精品解析：四川省南充市西充中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

西充中学2026级高三数学1月月考试题 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知确定集合中元素，然后由交集定义计算． 【详解】集合， 因为，所以. 故选：C. 2. 已知，则（    ） A. B. C. D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则先求出，再求出，所以. 【详解】，则， 所以； 所以， 故选：B 3. 已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，再利用投影向量的公式求解即可． 【详解】，两边平方得，解得， 向量在向量上的投影向量为. 故选：D 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由诱导公式求得，再用诱导公式和二倍角公式求解. 【详解】由知：， 因此. 故选：B. 5. 已知、、是直线，是平面，且，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由线面垂直的定义及判定定理即可判断. 【详解】解：由得： 存在，满足， 若，则直线垂直平面中任意一条直线， ，，，， ，，，是否相交不确定，不一定成立， “，”是“”的必要不充分条件． 故选：B 6. 若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于，则该等比数列的第4项等于（ ） A. 16 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列为，其公比为，且前项和为，分和两种情况， 结合前项和公式计算可得结论. 【详解】设等比数列为，其公比为，且前项和为， 若，则，所以，又，故不符合题意， 若，则根据题意可知，且， 解得，，故. 故选：D. 7. 若直线与圆有两个交点，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据圆心到直线的距离小于半径列不等式求解即可. 【详解】圆即的圆心为，半径为， 若直线与圆有两个交点， 则，即，解得， 所以m的取值范围为. 故选：A 8. 已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质得到，利用相似三角形的性质得到，再结合余弦定理得到，进而得到，最后构建齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图，连接，因为为椭圆的上顶点，所以， 因为，所以，故， 解得，设，，则， ，由余弦定理有， 即，解得， 因为，所以， 化简得，即， 整理得，解得，故B正确. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ） A. B. 的图象关于中心对称 C. 在上单调递增 D. 将的图象向右平移个单位后关于原点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】方法一：对于选项A，将点代入函数的解析式中，联立方程组，求得的值；对于选项B，将代入函数中，判断函数值是否为0来判断该点是否是对称中心点；对于选项C，将C中由的范围确定函数是否单调递增；对于选项D，先求出函数平移后的函数解析式，然后判断其是否关于原点对称. 方法二：对于选项A，根据点在图象中的位置和坐标，确定题中的函数是由正弦函数如何变换得到的，从而可以确定的值；其他选项的分析方法同方法一. 【详解】方法一： 对于选项A：依题意，，， 因为，，解得，，故，故正确； 对于选项B：因为，故错误； 对于选项C：当时，，故在上单调递增，故正确； 对于选项D：，不关于原点对称，故错误. 方法二： 对于选项A：若是的图象，，两点的横向距离为，实际上， ，两点的横向距离为，被拉伸了2倍，故； 其他选项的判断同方法一. 故选：AC. 10. 下列说法中，正确的是（   ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 已知随机变量服从正态分布，若，则 C. 已知，为随机事件，，，若，相互独立，则 D. 样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二项分布的期望和方差公式可得A；利用正态分布的对称性可判断B；由独立事件的乘法公式可得C；利用残差的计算可得D. 【详解】对于A，已知随机变量服从二项分布，若，， 则，解得，故A正确； 对于B，随机变量服从正态分布，所以对称轴为，则， 因为，所以， 所以，故B错误； 对于C，若，相互独立，则， 所以，故C正确； 对于D，由题意可得样本点与的残差分别为和， 所以，则，故D正确. 故选：ACD. 11. 在正三棱台中，，，且等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有（ ） A. 正三棱台的高为 B. 正三棱台的体积为 C. 与平面所成角的正切值为1 D. 正三棱台外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】将正棱台补全为一个正棱锥，结合正棱台、正棱锥的结构特征求台体的高、体积及侧棱与底面夹角正切值，由确定棱台外接球球心位置，建立等量关系求半径，进而求外接球表面积. 【详解】将正棱台补全为一个正棱锥，如下图示， 其中分别为上下底面的中心，为的中点， 易知，则为等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角， 所以，而，则， 根据棱台上下底面相似，知，即，故，A错； 由，， 所以，B对； 由图知：为与平面所成角，则，C对； 若为正三棱台外接球的球心，则其半径，即， 令，则，可得， 所以，故外接球表面积为，D对. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的第5项的系数是_____．（用数字作答） 【答案】210 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项，为第5项代入求解即可. 【详解】二项式展开式通项，所以， 则的展开式的第5项的系数是210. 故答案为：210. 13. 若直线是曲线的一条切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出直线与曲线的切点，根据曲线在点处导数的几何意义是曲线在点处切线的斜率列出方程即可求解. 【详解】设直线与曲线相切于，则； 所以，解得，所以； 又，所以，解得. 故答案为：. 14. 已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】由，，可得为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义即可求解周长. 【详解】因为，， 所以直线为， 设， 由，得， 则， 所以， 因为，， 所以， 所以 故答案为：12 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求A； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式计算可得； （2）利用正弦定理求出，再由诱导公式计算可得. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得：， 又由二倍角公式，得 ， 又， ∴在三角形内，有． 又． 【小问2详解】 在中，由余弦定理，得：． 又由条件可知代入上式有： ， 或（舍负）．， 由正弦定理得， 故在中， ， 又由（1）可知，，又，， 则，故，则为锐角，， 16. 已知抛物线的焦点为上动点到点的最小距离为1. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，，求的值. 【答案】（1） （2）或3 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出，再表达三角形面积为，求解出，进而求解即可得. 【小问1详解】 根据抛物线的定义，有， 由题意可得,当时，，所以， 所以抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 抛物线的焦点，设直线的方程为， 联立，得，所以， 由，解得， 由，解得或，又， 所以或. 17. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）求证：平面PAB； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）平面，又平面，则， 以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，即 令，则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 所以， 又因为二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为. 18. 2025年政府工作报告明确提出持续推进“人工智能+”行动.上海某人工智能实验室的多模态大模型在某次数学测评中表现特别突出，所有测评试题能得1分的可能性为，能得2分的可能性为，假设每道试题得分情况相互独立. （1）从所有测评试题中随机抽取4道试题，记这4道题得分总数为，求的分布列和数学期望； （2）从所有测评试题中随机抽取n道试题，记这n道题得分总数为的概率为，求的值； （3）已知王老师班有20名学生分别用模型解答该数学测评中最后一题.若王老师按照这20人的总分概率最大为依据，一分奖励一朵小红花，请问王老师应该提前准备多少朵小红花比较合理？ 【答案】（1） 4 5 6 7 8 . （2）； （3）25朵. 【解析】 【分析】（1）列出的所有可能取值，利用二项分布的概率公式求出分布列，再根据分布列求数学期望即可； （2）由题意可得n道试题中只有1道得到2分，所以，利用错位相减法求和即可； （3）设得到1分的人数为，则得到的总分为，利用二项分布的概率公式列不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意知得分总数的所有可能取值为4，5，6，7，8， 其中，， ，， ， 所以的分布列为 4 5 6 7 8 . 【小问2详解】 因为n道题得分总数为，所以其中只有1道题得到2分， 所以， 则， 所以， 两式相减得 ， 所以． 【小问3详解】 在这20名学生中，设得到1分的人数为，则得到2分的人数为， 所以得到的总分， 此时得到的总分的概率为， 所以，整理得，解得， 而，，所以，所以， 所以若王老师按照这20人的总分概率最大为依据，一分奖励一朵小红花，王老师应该提前准备25朵小红花比较合理. 19. 已知函数． （1）当时，证明：有且仅有一个零点； （2）若曲线与相切． （ⅰ）求a； （ⅱ）当时，证明：． 【答案】（1） 当时，，显然是增函数， 而，故在区间上有零点， 结合的单调性可知，在R上有且仅有一个零点． （2）（ⅰ）； （ⅱ）设，则， 由可知，设， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，故， 于是． 【解析】 【分析】（1）根据已知，根据其单调性结合零点存在性定理，即可证； （2）（i）利用导数几何意义求切线方程，由切线重合列方程求参数；（ii）设并应用导数研究函数值符号，即可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）不妨记切点为，则， 由， 故切线方程为， 即， 令其与重合，故， 则， 若，显然有，这与题设条件矛盾， 若，由可知二者不在处相切，矛盾， 故，于是，经验证符合题意， 综上，； （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西充中学2026级高三数学1月月考试题 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（    ） A. B. C. D. 40 3. 已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知、、是直线，是平面，且，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于，则该等比数列的第4项等于（ ） A. 16 B. 8 C. D. 7. 若直线与圆有两个交点，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ） A. B. 的图象关于中心对称 C. 在上单调递增 D. 将的图象向右平移个单位后关于原点对称 10. 下列说法中，正确的是（   ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 已知随机变量服从正态分布，若，则 C. 已知，为随机事件，，，若，相互独立，则 D. 样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 11. 在正三棱台中，，，且等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有（ ） A. 正三棱台的高为 B. 正三棱台的体积为 C. 与平面所成角的正切值为1 D. 正三棱台外接球的表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的第5项的系数是_____．（用数字作答） 13. 若直线是曲线的一条切线，则__________. 14. 已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求A； （2）若，求. 16. 已知抛物线的焦点为上动点到点的最小距离为1. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，，求的值. 17. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）求证：平面PAB； （2）求二面角的大小． 18. 2025年政府工作报告明确提出持续推进“人工智能+”行动.上海某人工智能实验室的多模态大模型在某次数学测评中表现特别突出，所有测评试题能得1分的可能性为，能得2分的可能性为，假设每道试题得分情况相互独立. （1）从所有测评试题中随机抽取4道试题，记这4道题得分总数为，求的分布列和数学期望； （2）从所有测评试题中随机抽取n道试题，记这n道题得分总数为的概率为，求的值； （3）已知王老师班有20名学生分别用模型解答该数学测评中最后一题.若王老师按照这20人的总分概率最大为依据，一分奖励一朵小红花，请问王老师应该提前准备多少朵小红花比较合理？ 19. 已知函数． （1）当时，证明：有且仅有一个零点； （2）若曲线与相切． （ⅰ）求a； （ⅱ）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $