭圆的方程为，A符合题意，B不正确； 由椭圆的对称性不妨令，直线，由得，则，C符合题意； 由C知，，由椭圆定义得，D符合题意. 故答案为：ACD 【分析】依题意，椭圆的方程为，进而得出b的值，再利用椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式得出a的值，进而得出椭圆的标准方程，由椭圆的对称性，不妨令，直线，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程得出交点的横坐标，在饥饿和两点距离公式得出PQ的长，由C知，再由椭圆定义得出的值，从而找出说法正确的选项。 17．【答案】2 【知识点】椭圆的定义 【解析】【解答】由可得，所以， 由椭圆的定义可得， 所以， 故答案为：2. 【分析】根据椭圆的定义可求解出答案. 18．【答案】 【知识点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】由，且， 在中，∠ . 故答案为： 【分析】先利用定义求出，再求出，即可求出的面积. 19．【答案】4 【知识点】平面向量的数量积运算；椭圆的简单性质 【解析】【解答】由题意得，，设，.连接， 由，，可知，，，在以为直径的圆上，且， 又原点为圆的弦的中点， 所以圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则，又， 所以， 因为，所以， 所以， 当时，则0， 若，则四边形为矩形，则点也在椭圆上，与点不在椭圆上矛盾， 所以，所以，故圆的圆心坐标为， 所以圆的方程为，将代入可得，又， 所以，故椭圆的焦距为. 故答案为：4. 【分析】由AB⊥AD，CB⊥CD可得A， B，C，D四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆的方程，将(0， b)代入椭圆及圆的方程，求出，即可求出椭圆的焦距 . 20．【答案】 【知识点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】如图，设内切圆圆心为I，因的内切圆与相切于点，且内切圆圆心恰在线段上，则，平分，可得为等腰三角形. 则Q为中点，. 结合O为中点，可得OQ为中位线，则. 则. 故答案为：. 【分析】设内切圆圆心为I，利用三角形的内切圆与相切于点，且内切圆圆心恰在线段上，则，平分，可得为等腰三角形，再结合等腰三角形三线合一，则Q为中点，再利用椭圆的定义得出，再结合O为中点，可得OQ为中位线，结合中位线的性质，进而得出a，b的关系式，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆的离心率公式，进而得出椭圆C的离心率的值。 21．【答案】（1）解：由题意，点在椭圆上，代入， 得，解得 （2）解：由（1）知，椭圆方程为，则 椭圆的长轴长；’ 短轴长； 焦距； 离心率. 【知识点】椭圆的简单性质 【解析】【分析】（1） 由题意，点在椭圆上，代入， 即可求解； （2）由（1）知椭圆方程， 则 ，根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义，即可求解. 22．【答案】（1）解：设椭圆C的方程为， 则，解得， 故椭圆C的方程为； （2）解：过点作倾斜角为的直线l的方程为，设 联立，消去得， ， 【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】(1)根据定义和a， b， c的关系，解出a， b的值，即可得椭圆C的方程； (2)写出直线l的方程，与椭圆的方程联立，然后利用弦长公式求解出线段的长度． 23．【答案】（1）解：依题意有，得，所以椭圆C的方程为， 又，则椭圆C的离心率为； （2）证明：依题意可得直线OP的方程为， 则可设直线l的方程为，不妨设，， 则直线PM的方程为，得，同理得， 联立，消x整理得， 则，， 又E，F都在y轴右侧，即，， 所以（定值）， 故结论为定值成立． 【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1） 依题意有，得， 得到椭圆C的方程为，进而求得椭圆C的离心率为； （2）设直线l的方程为，不妨设，，与抛物线方程联立整理得，由韦达定理得，，所以，代数计算可得为定值． 24．【答案】（1）解：设椭圆方程为，由题意可得 ，解得， ∴椭圆方程为； （2）解：∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，， 所以设直线的方程为， 由消元，得 ∵直线l与椭圆交于A，B两个不同点， 所以，解得， 所以m的取值范围为. （3）解：设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可， 设，由（Ⅱ）可知， 则， 由， 而 ，， 故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）设出椭圆方程，根据题意得，从而求得椭圆的方程； （2）根据题意设出直线的方程为， 并与椭圆方程联立整理得，根据直线与椭圆方程有两个不同交点，利用即可求出m的取值范围； （3）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可，设， 由（2）可知，则， 代入计算， 直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 25．【答案】（1）解：因为，所以，可得， 因为点在椭圆上，所以，可得， 所以椭圆的方程为. （2）证明：由（1）可得， 当直线的斜率存在时，设直线的直线方程为，设、， 联立，整理可得， ，可得， 由韦达定理可得，， 则 ， 由题意可得，整理可得，解得或， 当时，则直线的方程为，直线恒过定点（舍）； 当时，则直线的方程为，直线恒过定点； 当直线直线的斜率不存在时，设直线，代入椭圆的方程可得，可得， 设、，则，显然直线也过定点. 综上所述，直线恒过定点． 【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】(1)由直线MA的斜率可得a的值，再将M点代入椭圆的方程，可得b的值，进而可得椭圆的方程； (2)分直线PQ的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线PQ的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线AQ，AP的斜率之积，将两根之和及两根之积代入整理，由题意使斜率之积为 ，可得参数的关系，进而可得直线PQ恒过的定点的坐标. 26．【答案】（1）解：由题意得离心率为，点在椭圆上， 所以，解得，所以椭圆方程为 （2）证明：当直线的斜率不存在时，为椭圆的上下顶点，即为，则． 当直线的斜率存在时，设的方程为，联立消去并整理得，，则，得， 设，则， 所以 综上可得，直线的斜率之和为3． 【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】(1)利用已知条件结合椭圆的离心率公式和代入法以及椭圆中a，b，c三者的关系式，进而解方程组得出a，b，c的值，从而得出椭圆的标准方程。 （2） 当直线的斜率不存在时，利用为椭圆的上下顶点，即为，再结合两点求斜率公式得出的值；当直线的斜率存在时，设的方程为，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法得出k的取值范围，设，再结合韦达定理得出，再结合两点求斜率公式证出直线的斜率之和为定值。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $