7.1 数列的概念讲义-2026届高三中职数学一轮复习

专题7.1 数列的概念 【前言】 重点围绕真题核心考点进行编制，包含高频考点、重难点、例题精讲、变式练习、真题精选、技巧总结、课后巩固，适合于中职生学习和备考使用 【考纲要求】 1.简单了解数列的概念和分类. 2.理解数列的定义;通项公式、递推公式的概念及意义. 3.掌握根据通项公式或首项和递推公式写出数列的任意一项. 4.掌握根据数列的前n项和归纳出数列的一个通项公式. 【考点预测】 1.【高频考点】递推公式的运用 2.【重难点】已知求 【知识梳理】 1．数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{an}． 2．数列的分类 (1)数列按项数是有限还是无限来分，分为有穷数列、无穷数列. (2)按项的增减规律分为递增数列、递减数列和常数列．递增数列⇔an＋1＞an；递减数列⇔an＋1＜an；常数列⇔an＋1 ＝an.递增数列与递减数列统称为单调数列． 3．通项公式 (1)如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． (2) 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 5．数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 6．数列前n项和与的关系 (1) 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. (2) an＝ 【考点精讲】 考点一：数列的递推公式运用 【例1】数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，由，， 可知，， 故选：A． 【变式】设数列满足，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，； 当时，， 故选：C. 【真题】已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】当时，； 当时，， 当时，， 故选：A. 【技巧总结】已知数列的递推公式和具体的某一项，求另一项时，通常用赋值法，令等于具体的的数字，代入逐项求解。 考点二：数列前n项和与的关系 【例1】已知数列的前n项和，则的值为（ ） A．2 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【解析】由题意得， 故选：C． 【变式】设为数列的前n项和，且，（n≥2），则= . 【答案】54 【解析】根据题意，数列{an}中，（n≥2）， 则，，， 所以S4=2+4+12+36=54， 故答案为：54. 【例2】已知数列的前项和，则 . 【答案】1 【解析】由题意，数列的前项和， 令，可得，即，解得， 故答案为：. 【变式】已知数列的前项和为，且，则 . 【答案】4 【解析】因为，当时，， 当时，，解得， 故答案为：4． 【例3】已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【解析】， ，故， 故选：B. 【变式】已知数列的前项和，则______. 【答案】7 【解析】当时，； 当时，. 所以，所以. 故答案为：. 【例4】数列的前项和，则 . 【答案】 【解析】当时，， 当时，， 当时也满足上式，所以， 故答案为：. 【变式】若数列的前项和为，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】当时，， 当时，， ，也满足上式， ∴， 故答案为：2n－3． 【技巧总结】在数列小题中，题干中出现前n项和Sn，要求具体的某一项，一定要想到这个公式，如果在数列大题中，那需要进行分类讨论. 【巩固练习】 一、单选题 1．【容易】已知数列满足，，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．【容易】已知数列中，，，则（   ） A． B． C． D．2 3．【容易】已知数列满足，，则（    ） A．5 B．10 C．11 D．12 4．【容易】若数列满足，则（    ） A．16 B．20 C．24 D．28 5．【容易】数列满足，，，，则的值为（    ）. A．13 B．14 C．15 D．16 二、填空题 6．【容易】已知数列中，，，则 . 7．【容易】数列满足，且，则 . 8．【中等】已知数列满足：，，则 . 9．【中等】已知数列的前项和，则 . 【参考答案】 1．A 【解析】因，由可得，. 故选：A. 2．A 【0解析】因为，， 所以，，，. 故选：A 3．B 【解析】因为数列满足，， ， 则. 故选：B. 4．C 【解析】，，， . 故选：C. 5．C 【解析】由题意，. 故选：C. 6．/ 【解析】因为，，所以， 所以. 故答案为： 7．5 【解析】因为，且，所以 当时，， 当时，， 当时， 故答案为：5 8．21 【解析】由题意：，，. 故答案为：21 9．15 【解析】因为， 所以 故答案为：15. 学科网（北京）股份有限公司 $