第一章 空间向量与立体几何 寒假练习试卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026上学期高二年级《空间向量与立体几何》练习试卷 一、单项选择题:本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1．已知 ＝(2，－3，1)，则下列向量中与 平行的是（　　） A．(1，1，1) B．(－2，－3，5) C．(2，－3，5) D．(－4，6，－2) 2．在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 3．已知 ， ，若 ，则 （　　） A．9 B．6 C．5 D．3 4．已知点 ， ， 为坐标原点，若向量 ，则实数 （　　） A．4 B． C． D．-4 5．已知空间四点 ， ， ， ，则 （　　） A． B． C． D． 6．如图：在平行六面体 中， 为 的交点.若 ， ， ，则向量 （　　） A． B． C． D． 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 7．已知向量，，，则下列说法正确的是（　　） A．的相反向量是； B．若，则 C．在上的投影向量为； D．若，则 8．已知向量，，，则下列说法正确的是（　　）． A． B． C．是平面的一个法向量 D． 9．以下四个命题中正确的是（　　）． A．若为空间的一组基底，则构成空间的另一组基底 B．直线l的方向向量，平面的法向量，则平面 C．已知，，则在上的投影向量为 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 10．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，， 且，M为BC的中点，则点B到平面PAM的距离为　 　， 若，则　 　. 11．在四棱锥 中，四边形 为正方形， ， ，平面 平面 ， ，点 为 上的动点，平面 与平面 所成的二面角为 （ 为锐角），则当 取最小值时，三棱锥 的体积为　 　. 12．如图，在正方体 中，点E，F分别是棱 ， 上的动点.给出下面四个命题： ①点B，D到平面ACE的距离相等； ②点E，F到直线AC的距离相等； ③直线AF与直线CE所成角的最大值是 ； ④平面CDF与平面ACE所成角的最大值是 . 其中，真命题的序号为　 　. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13．如图，在直三棱柱中，． （1） 证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 14．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，M是PA的中点. （1）证明：； （2）若，求平面PBC与平面BCM所成角的大小. 15．如图，在四棱锥 中，底面ABCD是矩形，平面 平面SBC， ，M是BC的中点， ， ． （1）求证： ． （2）若二面角 的正弦值为 ，求四棱锥 的 体积． 16．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，为等边三角形，. （1）证明：； （2）求与平面所成角的正弦值. 17． 如图，四边形ABCD中，，，，沿对角线AC将△ACD翻折成△，使得. （1）证明：； （2）若为等边三角形，求二面角的 余弦值. 18．在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， 平面 ， ， 是 的中点. （1）若 为线段 的中点，证明： 平面 ； （2）线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求 的长，若不存在，请说明理由. 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示 【解析】【解答】要使向量 与 平行，则 且 ， ∴A：若 ＝(1，1，1)，不存在 使 成立； B：若 ＝(－2，－3，5)，不存在 使 成立； C：若 ＝(2，－3，5)，不存在 使 成立； D：若 ＝(－4，6，－2)，则有 成立； 故答案为：D 【分析】利用向量共线定理，对选项逐一判断即可得出答案。 2．【答案】A 【知识点】空间中的点的坐标；异面直线所成的角；空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离 【解析】【解答】以点 为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系 ， 由异面直线夹角的范围为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 故答案为：A 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式计算出夹角的余弦值，结合角的取值范围即可求出异面直线所成的角。 3．【答案】D 【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直 【解析】【解答】解：∵ ， 且 ∴1×x+1×y+(-3)×1=0 则x+y=3 故答案为：D 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可. 4．【答案】C 【知识点】空间向量的数量积运算 【解析】【解答】 ， ， 由 ，解得： 。 故答案为：C 【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而求出实数k的值。 5．【答案】A 【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示 【解析】【解答】由题意得， ， 所以 ， 所以 ， 故答案为：A 【分析】首先求出空间向量的坐标，再由向量模的公式计算出向量模的大小，然后把数值代入到数量积公式计算出夹角的余弦值即可。 6．【答案】A 【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法 【解析】【解答】由题意可得： ， 故答案为：A. 【分析】本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解． 7．【答案】A,C 【知识点】相等向量与相反向量；平面向量共线（平行）的坐标表示；空间向量的投影向量 【解析】【解答】对于A：由相反向量的定义，即可得到的相反向量是； 对于B：因为，，所以. 又，且，所以，解得：. B不符合题意； 对于C：因为，，所以，所以在上的投影为， 所以在上的投影向量为. C符合题意； 对于D：因为，，所以. 又，且，所以，解得：. D不符合题意. 故答案为：AC 【分析】对于A：由相反向量的定义，直接判断；对于B：利用向量平行的条件列方程求出k，即可判断；对于C：利用投影向量的定义，直接求解；对于D：利用向量垂直的条件列方程求出k，即可判断. 8．【答案】B,C,D 【知识点】向量的模；平面的法向量；空间向量垂直的坐标表示 【解析】【解答】解：对于A，因为， 所以，故选项A错误； 对于B，因为， 所以， 则，故选项B正确； 对于D，因为， 所以，故选项D正确； 对于C，因为，，，且平面， 所以是平面的一个法向量，故选项C正确. 故答案为：BCD. 【分析】先利用三角形法则求出向量的坐标，再结合向量求模的坐标表示求解，则判断出选项A；先利用三角形法则求出的坐标表示，再根据空间向量数量积的坐标表示，则判断出选项B；根据空间向量数量积的坐标表示判断出选项D；结合，可判断选项C，从而找出说法正确的选项. 9．【答案】A,B,D 【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理；用空间向量研究直线与平面的位置关系；空间向量的投影向量 【解析】【解答】解：A、假设向量共面，则存在实数x，y，使得成立， 则显然方程组无解，所以不共面， 故构成空间的另一组基底，该选项正确，符合题意； B、因为，，所以，即， 所以平面，该选项正确，符合题意； C、因为向量，可得， 所以在上的投影向量为，该选项错误，不合题意； D、对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，， 因为，则P，A，B，C四点共面，该选项正确，符合题意. 故答案为：ABD 【分析】对于AD，根据基底的概念，需判断 不共面，空间向量的共面定理可判断；对于B，根据空间向量证明线面关系可判断；对于C，根据投影向量的计算公式可判断. 10．【答案】； 【知识点】点、线、面间的距离计算 【解析】【解答】解：因为，，所以直线DA，DC，DP两两互相垂直.以D为原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴､y轴､z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，， 设平面的法向量为，则令，得，所以点B到平面PAM的距离.因为， 所以 故. 故答案为：；； 【分析】以D为原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴､y轴､z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量数量积计算点到平面距离，再由两点间的距离公式计算可得 的值 。 11．【答案】 【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究二面角 【解析】【解答】解：以D为原点，分别以DA，DS，DC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DE=m，则平面ADS的一个法向量为，又B(2，0，2)，S(0，1，1)，E(0，0，m)，所以，设平面BSE的一个法向量为 ，则有，则， 显然当 取最小值时 ，5m2-4m+8取得最小值，此时， 故答案为： 【分析】利用二面角的求法求得，从而求得m，再利用三棱锥的体积公式求解即可. 12．【答案】①③④ 【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角 【解析】【解答】对①如图，连接BD，则线段BD的中点在线段AC上， 又 面ACE，则点B，D到平面ACE的距离相等，①正确 对②，若点E，F到直线AC的距离相等，则必有 ， 但点E，F分别是棱 ， 上的动点，则 不一定与 平行，②错误； 对③如图建立空间直角坐标系，设正方体 的棱长为2， 则 ，设 ， ， 当 时， 取最小值 ， 此时直线AF与直线CE所成角的最大值是 ，③正确； 对④，设平面CDF的法向量为 ， 又 ， 则 ，则平面CDF的一个法向量为 ， 设平面ACE的法向量为 ， 又 ， 则 ，则平面CDF的一个法向量为 ， 设平面CDF与平面ACE所成角为 ， 则 ， 当 时， ，此时 ， 故平面CDF与平面ACE所成角的最大值是 ，④正确. 故答案为：①③④. 【分析】由正方体的几何性质，结合线线平行的几何意义即可判断出①正确、②错误；根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点以及向量的坐标，由此点到平面的法向量结合数量积的坐标公式，计算出线线角和二面角的最大值，从而判断出③正确、④正确；由此即可得出答案。 13．【答案】（1）证明： 在直三棱柱中，面，因为面，所以， 又因为，，面，所以面， 又因为面，所以， 又因为，所以四边形是正方形，所以， 又因为，面，所以平面； （2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示： ， 则，， ，，， 设直线与平面所成角为，平面的法向量为， 则，令，则，即平面的法向量为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角 【解析】【分析】（1）由题意可得面，利用线面垂直的性质得到，再利用几何关系得到，最后根据线面垂直的判断定理证明即可； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. （1）由题知面，又面，所以， 又，，面，所以面， 又面，所以， 又，所以四边形是正方形，得到， 又，面，所以平面. （2）如图，建立空间直角坐标系，因为， 则，， 得到，，， 直线与平面所成角为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 14．【答案】（1）证明：如图，在中，因为，，由正弦定理得： ，故，又因为，所以， 则，即. 又因为平面ABC，所以， 又，所以平面PAC，又因为平面PAC， 所以 （2）解：因为平面ABC，，所以CA，CB，CP两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系，设， 则，，，， 所以，， 设平面BCM的一个法向量为 由 ，即 ，可取， 可取为平面PBC的一个法向量， 所以， 所以平面PBC与平面BCM所成角的大小为； 综上，平面PBC与平面BCM所成角的大小为. 【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角；正弦定理 【解析】【分析】（1） 在中，利用，，和正弦定理得出的值，再利用，进而得出的值，再结合三角形内角和为180度的性质，进而得出的值，即，再利用平面ABC和线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面PAC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。 （2）利用 平面ABC结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，所以CA，CB，CP两两垂直，建立空间直角坐标系，设，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出平面PBC与平面BCM所成角的大小。 15．【答案】（1）证明：设AD的中点为N，连接MN． 由底面ABCD是矩形得MN⊥BC．∵SB=SC，M是BC的中点，∴SM⊥BC． ∵平面ABCD上平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC， ∴SM⊥平面ABCD，∴SM⊥MN，∴直线MC，MS，MN两两互相垂直． 以M为坐标原点，MC，MS，MN所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz，设SM=a， 依题意得M（0，0，0），A（-1，0，1），B（-1，0，0），C（1，0，0），D（1，0，1），S（0，a，0），a>0． ∴ ， ． ∴ ．∴ ，即 ． （2）解：由（1）可得 ， ． 设平面AMS的法向量为 ， 则 ， ．∴ 即 取x=1，解得 ∴ 是平面AMS的一个法向量． 设平面ABS的法向量为 ，同理可得 是平面ABS的一个法向量． 设二面角 的大小为 ，则 ． ∴ ，解得 ． ∴四棱锥S-ABCD的体积为 ． 【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；向量的数量积判断向量的共线与垂直；用空间向量研究二面角 【解析】【分析】(1)建立恰当的空间直角坐标系 ，根据 可证得 ； (2)先根据二面角的向量法求得a，再根据棱锥的体积公式求解即可 . 16．【答案】（1）解：取为AD中点，连接OP、OB、， 由于三角形PAD和三角形是等边三角形，所以，， 由于，所以面，又面，所以. （2）解：，所以，所以. ， . 如图所示，建立空间直角坐标系，为AD中点，， ，，，，，， 设点坐为面的一个法向量， 则有，得， 取， 设与面所成角为，则有， 所以与面所成角的正弦值. 【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角 【解析】【分析】（1） 取为AD中点，连接OP、OB、，由于三角形PAD和三角形是等边三角形，再利用等边三角形三线合一，所以，，再利用线线垂直证出线面垂直，所以面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。 （2）利用 ，所以，再利用勾股定理得出PB的长，进而得出，再利用余弦定理结合已知条件得出的值再利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式结合诱导公式得出与平面所成角的正弦值。 17．【答案】（1）证明：取中点F，连接EF，BF， 因为，所以EF是的中位线，故∥， 因为，所以， 又因为，，所以平面BEF， 因为平面BEF，所以， 由三线合一得： （2）解：因为为等边三角性，所以，由第一问可知：，从而，由三线合一得：，取AB的中点H，过点H作HG⊥AB交AC于点G，连接， 从而，故为二面角的平面角，由勾股定理得：，从而，，由可得：，由勾股定理得：， 因为，在中，由余弦定理得：，故，又，在中，由余弦定理得：， 故二面角的余弦值为. 【知识点】用空间向量研究二面角；余弦定理 【解析】【分析】(1)作出辅助线，证明线面垂直，进而证明出 ，由三线合一得出 ； (2)作辅助线，找到 为二面角的平面角，再使用勾股定理及余弦定理求出边长，最终用余弦定理求出二面角的余弦值 . 18．【答案】（1）证明：取 的中点为 ，连接 ， 因为 分别为 的中点，所以 ， 又因为 平面 ，且 ， 所以平面 平面 ， 又由 平面 ，所以 平面 . （2）解：以 为原点， 所在的直线分别为 轴、 轴，以垂直平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为底面 是边长为2的菱形，设 ， 在直角 中，可得 ， 在直角 中，可得 ， 在 中，因为 ，所以 ， 即 ，解得 ， 设 ，可得 ， 则 ， 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 ，可得 ， 设直线 与平面 所成角为 ， 所以 ，解得 ，即 ， 所以存在点 ，且 的长为 . 【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角 【解析】【分析】 （1）取 的中点为 ，连接 ，利用 分别为 的中点，再结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以 ，再利用线线平行证出线面平行，再结合线面平行证出面面平行，所以平面 平面 ，再结合面面平行的性质定理证出线面平行，从而证出直线 平面 。 （2） 以 为原点， 所在的直线分别为 轴、z轴，以垂直平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系， 从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出直线 与平面 所成角的正弦值，再结合直线 与平面 所成角的正弦值为 ，从而得出点M的坐标，进而得出存在点 ，并求出此时对应的 的长。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $