专题03 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型（几何模型讲义）数学浙教版九年级下册

专题03 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.内切圆模型 6 模型2.外接圆模型 12 18 古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础‌。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。 内切圆‌是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。 外接圆‌是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。 （24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ．． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径；(2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 【答案】(1)；(2)2． 【详解】（1）解：如图2，连接．    ，；； （2），，，． 是的内切圆，，，， ，∴设，则， ，，即（，解得，， ，，． （24-25九年级上·湖南长沙·校考期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：∵点E是的内心，∴平分，∴，故①正确； 设外接圆圆心为O，连接，则垂直平分， ∵点G为的中点，∴点G为与的交点，即，故②正确； ∵，∴， ∵点E是的内心，∴，， ∴，故③错误； ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，故④正确， 综上，正确的有3个，故选：B． 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴，即r= 图1 图2 图3 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 4）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 图1 图2 图3 5）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 6）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 模型1.内切圆模型 例1（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，是的内心，连接、，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理， 求出，得出，最后根据三角形内角和定理求出即可．熟练掌握三角形内角和定理的运用是解题的关键． 【详解】解：为的内心， ，， ∵， ∴， ， ， ∴． 故选：． 例2（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，点O是的外心，点I是的内心，连接、、，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形的外心与内心、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，根据三角形内心的定义可得，则，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵点O是的外心， ∴， ∵点I是的内心，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：C． 例3（25-26九年级上·福建福州·期中）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理．由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵点为的外心，， ∴， ∴， ∵点为的内心， ∴， ∴， 故选：D． 例4（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，锐角内接于，I为内心，已知，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内心的性质，三角形内角和定理等，根据等腰三角形的性质求出的度数是解决问题的前提．根据及的度数，求出，可知，由为内心，得、为、的平分线，则有，即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为内心， ∴、为、的平分线， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 例5（24-25九年级上·江苏泰州·月考）解答下列问题      (1)【尺规作图】如图，利用无刻度直尺和圆规，作出的内心；（保留作图痕迹） (2)【习题再现】完成原习题；（教材第题）如图，是的内心，的延长线交的外接圆于点．和相等吗？为什么？ (3)【逆向思考】如图，为内一点，的延长线交的外接圆于点．若，求证：为的内心． 【答案】(1)作图见解析； (2)，理由见解析； (3)见解析． 【分析】（）根据题意作出和的角平分线，两条平分线的交点即为的内心； （）根据圆周角定理和三角形外角的性质即可得出结论； （）连接，由，得，故可得出平分，再由，可知，通过三角形的外角可求出平分，从而问题得证． 【详解】（1）如图，      以点为圆心，以适当长度为半径画弧，交，于点和， 以点和点为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧交于点，作射线， 以点为圆心，以适当长度为半径画弧，交，于点和， 以点和点为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧交于点，作射线， ∴射线和射线交于点， ∴点即为的内心； （2），理由： 如图，连接，      ∵是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∵，是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，      ∵， ∴， ∴，即平分， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴，即平分， ∴为的内心． 【点睛】此题考查了三角形内心的定义，圆周角定理的推论，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内心的定义，圆周角定理的推论是解答本题的关键． 模型2.外接圆模型 例1（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，是的外接圆，且为的直径，点为的内心，的延长线交于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关定理及推论是解题的关键． 连接，交于点，作于点，证明，得到，根据是直径得出，证明是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理得出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，交于点，作于点， ∵点为的内心， ∴是的角平分线，是的角平分线，即，， ∴， ∴， ∵是直径得出， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：C． 例2（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，既是等边的内切圆又是等边的外接圆，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了内切圆和外接圆，等边三角形的性质，勾股定理，垂径定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 设与边相切于点，连接，过作交于点，则，，然后由等边三角形的性质可得，，再根据既是等边的内切圆又是等边的外接圆，得，则，设，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设与边相切于点，连接，过作交于点， ∴，， 又∵与都是等边三角形， ∴，， ∵既是等边的内切圆又是等边的外接圆， ∴， ∴， ∵设， ∴，， 由勾股定理得：，， ∴，， ∴， 故选：． 例3（2025·河南郑州·三模）如图，为的外接圆，过点B的切线与的延长线交于点A．若，的半径为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的性质，圆心角是圆周角的2倍，解直角三角形，扇形的面积公式，掌握知识点是解题的关键． 连接，求出，的度数，继而求出的度数，利用正切可求出，再根据扇形和直角三角形的面积公式，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵，是的切线， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选D． 例4（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，点为的内心，连接交的外接圆于点，若，点为弦的中点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，延长到M，使得，连接．求出，证明是的中位线即可解决问题； 【详解】解：延长到M，使得，连接． ∵I是的内心， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 故答案为：． 例5（24-25九年级下·吉林·月考）[感知]如图①，为等边的外接圆．为的直径，线段与交于点E，探究线段的数量关系． 小明同学的做法是：过点C作的垂线交延长线于点F，连接．易证．进而得出，．则线段的数量关系是： ______． [探究]如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，D为弧上一点，于E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由． [应用]如图③，是的外接圆，是直径，．点D在上，且点D与点C位于线段两侧，过点C作线段的垂线，交线段于点E，若点E为的三等分点，则的值为______． 【答案】[感知] ；[探究] 上述结论成立，证明见解析；[应用] 【分析】本题主要考查了圆的综合题，涉及了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质： [感知] 过点C作的垂线交延长线于点F，连接，证明，，即可求解； [探究] 过点C作的垂线交延长线于点G，连接，证明，，即可求解； [应用] 过点C作的垂线交延长线于点H，可证明四边形是矩形，再由四边形是的内接四边形，可证明，可证得，从而得到，，可证明四边形是正方形，从而得到，即可求解． 【详解】解：[感知]过点C作的垂线交延长线于点F，连接， ∵为等边的外接圆， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： [探究] 上述结论成立，证明如下： 如图，过点C作的垂线交延长线于点G，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； [应用]如图，过点C作的垂线交延长线于点H， ∵是直径，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点E为的三等分点，点D与点C位于线段两侧， ∴， 设，则， ∴， ∴； 故答案为： 1．（2025·河北石家庄·一模）如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与内切圆的概念、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，连接，由，可得，根据三角形内角和求出，根据圆周角定理求出，由点I是的内心，得． 【详解】解：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴平分， ∴， 故选：D． 2．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，内接于，是的直径，，点是的内心，的延长线交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，直角三角形的性质，由三角形内心的定义可得，由圆周角定理得，即可得，进而可得，再根据圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点是的内心， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，四边形内接于，点I是的内心，，点E在的延长线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心，圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理以及邻补角，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．由点是的内心知、，从而求得，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案． 【详解】解：∵点是的内心， ∴、， ∵， ∴ ， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故选：D． 4．（24-25九年级下·湖北武汉·期中）如图，为直径，为下半圆上一点，的平分线交于，，是的内心．当点从点运动到点时，走过的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形内切圆的定义，三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，所以的内心是和的角平分线的交点，根据三角形外角的性质可知，从而可知点在以点为圆心且半径长为的上运动，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如下图所示，连接， 为的直径， ， 的平分线交于， ， ， 是的内心， 平分， ， ，， ， ， 点在以点为圆心且半径长为的上运动，该弧所对的圆心角为， ， 走过的路径长为， 故选：B． 5．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题． 【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，， 在中，，，内心为I， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，点I为的内心，连接并延长，交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（    ） A．5 B．4.5 C．4 D．3.5 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，延长到，使，连接．通过内心和圆周角可得，进而得到，根据勾股定理求出，证明是的中位线即可解决问题． 【详解】解：延长到，使，连接， 是的内心， ，， ，，， ， ， ， ∴， ∵， ， ∵，， ， ， ，即点为的中点， ， 是的中位线， ， 故选：C． 7．（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，是的外接圆，过点A作的切线，交的延长线于点P，交于点D，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质： 圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系. 连接, 作于, 如图, 则，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，再利用切线的性质得则所以 ，利用等腰三角形的性质得然后计算出和，最后利用三角形面积公式计算. 【详解】连接, 作于, 如图, 则 ， ， ∵为切线， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， 在中, 的面积， 故选：D. 8．（24-25九年级下·重庆长寿·期中）如图，中，，，，是的外接圆，D为圆上一点，连接且，过点C作的切线与的延长线交于点E，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，切线的性质．连接，根据切线的性质可得，再由直角三角形的性质可得，，再由，可得，然后根据，可得到，从而得到，进而得到，然后根据 直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：D 9．（24-25九年级上·山东淄博·月考）如图，在中，若点O为外心，，若点I为的内心，求 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内心和外接圆的应用，注意：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半．根据圆周角定理得到，由点I为的内心得到，由三角形内角和等于可知，，即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵与分别是所对的圆周角与圆心角， ∴， ∵点I为的内心， ∴，分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 由三角形内角和等于可知， ，， ∴， 代入得． 故答案为： 10．（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图，内接于，为的直径，I为的内心，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内心的应用，勾股定理等知识， 延长交于点，连接，证明求出的长，再通过角的关系可以，进而求证直角三角形为等腰直角三角形，求得的长，的长，利用勾股定理求出的长，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 中，为三个角平分线的交点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 据勾股定理可得，， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是外接圆，为上一点，若经过的内心，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】设交于点F，连接，作于点L，则，因为I是的内心，求得，再求得，证明和，根据相似三角形的性质列式，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F，连接，作于点L，则， ∵I是的内心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 同理， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形的外接圆与外心、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，内接于，是的直径，I是的内心，连接，并延长交于点D，若，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内心、圆内接三角形、圆的性质和勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题连接，，，，过点分别作于，于，于，根据内心可得，，，再通过直角三角形的知识和等量变化可证得，在中，可求得，设，则，然后再根据， ，可求得，然后即可求解； 【详解】解：连接，，，，过点分别作于，于，于，如图： ∵点是的内心， ∴，，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ 在中，，， ∴， ∴， 又∵， ∴设，则， ∵， ， ∴， 解得： 或0(舍去)， ∴， ∴， 故答案为：5 13．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，点I为的内心，连接并延长，交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为 ． 【答案】4 【分析】延长到，使，连接．通过内心和圆周角可得，进而得到，根据勾股定理求出，证明是的中位线即可解决问题． 【详解】解：延长到，使，连接， 是的内心， ，， ，，， ， ， ， ∴， ∵， ， ∵，， ， ， ，即点为的中点， ， 是的中位线， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线． 14．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点．若，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】连接并延长，交于点，连接，如图所示，证垂直平分，再由圆周角定理、切线的性质，推出四边形为矩形，可知，进而由勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：连接并延长，交于点，连接，如图所示： ， 垂直平分， ， 为的切线， ， 为的直径， ， ∴四边形为矩形， ， ， ∴， 设的半径为， 则， 在中，由勾股定理得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、中垂线的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、解方程等知识．熟练掌握圆的相关性质，并灵活运用相关几何判定与性质求解是解决问题的关键． 15．（2025·浙江宁波·一模）如图，在边长为4的正方形中，点为对角线上一点．若的外接圆与边相切，则的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质、正方形的性质、垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设与边相切于点，连接并延长交于点，连接，利用切线的性质得到，根据正方形的性质得到，，，得到，利用垂径定理得到，通过证明四边形是矩形，得到，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可． 【详解】解：如图，设与边相切于点，连接并延长交于点，连接， 与边相切， ， 边长为4的正方形， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 的半径长为． 故答案为：． 16．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，的平分线交的外接圆于点，点E是的内心，连接，则 度． 【答案】55 【分析】本题考查三角形的内角和定理、三角形的内心、外心的性质及圆周角定理，熟知相关性质是正确解决本题的关键．根据求出的度数，再利用角平分线的定义及圆周角定理求出的度数． 【详解】解： ， 平分， ， ， 点E是的内心， ， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·江苏南京·期中）解答下列问题 (1)【习题再现】完成原习题；（教材P74 第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．和相等吗？为什么？ (2)【逆向思考】如图②，I为内一点，的延长线交的外接圆于点D．若，求证：I为的内心． (3)【迁移运用】如图③，利用无刻度直尺和圆规，作出的内心I．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）如图①，连接．首先根据三角形内心的概念得到，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，然后通过角度之间的转化即可证明，进而得到； （2）连接．首先根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据得到，然后根据角度之间的转化得到，即可证明出I为的内心； （3）根据题意作出和的角平分线，两条平分线的交点即为的内心I． 【详解】（1）证明：如图①，连接． ∵I是的内心， ∴． ∵是所对的圆周角， ∴． ∴． 根据角之间的关系可得． 又∵是的一个外角， ∴． ∴． ∴； （2）证明：连接． ∵， ∴． ∴． 即平分． ∵， ∴． ∵是的一个外角， ∴． ∵， ∴，即平分． ∴I为的内心； （3）文字说明：①以点B为圆心，以适当长度为半径画弧，交，于点M和N， ②以点M和点N为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧交于点H，作射线， ③以点C为圆心，以适当长度为半径画弧，交，于点E和F， ④以点E和点F为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧交于点G，作射线， ∴射线和射线交于点I， ∴点I即为的内心． 画图如下： 【点睛】本题考查了三角形内心的定义，圆周角定理的推论，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内心的定义，圆周角定理的推论是解答本题的关键． 18．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）是的内接三角形，是的内心，连接交于点，连接、，根据内心的定义，我们很容易证明，根据题设回答以下问题． (1)如图，若关于的对称点恰巧落在上，连接、，则的度数是________． (2)如图，若点、、在一条直线上，且，，求的内心和外心之间的距离． (3)如图，在（）的条件下，是弦弦长线上的一个动点，连接交于点，若，是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的内心和外心之间的距离； (3)为定值，，理由见解析． 【分析】（）根据题意得，又四边形是圆内接四边形，则，再通过即可求解； （）连接，过作于点，过作于点，设与交于点，则，再通过垂径定理得，设半径为，则，又是的内心，则，通过，求出，最后由线段和差即可求解； （）连接，，，，，设与交于点，证明是等边三角形，，在中，由勾股定理得，求出，，然后根据圆内接四边形和邻补角定义得出，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的对称点恰巧落在圆上， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，连接，过作于点，过作于点，设与交于点， ∵点、、在一条直线上， ∴， ∴，， ∴由勾股定理得：， 设半径为， 由勾股定理定理：， ∴， ∴， ∴， ∵是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴的内心和外心之间的距离； （3）解：为定值，，理由， 如图，连接，，，，，设与交于点， 由（）得：， ∵是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，三角形的内心和外心，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 19．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，点是的内心，的延长线与相交于点，与的外接圆相交于点，，连接． (1)求证：； (2)求的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内心的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据内心的定义可得，由同弧所对的圆周角相等可推出，则可证明，得到； （2）可求出的长，则可求出的长，证明，得到，据此代值计算即可． 【详解】（1）证明：点是的内心， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 20．（25-26九年级上·全国·期末）如图，点是的内心，的延长线交于点，交的外接圆于点，连接，过点作直线，使； (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据三角形内心的性质得出，然后利用同弧所对的圆周角相等进行等量转换，得出，，可得即可证得结论； （2）利用相似三角形的判定以及性质即可得解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵点是的内心， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵为半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∴， 又∵（公共角）， ∴， ∴，即， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线的证明，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定和性质，相似三角形的判定与性质． 21．（2025·四川达州·一模）如图1，是的内接三角形，是的内心，连接并延长交于点、交于点，连接、、，已知． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图2，若为的直径，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形的内心，勾股定理等，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． （1）由三角形内心的性质得出，．根据圆周角定理的推论得出，从而得出，最后根据三角形外角性质可求出，即可证是等腰三角形； （2）由直径所对圆周角为直角结合勾股定理可得，．由是的内心，易证，即得出，代入数据即得出．再证明，即得出，即，代入数据即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵是的内接三角形，是的内心， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即是等腰三角形； （2）解：∵为的直径， ∴， ∴，． ∵是的内心， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， 解得：． 22．（24-25九年级上·广西南宁·月考）【感知】如图①点均在上，，则的大小为______度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接．求证：．小明发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 四边形是的内接四边形，， ， 是等边三角形，， ．请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连接，若，求的值． 【答案】45；见解答；． 【分析】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． （1）根据圆周角定理即可得出答案； （2）先构造出，得出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； （3）先构造出，进而判断出，进而得出是等腰直角三角形，即可得出结论； 【详解】（1）解：， （在同圆中，同弧所对的圆周角相等）， 故答案为：45； （2）证明：延长至点，使，连接． 四边形是的内接四边形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形， ； （3）解：如图③， 延长至点，使，连接． 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 23．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分． (1)若，求的度数； (2)若点是弦上一点，且点E是的内心，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查圆周角定理的推论，三角形内心的定义，三角形外角的性质，等腰三角形的判定． （1）由同弧所对圆周角相等可推出，由直径所对圆周角为直角可得出，即可由求解； （2）由三角形内心的定义得出，由角平分线的定义得出．由同弧所对圆周角相等可推出，再结合三角形外角性质即得出，即． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，点E是的内心， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，点E是中的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，过D作直线． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，圆周角定理． （1）连接交于点H，连接，由的内心得到，再由得到，即可证明； （2）连接，证出，得到，在中，，求出．在中，，解得，即可求出． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点H．连接， ∵点E是的内心， ∴平分， ∴，    ，     ∴，         ∴．         ∵， ∴．         又是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接． ∵点E是的内心， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴ 由(1)得，， ∵， ∴． ∵，， ∴． 在中， ∴， 解得． 在中， ， ∴， 解得， ∴的半径为5． 25．（2025·四川乐山·中考真题）如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结、、，． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由垂径定理得到，则，再导角证明，则，即可证明； （2）可证明四边形是平行四边形，则，，然后解求出，连接，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由即可求解． 【详解】（1）证明：∵直径垂直于弦， ∴，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴为的切线； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 连接，如图： 设，则 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 26．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)若，，求外接圆的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查了三角形的内心、圆周角定理、勾股定理、弧与弦的关系等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． （1）先根据三角形内心的定义可得，，再根据圆周角定理可得，然后证出，根据等腰三角形的判定即可得证； （2）连接，先根据圆周角定理可得是的直径，，再求出，然后在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵是的内心， ∴，， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵是的外接圆，且， ∴是的直径， ∴， ∵是的内心， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴外接圆的半径为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.内切圆模型 6 模型2.外接圆模型 12 18 古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础‌。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。 内切圆‌是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。 外接圆‌是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。 （24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ．． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径；(2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． （24-25九年级上·湖南长沙·校考期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴，即r= 图1 图2 图3 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 4）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 图1 图2 图3 5）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 6）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 模型1.内切圆模型 例1（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，是的内心，连接、，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例2（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，点O是的外心，点I是的内心，连接、、，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例3（25-26九年级上·福建福州·期中）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例4（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，锐角内接于，I为内心，已知，则的度数为 ． 例5（24-25九年级上·江苏泰州·月考）解答下列问题      (1)【尺规作图】如图，利用无刻度直尺和圆规，作出的内心；（保留作图痕迹） (2)【习题再现】完成原习题；（教材第题）如图，是的内心，的延长线交的外接圆于点．和相等吗？为什么？ (3)【逆向思考】如图，为内一点，的延长线交的外接圆于点．若，求证：为的内心． 模型2.外接圆模型 例1（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，是的外接圆，且为的直径，点为的内心，的延长线交于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 例2（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，既是等边的内切圆又是等边的外接圆，则（   ） A． B． C． D． 例3（2025·河南郑州·三模）如图，为的外接圆，过点B的切线与的延长线交于点A．若，的半径为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 例4（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，点为的内心，连接交的外接圆于点，若，点为弦的中点，连接，若，则的长为 ． 例5（24-25九年级下·吉林·月考）[感知]如图①，为等边的外接圆．为的直径，线段与交于点E，探究线段的数量关系． 小明同学的做法是：过点C作的垂线交延长线于点F，连接．易证．进而得出，．则线段的数量关系是： ______． [探究]如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，D为弧上一点，于E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由． [应用]如图③，是的外接圆，是直径，．点D在上，且点D与点C位于线段两侧，过点C作线段的垂线，交线段于点E，若点E为的三等分点，则的值为______． 1．（2025·河北石家庄·一模）如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，内接于，是的直径，，点是的内心，的延长线交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，四边形内接于，点I是的内心，，点E在的延长线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·湖北武汉·期中）如图，为直径，为下半圆上一点，的平分线交于，，是的内心．当点从点运动到点时，走过的路径长为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，点I为的内心，连接并延长，交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（    ） A．5 B．4.5 C．4 D．3.5 7．（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，是的外接圆，过点A作的切线，交的延长线于点P，交于点D，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25九年级下·重庆长寿·期中）如图，中，，，，是的外接圆，D为圆上一点，连接且，过点C作的切线与的延长线交于点E，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D． 9．（24-25九年级上·山东淄博·月考）如图，在中，若点O为外心，，若点I为的内心，求 ． 10．（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图，内接于，为的直径，I为的内心，连接．若，则的长为 ． 11．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是外接圆，为上一点，若经过的内心，且，则的值为 ． 12．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，内接于，是的直径，I是的内心，连接，并延长交于点D，若，，则 ． 13．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，点I为的内心，连接并延长，交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为 ． 14．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点．若，，则的半径为 ． 15．（2025·浙江宁波·一模）如图，在边长为4的正方形中，点为对角线上一点．若的外接圆与边相切，则的半径长为 ． 16．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，的平分线交的外接圆于点，点E是的内心，连接，则 度． 17．（24-25九年级上·江苏南京·期中）解答下列问题 (1)【习题再现】完成原习题；（教材P74 第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．和相等吗？为什么？ (2)【逆向思考】如图②，I为内一点，的延长线交的外接圆于点D．若，求证：I为的内心． (3)【迁移运用】如图③，利用无刻度直尺和圆规，作出的内心I．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 18．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）是的内接三角形，是的内心，连接交于点，连接、，根据内心的定义，我们很容易证明，根据题设回答以下问题． (1)如图，若关于的对称点恰巧落在上，连接、，则的度数是________． (2)如图，若点、、在一条直线上，且，，求的内心和外心之间的距离． (3)如图，在（）的条件下，是弦弦长线上的一个动点，连接交于点，若，是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 19．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，点是的内心，的延长线与相交于点，与的外接圆相交于点，，连接． (1)求证：； (2)求的长； 20．（25-26九年级上·全国·期末）如图，点是的内心，的延长线交于点，交的外接圆于点，连接，过点作直线，使； (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求长． 21．（2025·四川达州·一模）如图1，是的内接三角形，是的内心，连接并延长交于点、交于点，连接、、，已知． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图2，若为的直径，求线段的长度． 22．（24-25九年级上·广西南宁·月考）【感知】如图①点均在上，，则的大小为______度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接．求证：．小明发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 四边形是的内接四边形，， ， 是等边三角形，， ．请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连接，若，求的值． 23．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分． (1)若，求的度数； (2)若点是弦上一点，且点E是的内心，求证：． 24．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，点E是中的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，过D作直线． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 25．（2025·四川乐山·中考真题）如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结、、，． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的长． 26．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)若，，求外接圆的半径． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $