甘肃省兰州市榆中县2025-2026学年上学期九年级数学期末考试卷

2025- -2026学年度第一学期九年级数学 期末考试参考答案（仅供参考） 一、选择题（每题3分，共33分） 1----6 A D C A D B 7----11 B A C C D 二、填空题（每题3分，共12分） 12. m<1 13. 12 14. -6 15. 三、解答题（共11个小题，合计75分） 16.（5分）解得： . 17. (5分）解得： x1=-3 , x2=-1 . 18.（5分）证明∵DE∥AC，CE∥BD， ∴DE∥OC，CE∥OD ∴四边形OCED是平行四边形， ..........3分 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD=90°， ∴四边形OCED是矩形． ..........5分 19.（7分）（1） 不可能 ..........2分 （2）解：列表如下：（画树状图也可） 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能结果，其中被选到的两位老师是一男一女的结果6种， 所以P（被选到的老师是一男一女）= ..........7分 20. （7分）（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置， 线段FH为小亮在灯光下形成的影子． ..........3分 （2）解：∵∠BCA=∠OCD，∠BAC=∠ODC=90°， ∴△BAC∽△ODC ∴AB∶DO=CA∶CD， ∴1.6∶OD=1.4∶（1.4+2.1）， ∴OD=4m． ∴灯泡的高为4m． ..........7分 21. （7分）解：（1）如图所示： △A1B1C1为所求的三角形， C1点的坐标为：（3,2） ..........2分 （2）如图所示：△A2B2C2即为所求，C2点坐标为：（-6,4） ..........4分 S△ABC= ..........7分 （或利用勾股定理的逆定理判断出此三角形是直角三角形，直接利用面积公式计算也可） 22.（7分）解：（1）∵反比例函数 （x>0）与一次函数y=2x+m的图象交于点A(1,4) 将A（1,4）分别代入两个表达式中，解得k=4,m=2 ∴反比列函数表达式为： ； ..........2分 一次函数表达式为：y=2x+2 . ..........4分 (2)∵BC⊥y轴于点D， ∴BC∥x轴.第22题图 ∵ OD=1， ∴点B的纵坐标为1. 将y=1代入 ，解得x=4, ∴B(4,1), ∴BD=4, 又∵ A（1,4） ∴S△ABD= ..........7分 23.（7分）解：（1）把L1=6m，L2=0.2m，G1=1200N代入G1L1=G2L2中得 1200×6=0.2G2 ∴ G2=36000N ..........2分 （2）G1是关于L1的反比例函数， （L1>0） ..........5分 （3）①把L1=8代入 ，解得G1=900（N） ..........6分 ②把G1=1800代入 ， 解得L1=4（m） ..........7分 24.（8分）解：（1）设x2=y，则原方程可转化为y2-3y-4=0， 解得：y1=4,y2=-1， 当y1=4时，x2=4，∴x=2； 当y2=-1时，x2=-1,此方程无解. ∴原方程的解为：x1=2，x2=-2； ..........4分 （2） ∵（m+3n）(m+3n-2)=2m+6n-4, ∴（m+3n）(m+3n-2)=2(m+3n)-4, 设 m+3n=a, 则a(a-2)=2a-4, 整理得：a2-4a+4=（a-2)2=0, 解得：a=2, ∴m+3n=2, ∴4m+12n-3=4(m+3n)-3=4×2-3=5. ..........8分 25.（8分）（1）AB∶AC=AD∶AE. .........2分 （2）证明：∵∠BAC=∠DAE，∠ABC=∠ADE ∴△ABC∽△ADE，∴AB∶AD=AC∶AE，∠ABC=∠ADE .........3分 ∴AB∶AC=AD∶AE，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE； ∴△ABD∽△ACE，∠ABD=∠ACE， ∴∠ADE=∠ACE，即∠ADF=∠ECF 又∵∠AFD=∠EFC， ∴△ADF∽△ECF .........5分 （3） 解：∵由题意可得∠ADM=∠BDC=∠BAM=90°，∠BAD=∠CBD ∴∠BAD=∠AMD， ∴∠CBD=∠AMD， ∴△BDC∽△MDA， ∴BD∶MD=DC∶DA， ∴BD∶CD=DM∶DA 又∵∠BDC=∠MDA=90°， ∴∠BDC+∠CDM=∠MDA+∠CDM， 即∠BDM=∠CDA ， ∴△BDM∽△CDA. ∴BM∶CA=DM∶DA =, ∵ AC = , ∴BM==6, 在Rt△ABM中，根据勾股定理可得： AM= . 设AD=m，则DM=，根据勾股定理可得： m2+()2=()2， ∴m=(负值已舍去），∴AD= , .........8分 26.(9分）解：（1）如图1中，观察图象可知：F、G能够成为点M，P的“极好菱形”顶点． 故答案为：F，G； ..........2分 （2）①如图2，∵M（1，1），P（3，3），N（3，1）， ∴MN=2，PN=2，PN⊥MN， ∵四边形MNPQ是菱形， ∴四边形MNPQ是正方形， ∴S四边形MNPQ=2×2=4； ..........5分 ② b的取值范围是 -4≦b≦4. （直接写出答案） ..........9分 提示如图3，∵点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3）， ∴PM=， ∵四边形MNPQ的面积为8， ∴S四边形MNPQ= 1 /2 PM•QN=8， 即 ， ∴QN= ， ∵四边形MNPQ是菱形， ∴QN⊥MP，ME= ，EN=， 作直线QN，交x轴于A， ∵M（1，1）， ∴OM= ， ∴OE= ， ∵M和P在直线y=x上， ∴∠MOA=45°， ∴△EOA是等腰直角三角形， ∴EA= ， ∴A与N重合，即点N在x轴上， 同理可知：点Q在y轴上，且ON=OQ=4， ∴Q点坐标为（0,4），N点坐标为（4,0）由题意得： 四边形MNPQ与直线y=x+b有公共点时，分别把Q点和N点坐标代入y=kx+b 中后可得 b的取值范围是-4≤b≤4． 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校 班级 姓名 考场 考号 ……………………………密……………………………………………………封…………………………………………线……………………… ……………………………答……………………………………………………题…………………………………………线……………………… 线……………………… 2025—2026学年度第一学期期末考试卷 九 年 级 数 学 注意事项： 1.全卷满分120分，考试时间120分钟。 2.考生必须将个人信息填（涂）写在答题卡上。 3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。 一、单选题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.如图①，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图②，是它的几何示意图，则其三视图中与主视图相同的是（ ）第1题图 A. 左视图 B. 俯视图 C. 右视图 D. 后视图 2.下列各组图形中，不是相似图形的是(   ) A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程x2+6x+3=0配方后得到(x+3)2=c,则c的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 4. 下列各种现象中，属于中心投影的是（ ） A. 晚上人走在路灯下的影子 B. 中午用来乘凉的树影 C. 上午人走在路上的影子 D. 早上升旗时地面上的影子 5.要用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两对角线长就可以判断，其推理依据（ ） A.矩形的对角线相等 B.矩形的四个角都是直角 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线相等的平行四边形是矩形 6.古书《墨子•天文志》中记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形ABCD的对角线的交点为位似中心，作它的位似图A´B´C´D´ ，若AB∶A´B ´=1∶2，则四边形A´B´C´D´ 的面积为 （ ）第6题图 A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 7.若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5 8.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲、乙从出发到相遇时，乙走了3x步，则可列方程为（ ） A.102+(3x)2=(7x-10)2 B.102+(7x)2=(3x-10)2 C.102+(3x)2=(7x)2 D.102+(7x)2=(3x)2 9.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax-b与其中a，b是常数，ab0)的大致图象是（ ） A． B． C． D． 10.如图，在△ABC 中，AB=AC,∠BAC =36°，以点C 为圆心，以BC长为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于二分之一BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（　　　） A. ∠BCE=36° B. BC=AE C. D. 11.如图①，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图②中的菱形ABCD是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可以通过改变AC的长来调节BD的长，已知AB=30cm，BD的初始长为30cm,如果要使BD的长达到36cm，那么AC的长需要缩短（ ） A. 6cm B. 8cm C. ( )cm D.( )cm 第14题图 第15题图 第11题图 第10题图 ① ② 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 已知反比例函数 的图象的一支位于第二象限,则常数m的取值范围是 . 13. 已知 ，且3x-2y+4z=60,则x-y+z的值是 . 14.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AC⊥BD，若点B的坐标为（4，m），点D的坐标为（n，2），则m+n的值为 . 15.黄金分割比( )这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉古希腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角与之关联如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点D在线段AB上，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，得到矩形DECF，若矩形DECF的周长与Rt△ABC的周长之比恰好为黄金分割比，则AD长为      ． 三、解答题：（本大题共11个小题，共75分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．（5分）解方程： 2x2-4x+1=0 17.（5分）已知代数式A=2x2+5x-3，B=x2+x-8 ，当代数式A的值比B的值大2时，求x的值. 18.(5分）如图，点O是菱形ABCD的对角线AC和BD的交点，过点C作CE//BD，过点D作DE//AC，CE与DE相交于点E.求证：四边形OCED是矩形.第18题图 19. （7分）消防教育进校园，消防安全记心间为切实提升广大师生的自护自救能力，某中学组织全体师生开展了消防演练在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙、丙是男老师，丁是女老师 （1）“选取的2位疏散引导员都是女老师”是____ 事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 第19题图 20.（7分）如图，在路灯下，小明的身高为线段AB，他在地面上的影子为线段AC，小亮的身高为线段FG，路灯灯泡在线段DE上. （1） 请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子； （2） 如果小明的身高AB=1.6m，他的影子长AC=1.4m，且他到路灯的距离AD=2.1m，求灯泡的高.第20题图 21.（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三顶点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2).（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标. （2）以原点O为位似中心，在y轴左侧，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC位似比为2∶1，直接写出点C2的坐标，并求△ABC的面积．第21题图 22.（7分）如图，反比例函数 （x>0）与一次函数y=2x+m的图象交于点A(1,4)，直线BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．连接AB，AD． （1）求反比例函数 与一次函数 y=2x+m 的表达式；第22题图 （2）当OD=1时，求△ABD面积． 23.（7分）某动物园根据杠杆原理G1L1=G2L2上演了一幕现代版“曹冲称象”，具体做法如下：如图所示，在一根笔直钢梁上点O处的左右两边分别挂上一根弹簧测力计（质量忽略不计）和装有大象的铁笼，其中点O与弹簧测力计之间的水平距离L1=6m，点O与装有大象的铁笼之间的水平距离L2=0.2m，已知当钢梁呈水平状态（铁笼已经离地）时，弹簧测力计显示的读数为G1=1200N，装有大象的铁笼及其挂钩的总重力为G2. （1）求装有大象的铁笼及其挂钩的总重力G2. （2）若装大象的铁笼固定不动，装有大象的铁笼以及挂钩的总重力不变，则G1是关于L1的什么函数？直接写出表达式.第23题图 （3）在（2）的条件下，解答下列问题： ①当L1=8m时，求弹簧测力计显示的读数G1； ②当弹簧测力计显示的读数G1=1800N时，求L1. 24.(8分）提出问题：为解方程（x2-2）2-11(x2-2)+18=0,我们可以将x2-2视为一个整体，然后可设x2-2=y，则(x-2)2=y2，于是原方程可转化为y2-11y+18=0,解此方程，得y1=2,y2=9. 当y1=2时，x2-2=2,x2=4.x= ； 当y2=9时，x2-2=9,x2=11,x= ∴原方程的解为x1=2,x2=-2,x= ,x4= 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题：（1）运用上述换元法解方程：x4-3x2-4=0 延伸拓展：（2）已知实数m，n满足(m+3n)(m+3n-2)=2m+6n-4,求4m+12n-3的值． 25.（8分）综合与实践 【问题背景】：（1）如图①，已知△ABC∽ △ADE，连接BD和CE ，求证：△ABD∽△ACE . 根据以下证明过程，完成填空部分： 证明： ∵ △ABC∽ △ADE， ∴∠BAC=∠DAE，AB∶AD=AC∶AE ∴∠BAD=∠CAE， ， ∴△ABD∽△ACE ； 【尝试应用】：（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，∠ABC=∠ADE，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，连接CE.求证：△ADF∽△ECF； 【拓展创新】：（3）如图③，D是△ABC内一点，∠BAD=∠CBD，∠BDC=90°，AB=4，AC= . 过点A作AB的垂线。过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，其中DM∶AD=，求AD的长. 第25题图 ① ② ③ 26.(9分）在平面直角坐标系xoy中，如果点A、点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A、C在直线y=x的图象上，那么称该菱形为点A、C的“极好菱形”，下图为点A、C的“极好菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为(1,1)，点P的坐标为(3,3)． （1）点E(2,1),F(1,3),G(4,0)中，能够成为点M、P的“极好菱形”的顶点的是_________； （2）如果四边形MNPQ是点M、P的“极好菱形”． ①当点N坐标为(3,1)时，求四边形MNPQ的面积； ②当四边形MNPQ的面积为8，且与直线y=x+b有公共点时，直接写出b的取值范围. 第26题图 　 学科网（北京）股份有限公司 $