专题02 集合之间的关系 - （高教版）基础模块上册

专题02 集合之间的关系 一、知识梳理 （1）子集 一般地, 如果集合A的每一个元素都是集合B的元素, 则称集合A是集合B的子集, 记作A ⊆ B(或B ⊇ A), 读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 任何一个集合都是它本身的子集，即 Ａ⊆Ａ. 空集是任何集合的子集，即 ∅⊆Ａ. （2）真子集 一般地, 如果集合A是集合B的子集, 并且集合B中至少有一个元素不属于集合A, 则称集合A是集合B的真子集, 记作, 读作“A真包含于B”或“B真包含A”． 空集是任何非空集合的真子集∅. （3）相等 一般地，如果集合A的元素与集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B. （4）空集：不含任何元素的集合称为空集,记作∅,空集∅也是有限集. （5）若集合A中有n个元素，则子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-1个. 二、题型精练 题型1 子集 【典例1】．下列结论正确的是（   ） A．任何集合都有子集 B．任何集合都有真子集 C． D． 【典例2】．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】．下列结论正确的是（   ） A． B．空集没有子集 C． D．空集是任何集合的子集 题型2 真子集 【典例1】．下列说法正确的是（    ） A．任何集合是它本身的子集 B．空集是任何集合的真子集 C．任何集合至少有两个子集 D．任何集合是它本身的真子集 题型3 相等 【典例1】．已知集合，，，，则下列关系式正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】．若集合，则（   ）. A．1 B．2 C． D． 题型4 空集 【典例1】．下列4个命题： ①空集没有子集； ②空集是任何一个集合的真子集； ③空集的元素个数为零； ④任何一个集合必有两个或者两个以上的子集 其中命题正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【典例2】．下列集合中，是的是（   ） A． B． C． D． 题型5 集合个数 【典例1】．集合的真子集个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【典例2】．集合的所有子集是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．已知集合，，则的子集的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、知识检测 单选题 1．下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．集合的真子集的个数为（   ） A． B． C． D． 3．若集合，，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 4．设集合，集合，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 5．集合，则实数a的范围是（     ） A． B． C． D． 6．下列命题中，①；②；③集合集合，则集合；④，集合，则其中正确命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．集合的非空真子集的个数是（ ） A．6 B．8 C．7 D．4 8．已知集合，集合，且，则 等于（   ） A． B．1 C． D．2 9．已知集合，集合，若，则的取值为（     ） A．2 B． C．0 D．0，或2 10．已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．2或4 填空题 11.集合，集合，若，则 . 12．已知集合，，则集合的子集个数为 ． 13．若集合，，则，准确的关系是 ． 14．已知，若集合，则 . 15．用符号“”“”“”“”或“”填空． （1）0 ；            （2） ； （3） ；            （4） 是8的约数． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 集合之间的关系 一、知识梳理 （1）子集 一般地, 如果集合A的每一个元素都是集合B的元素, 则称集合A是集合B的子集, 记作A ⊆ B(或B ⊇ A), 读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 任何一个集合都是它本身的子集，即 Ａ⊆Ａ. 空集是任何集合的子集，即 ∅⊆Ａ. （2）真子集 一般地, 如果集合A是集合B的子集, 并且集合B中至少有一个元素不属于集合A, 则称集合A是集合B的真子集, 记作, 读作“A真包含于B”或“B真包含A”． 空集是任何非空集合的真子集∅. （3）相等 一般地，如果集合A的元素与集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B. （4）空集：不含任何元素的集合称为空集,记作∅,空集∅也是有限集. （5）若集合A中有n个元素，则子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-1个. 二、题型精练 题型1 子集 【典例1】．下列结论正确的是（   ） A．任何集合都有子集 B．任何集合都有真子集 C． D． 【答案】A 【分析】根据子集的概念和性质逐项分析即可. 【详解】A.空集是任何集合的子集，所以任何集合都有子集正确， B.空集没有真子集，所以任何集合都有真子集错误， 空集不含有任何一个元素，，，故C，D错误， 故选：A. 【典例2】．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过解方程判断出集合A为空集，在判断出集合B不为空集，所以得出集合A为集合B的子集即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以此方程无解， 所以集合A为空集. 集合， 所以任何大于等于且小于等于0的数都在集合B里， 所以集合B不是空集， 所以集合A为集合B的子集， 即. 故选：D. 【典例3】．下列结论正确的是（   ） A． B．空集没有子集 C． D．空集是任何集合的子集 【答案】D 【分析】根据元素和集合的关系和集合和集合的关系易得答案. 【详解】因为，空集的子集是空集，故A，B，C错误； 空集是任何集合的子集，故D正确. 故选：D. 题型2 真子集 【典例1】．下列说法正确的是（    ） A．任何集合是它本身的子集 B．空集是任何集合的真子集 C．任何集合至少有两个子集 D．任何集合是它本身的真子集 【答案】A 【分析】根据子集和真子集的概念易得答案. 【详解】对于A：任何集合是它本身的子集，故正确； 对于B：空集是任何非空集合的真子集，故错误； 对于C：空集只有一个子集，故错误； 对于D：任何集合不是它本身的真子集，故错误. 故选：A. 题型3 相等 【典例1】．已知集合，，，，则下列关系式正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据集合相等的概念判断. 【详解】集合和的元素相同，只是顺序不同，故. 中元素是一个有序数对，表示一个点，坐标为. 中元素是另一个有序数对，表示一个点，坐标为. 由于有序数对的顺序不同，. 综上，且，因此正确答案是C． 故选：C． 【典例2】．若集合，则（   ）. A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的相等即可得解. 【详解】集合， 则，解得， 故选：. 题型4 空集 【典例1】．下列4个命题： ①空集没有子集； ②空集是任何一个集合的真子集； ③空集的元素个数为零； ④任何一个集合必有两个或者两个以上的子集 其中命题正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由空集的定义逐项判断命题即可. 【详解】对于①，空集是它自身的子集，故①错误； 对于②，空集是任何非空集合的真子集，故②错误； 对于③，由空集的定义，可得空集的元素个数为零，故③正确； 对于④，空集只有一个子集，就是它自身，故④错误. 故选：B. 【典例2】．下列集合中，是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义即可得解. 【详解】 在自然数集中仅有，集合为，不是空集，故不符合题意； 的解为，集合为，不是空集，故不符合题意； 不是空集，故不符合题意； 方程，，方程无解，因此为空集，故符合题意， 故选：. 题型5 集合个数 【典例1】．集合的真子集个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据题意，结合真子集的概念，即可判断求解. 【详解】集合的真子集有：，共3个. 故选：D. 【典例2】．集合的所有子集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】集合的所有子集：. 故选：D. 【典例3】．已知集合，，则的子集的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先求得，进而求得子集的个数. 【详解】=，因为， 所以=，有2个元素， 所以的子集的个数为个. 故选：D. 三、知识检测 单选题 1．下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据相同集合的概念逐个分析即可. 【详解】A.中元素为有序数对， 中元素为数字，所以元素不同， 所以不是同一集合，故A错误. B. 中元素为数字， 中元素为数字，所以元素相同， 以是同一集合，故B正确. C.中元素为有序数对， 中元素为，所以元素不同， 所以不是同一集合，故C错误. D. 中元素为有序数对， 中元素为有序数对，所以元素不同， 所以不是同一集合，故D错误. 故选：B. 2．集合的真子集的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合中有个个元素，则它的子集有个，真子集有个，代入计算即可． 【详解】∵集合，集合中共有3个元素， ∴集合的真子集个数为个 故选：C. 3．若集合，，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用列举法表示集合，再分析与的元素，即可解得. 【详解】，， 集合中的元素都在集合中，且, 即集合是集合的真子集，所以. 故选：A. 4．设集合，集合，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合之间的包含关系及交集，并集的定义逐项判断即可得解. 【详解】集合，集合， 因为，所以集合不存在包含关系，故错误； ，故错误，正确， ，故错误， 故选：. 5．集合，则实数a的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的判别式来分析集合为空集的条件即可求解. 【详解】由题可知， 方程无实根， 则，解得. 故选：A 6．下列命题中，①；②；③集合集合，则集合；④，集合，则其中正确命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据集合的元素特征、元素与集合、集合与集合之间的关系进行判断. 【详解】由于故①错误， 空集是任何集合的子集，故②正确， 由集合元素的无序性可知，故③正确， 因为，所以，故④正确， 综上所述②③④正确， 故选：D. 7．集合的非空真子集的个数是（ ） A．6 B．8 C．7 D．4 【答案】A 【分析】先确定集合的元素，再根据子集个数公式计算非空真子集的个数. 【详解】由于集合，根据集合元素个数与子集个数之间的关系， 当集合中有n个元素时其共有个子集，所以集合共有个子集， 除去空集和本身还剩个非空真子集，故选项A正确. 故选：A. 8．已知集合，集合，且，则 等于（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合相等的概念，即可求解. 【详解】因为集合，集合，且， 所以，即， 所以，解得. 当时，集合，，符合题意， 故选：B. 9．已知集合，集合，若，则的取值为（     ） A．2 B． C．0 D．0，或2 【答案】D 【分析】解方程得集合，由可知是的子集，分与两种情况讨论求解． 【详解】集合． 由可知是的子集． 若，则，符合题意； 若，即，则，需满足或，解得或． 综上，的值为0，或2． 故选：D. 10．已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．2或4 【答案】C 【分析】根据可知或，据此即可求解． 【详解】∵，， ∴或， ∴或， 故选：C． 填空题 11.集合，集合，若，则 . 【答案】4 【分析】根据集合相等的概念求解. 【详解】集合， 由题意，是的两根， 则，解得， 故答案为：4． 12．已知集合，，则集合的子集个数为 ． 【答案】 【分析】根据并集求出，结合子集的个数公式即可得解. 【详解】集合，，集合， 元素个数为，则子集的个数为. 故答案为：. 13．若集合，，则，准确的关系是 ． 【答案】 【分析】先根据一元一次不等式解法得到集合，再分析其元素关系，即可解得. 【详解】集合，， 显然集合的元素都在集合中，又， 所以集合是集合的真子集，即，准确的关系是. 故答案为： 14．已知，若集合，则 . 【答案】 【分析】先根据集合相等求解出a与b的值，再由指数幂的运算计算即可. 【详解】已知，若集合， 又因为， 所以，即， ∴集合， ∴，解得， 由集合互异性可得，， ∴集合为， ∴. 故答案为：. 15．用符号“”“”“”“”或“”填空． （1）0 ；            （2） ； （3） ；            （4） 是8的约数． 【答案】 【分析】根据题意，结合元素与集合、集合与集合之间的关系，即可判断求解. 【详解】（1）因为，所以； （2）根据集合相等的概念可知； （3）因为与R都是集合，结合集合与集合之间的关系可知； （4）因为是8的约数，结合集合与集合之间的关系可知是8的约数. 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $