专题04 充要条件 - （高教版）基础模块上册

专题04 充要条件 一、知识梳理 （1）命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题． 一般地， 对于形如“如果p,那么q”的命题，我们称p为命题的条件，简称条件；称q为命题的结论，简称结论． （2）充要条件 命题“如果p, 那么q”是真命题，其逆命题“如果q， 那么p”假命题，即p推出q且p不能推出q，则称称p是q的充分不必要条件。 命题“如果p, 那么q”是假命题，其逆命题“如果q， 那么p”真命题，即p不能推出q且p推出q，称p是q的必要不充分条件。 一般地，若命题“如果p, 那么q”是真命题，其逆命题“如果q， 那么p”也是真命题， 即p⇒q且p⇐q，则称p是q的充分且必要条件，简称充要条件，也称p与q等价，记为p⇔q ． 命题“如果p, 那么q”是假命题，其逆命题“如果q， 那么p”也是假命题， 即p不能推出q且p不能推出q，则称p是q的既不充分也不必要条件。 二、题型精练 题型1 命题 【典例1】．下列语句中，命题的个数是（   ） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗？ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据语句是否能判断真假来确定命题的个数即可. 【详解】空集是任何集合的真子集可以判断真假，故①是命题， 请起立不能判断真假，故②不是命题， 的绝对值为1可以判断真假，故③是命题， 你是高一的学生吗？不能判断真假，故④不是命题， 所以命题的个数有个， 故选：C. 题型2 充要条件 【典例1】．“角为第三象限角”是“”的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 B． C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分性及必要性定义结合象限角三角函数值的符号即可得解. 【详解】角为第三象限角时，，故充分性成立； 当时，角为第三或第四象限角，或终边落在轴负半轴上，故必要性不成立， 所以“角为第三象限角”是“”的充分不必要条件， 故选：. 【典例2】．“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要条件 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】，充分性成立， ，即时，不一定有，必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要条件． 【典例3】．“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据正弦函数的性质结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】当时，，故充分性成立； 当时，，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 三、知识检测 单选题 1．“” 是 “” 的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由 可得到，但不一定能得到， 所以“” 是 “” 的充分不必要条件. 故选：A. 2．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】当时，不一定成立，故充分性不成立； 当时，一定成立，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：. 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据已知条件进行判断充分条件与必要条件，确定选项. 【详解】由得，故充分性成立； 由解得或，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．“”是“”的（      ）． A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，分析求解即可. 【详解】当，解得：或， 所以当时，不一定有，即“”是“”的不充分条件； 当时，一定有，即“”是“”的必要条件， 故选：B. 5．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分性和必要性的定义即可求解. 【详解】当，则成立； 反之，当，时，显然不一定成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解一元二次不等式结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】由，解得或， 由可推出，故充分性成立； 由，推出或，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：. 7．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解一元二次不等式，结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】不等式化为，解得或， 所以当时，不等式成立，故充分性成立， 当，或，故必要性不成立， “”是“”的充分不必要条件， 故选：. 8．设命题：，：，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】命题：，即， ：，即. 则，但是无法推出，则是的充分不必要条件. 故选：A. 9．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分必要条件的概念即可判断. 【详解】因为的解为， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 10．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的性质判断充分性和必要性即可． 【详解】解：时，和可以同时为正或同时为负， 因此不能充分推出， 但一定能推出， ∴“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 11．“有一个角是”是“是等边三角形”的什么条件（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分必要条件的定义结合等边三角形的特征判断即可. 【详解】有一个角是，不能推出是等边三角形， 如，此时是直角三角形，故充分性不成立； 但是等边三角形，则一定有一个角是，故必要性成立； 故“有一个角是”是“是等边三角形”的必要不充分条件. 故选：B. 12．“为第一象限角”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据象限角及界限角的三角函数值的正负结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】第一象限角，则，故充分性成立； 但 时，为第一、第四象限角或者终边在轴正半轴上，故必要性不成立， “为第一象限角”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 13．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断充分性和必要性即可． 【详解】解：“”时，必然有“”，即； 但“”时，和可能互为相反数（如，），不一定相等， ， ∴“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 14．命题 是有理数，命题 是实数，则 是 的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的判定判断即可； 【详解】有理数一定是实数，但实数不一定是有理数（如实数中包含无理数）. 因此， 可以推出 ，但 不能推出 ，即 是 的充分不必要条件. 故选：A. 填空题 15．“”是“”的 条件.（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】根据不等式的性质以及充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】当时，取，则，即充分性不成立； 当时，则，所以，即必要性成立； 故“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 16．指出下列各题中p是q的什么条件． （1），. . （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形全等． . （3）， . （4）p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形． . 【答案】 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 既不充分也不必要条件 【分析】根据题意结合充分条件及必要条件的定义即可得解. 【详解】（）当时，，故充分性成立； 当，不一定成立，故必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. （）当两个三角形相似时，两个三角形全等不一定成立，故充分性不成立； 但两个三角形全等时，两个三角形相似一定成立，故必要性成立， 故是的必要不充分条件． （）当时，不一定成立，故充分性不成立； 当时，不一定成立，故必要性不成立， 故是的既不充分也不必要条件． （）四边形的对角线相等时，推不出四边形是平行四边形，故充分性不成立； 四边形是平行四边形时，推不出四边形的对角线相等，故必要性不成立， 所以是的既不充分也不必要条件． 故答案为：充分不必要条件；必要不充分条件；既不充分也不必要条件；既不充分也不必要条件. 17．“同旁内角互补”是“两直线平行”的 条件. 【答案】充要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】同旁内角互补两直线平行， 故“同旁内角互补”是“两直线平行”的充要条件. 故答案为：充要. 18．已知,,则是的 （填“充分条件”“必要条件”或“充要条件”）． 【答案】充分条件 【分析】先分析命题和的范围，然后判断是否是的充分或必要条件，进而求解. 【详解】命题表示的取值范围是， 命题表示的取值范围是. 当时，成立，因此是的充分条件； 当时，的取值范围包括了，但是还包含和，因此不是的必要条件. 故答案为：充分条件. 19．“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的 （填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）条件． 【答案】充分不必要 【分析】根据充分性，必要性的定义即可得解. 【详解】如果两个三角形全等，则两个三角形一定相似； 如果两个三角形相似，则两个三角形不一定全等； 所以“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要. 20．“”是“”的 条件． 【答案】必要不充分 【分析】解方程，求得的值，结合充分、必要条件的定义即可得解． 【详解】由，可得或， 则“”“”， “”“”， 因此“”是“”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分 21．“”是“”的 （填充分条件、必要条件或充要条件）． 【答案】充分条件 【分析】由正弦函数的性质结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，， 当时，，故不一定成立， 故“”是“”的充分条件. 故答案为：充分条件. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 充要条件 一、知识梳理 （1）命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题． 一般地， 对于形如“如果p,那么q”的命题，我们称p为命题的条件，简称条件；称q为命题的结论，简称结论． （2）充要条件 命题“如果p, 那么q”是真命题，其逆命题“如果q， 那么p”假命题，即p推出q且p不能推出q，则称称p是q的充分不必要条件。 命题“如果p, 那么q”是假命题，其逆命题“如果q， 那么p”真命题，即p不能推出q且p推出q，称p是q的必要不充分条件。 一般地，若命题“如果p, 那么q”是真命题，其逆命题“如果q， 那么p”也是真命题， 即p⇒q且p⇐q，则称p是q的充分且必要条件，简称充要条件，也称p与q等价，记为p⇔q ． 命题“如果p, 那么q”是假命题，其逆命题“如果q， 那么p”也是假命题， 即p不能推出q且p不能推出q，则称p是q的既不充分也不必要条件。 二、题型精练 题型1 命题 【典例1】．下列语句中，命题的个数是（   ） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗？ A．0 B．1 C．2 D．3 题型2 充要条件 【典例1】．“角为第三象限角”是“”的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 B． C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】．“”是“”的 条件． 【典例3】．“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 三、知识检测 单选题 1．“” 是 “” 的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“”是“”的（      ）． A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设命题：，：，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．“有一个角是”是“是等边三角形”的什么条件（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．“为第一象限角”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．命题 是有理数，命题 是实数，则 是 的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 填空题 15．“”是“”的 条件.（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”） 16．指出下列各题中p是q的什么条件． （1），. . （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形全等． . （3）， . （4）p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形． . 17．“同旁内角互补”是“两直线平行”的 条件. 18．已知,,则是的 （填“充分条件”“必要条件”或“充要条件”）． 19．“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的 （填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）条件． 20．“”是“”的 条件． 21．“”是“”的 （填充分条件、必要条件或充要条件）． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $