专题05实数的大小、不等式的基本性质 - （高教版）基础模块上册

专题05实数的大小、不等式的基本性质 一、知识梳理 （1）实数的大小 一般地，对于任意实数a，b，如果a—b＞0，那么称a大于b（或b小于a）． 关于实数a，b的大小关系，可以通过以下运算来表示：a＞b即a—b＞0；a＜b即a—b＜0；a=b即a—b=0. 要比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为比较它们的差的大小．这种比较大小的方法称为作差比较法． （2）不等式的基本性质 性质1 加法法则 . 不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变．因此性质1也称为不等式的加法法则． 性质2 乘法法则 . 不等式两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．性质2也称为不等式的乘法法则． 性质3 不等式的传递性 . 性质4 同向不等式的可加性 . 性质5 同向同正不等式的可乘性 . 二、题型精练 题型1 实数的大小 【典例1】．已知、为非零实数，若且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．设，则有（ ） A． B． C． D． 【典例3】．设，则M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 题型2 不等式的基本性质 【典例1】．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】．下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【典例3】．已知，，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 三、知识检测 单选题 1．比较与的大小，结果是（    ） A．前者大 B．后者大 C．相等 D．无法确定 2．如果，那么（    ）. A． B． C． D． 3．设，则有（   ） A． B． C． D． 4．若，，则A，B的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 5．记，其中，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 7．已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 9．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．如果，那么下列关系错误的是（    ） A． B． C． D． 12．已知，则下列结论错误的是（      ）． A． B． C． D． 13．已知，且，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 填空题 14．已知，那么的大小关系是 . 15．比较大小 （填“”“”“”）. 16．如果，则（用“”或“”填空）： （1） ；（2） ； （3） ；（4） 1. 17．当时， （用符号“>”“<”或“=”填空） 18．已知，则的取值范围是 . 19．已知，则的取值范围为 . 20．比较大小： .（填“”或“<”） 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05实数的大小、不等式的基本性质 一、知识梳理 （1）实数的大小 一般地，对于任意实数a，b，如果a—b＞0，那么称a大于b（或b小于a）． 关于实数a，b的大小关系，可以通过以下运算来表示：a＞b即a—b＞0；a＜b即a—b＜0；a=b即a—b=0. 要比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为比较它们的差的大小．这种比较大小的方法称为作差比较法． （2）不等式的基本性质 性质1 加法法则 . 不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变．因此性质1也称为不等式的加法法则． 性质2 乘法法则 . 不等式两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．性质2也称为不等式的乘法法则． 性质3 不等式的传递性 . 性质4 同向不等式的可加性 . 性质5 同向同正不等式的可乘性 . 二、题型精练 题型1 实数的大小 【典例1】．已知、为非零实数，若且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作差法比较大小可得答案. 【详解】或， 对于A：，∵，无法判断正负，故A错误； 对于B：，∵无法判断正负，故B错误； 对于C：，∵，， ∴，∴，故C错误； 对于D：，∴，故D正确， 故选：D. 【典例2】．设，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作差法比较代数式的大小即可. 【详解】 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故选：A. 【典例3】．设，则M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据题意，利用作差法，即可比较大小． 【详解】因为， 所以 ， 所以． 故选：A. 题型2 不等式的基本性质 【典例1】．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质比较大小即可. 【详解】由，且可得，且． 因为，所以， 又，所以， 所以， 故选：A． 【典例2】．下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可得解. 【详解】对于选项A，若，，则，A错误； 对于选项B，若，则，B正确； 对于选项C，，，则，C错误； 对于选项D，若，则与0的大小无法确定，D错误. 故选：B. 【典例3】．已知，，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质逐项分析即可. 【详解】已知，， 则根据不等式的基本性质2得， ，，故AD错误 则根据不等式的基本性质1得， ，故B错误，C正确， 故选：C. 三、知识检测 单选题 1．比较与的大小，结果是（    ） A．前者大 B．后者大 C．相等 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差比较法，求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2．如果，那么（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质的即可解答. 【详解】如果，则， 又，所以， 故选：B. 3．设，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用作差法比较大小即可. 【详解】已知， 则 ，故， 故选：C． 4．若，，则A，B的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小即可得解. 【详解】∵ ， ∴. 故选：A. 5．记，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】， ，（当时取等号），即， 故选：A． 6．已知，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】根据题意，利用作差法，即可判断求解. 【详解】因为， 所以， 即. 故选：B． 7．已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解出的范围，由此可解. 【详解】，则， 又，则. 故选：B. 8．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据赋值法及不等式的基本性质即可得解. 【详解】当时，满足，此时，故错误； 当时，成立，故正确；，故错误；，故错误， 故选：. 9．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】取特殊值可排除A、B、C，根据不等式的基本性质可得D正确. 【详解】对A选项，取，满足，但错误； 对B选项，取，满足，但错误； 对C选项，当时，，错误； 对D选项，若，由不等式的性质可知得，故正确. 故选：D 10．若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质即可解答. 【详解】已知，， 则， 所以，即， 所以的取值范围是， 故选：A. 11．如果，那么下列关系错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式性质判断即可. 【详解】如果，可知，故A正确； 如果，且，根据不等式性质可知，即，故B错误； 如果，且，根据不等式性质可知，故C正确； 如果，根据不等式性质可知，故D正确， 故选：B. 12．已知，则下列结论错误的是（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】对于选项A：因为，两边乘以得，且，所以，故A正确； 对于选项B：因为，取负得，且，所以，故B正确； 对于选项C：因为，两边乘得，故C正确； 对于选项D：因为，两边乘得，故D错误， 故选：D. 13．已知，且，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质及赋值法逐项判断即可得解. 【详解】令，满足， 则此时，，故错误； ，此时，故错误； ，此时，故错误； 因为，所以，故正确， 故选：. 填空题 14．已知，那么的大小关系是 . 【答案】 【分析】利用不等式的性质，结合作差法即可得解， 【详解】，，， ，， . 故答案为： 15．比较大小 （填“”“”“”）. 【答案】 【分析】利用作差比较法，求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 16．如果，则（用“”或“”填空）： （1） ；（2） ； （3） ；（4） 1. 【答案】 【分析】（1）（3）利用不等式的性质直接求解； （2）（4）利用不等式的性质，结合作差法比较大小； 【详解】（1），； （2），，，，； （3），，又，，； （4），，，. 故答案为：；；；. 17．当时， （用符号“>”“<”或“=”填空） 【答案】< 【分析】根据作差比较法比较两个实数的大小. 【详解】由，因为， 所以，即，. 故答案为：<. 18．已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式性质易得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则， 所以的取值范围是， 故答案为：． 19．已知，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用不等式性质解题. 【详解】，故，，得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 20．比较大小： .（填“”或“<”） 【答案】 【分析】根据作差法即可比较代数式的大小. 【详解】 所以. 故答案为： 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $