7.4.2 超几何分布-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该教案聚焦超几何分布的概念、均值及应用，以自主招生答题实例导入，通过“8题选4题答对个数”问题，衔接古典概型知识，构建从具体问题到抽象模型的学习支架。 资料通过辨析超几何分布与二项分布、母题变式训练等设计，培养数学抽象与建模能力，如例2袋中取球问题引导学生用数学语言表达概率分布，提升学生逻辑思维与运算能力，助力教师高效教学，夯实统计概率基础。

7.4.2　超几何分布 新课程标准解读 核心素养 1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值 数学抽象 2.能用超几何分布解决简单的实际问题 数学建模、数学运算 　　某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个. 【问题】　如何求出甲通过自主招生初试的概率？若记甲答对试题的个数为X，那么如何构建适当的概率模型刻画其分布？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　超几何分布 1.超几何分布的概念 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝k）＝　　，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 提醒　超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型. 2.超几何分布的均值 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则E（X）＝　np　. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）超几何分布是不放回抽样.（　√　） （2）超几何分布的总体只有两类个体.（　√　） （3）超几何分布与二项分布的均值相同.（　√　） （4）超几何分布与二项分布没有任何联系.（　×　） 2.袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：B　取出的红球服从超几何分布，故P＝＝. 3.在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选m个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布.若m＝3时，随机变量X的取值为　0，1，2，3　；若m＝8时，随机变量X的取值的最大值为　7　. 解析：根据超几何分布的概念，若m＝3时，随机变量X的取值为：0，1，2，3；若m＝8时，随机变量X的取值为：0，1，2，…，7，故X的取值的最大值为7. 题型一 超几何分布的辨析 【例1】　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，并说明理由： （1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列； （2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列； （3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列； （4）某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列. 解：（1）（2）中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题.（3）（4）符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布. 通性通法 判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法 （1）总体是否分为两类明确的对象； （2）是否为不放回抽样； （3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 【跟踪训练】 　（多选）下列随机变量中，服从超几何分布的有（　　） A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的次数为随机变量X D.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 解析：ABD　依据超几何分布模型定义可知，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布. 题型二 超几何分布的概率 【例2】　一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球，记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列. 解：由题意知X＝0，1，2，3. P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【母题探究】 1.（变设问）在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列. 解：由题意可知η＝0，1，服从两点分布.又P（η＝1）＝＝，所以η的分布列为 η 0 1 P 2.（变条件）将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？ 解：由题意知X＝0，1，2，3. 法一　P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝. 法二　根据X～B（3，），由P（X＝k）＝（1－）3－k（）k求出各式概率， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 通性通法 求超几何分布的概率的步骤 （1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； （2）根据超几何分布的概率计算公式P（X＝k）＝计算出随机变量取某一个值k时的概率. 【跟踪训练】 　某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数.求至少有2名男生参加数学竞赛的概率. 解：依题意，得随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝6，n＝4， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝， P（X＝4）＝＝， ∴P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋＋＝. 题型三 超几何分布的分布列、均值 【例3】　某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. （1）求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率； （2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及均值. 解：（1）设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P（A）＝＝. 所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为. （2）依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3.P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以随机变量X的均值E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝（或E（X）＝＝）. 通性通法 解决超几何分布问题的三个关键点 （1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不要机械地记忆； （2）超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k值的概率P（X＝k），从而求出X的分布列； （3）求与超几何分布有关的均值问题时，可利用均值公式，也可直接利用E（X）＝求解. 【跟踪训练】 端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有8个粽子，其中豆沙粽2个，蜜枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出3个. （1）求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率； （2）设X表示取到豆沙粽的个数，求随机变量X的分布列与均值. 解：（1）依题意，既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为＝. （2）X的可能取值为0，1，2， 则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝， 所以X的分布列如下： X 0 1 2 P 所以E（X）＝0×＋1×＋2×＝. 1.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（　　） A.　　　　　　 B. C.　 D. 解析：D　若随机变量X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布.取到10个球中恰有6个红球，即X＝6，P（X＝6）＝（注意袋中球的个数为80＋20＝100）. 2.（多选）下列关于超几何分布的说法正确的是（　　） A.超几何分布的模型是不放回抽样 B.超几何分布的总体里可以只有一类物品 C.超几何分布中的参数是N，M，n D.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成 解析：ACD　由超几何分布的定义，可知超几何分布模型为不放回抽样，故A正确；超几何分布实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M（M≤N）件，从所有物品中任取n（n≤N）件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P（X＝k）＝（k≤r，r是n和M中较小的一个），所以B错误，C、D正确. 3.某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取　3　时，对应的概率为. 解析：由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的可以看出“从5名三好学生中选取了3名”. 4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的均值. 解：由题意，X的可能取值为0，1，2， P（X＝k）＝，k＝0，1，2. X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E（X）＝0×＋1×＋2×＝1. 　二项分布与超几何分布的辨析 1.建立模型 袋子中有大小相同的N个球，其中有M个红球、N－M个白球，令p＝，设X表示摸出的n个球中红球的个数，则： 摸球方式 X的分布 E（X） D（X） 放回摸球 二项分布 B（n，p） np np（1－p） 不放回 摸球 参数为N，n，M 的超几何分布 np np（1－p） 2.区别与联系 区别 （1）二项分布不需要知道总体容量，超几何分布需要； （2）二项分布是 “有放回”抽取（独立重复），超几何分布是“不放回”抽取 联系 在n次不放回试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，那么此时超几何分布可以近似为二项分布 【例】　2024年新春伊始，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答.小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为p（0＜p＜1），且猜中每道谜语与否互不影响. （1）分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列； （2）若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求p的取值范围. 解：（1）设小张猜中谜语的道数为X，可知随机变量X服从超几何分布，X的取值分别为2，3，4.有P（X＝2）＝＝＝，P（X＝3）＝＝＝，P（X＝4）＝＝＝， 故小张猜中谜语道数的分布列为 X 2 3 4 P 设小王猜中谜语的道数为Y，可知随机变量Y服从二项分布Y～B（4，p），Y的取值分别为0，1，2，3，4， 有P（Y＝0）＝（1－p）4， P（Y＝1）＝（1－p）3p＝4p（1－p）3， P（Y＝2）＝（1－p）2p2＝6p2（1－p）2， P（Y＝3）＝（1－p）p3＝4p3（1－p）， P（Y＝4）＝p4. 故小王猜中谜语道数的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P （1－p）4 4p（1－p）3 6p2（1－p）2 4p3（1－p） p4 （2）由（1）可知E（X）＝2×＋3×＋4×＝3，E（Y）＝4p， 若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则3＞4p，可得0＜p＜. 故p的取值范围为（0，）. 方法总结 　　二项分布和超几何分布两类概率模型的区别关键是“有放回抽样”与“不放回抽样”. 【迁移应用】 甲、乙两人去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. （1）求甲正确完成面试题目数的分布列、均值与方差； （2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 解：（1）设X为甲正确完成面试题目的数量， 由题意可得X服从超几何分布，且N＝6，M＝4，n＝3， ∴P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝， ∴X的分布列为 X 1 2 3 P ∴E（X）＝1×＋2×＋3×＝2. D（X）＝（1－2）2×＋（2－2）2×＋（3－2）2×＝. （2）设学生乙答对的题目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， 由题意知Y～B（3，）， 因此E（Y）＝3×＝2， D（Y）＝np（1－p）＝3××＝， 又E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）， ∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的可能性较大. 1.一个袋子中装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则含有3个黑球的概率为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：A　随机变量X服从N＝15，M＝5，n＝4的超几何分布，所以P（X＝3）＝＝. 2.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为（　　） A.　 B. C.1－　 D. 解析：D　设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋. 3.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P（X＝2）＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：C　设袋中白球个数为x，由题意得1－＝，解得x＝5.X服从超几何分布，其中P（X＝2）＝＝. 4.现有语文、数学课本共7本（其中语文课本不少于2本），从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有（　　） A.2本　 B.3本 C.4本　 D.5本 解析：C　设语文课本有n（n≥2）本，则数学课本有（7－n）本，则从中任取2本，2本都是语文课本的概率是＝.所以n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3（舍去），所以n＝4. 5.（多选）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（　　） A.X表示取出的最大号码 B.X表示取出的最小号码 C.取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分 D.X表示取出的黑球个数 解析：CD　选项A、B不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，即A、B错；选项C、D符合超几何分布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，即C、D正确.故选C、D. 6.（多选）某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格，则下列说法正确的是（　　） A.答对0道题和答对3道题的概率相同，都为 B.答对1道题的概率为 C.答对2道题的概率为 D.合格的概率为 解析：CD　对于A，答对0道题的概率为P0＝＝，答对3道题的概率为P3＝＝，故A错误；对于B，答对1道题的概率为P1＝＝，故B错误；对于C，答对2道题的概率为P2＝＝，故C正确；对于D，合格的概率为P＝＋＝，故D正确. 7.某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则恰有2人会说日语的概率为　　. 解析：恰有2人会说日语的概率为＝. 8.有10件产品，其中4件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的个数，则E（2X＋1）＝　　. 解析：由题意可得：X服从超几何分布，E（X）＝＝.所以E（2X＋1）＝2E（X）＋1＝. 9.某学校有一个体育运动社团，该社团中篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若P（X＞0）＝，则该社团的人数为　7　. 解析：设该社团的人数为n，∴P（X＝0）＝＝.∵P（X＝0）＝1－P（X＞0）＝，∴＝， 即（11n－18）（n－7）＝0，又∵n∈N*，解得n＝7. 10.从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数. （1）求ξ的分布列； （2）求ξ的均值和方差. 解：（1）由题知ξ的可能取值为0，1，2， P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝， P（ξ＝2）＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P （2）由（1）可得E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝， D（ξ）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＝. 11.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（　　） A.　　　 B.　　　　C.　　　 D. 解析：A　由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为＝；若任取的3个数中有1个阴数，则概率为＝，故这3个数中至多有1个阴数的概率为P＝＋＝.故选A. 12.（多选）2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示. 若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记X为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校数，则下列说法中正确的是（　　） A.X的可能取值为0，1，2，3 B.P（X＝0）＝ C.E（X）＝ D.D（X）＝ 解析：ACD　由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，故A正确；分析可得X服从超几何分布，其分布列为P（X＝k）＝（k＝0，1，2，3），则P（X＝0）＝＝，故B错误；E（X）＝＝，故C正确；D（X）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝，故D正确. 13.把半圆弧分成4等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X不少于2的概率为　　. 解析：如图所示，设AB为半圆弧的直径，C，D，E为半圆弧另外的三个四等分点，从A，B，C，D，E这5个点中任取3个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为＝10.其中直角三角形有：△ABC、△ABD、△ABE，共3个，钝角三角形的个数为10－3＝7，由题意可知X∈{0，1，2，3}，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，因此，所求概率为P＝＝. 14.新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难.为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验， 张老师所教的80名学生参加一次数学测试，成绩都在[50，100]内，按区间分组为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀. （1）求这80名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）； （2）按优秀与非优秀用比例分配的分层随机抽样方法随机抽取10名学生座谈，再在这10名学生中，选3名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量X，求X的分布列和均值. 解：（1）80名学生的平均成绩为（55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.025＋95×0.005）×10＝73.5. （2）根据频率分布直方图知，优秀学生对应的频率为（0.025＋0.005）×10＝0.3， 则非优秀学员对应的频率为1－0.3＝0.7， 所以抽取的10名学生中，有优秀学生10×0.3＝3（人），非优秀学生10×0.7＝7（人）. 则X所有可能的取值为0，1，2，3， P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 15.一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取n（n∈N）件，若用X表示所抽取的n件产品中不合格品的件数，则使X＝1的概率取得最大值时，n＝　33　. 解析：由题意可得P（X＝1）＝＝＝，1≤n≤98，且n∈N，记函数f（x）＝x（x－99）（x－100），1≤x≤98， 则由f'（x）＝3x2－398x＋9 900＝0，解得x1＝≈33.17，x2＝≈99.50（舍去），所以当1≤x＜x1，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x1≤x≤98，f'（x）＜0，f（x）单调递减.因为f（33）－f（34）＝33×66×67－34×65×66＝66＞0，所以当n＝33时，X＝1的概率取得最大值. 16.在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，n∈N且n≠3）个，其余的球为红球. （1）若n＝5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率； （2）从袋中任取2个球，如果这2个球的颜色相同的概率是，求红球的个数； （3）在（2）的条件下，从袋中任取2个球.若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分，用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望E（ξ）. 解：（1）设“从袋中任取1个球为红球”为事件A，则P（A）＝，所以三次取出的球中恰有2个红球的概率为P＝×（）2×＝. （2）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则 P（B）＝ ＝＝， 整理得n2－7n＋12＝0，解得n＝3（舍）或n＝4， 所以红球的个数为10－3－4＝3. （3）ξ的可能取值为2，3，4，5，6， P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝， P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝， P（ξ＝6）＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 2 3 4 5 6 P 所以E（ξ）＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $