14.2.2 分层抽样-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦分层抽样的定义、特点、步骤及与简单随机抽样的异同，通过“中小学生近视调查”实例导入，对比简单随机抽样局限性，构建知识脉络，为学生提供学习支架。 以新课标核心素养为导向，通过问题驱动和实例分析（如职工年龄抽样、零件等级抽样）培养数学运算（样本容量计算）和逻辑推理（抽样方法选择）能力，多样化例题和分层训练助力学生掌握应用，提升教师教学效率，夯实统计基础。

14.2.2　分层抽样 新课程标准解读 核心素养 1.通过实例，了解分层抽样的特点和使用范围，了解分层抽样的必要性，掌握各层样本按比例分配的方法 数学运算 2.在简单的实际情景中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题 逻辑推理 　　某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生近视的总体情况和三个群体近视情况的差异大小. 【问题】　（1）上述问题中总体有什么特征？ （2）采用抽签法合适吗？若不合适，应采用什么方法抽取样本？ 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　分层抽样 1.分层抽样的定义 一般地，当总体由　差异明显　的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将　总体中的个体按不同的特点　分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分　在总体中所占的比　实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样，所分成的各个部分称为“层”. 2.分层抽样的特点 （1）适用于总体由明显差异的几部分组成的情况； （2）抽取的样本更好地反映了总体的情况； （3）是等可能性抽样，每个个体被抽到的可能性相同. 3.分层抽样的步骤 （1）将总体按　一定标准　分层； （2）计算各层的　个体数　与总体的个体数的比； （3）按　各层的个体数占总体的个体数的比　确定各层应抽取的样本容量； （4）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样）. 提醒　使用分层抽样应注意的问题：①分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要小，不同层之间的样本差异要大，且互不重叠；②抽取比例由每层个体占总体的比例确定；③各层抽样按简单随机抽样进行. 知识点二　简单随机抽样与分层抽样的异同点 类别 特点 相互联系 适用范围 共同点 简单随 机抽样 从总体中逐个抽取 总体中的个体数相对较少 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同 分层 抽样 将总体分成几层，按各层的个体数之比抽取 各层抽样时，可以采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成 1.下面的抽样方法是分层抽样的是（　　） A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖 B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔20分钟抽一包产品，称其质量是否合格 C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见 D.用抽签方法从8件产品中选取3件进行质量检验 解析：C　A、B不是分层抽样，C是分层抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样.故选C. 2.某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵.为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（　　） A.30　　　　　　　　 B.25 C.20 D.15 解析：C　样本中松树苗为4 000×＝4 000×＝20（棵）.故选C. 3.一个班共有54人，其中男同学、女同学之比为5∶4，若抽取9人参加教改调查会，则每个男同学被抽取的可能性为　　，每个女同学被抽取的可能性为　　. 解析：男、女同学每人被抽取的可能性是相同的，因为男同学共有54×＝30（人），女同学共有54×＝24（人），所以每个男同学被抽取的可能性为 ＝ ，每个女同学被抽取的可能性为 ＝ . 题型一 　分层抽样的概念 【例1】　下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是（　　） A.从10名同学中抽取3人参加座谈会 B.红星中学共有学生1 600名，其中男生840名，防疫站对此校学生进行身体健康调查，抽取一个容量为200的样本 C.从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间 D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 解析：B　A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合分层抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样. 通性通法 分层抽样的前提和遵循的两条原则 （1）前提：分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取； （2）遵循的两条原则： ①每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；②每层样本容量与每层个体数量的比等于抽样比. 【跟踪训练】 　在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本. 方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，02，…，99，用抽签法抽取20个. 方法2：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题，下列说法正确的是　①③　.（填序号） ①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是； ②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同； ③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征. 解析：根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是，故①正确，②错误；由于总体中有差异较明显的三个层（一级品、二级品和三级品），故方法2抽到的样本更有代表性，③正确.故①③正确. 题型二 分层抽样的应用 【例2】　（链接教科书第232页例1）某单位要调查了解本单位职工与身体状态有关的某项指标，参加调查的单位职工总人数为500，其中各个年龄段的人数如表所示.由于职工年龄与这项指标有关，该单位打算从中抽取100人进行更为详细的调查，应该怎样进行抽样抽取？ 年龄段 不到35岁 35岁至49岁 50岁及 50岁以上 职工数 125 280 95 解：因为职工年龄与这项指标有关，故采用分层抽样.步骤如下： （1）分层.按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工. （2）确定每层抽取个体的个数.抽样比为＝， 则在不到35岁职工中抽125×＝25（人）， 在35岁至49岁职工中抽280×＝56（人）， 在50岁及50岁以上职工中抽95×＝19（人）. （3）在各层中采用抽签法或随机数表法抽取样本. （4）综合每层抽样，组成样本. 通性通法 分层抽样中有关抽样比的计算方法 　　对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式求解： （1）抽样比＝ ＝ ； （2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比. 　　对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系式求解. 【跟踪训练】 1.将一个总体分为A，B，C 3层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则应从C中抽取　20　个个体. 解析：因为A，B，C 3层个体数之比为5∶3∶2，又有总体中每个个体被抽到的概率相等，所以由分层抽样得，应从C中抽取100×＝20（个）个体. 2.某中学高中部有三个年级，其中高三年级有600人，采用分层抽样抽取一个容量为45的样本.已知高一年级抽取15人，高二年级抽取10人，则高中部的总人数是　1 350　. 解析：因为抽取的样本容量为45，且高一年级抽取15人，高二年级抽取10人，那么高三年级抽取45－15－10＝20（人），设高中部学生人数为n，则＝，得n＝＝1 350. 题型三 抽样方法的选择及应用 【例3】　（链接教科书第234页例2）为了考察某学校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行统计分析，为了全面反映实际情况，采取以下方式进行抽查（已知该学校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同）： ①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取20人，考察他们的学习成绩； ②把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察（已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）. 根据上面的叙述，回答下列问题： （1）上面两种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？ （2）上面两种抽取方式中各自采用何种抽样方法？ 解：（1）两种抽取方式中，总体都是高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩.第一种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中，样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100. （2）第一种方式采用的是简单随机抽样法；第二种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法. 通性通法 选择抽样方法的思路 （1）判断总体是否由差异明显的几部分组成，若是，则选用分层抽样；否则，考虑用简单随机抽样； （2）判断总体容量和样本容量的大小，当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大、样本容量较小时，采用随机数表法；当总体容量较大且层次性明显时，采用分层抽样. 【跟踪训练】 　某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各岗位中的人数情况如表所示： 管理 技术开发 营销 生产 合计 老年 40 40 40 80 200 中年 80 120 160 240 600 青年 40 160 280 720 1 200 合计 160 320 480 1 040 2 000 （1）若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？ （2）若要开一个有25人参与的讨论单位发展与薪金调整方案的座谈会，则应怎样抽选出席人？ 解：（1）用分层抽样法，并按老年职工4人，中年职工12人，青年职工24人抽取. （2）用分层抽样法，并按管理岗位2人，技术开发岗位4人，营销岗位6人，生产岗位13人抽取. 1.下列抽样调查中，宜用分层抽样的是（　　） A.为了研究班级同学父母的受教育状况，从班级的40名同学中抽取10名同学，调查他们父母的受教育状况 B.为了研究全校同学的肺活量，从全校三个年级的1 500 名同学中抽取50名同学，调查他们的肺活量 C.质量检验员从同一批产品中抽取10%进行质量检验 D.园林绿化人员调查一块草坪的土质，在草坪中提取部分泥土进行检验 解析：B　A.班级的40名同学没有明显差异，不宜用分层抽样；B.全校三个年级的1 500名同学有明显的差异，宜用分层抽样；C.同一批产品没有明显差异，不宜用分层抽样；D.同一块草坪的土质没有明显差异，不宜用分层抽样.故选B. 2.简单随机抽样和分层抽样之间的共同点是（　　） A.都是从总体中逐个抽取的 B.抽样过程中每个个体被抽到的机会是相等的 C.将总体分成几层，然后各层按照比例抽取 D.两者之间没有共同点 解析：B　由两种抽样方法的定义可知，在抽样过程中每个个体被抽到的机会相等，故选B. 3.某中学有高中生 3 500人，初中生1 500人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n＝（　　） A.100　　　　　　　　 B.150 C.200 D.250 解析：A　抽样比为＝，该校总人数为1 500＋3 500＝5 000，则＝，故n＝100.故选A. 4.某校对全校1 200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本.已知女生抽了85人，则该校的男生人数为　690　. 解析：男生人数占总人数的比等于抽到男生人数占样本容量的比，可得男生人数为1 200×＝690. 1.某市为了了解职工家庭生活状况，先把职工按所从事的行业分为8类（每类家庭数不完全相同），再对每个行业抽取的职工家庭进行调查，这种抽样方法是（　　） A.简单随机抽样 B.随机数法 C.分层抽样 D.不属于以上几类抽样 解析：C　因为职工所从事的行业有明显差异，所以是分层抽样.故选C. 2.将A，B，C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取的个数为（　　） A.12，6，3 B.12，3，6 C.3，6，12 D.3，12，6 解析：C　由分层抽样的概念，知A，B，C三种性质的个体应分别抽取的个数为21×＝3，21×＝6，21×＝12.故选C. 3.分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须（　　） A.每层等可能抽样 B.每层可以不等可能抽样 C.所有层按同一抽样比等可能抽样 D.所有层抽取的个体数量相同 解析：C　保证每个个体等可能入样是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取. 4.某校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（　　） A.18 B.20 C.22 D.30 解析：B　依题意，该校高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比为550∶500∶450＝11∶10∶9，所以抽取的高二年级学生人数为×60＝20.故选B. 5.（多选）（2024·扬州月考）某部门为调查学生对学校“延时服务”的满意率，想从全市3个学校按学生人数用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.已知3个学校学生人数之比为2∶5∶3，如果从学生人数最少的一个学校抽出的个体数是16，则（　　） A.此样本的容量n为20 B.此样本的容量n为80 C.样本中来自学生人数最多的学校的有40人 D.样本中来自学生人数最多的学校的有24人 解析：BC　因为样本中来自学生人数最少的学校的有16人，则＝，解得n＝80，故A错误，B正确；样本中来自学生人数最多的学校的有80×＝40（人），故C正确，D错误. 6.（多选）某运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若采用分层抽样的方法，且不用剔除个体，则样本量n的取值可能是（　　） A.5 B.6 C.20 D.24 解析：BD　因为运动队有足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人，所以当样本容量为n时，分层抽样的抽样比为，则足球运动员为×18＝（人），篮球运动员为×12＝（人），乒乓球运动员为×6＝（人），所以n是6的整数倍，故选B、D. 7.在1 000个球中有红球50个，从中抽取100个进行分析，如果用分层抽样的方法对球进行抽样，则应抽取红球的个数为　5　. 解析：设应抽红球x个，则＝，则x＝5. 8.某公司为了调查消费者对某项服务的真实评价，采用分层抽样的方法在甲、乙、丙三个城市共抽取了3 600人进行问卷调查，若在甲、乙、丙三个城市抽取的人数分别为a，b，c，且满足a＋c＝2b，则乙城市抽取的人数为　1 200　. 解析：因为在甲、乙、丙三个城市抽取的人数分别为a，b，c，且满足a＋c＝2b，所以乙城市抽取的人数占总抽取的人数的，所以乙城市抽取的人数为3 600×＝1 200. 9.某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表： 产品类型 A B C 产品数量/件 1 300 样本量 130 由于不小心，表格中A、C两种产品的有关数据被污染了，统计员只记得A产品的样本量比C产品的样本量多10，根据以上信息，则C产品的数量为　800　. 解析：易知抽样比为130∶1 300＝1∶10，即每10件产品中抽取1件产品，又A产品的样本量比C产品的样本量多10，故C产品的数量是[（3 000－1 300）－100]×＝800. 10.某网站针对“2024年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下： 支持A方案 支持B方案 支持C方案 35岁以下 的人数 200 400 800 35岁以上 （含35岁） 的人数 100 100 400 （1）从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值； （2）从支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上（含35岁）的人数是多少？35岁以下的人数是多少？ 解：（1）由题意得＝，解得n＝40. （2）35岁以下的人数为×400＝4，35岁以上（含35岁）的人数为5－4＝1. 11.某校高一、高二、高三年级共有学生1 800名，为了完成学校心理健康教育开展情况的调查问卷，计划采用分层抽样的方法从这1 800名学生中抽取一个容量为72的样本，若从高一、高二、高三年级抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则该校高三年级的人数为（　　） A.800 B.750 C.700 D.650 解析：D　设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x－2，2x－4，由题意可得2x＋（2x－2）＋（2x－4）＝72，所以x＝13.设该校高三年级的学生人数为N，再根据 ＝ ，求得N＝650.故选D. 12.（多选）某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n人，为调查他们的身体健康状况，需要抽取一个样本容量为m的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，若样本中的中年人人数为6，则n和m的值可以是下列四个选项中的哪组（　　） A.n＝360，m＝14 B.n＝420，m＝15 C.n＝540，m＝18 D.n＝660，m＝19 解析：ABD　若样本中的中年人人数为6，则老年人人数为120×＝2，青年人人数为n×＝ ，所以2＋6＋ ＝m，得8＋ ＝m，将选项依次代入，可知选项A、B、D符合.故选A、B、D. 13.某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛.为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中做问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估. （1）应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？ （2）要从3 000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？ 解：（1）由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样. 因为样本容量为120，总体容量为500＋3 000＋4 000＝7 500， 所以120×＝8，120×＝48，120×＝64，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64. 分层抽样的步骤是 ①分层：将全校师生分为教职员工、初中生、高中生，共三层. ②确定每层抽取的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个数分别是8，48，64. ③各层分别采用简单随机抽样的方法抽取样本. ④综合每层抽样，组成样本. 这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论. （2）由于简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数表法.如果用抽签法，要制作3 000个号签，费时费力，因此采用随机数表法抽取样本，步骤是 ①编号：将3 000份答卷都编上号码：0001，0002，0003，…，3000. ②在随机数表上随机选取一个起始位置. ③规定读数方向：向右连续读取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3 000，则跳过，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止. 14.（多选）（2024·淮安月考）已知某地区有小学生120 000人，初中生75 000人，高中生55 000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，对小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2 000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%，则下列说法中正确的有（　　） A.从高中生中抽取了440人 B.每名学生被抽到的概率为 C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60% D.估计高中生的近视人数约为44 000 解析：ABD　由题意得，抽样比为＝，故B正确；从高中生中抽取了55 000×＝440（人），故A正确；高中生近视人数约为55 000×80%＝44 000，故D正确；学生总人数为250 000人，小学生占比为＝，同理，初中生、高中生分别占比为，，在样本中，小学生、初中生和高中生分别抽取960人，600人和440人，则近视人数为960×30%＋600×70%＋440×80%＝1 060，所以估计该地区中小学生总体的平均近视率为＝53%，故C错误. 15.为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授（其中0＜m≤72≤n）. （1）若A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，求m，n； （2）若高校B中抽取的教授人数是高校A和C中抽取的教授总人数的，求三所高校教授的总人数. 解：（1）∵0＜m≤72≤n，A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授， ∴高校B中抽取2名教授，高校A中抽取1名教授，高校C中抽取3名教授，∴＝＝，解得m＝36，n＝108. （2）∵高校B中抽取的教授人数是高校A和C中抽取的教授总人数的， ∴（m＋n）＝72，解得m＋n＝108， ∴三所高校教授的总人数为m＋n＋72＝180. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $