寒假预习——三角形的分类（讲义）-2025-2026学年四年级下册数学人教版

2025-2026学年四年级下册数学人教版寒假预习讲义 【三角形的分类】 【知识精讲+例题讲解+提升练习】 学习寄语 亲爱的同学们，当你拿起三角尺画垂线，戴上红领巾参加升旗仪式，观察自行车的三角车架时，有没有发现它们都是三角形家族的成员？今天我们要一起给三角形家族“分分类”，从角和边两个维度探索它们的不同特点，学会用分类的眼光认识图形，成为三角形的“分类小专家”！ 二、知识点梳理（详细版） 三角形的分类主要有两种标准：按角的大小分类、按边的长短分类，以下是核心知识点： 知识精讲 1. 按角的大小分类 （1）分类标准 根据三角形内角的类型（锐角、直角、钝角）进行划分，结合三角形内角和为180°的特点，每个三角形最多只能有1个直角或钝角。 （2）具体类别及特点 类别 定义与核心特点 举例 锐角三角形 三个内角都是锐角（小于90°）的三角形 三角尺中三个角为60°、60°、60°的三角形 直角三角形 有一个内角是直角（等于90°），另外两个内角为锐角的三角形 常见的直角三角尺（90°、30°、60°） 钝角三角形 有一个内角是钝角（大于90°且小于180°），另外两个内角为锐角的三角形 红领巾（钝角约120°，两个底角约30°） （3）集合关系 所有三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类，三者是并列关系，无重叠。 2. 按边的长短分类 （1）分类标准 根据三角形三条边的长度关系（相等或不等）进行划分。 （2）具体类别及特点 类别 定义与核心特点 关键点提示 不等边三角形 三条边长度都不相等的三角形 无特殊边、角的对应关系 等腰三角形 有两条边长度相等的三角形，相等的边叫“腰”，第三条边叫“底”；两腰的夹角叫“顶角”，腰与底的夹角叫“底角” 等腰三角形的两个底角相等 等边三角形 三条边长度都相等的三角形，也叫正三角形；三个内角都是60° 等边三角形是特殊的等腰三角形（因为满足“有两条边相等”的条件） （3）集合关系 等腰三角形包含等边三角形，不等边三角形与等腰三角形是并列关系。 3. 易错点提示 （1）按角分类时，必须看三个角的整体情况：只有三个角都是锐角才是锐角三角形，只要有一个直角/钝角就对应直角/钝角三角形。 （2）等边三角形属于等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，二者是包含与被包含的关系。 例题讲解 【典型例题1】按角分类的基础判断 题目：请根据给出的内角，判断下面三角形的类型： (1) 三角形内角：65°、70°、45° (2) 三角形内角：90°、40°、50° (3) 三角形内角：110°、35°、35° 分析：紧扣按角分类的标准，判断是否有直角、钝角，或三个角均为锐角。 解答： (1) 三个角均小于90°，是锐角三角形； (2) 有一个角是90°，是直角三角形； (3) 有一个角大于90°小于180°，是钝角三角形。 【跟踪练习1】 判断下面三角形的类型（按角分）： (1) 三角板中三个角为45°、45°、90°的三角形：_______ (2) 三个内角均为60°的三角形：_______ (3) 内角为105°、25°、50°的三角形：_______ 【典型例题2】按边分类的进阶识别 题目：请根据给出的边长，判断下面三角形的类型（按边分），并说明理由： (1) 边长：3cm、4cm、5cm (2) 边长：6cm、6cm、8cm (3) 边长：7cm、7cm、7cm 分析：按边分类的核心是看边的相等情况，注意等边三角形是特殊的等腰三角形。 解答： (1) 三条边长度都不相等，是不等边三角形； (2) 有两条边长度相等（6cm=6cm），是等腰三角形； (3) 三条边长度都相等，是等边三角形（同时也属于等腰三角形）。 【跟踪练习2】 (1) 一个等腰三角形的腰长是5cm，底长是7cm，它的两条腰的长度和是_______cm； (2) 判断：“所有等腰三角形都是等边三角形”这句话是否正确？说明理由：_______ (3) 边长为4cm、5cm、4cm的三角形是_______三角形。 【典型例题3】综合分类与生活应用 题目： (1) 自行车的三角车架是一个等腰三角形，其中两条边的长度分别是5dm和10dm，这个三角车架的周长是多少？（提示：结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断腰长） (2) 红领巾按角分属于什么类型？按边分呢？ 分析：第(1)题需先利用三边关系确定腰长，再计算周长；第(2)题结合生活常识判断三角形的角和边的特点。 解答： (1) 若腰长为5dm，则5+5=10dm，不满足“两边之和大于第三边”，因此腰长只能是10dm。 周长：10+10+5=25（dm） 答：这个三角车架的周长是25dm。 (2) 红领巾有一个钝角，两个底角相等，因此按角分是钝角三角形，按边分是等腰三角形。 【跟踪练习3】 (1) 一个等腰三角形的周长是20cm，底长是8cm，它的腰长是多少cm？ (2) 找出生活中1种三角形物品，分别说出它按角分和按边分的类型： 物品：，按角分：，按边分：_______ 提升练习 一、填空题 1．数一数，下面的图形中一共有　 　个钝角三角形，有　 　个锐角三角形。 2．一个等边三角形三条边的和是30厘米，那么它的一条边长是　 　厘米，其中一个内角的度数是　 　°。 3． 一个等腰三角形的一条边是4cm，另一条边是9cm，则第三条边是　 　cm。 4．有7根小棒，分别为4厘米、5厘米、5厘米、6厘米、7厘米、10厘米、11厘米，用其中3根作为等腰三角形的边，可以搭出　 　种不同的等腰三角形。 二、判断题 5．任何一个三角形中至少有两个锐角。 (　　) 6．一个三角形最多有一个钝角或直角。(　　) 7．一个三角形的两个锐角之和小于90°，这个三角形是钝角三角形。(　　) 8．用6cm、6cm、11cm的三根小棒首尾相连可以围成一个等腰三角形。 (　　) 三、选择题 9．下面关于图形关系的描述，正确的是(　　)。 A．等腰三角形是特殊的等边三角形 B．长方形是特殊的平行四边形 C．等腰三角形都是锐角三角形 D．梯形是特殊的平行四边形 10． 关于三角形，下列说法不正确的是 (　　)。 A．等边三角形三个角都是60° B．钝角三角形有2个锐角 C．一个三角形有两条边分别是9cm 和 6cm， 第三条边肯定大于15cm D．一个等腰三角形既可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形 11．一个等腰三角形的周长是34厘米，其中一条边是8厘米。这个等腰三角形的一条腰长是 (　　)。 A．8厘米 B．13厘米 C．8厘米或13厘米 D．无法确定 12．知识之间有些密切的联系。下列关系不能用下图表示的是 (　　)。 A．①长方形②正方形 B．①等腰三角形②等边三角形 C．①四边形②平行四边形 D．①平行②垂直 四、解决问题 13．在学习三角形按角的特征分类时，曲米的想法如下，你认为他说得对吗？为什么？ 14．桌面上有一些三角形卡片，这些三角形中一共有 36 个锐角，5个钝角，4个直角，那么一共有多少个锐角三角形？ 15．小明想把一根12厘米长的小棒剪成能围成三角形的三段(每段长均为整数厘米），一共有几种情况？其中等腰三角形（等边三角形除外）的三条边长分别是几厘米？ 答案解析部分 【跟踪练习1答案及解析】 (1) 直角三角形；解析：有一个角是90°，符合直角三角形的定义。 (2) 锐角三角形；解析：三个角都是60°（锐角），属于锐角三角形（同时也是等边三角形）。 (3) 钝角三角形；解析：有一个角是105°（钝角），符合钝角三角形的定义。 【跟踪练习2答案及解析】 (1) 10；解析：等腰三角形两条腰长度相等，5+5=10cm。 (2) 不正确；解析：等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形只需两条边相等，不一定三条边都相等，因此不是所有等腰三角形都是等边三角形。 (3) 等腰；解析：有两条边长度相等（4cm=4cm），属于等腰三角形。 【跟踪练习3答案及解析】 (1) 腰长：(20-8)÷2=6（cm）；解析：等腰三角形周长=腰长×2+底长，因此腰长=(周长-底长)÷2，代入数值计算得6cm。 (2) 示例：三角尺（90°、60°、30°）；按角分：直角三角形；按边分：不等边三角形。（答案不唯一，符合生活实际即可） 【提升练习】 1．6；3 2．10；60 3．9 4．3 5．正确 6．正确 7．正确 8．正确 9．B 10．C 11．B 12．D 13．答：我认为他说得对。因为锐角三角形最大的角是锐角，直角三角形最大的角是直角，钝角三角形最大的角是钝角，所以只要看最大的那个角就可以判断是什么三角形了。 14．解：36-(5+4)×2 =36-9×2 =36-18 =18(个) 18÷3=6(个) 答：一共有6个锐角三角形。 15．解：12÷2＋1=7（厘米） 2＋5＋5=12（厘米） 3＋4＋5=12（厘米） 4＋4＋4=12（厘米） 答：一共有3种情况，其中等腰三角形（等边三角形除外）的三条边长分别是2厘米、5厘米、5厘米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $