专题01 回归方程与独立性检验（专项训练）高二数学沪教版选择性必修第二册

专题01 回归方程与独立性检验 目录 A题型建模・专项突破 题型一、相关系数的计算 1 题型二、回归方程的有关概念辨析 2 题型三、求线性回归方程（常考点） 2 题型四、求非线性回归方程（常考点） 3 题型五、独立性检验（卡方的计算）（常考点） 3 题型六、线性回归方程与独立性检验综合题型 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、相关系数的计算 1．已知x与y之间的几组数据如下表. x 1 2 3 4 y 4 m n 1 表中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值，分别为3.5，3，2.5，得到三条线性回归直线的方程，分别为，对应的相关系数分别为，则下列结论中正确的是 .（填序号）①在同一个坐标系中，三条回归直线可以围成一个封闭图形；②；③；④相关系数中，最大. 参考公式：线性回归方程，其中；相关系数；. 【答案】② ④ 【分析】由题意可得，分别取m与n的值，由公式计算出的值，逐一分析四个结论即可. 【详解】由题意知，即.. ① 若，则， ， ， ， 则，. ② 若，则，则 ， ，， 则，. ③ 若，则， ， ，， 则，. 由样本点的中心相同知三条回归直线交于同一个点，不可能围成封闭三角形，所以①不正确. 由以上计算可得，所以②正确，③不正确. 相关系数中，最大，所以④正确. 故答案为：②④. 2．现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的100个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取10个作为样本，调查得到样本数据，其中分别表示第个样本的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，分别表示这10个样本的植物覆盖面积和这种野生动物的数量的平均值，构造向量，并计算得，由选择性必修第一册教材中的知识，我们知道对数据的相关系数，则上述数据的相关系数 . 【答案】0.96/ 【分析】计算出，故. 【详解】，故， ， . 故答案为：0.96 3．某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． x 3 4 5 6 6 7 8 9 y 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示）， ． 附：（1）参考数据：，． （2）参考公式：，． 【答案】 【分析】首先计算和 ，再比较参考公式，即可求解. 【详解】， ， 由条件可知， 得， 所以， 故答案为：. 4．已知高中学生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，随机抽取10名同学，数学成绩和物理成绩的样本线性相关系数为，物理成绩与化学成绩的样本线性相关系数为，求的样本线性相关系数的最大值为 . (附:相关系数 【答案】 【分析】利用相关系数公式可看成两个维向量的夹角公式，从而把相关系数问题转化为向量夹角问题，即可求解. 【详解】设， 则有， 由相关系数公式得， 设与夹角为与夹角为， 由的样本相关系数为，的样本相关系数为，所以， 由这两个夹角均为锐角且，所以与夹角的可能性是， 则与夹角余弦值的最大值为，此时与样本相关系数最大， 即， 所以的样本线性相关系数的最大值为. 故答案为：. 5．A市某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数（万人）与第个月的数据： 1 2 3 4 5 23.1 37.0 62.1 111.6 150.8 根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，且回归方程中的，则相关系数 （精确到0.01）. 参考公式：相关系数.回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为； 参考数据：，，，，. 【答案】0.98 【分析】运用给出的公式计算样本中心，再计算相关系数即可. 【详解】由题设，，， ， 所以. 故答案为：. 题型二、回归方程的有关概念辨析 6．由一组样本数据得到经验回归方程，则下列说法中正确的是 .（填序号）①直线一定经过点；②直线至少经过点中的一个；③直线的斜率为；④经验回归方程最能代表样本数据中，、之间的线性关系，当时，与正相关，当时，与负相关. 【答案】①③④ 【分析】利用线性回归直线的性质逐个分析判断即可. 【详解】经验回归直线一定经过点，故①正确；经验回归直线可以不经过所有的样本点，故②不正确； 由最小二乘法知③是正确的：经验回归方程是一次函数，由一次函数性质知④也正确.故填①③④ 故答案为：①③④ 7．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法中正确的是 （填序号）． 2 3 4 5 6 19 25 ★ 38 44 ①看不清的数据★的值为34； ②回归直线必经过样本点； ③回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨； ④据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨． 【答案】①④ 【分析】回归直线方程必过样本点中心；根据回归直线方程过样本点中心去求解表中缺失数据，根据回归直线方程的理解和计算判断. 【详解】回归直线方程为一定过，根据表格可得， 代入可得，又，所以①正确；②错误； 根据回归直线，可知回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗大约增加6.3吨，③错误； 根据回归直线，当时，相应的生产能耗为吨．④正确； 故答案为：①④. 8．（1）已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于； （2）正态曲线当一定时，越小，总体分布越集中，越大，总体分布越分散； （3）对于分类变量与的随机变量，越大说明“与有关系”的可信度越大； （4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好； （5）根据最小二乘法由一组样本点，求得的回归方程是，对所有的解释变量，的值一定与有误差 以上命题正确的序号为 ． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】（1）利用相关系数的意义判断；（2）根据正态曲线的性质判断；（3）根据的意义判断；（4）根据残差平方和及相关指数的意义判断；（5）根据最小二乘法及回归方程的概念判断. 【详解】根据相关系数的意义可知，两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于，故（1）正确； 根据正态曲线的性质可知，正态曲线当一定时，越小，总体分布越集中，越大，总体分布越分散，故（2）正确； 根据的意义可知，对于分类变量与的随机变量，越大说明“与有关系”的可信度越大，故（3）正确； 根据残差平方和及相关指数的意义可知，在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好，故（4）正确； 若所有样本点都在回归直线上时，则的值与相等，故（5）错误 故答案为：（1）（2）（3）（4）. 9．调查了某地若干户家庭的年收入（单位：万元）和年饮食支出（单位：万元），调查显示年收入与年饮食支出具有线性相关关系，并由调查数据得到对的回归直线方程：．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加 万元. 【答案】0.254 【分析】利用回归方程计算年收入增加1万元后，年饮食支出的增量即可得答案. 【详解】∵对的回归直线方程．∴当家庭年收入增加1万元时，， ∵．故年饮食支出平均增加0.254万元． 故答案为：0.254． 10．某品牌啤酒厂，进行市场调研，发现该品牌啤酒在某地的月销量随着每瓶啤酒的定价不同而发生变化，连续调研5个月得到的数据如下表所示： 第1个月 第2个月 第3个月 第4个月 第5个月 单价/元 6 6.5 7 7.5 8 销量/万瓶 90 85 80 75 70 根据以上数据得到与具有较强的线性关系，若用最小二乘估计得到经验回归方程，则（    ） A．相关系数 B．点一定在经验回归直线上 C． D．当每瓶啤酒为9.5元时，月销量一定为50万瓶 【答案】B 【分析】根据相关系数的概念可以判断A；求出样本中心点即可判断B；根据线性回归方程过样本中心点即可判断C；根据线性回归方程的性质即可判断D. 【详解】由可得与具有负相关，故A错误； 由表中数据可得， 所以样本中心点为，将代入得， 解得，故C错误． 则回归方程为，当时，，故在回归直线上，故B正确： 当时，，这是一个估计值，不是精确值，故D错误． 故选：B． 题型三、求线性回归方程（常考点） 11．2025年8月30日晚，以“知音湖北，与‘篮’共舞”为主题的湖北省全国百强县篮球联赛八支球队分别在汉川、仙桃、潜江、枝江同时开战．湖北省以体育赛事为纽带，推动文体旅深度融合，为县域经济高质量发展注入新动能．组委会对其中5个参赛县的宣传费用（万元）与现场观众人数（百人）进行统计，数据如下： 参赛县 A B C D E 宣传费用x（万元） 2 3 4 5 6 现场观众人数y（百人） 19 22 24 27 28 (1)从这5个参赛县中随机抽取3个，记现场观众人数不少于24百人的县的个数为，求随机变量的分布列及数学期望； (2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测宣传费用为8万元时的现场观众人数． 附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 【答案】(1)分布列见解析， (2)，预测宣传费用8万元时的现场观众人数为33.2百人 【分析】（1）得到的可能取值和对应的概率，从而得到分布列和期望值； （2）代入公式得到，从而得到y关于x的线性回归方程，当时，（百人），从而得到答案. 【详解】（1）因为观众不少于24百人的县共有3个，所以的可能取值为1，2，3， ，，， 所以分布列如下： 1 2 3 P 所以； （2）由题意，， ， ， 所以， ， 所以y关于x的线性回归方程为， 当时，（百人）， 故预测宣传费用为8万元时现场观众人数为33.2百人． 12．某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱． （已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） (2)求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费． 附：样本的相关系数，经验回归方程 的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】(1)，线性相关性很强 (2)，8.5万元 【分析】（1）根据相关系数公式，分别求出变量的均值及和值，代入公式求得相关系数，并判断相关性强弱即可； （2）根据第一问求得的值，结合线性回归方程求解公式求得参数，写出回归方程，并预测10年的失效费即可. 【详解】（1）由表知，，， ， ，， ， 故，认为与线性相关性很强； （2）由（1）知，， 又，， 故关于的线性回归方程为， 当时，，即估算10年的失效费为8.5万元． 13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下： 零件数/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间/分 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 根据样本数据，画出加工时间与加工零件个数的散点图，如图所示，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，因此可以用一元线性回归模型刻画加工时间与加工零件个数之间的关系.（运算结果保留小数点后两位数字）    (1)请求出加工时间关于零件数的经验回归方程； (2)该车间实行“按时计件”工资制度：若工人完成一个零件的平均时间低于标准时间，则可获得额外奖励.已知目前每个零件的标准加工时间定为1.2分钟，根据上述回归方程判断： （ⅰ）对于120个零件的任务，预测加工时间是否低于现行标准加工时间？（标准加工时间为分钟） （ⅱ）若工人的实际加工能力与回归模型基本一致，车间是否应考虑调整标准时间？若需调整应调整到多少比较合适？ 附：参考数据：，，，. 对于一组数据，，，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 【答案】(1) (2)（ⅰ）低于现行标准时间；（ⅱ）应考虑调低标准时间， 【分析】（1）求出并根据参考数据求出的值，可得经验回归方程； （2）（ⅰ）根据回归方程可预测120个零件任务的回归预测时间小于标准时间， （ⅱ）利用预测值将标准时间调整为分/个比较合适. 【详解】（1）易知，， 所以， 可得， 所以加工时间关于零件个数的经验回归方程是， （2）（ⅰ）当时， 所以120个零件任务的回归预测时间，因此低于现行标准时间. （ⅱ）由于回归预测显示实际所需时间（约135.25分）比标准时间少9分钟，说明按照现行标准，工人很容易拿到奖励（实际效率更高）. 如果车间希望控制奖励发放比例或更符合实际效率，应考虑调低标准时间，如调整到接近预测的分/个，使标准更贴近真实加工能力. 14．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量（单位：千件）与售价（单位：元/件）的情况如下表所示． 售价（元/件） 48 49 50 51 52 月销售量（千件） 10 9 9 7 5 (1)求相关系数，并说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）； (2)建立关于的线性回归方程，并估计当售价为53元/件时，该商品的月销售量为多少千件？ 参考公式：① ② ③ 参考数据： 【答案】(1)，与有很强的线性相关性，可以用线性回归模型拟合 (2)，4.4千件 【分析】（1）由表中数据易计算得到，再利用相关系数公式计算得到相关系数，然后通过题目中给的条件来判定相关性的强弱，来决定是否用线性回归模型拟合. （2）直接使用斜率和截距的最小二乘估计公式来进行计算求出线性回归方程，当时，代入线性回归方程，计算得出月销售量的估计值. 【详解】（1）由已知得，， 则样本相关系数为， 因为，所以与有很强的线性相关性，可以用线性回归模型拟合. （2）由题意得，所以， 所以关于的经验回归方程：， 当时，， 故估计当售价为53元/件时，该商品的月销售量为4.4千件. 15．某景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数y（万人）与第个月的数据： 1 2 3 4 5 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 已知与线性相关. (1)求关于的线性回归方程； (2)预测第7个月的打卡人数. 参考数据：. 参考公式：线性回归方程中斜率､截距的最小二乘法估计公式为. 【答案】(1) (2)4.5万人 【分析】（1）由统计表格中的数据，取得回归系数，得到，即可得出回归方程； （2）由（1）中的回归方程，令，求得，即可得到答案. 【详解】（1）解：由统计表格中的数据，可得，， 且， 则， 可得， 所以关于的线性回归方程为. （2）解：由（1）知：线性回归方程为， 当时，可得. 由此预测第7个月的打卡人数为4.5万人. 题型四、求非线性回归方程（常考点） 16．红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中；；； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)根据（1）中所选择的模型，求出关于的回归方程． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 【答案】(1)①； (2) 【分析】（1）根据残差点的分布情况分析即可； （2）取对数，将非线性回归转化为线性回归，然后根据所给数据代入公式即可得回归方程. 【详解】（1）模型①更合适． 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄， 所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适． （2）令与温度可以用线性回归方程来拟合，则． ， ， 则关于的线性回归方程为，即， 产卵数关于温度的回归方程为． 17．某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. (1)设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好； (2)根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， . ②参考数据：. 【答案】(1)模型的拟合程度更好 (2). 【分析】（1）根据相关数据分别计算出和y的相关系数和x和v的相关系数，比较大小，即可得结论； （2）根据最小二乘估计公式求出相关参数，即可得答案. 【详解】（1）令，则可化为， ， 令，则可化为，即， 因为， 所以， 则，因此从相关系数的角度来看，模型的拟合程度更好. （2）由（1）知，用模型比较合适， 令，则可化为，即， 所以， 因为，，所以， 则关于的回归直线方程为，所以. 18．为了提高利润，某果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图，这是2016年至2025年该果园每年的投资金额（单位：万元）与年利润增量（单位：万元）的散点图． 模型①由最小二乘法可求得与的经验回归方程为； 模型②由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线的附近，令，则，且有． (1)根据所给的统计量，求模型②中关于的经验回归方程； (2)已知2025年的投资金额为20万，年利润增量为40万，分析这两种模型在2025年时哪个模型的预报效果更好． 参考公式与数据：． 【答案】(1)； (2)模型②. 【分析】（1）根据给定的数据，利用最小二乘法公式求出经验回归方程. （2）分别求出模型①、模型②中年利润增量，再比较它们与40差的绝对值大小即可. 【详解】（1）由，得， 则，， 所以模型②中关于的经验回归方程为. （2）模型①，，当时，年利润增量， 模型②，，当时，， 因此年利润增量，而， 所以模型②的预报效果更好. 19．台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，， 【答案】(1)模型②的拟合程度更好 (2)13（百万辆） 【分析】（1）利用公式分别求出模型①和②的相关系数，结合相关系数的意义即可判断哪一个模型拟合程度更好； （2）先利用最小二乘法求出关于的回归方程，再令，即可得解.. 【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为， 由题意可得：， ， 所以，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好. （2）因为， 又由，， 得， 所以，即回归方程为， 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 20．某工厂生产各种规格的某种零件，从中随机抽取6个不同规格的零件，其检测数据如下表： 零件尺寸 38 48 58 68 78 88 零件质量 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸之比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 (1)测评标准指出，当零件的质量与其尺寸之比在区间内时为优等品.现从上述6个零件中任选2个，求这2个零件中优等品个数的均值和方差； (2)据散点图分析，上述6个零件的质量与尺寸之间存在非线性相关关系，其经验回归方程可设为.当零件的尺寸为时，估计零件的质量约为多少?（精确到） 参考数据：，，，， 附：对于样本数据 ，其一元线性回归模型中斜率参数b和截距参数a的最小二乘估计分别为：， 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）列出的可能取值，计算对应概率，根据期望和方差公式计算即可； （2）由，得，结合题中参考数据和公式可得，再计算即可求解. 【详解】（1）因为0.357，0.325，，则抽取的6个零件中有3个优等品，3个为非优等品， 所以的可能取值为0，1，2. 因为，， 所以， . （2）由，得， 令，，，则 因为，，， 则， 所以，即，所以y与x的经验回归方程是 当时，，所以当零件尺寸为时，估计零件的质量约为. 题型五、独立性检验（卡方的计算）（常考点） 21．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如表： 专业 性别 非统计专业 统计专业 男 13 10 女 7 20 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到，因为，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为 ． 【答案】 【分析】根据临界值表结合已知数据分析判断即可. 【详解】因为， 所以依据小概率值的独立性检验，认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性最大为. 其中临界值表如下： 故答案为：. 22．随着国家三胎政策的放开，为了调查一线城市和非一线城市的三胎生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表： 城市级别生育意愿 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 计算得．参照下表， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 则有 的把握认为生育意愿与城市级别有关． 【答案】 【分析】由题可知，对照表格检验独立性． 【详解】因为，所以有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”． 故答案为：． 23．米接力短跑作为田径运动的重要项目，展现了一个国家短跑运动的团体最高水平．每支队伍都有自己的一个或几个明星队员，现有一支米接力短跑队，张三是其队员之一，经统计该队伍在参加的所有比赛中，张三是否上场时该队伍是否取得第一名的情况如下表．若已知张三上场，则该队伍取得第一名的概率约为 ．若有的把握认为该队伍是否取得第一名与张三是否上场有关，则认为张三是这支队伍的明星队员，则依据表中数据可判断张三 （填“是”或“不是”）这支队伍的明星队员． 张三上场情况 队伍取得第一名的情况 取得第一名 未取得第一名 总计 上场 未上场 总计 【答案】 / 是 【分析】完善列联表，结合条件概率公式可求得所求事件的概率；计算出的观测值，结合独立性检验可得结论, 【详解】根据题意，可得列联表如下（列完列联表后注意检查数据是否正确）： 张三上场情况 队伍取得第一名的情况 取得第一名 未取得第一名 总计 上场 未上场 总计 设“张三上场”为事件，“该队伍取得第一名”为事件， 由表中数据，得，，则， 即已知张三上场，该队伍取得第一名的概率约为， 由表中数据，得， 故有的把握认为该队伍是否取得第一名与张三是否上场有关， 则认为张三是这支队伍的明星队员． 故答案为：；是. 24．某社区居民计划暑假去海南或厦门旅游，经统计得到如下列联表： 去海南旅游 去厦门旅游 合计 老年人 2m 3m 5m 中年人 3m 2m 5m 合计 5m 5m 10m 若依据小概率值的独立性检验认为去海南还是厦门旅游与年龄有关，则正整数的最小值为 ． 参考公式：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】 【分析】由表中数据，根据独立性检验的解题思想，可得答案. 【详解】由题干数据即可得到：， 因为依据小概率值的独立性检验认为去海南还是厦门旅游与年龄有关， 故，又因为m为正整数，故， 故答案为： 25．某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95%的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有 人. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 附： 【答案】45（大于等于45的5的整数倍都符合题意） 【分析】根据已知条件写出列联表，计算符合条件的结果. 【详解】设调查了位男生，已知被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的， 根据题意列出表格 男生 女生 总计 喜欢抖音 不喜欢抖音 总计 则， 解得，因为男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，所以男生人数是5的倍数，所以男生人数. 故答案为：45.（大于等于45的整倍数都符合题意） 题型六、线性回归方程与独立性检验综合题型 26．冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 (1)求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量； (2)为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 20 女生 40 合计 （ⅰ）根据已知条件，填写列联表； （ⅱ）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联； (3)从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，12.4万台 (2)（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）有关联，理由见解析； (3)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）计算出，得到线性回归方程，代入，从而预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）（ⅰ）补全列联表；（ⅱ）计算出，从而得到结论； （3）求出的可能取值并得到相应的概率，从而得到分布列，计算出数学期望. 【详解】（1）年份代码的平均数，销量的平均数， 所以， ， 所以， 所以， 所以这个地区某品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程为， 由于2027年对应的年份代码为，得， 所以预测2027年这个地区某品牌制氧机的销量约为12.4万台． （2）（ⅰ）根据男生和女生各100名，补全列联表为： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 （ⅱ）零假设：该校学生对制氧机知识的了解情况与性别无关. 根据（ⅰ）中的列联表中的数据可得， . 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. （3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的比例选取10人， 则抽取的10人中，了解的人数为6人，不了解的人数为4人 再随机从中抽取4人，对制氧机知识不了解的人数的所有可能取值为0，1，2，3，4. 且， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 4 数学期望为 27．目前，AI赋能语音识别技术已从实验室的“概念验证”发展为改变人类生活的基础设施，随着大模型和多模态技术的融合，英文识别将不再是单一功能，也是智能系统理解世界的“耳朵”和“眼睛”，推动人机交互从“命令执行”向“自然对话”演进.现甲、乙两名同学通过英文指令与某AI智能体人机交互共生成200篇文章.若生成的文章达到专业要求，不用进一步改良，视为合格.现已知甲同学生成的文章有80篇合格，占甲同学生成文章总数的，乙同学生成的文章有一半合格. (1)请根据以上数据填写下面的列联表，并推断能否有95%的把握认为生成的文章是否合格与甲、乙（不同的）同学给出的指令有关？ 生成的文章合格 生成的文章不合格 总计 甲同学 80 乙同学 总计 200 (2)经试验，若给出的指令够准确具体，该智能体生成文章合格的概率为，则在此条件下从该智能体生成的一批文章中随机调取3篇，请写出其中合格的篇数的分布列，并算出期望. 附：，其中（结果精确到0.001）. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有95%的把握； (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意，得出列联表，求得的值，结合附表，即可得到结论； （2）根据题意，得到的可能取值，得出服从二项分布，求得相应的概率，得出分布列，求得数学期望. 【详解】（1）由题意得 生成文章合格 生成文章不合格 总计 甲同学 80 40 120 乙同学 40 40 80 总计 120 80 200 ， ∵， 所以有95%的把握认为生成文章是否合格与甲、乙（不同的）同学给出的指令有关；                                                                （2）合格的篇数的所有可能取值为，，， 由题意，   ，                                        故的分布列为 0 1 2 3 故期望. 28．为应对全球气候变化，我国制定了碳减排的国家战略目标，采取了一系列政策措施积极推进碳减排，作为培育发展新动能､提升绿色竞争力的重要支撑，节能环保领域由此成为全国各地新一轮产业布局的热点和焦点.某公司为了解员工对相关政策的了解程度，随机抽取了180名员工进行调查，得到如下表的数据： 了解程度 性别 合计 男性 女性 比较了解 60 60 不太了解 20 40 合计 (1)补充表格，并根据小概率值的独立性检验，分析了解程度与性别是否有关？ (2)用分层抽样的方式从不太了解的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量表示这6人中男性员工人数与女性员工人数之差的绝对值，求的分布列和数学期望. 参考公式： 独立性检验中常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.025 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 7.879 10.828 【答案】(1)表格见解析，无关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）完成列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得结论； （2）分析可知，随机变量的可能取值为，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得随机变量的分布列，进而求得的值. 【详解】（1）补充表格如下： 了解程度 性别 合计 男性 女性 比较了解 60 60 120 不太了解 20 40 60 合计 80 100 180 零假设为：了解程度与性别无关 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即了解程度与性别无关 （2）用分层抽样在不太了解的60人中抽取12人，抽得女性8人，男性有4人 的可能取值为 则， 的分布列为： 0 2 4 6 . 29．某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100      62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型， (2)列联表见解析，认为是否报废与保养有关 【分析】（1）由散点图可知，应选指数函数模型，根据已知条件两边同时取对数，转化为关于与的一次函数模型，结合参考数据即可求解； （2）根据题意完成列联表，利用独立性检验公式，计算的值可判断. 【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型． 由，两边同时取常用对数得． 设，则． 因为，，，， 所以. 把代入，得， 所以，所以， 则， 故关于的回归方程为. （2）设零假设：是否报废与是否保养无关． 由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下： \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 80 合计 60 40 100 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关． 30．某省为了解高中生对足球赛事的了解情况，特地举办了一次足球常识问卷调查，问卷的满分为100分，统计结果显示，学生成绩，不低于60分为及格，高于80分为优秀，且优秀率为20%．根据某高中学校参加问卷的90名学生的调查结果，得到如下列联表： 性别 关注足球赛事 不关注足球赛事 合计 男 55 5 60 女 20 10 30 合计 75 15 90 (1)根据小概率值的独立性检验，分析该校学生对足球赛事的关注是否与性别有关； (2)在这90名学生中随机抽取一名，记事件表示抽到“学生关注足球赛事”，事件表示抽到“学生是女生”，求及的值； (3)从全省参与调查的学生中随机选出5人，这5人中及格的人数记作，求的期望与方差． 附：，其中． 常用的小概率值和相应的临界值： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)该校学生对足球赛事的关注与性别有关. (2). (3). 【分析】（1）根据卡方计算公式，结合独立检验的思想即可下结论； （2）根据和事件的运算与条件概率的计算公式求解即可； （3）根据正态分布求得，结合二项分布的均值与方差公式计算即可求解. 【详解】（1）零假设为：学生对足球赛事的关注与性别无关. 根据列联表中的数据，得到， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该校学生对足球赛事的关注与性别有关. （2）由题意得，，，， 故. （3）因为， 所以， 所以， 故， 即. 1．移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5． (1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； (2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型  （随机误差）．请推导：当随机误差平方和Q＝取得最小值时，参数b的最小二乘估计． (ii)令变量，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数． 附：样本相关系数，，，， 【答案】(1),这两个变量正线性相关，且相关程度很强. (2)（i）；（ii）经验回归方程;预测2024年移动物联网连接数23.04亿户. 【分析】（1）根据相关系数计算，若两个变量正相关，若两个变量负相关，越接近于1说明线性相关越强. （2）(i)整理得，根据二次函数求最小值时的取值； (ii) 根据计算公式求得经验回归方程， 并代入可预测2024年移动物联网连接数. 【详解】（1）由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关. 因为, 所以 , 所以 , 所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强. （2）(i) ， 要使取得最小值，当且仅当. (ii) 由(i)知 ， 所以y关于x的经验回归方程，又， 所以当 时，则， 所以预测2024年移动物联网连接数23.04亿户. 2．某社交平台对用户行为进行分析，收集了每位用户每日的活跃时间（单位：小时）和发布内容数量（单位：条）.为分析两变量间的相关性，需对数据进行标准化处理.现随机抽取名用户，得到数据，定义标准化变量与的相关系数为. (1)证明：且. (2)基于历史数据，用户活跃时间，设平台服务成本为随机变量，当时，，当时，，当时，，若在变化，且0.9544，求的期望的取值范围. (3)设维向量与的数量积定义为，模长定义为与的夹角满足.设x，y标准化变量对应的向量分别为为向量与的夹角.该平台还记录了每位用户的好友数量（单位：人），其标准化变量对应的向量，）.已知活跃时间与发布内容数量的相关系数为，发布内容数量与好友数量的相关系数为，设与的夹角为与的夹角为，且，求活跃时间与好友数量的相关系数的取值范围. 附相关公式：与的相关系数. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由条件提供的公式化简即可证明； （2）设，根据正态分布的概率特点求出的范围，利用离散型随机变量的期望的定义表达出的期望，从而即可求解； （3）由（1）易得，从而，活跃时间与好友数量的相关系数即为，结合条件，根据余弦函数的单调性及两角和差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）证明：由，得， 将代入上式，得，同理得， 由，及相关系数， 得 因为，所以． （2）设，则． 因为，所以， 则． 因为，所以，故的取值范围是． （3）由（1）知， ，则，故． 因为，所以， 且均为锐角，则． 由及余弦函数在上单调递减， 可得， 即 则，即． 故活跃时间与好友数量的相关系数的取值范围是． 3．某兴趣学习小组为研究物理成绩与知识竞赛成绩之间的相关关系，通过对随机抽样出来的20组数据的物理成绩和知识竞赛成绩数据如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77 知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270 学生编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 物理成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35 知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5 一些统计量的值： 75 90 6464 149450 21650 (1)求这组学生的物理成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）； (2)设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同.记在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数. （i）记.证明：； （ii）用（i）的公式求这组学生的物理成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”，并简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势. 【附参考公式及参考数据：对于一组成对数据，其相关系数】 【答案】(1) (2)(2)（i）证明见解析；（ii），答案见解析 【分析】（1）利用相关系数的公式进行计算即可； （2）（i）根据题意即相关系数的公式进行计算即可证明；（ii）利用表格写出对应的与 得值，然后用“斯皮尔曼相关系数”的公式进行计算即可；只要能说出斯皮尔曼相关系数与一般的样本相关系数相比的优势即可 【详解】（1）由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为 （2）（i）证明：因为和都是1，2，，的一个排列， 所以，， 从而和的平均数都是． 因此， ， 同理可得， 由于 ， 所以； （ii）由题目数据，可写出与的值如下： 同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩排名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识竞赛成绩排名 1 5 3 4 9 8 7 6 10 2 同学编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩排名 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 知识竞赛成绩排名 12 14 13 11 16 15 17 18 19 20 所以，并且． 因此这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是 答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系； 答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关．如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系． 4．为了研究广告支出与销售额的关系，现随机抽取5家超市作为样本，得到其广告支出x（单位：万元）与销售额W（单位：万元）数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 3 4 5 销售额W 4 9 14 18 (1)当时，根据表中样本数据，计算相关系数r，并推断它们的相关程度（保留两位小数）； (2)根据表中样本数据，用最小二乘法得到销售额W关于广告支出x的回归直线方程为，销售额W的方差为52.4，求的值，并计算广告支出为5（万元）时销售额的残差； (3)收集更多变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如图所示，则模型误差是否满足一元线性回归模型的与的假设（直接写出结果）． 附：相关系数，回归系数，参考数据：． 【答案】(1)，相关性很强 (2)，0.8 (3)满足一元线性回归模型的的假设，不满足一元线性回归模型的的假设． 【分析】（1）求出和，求出即可求解； （2）根据销售额的方差52.4列方程求解，求出和，求出，求出销售量关于广告支出的回归直线方程即可求解； （3）根据残差图的性质即可求解. 【详解】（1）由题知， 0 1 2 1 5 7 ， ， ， 相关系数， 接近于1，可以推断两个变量正线性相关，且相关性很强； （2）因为销售额的方差52.4， 即， 所以， 化为， 解得（舍去）， 所以， 因为回归直线方程为经过样本中心点， 把代入得， 销售量关于广告支出的回归直线方程为， 当时，代入得预测值， 而观测值，所以广告支出为5（万元）时销售额度的残差：（万元）； （3）由残差图，模型误差满足一元线性回归模型的的假设， 不满足一元线性回归模型的的假设． 5．云南花卉产业作为云南全力打造世界一流“绿色食品牌”的重点产业之一．从起步发展至今仅四十多年的时间，取得了令人瞩目的成绩．目前云南已成为全球公认的三大最适宜鲜切花种植的区域之一，鲜切花种植面积和产量位居全球第一，全省花卉种植面积稳定在190万亩左右．近8年云南省花卉种植面积统计数据及散点图如图． (1)经计算得下表中数据，根据散点图，在模型①：与模型②：，（，，，均为常数）中，选择一个更适合作为云南省花卉种植面积关于年份代码的回归方程类型，求出关于的回归方程； 1.5 165 204 22 42 4 6448.3 2060 其中，． (2)运输过程中，为保证鲜切花质量，需对其存活天数进行研究．一品种鲜切花存活天数为随机变量，且最多只能存活天，研究人员发现，存活天数为的样本在存活天数超过的样本里占25%，存活天数为1的样本在全体样本中占20%． ①求； ②用表示该品种鲜切花存活天数的数学期望． 附：， 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据散点图，确定更适合，再利用换元法，以及题中的数据，代入公式求回归方程； （2）①根据条件概率，以及地推关系，可证明数列是以首项，为公比的等比数列，再根据分段函数的形式列出解析式；②根据①的结果，列式，再利用错位相减法，即可求解． 【详解】（1）由散点图可知，更适合作为云南省花卉种植面积关于年份代码的回归方程类型， 令，所以， 因为，，，， 所以， 所以， 所以； （2）①由题可得，， 当时，， 又，即， 同理可得，当时，， 两式相减得， 即，， 因为， 所以当时，是以为首项，为公比的等比数列， 当时，， 所以； ② ， 令， 则， 两式相减得， ， 所以， 则． 6．在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩和物理成绩如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 116 131 124 126 121 110 106 99 118 117 数学名次 7 1 3 2 4 8 9 10 5 6 物理成绩 80 78 79 81 74 65 63 70 73 84 物理名次 3 5 4 2 6 9 10 8 7 1 (1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀（物理成绩在78分（含）以上）的概率； (2)已知该校高中生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成绩和物理成绩的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩与化学成绩的样本相关系数约为，分析相关系数的向量意义，求的样本相关系数的最大值. (3)设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同，按照由大到小的顺序，记在中排名是位在中的排名是位.定义变量和变量的斯皮尔曼相关系数（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.记，其中，证明：，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到0.01） （参考公式：相关系数） 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）利用条件概率公式可求概率； （2）设，，分别令的样本相关系数，的样本相关系数，与的样本相关系数为，结合已知计算可求得结论； （3）由已知得，计算可得，再结合图表可求. 【详解】（1）由题意可得数学优秀的学生有4名，这4名中物理优秀的有3名同学， 由条件根概率公式可得； （2）分析r的向量意义，设，则， 分别令的样本相关系数，的样本相关系数，与的样本相关系数为， 则， ，， ， 夹角余弦值最大值为； （3）都是的一个排列， 同理 . 结合图表 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 回归方程与独立性检验 目录 A题型建模・专项突破 题型一、相关系数的计算 1 题型二、回归方程的有关概念辨析 2 题型三、求线性回归方程（常考点） 2 题型四、求非线性回归方程（常考点） 3 题型五、独立性检验（卡方的计算）（常考点） 3 题型六、线性回归方程与独立性检验综合题型 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、相关系数的计算 1．已知x与y之间的几组数据如下表. x 1 2 3 4 y 4 m n 1 表中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值，分别为3.5，3，2.5，得到三条线性回归直线的方程，分别为，对应的相关系数分别为，则下列结论中正确的是 .（填序号）①在同一个坐标系中，三条回归直线可以围成一个封闭图形；②；③；④相关系数中，最大. 参考公式：线性回归方程，其中；相关系数；. 2．现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的100个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取10个作为样本，调查得到样本数据，其中分别表示第个样本的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，分别表示这10个样本的植物覆盖面积和这种野生动物的数量的平均值，构造向量，并计算得，由选择性必修第一册教材中的知识，我们知道对数据的相关系数，则上述数据的相关系数 . 3．某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． x 3 4 5 6 6 7 8 9 y 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示）， ． 附：（1）参考数据：，． （2）参考公式：，． 4．已知高中学生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，随机抽取10名同学，数学成绩和物理成绩的样本线性相关系数为，物理成绩与化学成绩的样本线性相关系数为，求的样本线性相关系数的最大值为 . (附:相关系数 5．A市某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数（万人）与第个月的数据： 1 2 3 4 5 23.1 37.0 62.1 111.6 150.8 根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，且回归方程中的，则相关系数 （精确到0.01）. 参考公式：相关系数.回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为； 参考数据：，，，，. 题型二、回归方程的有关概念辨析 6．由一组样本数据得到经验回归方程，则下列说法中正确的是 .（填序号）①直线一定经过点；②直线至少经过点中的一个；③直线的斜率为；④经验回归方程最能代表样本数据中，、之间的线性关系，当时，与正相关，当时，与负相关. 7．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法中正确的是 （填序号）． 2 3 4 5 6 19 25 ★ 38 44 ①看不清的数据★的值为34； ②回归直线必经过样本点； ③回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨； ④据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨． 8．（1）已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于； （2）正态曲线当一定时，越小，总体分布越集中，越大，总体分布越分散； （3）对于分类变量与的随机变量，越大说明“与有关系”的可信度越大； （4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好； （5）根据最小二乘法由一组样本点，求得的回归方程是，对所有的解释变量，的值一定与有误差 以上命题正确的序号为 ． 9．调查了某地若干户家庭的年收入（单位：万元）和年饮食支出（单位：万元），调查显示年收入与年饮食支出具有线性相关关系，并由调查数据得到对的回归直线方程：．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加 万元. 10．某品牌啤酒厂，进行市场调研，发现该品牌啤酒在某地的月销量随着每瓶啤酒的定价不同而发生变化，连续调研5个月得到的数据如下表所示： 第1个月 第2个月 第3个月 第4个月 第5个月 单价/元 6 6.5 7 7.5 8 销量/万瓶 90 85 80 75 70 根据以上数据得到与具有较强的线性关系，若用最小二乘估计得到经验回归方程，则（    ） A．相关系数 B．点一定在经验回归直线上 C． D．当每瓶啤酒为9.5元时，月销量一定为50万瓶 题型三、求线性回归方程（常考点） 11．2025年8月30日晚，以“知音湖北，与‘篮’共舞”为主题的湖北省全国百强县篮球联赛八支球队分别在汉川、仙桃、潜江、枝江同时开战．湖北省以体育赛事为纽带，推动文体旅深度融合，为县域经济高质量发展注入新动能．组委会对其中5个参赛县的宣传费用（万元）与现场观众人数（百人）进行统计，数据如下： 参赛县 A B C D E 宣传费用x（万元） 2 3 4 5 6 现场观众人数y（百人） 19 22 24 27 28 (1)从这5个参赛县中随机抽取3个，记现场观众人数不少于24百人的县的个数为，求随机变量的分布列及数学期望； (2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测宣传费用为8万元时的现场观众人数． 附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 12．某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱． （已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） (2)求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费． 附：样本的相关系数，经验回归方程 的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下： 零件数/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间/分 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 根据样本数据，画出加工时间与加工零件个数的散点图，如图所示，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，因此可以用一元线性回归模型刻画加工时间与加工零件个数之间的关系.（运算结果保留小数点后两位数字）    (1)请求出加工时间关于零件数的经验回归方程； (2)该车间实行“按时计件”工资制度：若工人完成一个零件的平均时间低于标准时间，则可获得额外奖励.已知目前每个零件的标准加工时间定为1.2分钟，根据上述回归方程判断： （ⅰ）对于120个零件的任务，预测加工时间是否低于现行标准加工时间？（标准加工时间为分钟） （ⅱ）若工人的实际加工能力与回归模型基本一致，车间是否应考虑调整标准时间？若需调整应调整到多少比较合适？ 附：参考数据：，，，. 对于一组数据，，，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 14．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量（单位：千件）与售价（单位：元/件）的情况如下表所示． 售价（元/件） 48 49 50 51 52 月销售量（千件） 10 9 9 7 5 (1)求相关系数，并说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）； (2)建立关于的线性回归方程，并估计当售价为53元/件时，该商品的月销售量为多少千件？ 参考公式：① ② ③ 参考数据： 15．某景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数y（万人）与第个月的数据： 1 2 3 4 5 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 已知与线性相关. (1)求关于的线性回归方程； (2)预测第7个月的打卡人数. 参考数据：. 参考公式：线性回归方程中斜率､截距的最小二乘法估计公式为. 题型四、求非线性回归方程（常考点） 16．红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中；；； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)根据（1）中所选择的模型，求出关于的回归方程． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 17．某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. (1)设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好； (2)根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， . ②参考数据：. 18．为了提高利润，某果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图，这是2016年至2025年该果园每年的投资金额（单位：万元）与年利润增量（单位：万元）的散点图． 模型①由最小二乘法可求得与的经验回归方程为； 模型②由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线的附近，令，则，且有． (1)根据所给的统计量，求模型②中关于的经验回归方程； (2)已知2025年的投资金额为20万，年利润增量为40万，分析这两种模型在2025年时哪个模型的预报效果更好． 参考公式与数据：． 19．台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，， 20．某工厂生产各种规格的某种零件，从中随机抽取6个不同规格的零件，其检测数据如下表： 零件尺寸 38 48 58 68 78 88 零件质量 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸之比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 (1)测评标准指出，当零件的质量与其尺寸之比在区间内时为优等品.现从上述6个零件中任选2个，求这2个零件中优等品个数的均值和方差； (2)据散点图分析，上述6个零件的质量与尺寸之间存在非线性相关关系，其经验回归方程可设为.当零件的尺寸为时，估计零件的质量约为多少?（精确到） 参考数据：，，，， 附：对于样本数据 ，其一元线性回归模型中斜率参数b和截距参数a的最小二乘估计分别为：， 题型五、独立性检验（卡方的计算）（常考点） 21．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如表： 专业 性别 非统计专业 统计专业 男 13 10 女 7 20 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到，因为，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为 ． 22．随着国家三胎政策的放开，为了调查一线城市和非一线城市的三胎生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表： 城市级别生育意愿 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 计算得．参照下表， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 则有 的把握认为生育意愿与城市级别有关． 23．米接力短跑作为田径运动的重要项目，展现了一个国家短跑运动的团体最高水平．每支队伍都有自己的一个或几个明星队员，现有一支米接力短跑队，张三是其队员之一，经统计该队伍在参加的所有比赛中，张三是否上场时该队伍是否取得第一名的情况如下表．若已知张三上场，则该队伍取得第一名的概率约为 ．若有的把握认为该队伍是否取得第一名与张三是否上场有关，则认为张三是这支队伍的明星队员，则依据表中数据可判断张三 （填“是”或“不是”）这支队伍的明星队员． 张三上场情况 队伍取得第一名的情况 取得第一名 未取得第一名 总计 上场 未上场 总计 24．某社区居民计划暑假去海南或厦门旅游，经统计得到如下列联表： 去海南旅游 去厦门旅游 合计 老年人 2m 3m 5m 中年人 3m 2m 5m 合计 5m 5m 10m 若依据小概率值的独立性检验认为去海南还是厦门旅游与年龄有关，则正整数的最小值为 ． 参考公式：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 25．某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95%的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有 人. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 附： 题型六、线性回归方程与独立性检验综合题型 26．冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 (1)求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量； (2)为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 20 女生 40 合计 （ⅰ）根据已知条件，填写列联表； （ⅱ）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联； (3)从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 27．目前，AI赋能语音识别技术已从实验室的“概念验证”发展为改变人类生活的基础设施，随着大模型和多模态技术的融合，英文识别将不再是单一功能，也是智能系统理解世界的“耳朵”和“眼睛”，推动人机交互从“命令执行”向“自然对话”演进.现甲、乙两名同学通过英文指令与某AI智能体人机交互共生成200篇文章.若生成的文章达到专业要求，不用进一步改良，视为合格.现已知甲同学生成的文章有80篇合格，占甲同学生成文章总数的，乙同学生成的文章有一半合格. (1)请根据以上数据填写下面的列联表，并推断能否有95%的把握认为生成的文章是否合格与甲、乙（不同的）同学给出的指令有关？ 生成的文章合格 生成的文章不合格 总计 甲同学 80 乙同学 总计 200 (2)经试验，若给出的指令够准确具体，该智能体生成文章合格的概率为，则在此条件下从该智能体生成的一批文章中随机调取3篇，请写出其中合格的篇数的分布列，并算出期望. 附：，其中（结果精确到0.001）. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 28．为应对全球气候变化，我国制定了碳减排的国家战略目标，采取了一系列政策措施积极推进碳减排，作为培育发展新动能､提升绿色竞争力的重要支撑，节能环保领域由此成为全国各地新一轮产业布局的热点和焦点.某公司为了解员工对相关政策的了解程度，随机抽取了180名员工进行调查，得到如下表的数据： 了解程度 性别 合计 男性 女性 比较了解 60 60 不太了解 20 40 合计 (1)补充表格，并根据小概率值的独立性检验，分析了解程度与性别是否有关？ (2)用分层抽样的方式从不太了解的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量表示这6人中男性员工人数与女性员工人数之差的绝对值，求的分布列和数学期望. 参考公式： 独立性检验中常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.025 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 7.879 10.828 29．某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100      62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 30．某省为了解高中生对足球赛事的了解情况，特地举办了一次足球常识问卷调查，问卷的满分为100分，统计结果显示，学生成绩，不低于60分为及格，高于80分为优秀，且优秀率为20%．根据某高中学校参加问卷的90名学生的调查结果，得到如下列联表： 性别 关注足球赛事 不关注足球赛事 合计 男 55 5 60 女 20 10 30 合计 75 15 90 (1)根据小概率值的独立性检验，分析该校学生对足球赛事的关注是否与性别有关； (2)在这90名学生中随机抽取一名，记事件表示抽到“学生关注足球赛事”，事件表示抽到“学生是女生”，求及的值； (3)从全省参与调查的学生中随机选出5人，这5人中及格的人数记作，求的期望与方差． 附：，其中． 常用的小概率值和相应的临界值： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 1．移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5． (1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； (2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型  （随机误差）．请推导：当随机误差平方和Q＝取得最小值时，参数b的最小二乘估计． (ii)令变量，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数． 附：样本相关系数，，，， 2．某社交平台对用户行为进行分析，收集了每位用户每日的活跃时间（单位：小时）和发布内容数量（单位：条）.为分析两变量间的相关性，需对数据进行标准化处理.现随机抽取名用户，得到数据，定义标准化变量与的相关系数为. (1)证明：且. (2)基于历史数据，用户活跃时间，设平台服务成本为随机变量，当时，，当时，，当时，，若在变化，且0.9544，求的期望的取值范围. (3)设维向量与的数量积定义为，模长定义为与的夹角满足.设x，y标准化变量对应的向量分别为为向量与的夹角.该平台还记录了每位用户的好友数量（单位：人），其标准化变量对应的向量，）.已知活跃时间与发布内容数量的相关系数为，发布内容数量与好友数量的相关系数为，设与的夹角为与的夹角为，且，求活跃时间与好友数量的相关系数的取值范围. 附相关公式：与的相关系数. 3．某兴趣学习小组为研究物理成绩与知识竞赛成绩之间的相关关系，通过对随机抽样出来的20组数据的物理成绩和知识竞赛成绩数据如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 物理成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77 知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270 学生编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 物理成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35 知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5 一些统计量的值： 75 90 6464 149450 21650 (1)求这组学生的物理成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）； (2)设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同.记在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数. （i）记.证明：； （ii）用（i）的公式求这组学生的物理成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”，并简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势. 【附参考公式及参考数据：对于一组成对数据，其相关系数】 4．为了研究广告支出与销售额的关系，现随机抽取5家超市作为样本，得到其广告支出x（单位：万元）与销售额W（单位：万元）数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 3 4 5 销售额W 4 9 14 18 (1)当时，根据表中样本数据，计算相关系数r，并推断它们的相关程度（保留两位小数）； (2)根据表中样本数据，用最小二乘法得到销售额W关于广告支出x的回归直线方程为，销售额W的方差为52.4，求的值，并计算广告支出为5（万元）时销售额的残差； (3)收集更多变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如图所示，则模型误差是否满足一元线性回归模型的与的假设（直接写出结果）． 附：相关系数，回归系数，参考数据：． 5．云南花卉产业作为云南全力打造世界一流“绿色食品牌”的重点产业之一．从起步发展至今仅四十多年的时间，取得了令人瞩目的成绩．目前云南已成为全球公认的三大最适宜鲜切花种植的区域之一，鲜切花种植面积和产量位居全球第一，全省花卉种植面积稳定在190万亩左右．近8年云南省花卉种植面积统计数据及散点图如图． (1)经计算得下表中数据，根据散点图，在模型①：与模型②：，（，，，均为常数）中，选择一个更适合作为云南省花卉种植面积关于年份代码的回归方程类型，求出关于的回归方程； 1.5 165 204 22 42 4 6448.3 2060 其中，． (2)运输过程中，为保证鲜切花质量，需对其存活天数进行研究．一品种鲜切花存活天数为随机变量，且最多只能存活天，研究人员发现，存活天数为的样本在存活天数超过的样本里占25%，存活天数为1的样本在全体样本中占20%． ①求； ②用表示该品种鲜切花存活天数的数学期望． 附：， 6．在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩和物理成绩如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 116 131 124 126 121 110 106 99 118 117 数学名次 7 1 3 2 4 8 9 10 5 6 物理成绩 80 78 79 81 74 65 63 70 73 84 物理名次 3 5 4 2 6 9 10 8 7 1 (1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀（物理成绩在78分（含）以上）的概率； (2)已知该校高中生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成绩和物理成绩的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩与化学成绩的样本相关系数约为，分析相关系数的向量意义，求的样本相关系数的最大值. (3)设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同，按照由大到小的顺序，记在中排名是位在中的排名是位.定义变量和变量的斯皮尔曼相关系数（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.记，其中，证明：，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到0.01） （参考公式：相关系数） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $