15.1 样本空间和随机事件-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦样本空间和随机事件核心知识，以体育彩票摇奖实例导入，通过“摇出小球号码”问题链引导学生观察随机现象，衔接确定性现象与随机试验概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于结合生活实例（如彩票摇奖、骰子抛掷）设计题型，通过事件类型判断、样本空间确定等例题培养数学抽象与逻辑推理，配套跟踪训练和分层练习，助力学生构建概念体系，教师可直接用于课堂，提升教学效率与学生思维能力。

15.1　样本空间和随机事件 新课程标准解读 核心素养 1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系 数学抽象、直观想象、逻辑推理 2.理解事件的包含关系及并事件（和事件）、交事件（积事件）的含义 数学抽象、逻辑推理 　　体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的小球放入摇奖器中，然后经过充分搅拌后摇出小球. 【问题】　（1）若摇出一个小球，观察这个小球的号码，这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？ （2）若先后摇出两个小球，观察两个小球的号码，这个随机试验的结果有几种情况？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　确定性现象、随机现象和随机试验 1.确定性现象：在一定条件下，事先就能断定　发生　或　不发生　某种结果，这种现象就是确定性现象. 2.随机现象：在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先　不能断定　出现哪种结果，这种现象就是随机现象. 3.随机试验的概念和特点 （1）概念：对某随机现象进行的实验、观察称为随机试验，简称试验； （2）特点：在相同条件下，试验可以重复进行，试验的结果有多个，全部可能结果在试验前是明确的，但不能确定会出现哪一个结果. 【想一想】 　随机试验在相同条件下重复进行时所得结果一样吗？ 提示：所得结果是随机的，但所有可能结果是一样的. 知识点二　样本空间及事件 1.样本点和样本空间 定义 字母表示 样本点 随机试验的　每一个可能结果　称为样本点 用ω表示 样本 空间 所有样本点组成的集合称为样本空间 用Ω表示 有限样 本空间 如果样本空间Ω是一个有限集合，则称样本空间Ω为有限样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn} 2.随机事件 事件类型 定义 随机事件 样本空间的　子集　，简称事件 必然事件 Ω（全集） 不可能事件 ⌀（空集） 基本事件 当一个事件仅包含　单一　样本点时，称该事件为基本事件 3.事件之间的关系及运算 （1）事件的包含关系：事件B发生必导致事件A发生，这时，我们称事件A包含事件B（或事件B包含于事件A），记作：　A⊇B　（或B⊆A）； （2）事件的运算 定义 符号 图示 并事件（或和事件） 事件A与B至少有一个发生即为事件C发生 C＝A＋B （或C＝A∪B） 交事件（或积事件） 事件A与B同时发生即为事件C发生 C＝AB （或C＝A∩B） 1.下列现象是确定性现象的是（　　） A.一天中进入某超市的顾客人数 B.一顾客在超市中购买的商品数 C.一颗麦穗上长着的麦粒数 D.早晨太阳从东方升起 解析：D　选项A、B、C中的数量都是随机的，因此是随机现象；选项D中，早晨太阳一定从东方升起，因此是确定性现象.故选D. 2.（多选）下列试验中是随机事件的有（　　） A.某射手射击一次，射中10环 B.同时掷两枚骰子，都出现6点 C.某人购买福利彩票未中奖 D.若x为实数，则x2＋1≥1 解析：ABC　A、B、C是随机事件，D是必然事件. 3.从数字1，2，3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝　{（1，2），（1，3），（2，3）}　. 解析：从数字1，2，3中任取两个数字，共有3个结果：（1，2），（1，3），（2，3），所以Ω＝{（1，2），（1，3），（2，3）}. 题型一 　事件类型的判断 【例1】　（链接教科书第278页习题1题）指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： （1）买一张体育彩票，结果中奖； （2）三角形的内角和为180°； （3）没有空气和水，人类可以生存下去； （4）抛掷一枚硬币，结果正面向上； （5）从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； （6）把实心铁块丢入水中，结果铁块浮起. 解：（1）因为买一张体育彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件. （2）因为所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件. （3）因为没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件. （4）因为抛掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，所以是随机事件. （5）因为任取一张标签，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事件. （6）由物理知识可知，实心铁块不会在水中浮起，所以是不可能事件. 通性通法 确定事件类型的注意事项 　　要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件. 【跟踪训练】 　有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是（　　） A.事件A，B都是随机事件 B.事件A，B都是必然事件 C.事件A是随机事件，事件B是必然事件 D.事件A是必然事件，事件B是随机事件 解析：D　对于事件A，一年有365天或366天，由抽屉原理可知，367人中至少有2人生日相同，事件A为必然事件；对于事件B，抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件B为随机事件.故选D. 题型二 确定试验的样本点及样本空间 【例2】　（1）（链接教科书第276页例2）写出下列试验的样本空间： ①同时抛掷三枚质地均匀的骰子，记录三枚骰子出现的点数之和； ②从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果； （2）将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用（x，y）表示，其中x表示第一次抛掷出现的点数，y表示第二次抛掷出现的点数.用集合表示事件“出现的点数之和大于8”. 解：（1）①该试验的样本空间Ω1＝{3，4，5，…，18}. ②该试验所有可能的结果如图所示， 因此，该试验的样本空间Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}. （2）列出抛掷两次骰子出现的点数和对应的表： 由表可知“出现的点数之和大于8”可用集合表示为{（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}. 通性通法 1.确定试验样本空间的注意事项 （1）确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式； （2）要考虑周全，应想到试验的所有可能结果，避免发生遗漏和出现多余的结果. 2.写出样本空间的三种方法 （1）列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏； （2）列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏； （3）树形图法：适用于较复杂问题中样本点的探求，一般需要分步（两步及两步以上）完成的结果可以用树形图法进行列举. 【跟踪训练】 1.一个家庭生两个小孩，所有的样本点有（　　） A.（男，女），（男，男），（女，女） B.（男，女），（女，男） C.（男，男），（男，女），（女，男），（女，女） D.（男，男），（女，女） 解析：C　把第一个孩子的性别写在前面，第二个孩子的性别写在后面，则所有的样本点是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），故选C. 2.甲、乙两人做猜拳游戏（锤子、剪刀、布）.求该事件的样本空间. 解：样本空间Ω＝{（锤子，锤子），（锤子，剪刀），（锤子，布），（剪刀，锤子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子），（布，剪刀），（布，布）}. 题型三 随机事件之间的关系及运算 【例3】　将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数. （1）写出试验的样本空间Ω； （2） 记“第一次出现的点数为4”为事件A，“第一次出现的点数为4、第二次出现的点数是偶数”为事件B，分别写出A， B所包含的样本点，并用集合的语言分析A与B的关系； （3）记“两次出现的点数之和为8”为事件C，“两次出现的点数之差大于3”为事件D，“两次出现的点数之和为8或点数之差大于3”为事件E，“两次出现的点数之和为8且点数之差大于3”为事件F，分别写出C，D，E，F所包含的样本点，并用集合的语言分析C，D，E，F之间的关系. 解：（1） 一颗骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示.如图所示： 因此，试验的样本空间Ω＝{（1， 1）， （1， 2）， （1， 3）， （1， 4）， （1， 5）， （1， 6）， （2， 1）， （2， 2）， （2， 3）， （2， 4）， （2， 5）， （2， 6）， （3， 1）， （3， 2）， （3， 3）， （3， 4）， （3， 5）， （3， 6）， （4， 1）， （4， 2）， （4， 3）， （4， 4）， （4， 5）， （4， 6）， （5， 1）， （5， 2）， （5， 3）， （5， 4）， （5， 5）， （5， 6）， （6， 1）， （6， 2）， （6， 3）， （6， 4）， （6， 5）， （6， 6）}. （2）由（1）知，事件A＝{（4， 1）， （4， 2）， （4， 3）， （4， 4）， （4， 5）， （4， 6）}. 事件B＝{（4， 2）， （4， 4）， （4， 6）}.显然B⊆A. （3） 由（1）知，事件C＝{（2， 6）， （3， 5）， （4， 4）， （5， 3）， （6， 2）}， 事件D＝{（1， 5）， （1， 6）， （2， 6）， （5， 1）， （6， 1）， （6， 2）}， 事件E＝{ （1， 5）， （1， 6）， （2， 6）， （3， 5）， （4， 4）， （5， 1）， （5， 3）， （6， 1）， （6， 2）}， 事件F＝{（2， 6）， （6， 2）}. 所以E＝C∪D，F＝C∩D. 通性通法 事件的运算应注意的2个问题 （1）要紧扣运算的定义，在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理； （2）要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析. 【跟踪训练】 　盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}. （1）事件D与A，B是什么样的运算关系？ （2）事件C与A的交事件是什么事件？ 解：（1）对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，故D＝A∪B. （2）对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，或3个红球，故C∩A＝A. 1.（多选）下列事件中是必然事件的为（　　） A.直角三角形两锐角和为90° B.三角形中大边对大角，大角对大边 C.三角形中两个内角和小于90° D.三角形中任意两边的和大于第三边 解析：ABD　对钝角三角形的两个锐角，两锐角的和小于90°，对直角三角形的两个锐角，两锐角和等于90°，所以C是随机事件，而A、B、D均为必然事件.故选A、B、D. 2.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则试验包含的样本点共有（　　） A.1个　　　　　　　　　 B.2个 C.3个 D.4个 解析：C　样本点有（数学，计算机），（数学，航空模型），（计算机，航空模型）共3个.故选C. 3.用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A＝{（红，红），（黑，黑），（黄，黄）}，则事件A的含义是　甲、乙两个小球所涂颜色相同　. 4.抛掷一颗骰子，“出现奇数点”记为事件A，“出现偶数点”记为事件B，“出现的点数小于3”记为事件C.求： （1）A∩B，B∩C； （2）A∪B，B∪C. 解：由题意，得A＝{1，3，5}，B＝{2，4，6}，C＝{1，2}. （1）A∩B＝⌀，B∩C＝{2}. （2）A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，B∪C＝{1，2，4，6}. 1.下列事件中是随机事件的是（　　） A.在数轴上向区间（0，1）内投点，点落在区间（0，1）内 B.在数轴上向区间（0，1）内投点，点落在区间（0，2）内 C.在数轴上向区间（0，2）内投点，点落在区间（0，1）内 D.在数轴上向区间（0，2）内投点，点落在区间（－1，0）内 解析：C　当x∈（0，1）时，必有x∈（0，1），x∈（0，2），所以A和B都是必然事件；当x∈（0，2）时，有x∈（0，1）或x∉（0，1），所以C是随机事件；当x∈（0，2）时，必有x∉（－1，0），所以D是不可能事件.故选C. 2.从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点个数为（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 解析：B　从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}.其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个.故选B. 3.在10名学生中，男生有x人，现从10名学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生.若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x的值为（　　） A.5 B.6 C.3或4 D.5或6 解析：C　由题意，知10名学生中，男生人数少于5，但不少于3，所以x＝3或x＝4.故选C. 4.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A＝{出现的点数是1或2}，事件B＝{出现的点数是2或3或4}，则事件“出现的点数是2”可以记为（　　） A.A∪B B.A∩B C.A⊆B D.A＝B 解析：B　A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2}.故选B. 5.（多选）一箱产品共有50件，其中5件是次品，45件是合格品.从箱子中任意抽取5件，现给出以下四个事件： 事件A表示“恰有一件次品”； 事件B表示“至少有两件次品”； 事件C表示“至少有一件次品”； 事件D表示“至多有一件次品”. 则下列说法正确的是（　　） A.A∪B＝C B.B∪D是必然事件 C.A∩B＝C D.A∩D＝C 解析：AB　对于A，事件A∪B表示“至少有一件次品”，即事件C，故A正确；对于B，事件B∪D表示“至少有两件次品或至多有一件次品”，包括了所有情况，故B正确；对于C，事件A∩B＝⌀，故C错误；对于D，事件A∩D表示“恰有一件次品”，即事件A，故D错误.故选A、B. 6.（多选）一个不透明的袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是基本事件的为（　　） A.取出的两球标号为3和7 B.取出的两球标号的和为4 C.取出的两球的标号都大于3 D.取出的两球的标号的和为8 解析：ABC　基本事件即只含有一个样本点的事件，选项A，B，C都只含有一个样本点，是基本事件；选项D中包含取出标号为1和7，3和5两个样本点，所以D不是基本事件.故选A、B、C. 7.有下列事件： ①连续掷一枚硬币两次，两次都出现反面朝上； ②异性电荷相互吸引； ③在标准大气压下，水在1 ℃结冰； ④买了一注彩票就得了特等奖. 其中是随机事件的有　①④　，必然事件有　②　，不可能事件有　③　（填序号）. 解析：①是随机事件，②是必然事件，③是不可能事件，④是随机事件. 8.袋中有红、白、黄、黑除颜色外大小相同的四个球，从中任取两个球的样本空间Ω＝　{（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑）}　 　. 9.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色.设事件A为“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个球恰有一个红球”，则A∩B表示的事件为　所取两个球恰有一个红球　. 解析：因为从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，这一随机试验的样本空间Ω＝{（白，白），（白，红），（红，红）}，且A＝{（白，红），（白，白）}，B＝{（白，红）}，所以A∩B＝{（白，红）}.故A∩B表示的事件为所取的两个球恰有一个红球. 10.从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，观察取出卡片上的数字. （1）写出这个试验的样本空间； （2）求这个试验的样本点的总数； （3）“数字之和为5”这一事件包含哪几个样本点？ 解：（1）这个试验的样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}. （2）样本点的总数是10. （3）“数字之和为5”这一事件包含以下两个样本点：（1，4），（2，3）. 11.（2024·南京质检）将一枚骰子掷两次，若朝上的面先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点个数为（　　） A.36 B.30 C.25 D.19 解析：D　掷一枚骰子两次，向上的面出现的点数如表所示： 方程x2＋bx＋c＝0有实数根的充要条件为b2－4c≥0，即b2≥4c.由上表可知，共有1＋2＋4＋6＋6＝19个满足题意的样本点. 12.班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生. （1）若女生被抽到是必然事件，则a的取值范围为　18＜a≤33，a∈N*　； （2）若女生小丽被抽到是随机事件，则a的取值范围为　1≤a＜33，a∈N*　. 解析：（1）班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到是必然事件，所以18＜a≤33，a∈N*. （2）班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生小丽被抽到是随机事件，所以1≤a＜33，a∈N*. 13.（2024·盐城月考）如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝　B∩（C∪D）（或（BC）∪（BD））　.（用B，C，D间的运算关系式表示） 解析：要使电灯变亮，则开关Ⅰ必须闭合，且开关Ⅱ和Ⅲ中至少有一个闭合，即要使“事件B发生”且“事件C发生或事件D发生”，用符号表示为B∩（C∪D）.也可分类讨论，即开关Ⅰ和Ⅱ闭合或开关Ⅰ和Ⅲ闭合，即事件BC发生或事件BD发生，用符号表示为（BC）∪（BD）. 14.抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E. （1）试判断事件A与事件B，C，E的关系； （2）试求A∩D，B∪C所包含的样本点，并判断A∩D与B∪C的关系. 解：（1）事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个基本事件， 所以B⊆A，C⊆A，E⊆A，A＝B∪C∪E. （2）“至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正面向上，两次反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三个基本事件，可以看出事件A与事件D有两个相同的基本事件，即“一次正面向上，两次反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”，故A∩D＝{一次正面向上两次反面向上，两次正面向上一次反面向上}，B∪C＝{一次正面向上两次反面向上，两次正面向上一次反面向上}，所以A∩D＝B∪C. 15.汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.如图所示，三个汉字可以看成轴对称图形. 土　口　木 小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字（如“土”“土”构成“圭”），则小敏获胜，否则小慧获胜. （1）写出该试验的样本空间Ω； （2）设小敏获胜为事件A，试用样本点表示A. 解：（1）每次游戏时，所有可能出现的结果如下表所示： 　 　　第二张卡片 第一张卡片　　　 土 口 木 土 （土，土） （土，口） （土，木） 口 （口，土） （口，口） （口，木） 木 （木，土） （木，口） （木，木） ∴Ω＝{（土，土），（土，口），（土，木），（口，土），（口，口），（口，木），（木，土），（木，口），（木，木）}. （2）能组成上下结构的汉字的样本点为（土，土），（口，口），（木，口），（口，木）. ∴A＝{（土，土），（口，口），（木，口），（口，木）}. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $