7.1.2 全概率公式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该教案聚焦全概率公式与贝叶斯公式，通过“三个罐子取红球”情境导入，衔接条件概率与乘法公式，搭建从具体问题到抽象公式的学习支架，梳理概率计算逻辑脉络。 特色在于情境化问题驱动与分层题型设计，结合“社会实践调查”“地区流感概率”等实例，培养数学抽象与运算素养，通性通法总结与母题变式训练，帮助学生形成概率推理思维，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率与学生应用能力。

7.1.2　全概率公式 新课程标准解读 核心素养 1.结合古典概型，理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率 数学抽象、数学运算 2.了解贝叶斯公式，并会简单应用 数学抽象、数学运算 　　有三个罐子，1号装有2个红球1个黑球，2号装有3个红球1个黑球，3号装有2个红球2个黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球. 【问题】　如何求取得红球的概率？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝　P（Ai）P（B｜Ai）　.称为全概率公式. 提醒　全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P（B）＝P（A1B）＋P（A2B）＋…＋P（AnB）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋…＋P（An）P（B｜An）. 知识点二　*贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P（B）＞0，有P（Ai｜B）＝＝，i＝1，2，…，n. 提醒　条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系 条件概率P（B｜A）＝乘法公式 　　　　　　 P（AB）＝P（A）P（B｜A） 　　　　 全概率公式 P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai） 　　　　　　 　　　　 贝叶斯公式 P（Ai｜B）＝，i＝1，2，…，n 【想一想】 贝叶斯公式的几何意义是什么？ 提示：如图所示，B是由A和两个原因引起的结果，P（A｜B）表示原因A在结果B中的比重. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）全概率公式中，A1，A2，…，An不一定是一组两两互斥的事件.（　×　） （2）使用全概率公式的关键是寻找另一组事件来“分割”样本空间.（　√　） （3）设A，B为任意两个随机事件，则BA与B是互斥的.（　√　） （4）贝叶斯公式是已知某结果发生的条件下，探求各原因发生的可能性大小.（　√　） 2.已知事件A，B，且P（A）＝，P（B｜A）＝，P（B｜）＝，则P（B）＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：C　P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝×＋×＝.故选C. 3.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为　0.8　. 解析：设B表示一辆汽车中途停车修理，A1表示该车是货车，A2表示该车是客车，则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式有P（A1｜B）＝＝＝0.8. 题型一 两个事件的全概率公式 【例1】　某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 解：如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω， 由题意可知，P（A1）＝，P（A2）＝， 且P（B｜A1）＝，P（B｜A2）＝. 由全概率公式可知P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝×＋×＝. 通性通法 两个事件的全概率问题求解策略 （1）拆分：将样本空间拆分成对立的两部分如A1，A2（或A与）； （2）计算：利用乘法公式计算每一部分的概率； （3）求和：所求事件的概率P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）. 【跟踪训练】 　1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，求从2号箱取出的球是红球的概率. 解：设A＝“从2号箱取出的球是红球”，B＝“从1号箱取出的球是红球”. 则P（B）＝＝，P（）＝1－P（B）＝. P（A｜B）＝＝，P（A｜）＝＝. 由全概率公式可得P（A）＝P（A｜B）P（B）＋P（A｜）P（）＝×＋×＝. 题型二 多个事件的全概率问题 【例2】　在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3∶5∶2，现从这三个地区中任意选取一个人. （1）求这个人患流感的概率； （2）如果此人患流感，求此人选自A地区的概率. 解：（1）设此人来自A，B，C三个地区分别为事件A，B，C，事件D为这个人患流感， 所以P（A）＝0.3，P（B）＝0.5，P（C）＝0.2， P（D｜A）＝0.06，P（D｜B）＝0.05，P（D｜C）＝0.04， 因此P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＋P（C）P（D｜C） ＝0.3×0.06＋0.5×0.05＋0.2×0.04＝0.051. （2）P（A｜D）＝＝＝＝. 【母题探究】 （变设问）如果此人绝对不是来自地区C，求此人患流感的概率. 解：因为此人绝对不是来自地区C，所以此人来自地区A、B，所以P（A）＝，P（B）＝， P（D｜A）＝0.06，P（D｜B）＝0.05， P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＝×0.06＋×0.05＝. 通性通法 “化整为零”求多个事件的全概率问题 （1）如图，P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）； （2）已知事件B的发生有各种可能的情形Ai（i＝1，2，…，n），事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. 【跟踪训练】 　设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（　　） A.0.08　 B.0.1 C.0.15　 D.0.2 解析：A　设A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，则P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝，P（B｜A1）＝，P（B｜A2）＝，P（B｜A3）＝，由全概率公式得P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋P（A3）P（B｜A3）＝×＋×＋×＝0.08. 题型三 *贝叶斯公式 【例3】　甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，丙盒装有4个白球1个黑球.采取掷一骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得一个白球，求此球来自乙盒的概率. 解：设A1＝{摸出的球来自甲盒}， A2＝{摸出的球来自乙盒}， A3＝{摸出的球来自丙盒}， B＝{摸得白球}， 则P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝， P（B｜A1）＝，P（B｜A2）＝，P（B｜A3）＝. 于是由贝叶斯公式可知白球来自乙盒的概率为P（A2｜B）＝ ＝＝. 通性通法 应用贝叶斯公式求概率的步骤 （1）根据题目问题，事件B是由多个原因引起，这多个原因为A1，A2，…，An，且A1，A2，…，An是样本空间Ω的一个划分； （2）利用全概率公式求出P（B）； （3）代入贝叶斯公式求得概率. 【跟踪训练】 　8支枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支枪中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为（　　） A.　　　 B.　　　　C.　　　 D. 解析：B　设事件A表示“射击时中靶”，事件B1表示“使用的枪校准过”，事件B2表示“使用的枪未校准”，则P（B1）＝，P（B2）＝，P（A｜B1）＝0.8，P（A｜B2）＝0.3.根据全概率公式得P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＝×0.8＋×0.3＝，所以由贝叶斯公式得P（B1｜A）＝＝＝.故选B. 1.在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（　　） A.　　　 B.　 　　C.　　　 D. 解析：B　设甲中奖为事件A，乙中奖为事件B，则P（B）＝P（B｜A）P（A）＋P（B｜）P（）＝×＋×＝. 2.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为（　　） A.0.21 B.0.06 C.0.94 D.0.95 解析：D　令B＝取到的零件为合格品，Ai＝零件为第i台机床的产品，i＝1，2.由全概率公式得：P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝×0.96＋×0.93＝0.95.故选D. 3.已知事件A，B，且P（A）＝，P（B｜A）＝，P（B｜）＝，则P（B）＝　　. 解析：因为P（A）＝，所以P（）＝.由全概率公式得，P（B）＝P（B｜A）P（A）＋P（B｜）P（）＝×＋×＝＝. 4.甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为　　. 解析：设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的2球恰有i个白球”，i＝0，1，2.由全概率公式得P（A）＝P（B0）P（A｜B0）＋P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）·P（A｜B2）＝·＋·＋·＝. 　 1.据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟患肺癌的概率为（　　） A.0.025%　 B.0.032% C.0.048%　 D.0.02% 解析：A　设不吸烟患肺癌的概率为x，则0.2×0.004＋0.8x＝0.001，解得x＝0.000 25＝0.025%.故选A. 2.已知事件A，B满足P（A）＝，P（B｜A）＝，P（｜）＝，则P（B）＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：C　由题意可得：P（）＝1－P（A）＝，P（B｜）＝1－P（｜）＝，所以P（B）＝P（B｜A）P（A）＋P（B｜）P（）＝×＋×＝.故选C. 3.设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生报名表的概率为（　　） A.　　　 B.　　　　C.　　　 D. 解析：D　设A＝“先取到的是女生报名表”，Bi＝“取到第i个地区的报名表”，i＝1，2，3，∴P（A）＝P（Bi）·P（A｜Bi）＝×＋×＋×＝. 4.一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，而在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（　　） A.　　　 B.　　　　C.　　　 D. 解析：B　设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确答案”，由全概率公式得，P（A）＝P（B）P（A｜B）＋P（）P（A｜）＝×1＋×＝.又由贝叶斯公式得，P（B｜A）＝＝＝.故选B. 5.（多选）若0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则下列等式中成立的有（　　） A.P（A｜B）＝ B.P（AB）＝P（A）P（B｜A） C.P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜） D.P（A｜B）＝ 解析：BCD　由条件概率的计算公式知A错误；由乘法公式知B正确；由全概率公式知C正确；P（B）·P（A｜B）＝P（AB），P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜），故D正确.故选B、C、D. 6.（多选）箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（　　） A.P（A）＝ B.P（B）＝ C.P（B｜A）＝ D.P（B｜）＝ 解析：AD　P（A）＝＝，A正确；P（B｜A）＝＝＝，P（B｜）＝＝＝.由全概率公式可知，P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝×＋×＝.所以B、C错误，D正确. 7.有两箱同一种产品，第一箱内装50件，其中10件优质品，第二箱内装30件，其中18件优质品，现在随意地打开一箱，然后从箱中随意取出一件，则取到的是优质品的概率是　　. 解析：设A＝“取到的是优质品”，Bi＝“打开的是第i箱”（i＝1，2），则P（B1）＝P（B2）＝，P（A｜B1）＝＝，P（A｜B2）＝＝，利用全概率公式，P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＝. 8.某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率是　70%　. 解析：设男性中有x%购买了新能源车，则x%×60%＋40%×80%＝74%，解得x＝70，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是70%. 9.某厂的产品中96%是合格品.现有一验收方法，把合格品判为“合格品”的概率为0.98，把非合格品判为“合格品”的概率为0.05.当用此验收方法判一产品为“合格品”时，则此产品为合格品的概率为　0.997 9　. 解析：设“一产品经验收判为合格品”为事件A，“一产品为合格品”为事件B.由题知P（B）＝0.96，P（A｜B）＝0.98，P（）＝0.04，P（A｜）＝0.05.由贝叶斯公式得P（B｜A）＝＝≈0.997 9.故一产品经验收判为“合格品”时，此产品为合格品的概率约为0.997 9. 10.李老师7：00出发去参加8：00开始的教学会.根据以往的经验，他骑自行车迟到的概率是0.05，乘出租车迟到的概率是0.50.他出发时首选自行车，发现自行车有故障时再选择出租车.设自行车有故障的概率是0.01，试计算李老师迟到的概率. 解：用B表示李老师迟到，用A表示自行车有故障，则P（B｜A）是乘出租车迟到的概率，P（B｜）是骑自行车迟到的概率. 根据题意P（A）＝0.01，P（B｜）＝0.05，P（B｜A）＝0.50. 因为A，互斥，所以AB，B互斥. 利用概率的可加性得到P（B）＝P（AB∪B）＝P（AB）＋P（B）. 因为P（A）＞0，P（）＞0，再由概率的乘法公式可知，李老师迟到的概率是P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝0.01×0.50＋（1－0.01）×0.05＝0.054 5. 11.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失1箱，但不知丢失哪1箱.现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是英语书，则丢失的1箱也是英语书的概率为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：B　用A表示“丢失1箱后任取2箱是英语书”，用Bk表示“丢失的1箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书”.由全概率公式得P（A）＝P（Bk）P（A｜Bk）＝×＋×＋×＝.P（B1｜A）＝＝＝.故选B. 12.人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为　64%　. 解析：设A＝“利率下调”，＝“利率不变”，B＝“股票价格上涨”.依题意知P（A）＝60%，P（）＝40%，P（B｜A）＝80%，P（B｜）＝40%，则P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝60%×80%＋40%×40%＝64%. 13.在通讯渠道中，可传送字符AAAA，BBBB，CCCC三者之一，假定传送这三者的概率分别为0.3，0.4，0.3，由于通道噪声的干扰，正确接收到被传送字母的概率为0.6，而接收到其它两个字母的概率均为0.2，假定前后字母是否被歪曲互不影响，则接收到的是ABBB的概率为　0.019 2　. 解析：设H1表示传送字符AAAA，H2表示传送字符BBBB，H3表示传送字符CCCC，G表示接收到ABBB.由题设知，P（H1）＝0.3，P（H2）＝0.4，P（H3）＝0.3，从而有P（G｜H1）＝0.6×0.2×0.2×0.2＝0.004 8，P（G｜H2）＝0.2×0.6×0.6×0.6＝0.043 2，P（G｜H3）＝0.2×0.2×0.2×0.2＝0.001 6，根据全概率公式得P（G）＝P（Hi）P（G｜Hi）＝0.3×0.004 8＋0.4×0.043 2＋0.3×0.001 6＝0.019 2. 14.设甲箱中有3个白球和2个黑球，乙箱中有1个白球和2个黑球，从甲箱中任意取两球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两球，试求： （1）从乙箱中取出的两球是白球的概率； （2）在乙箱中取出的两球是白球的条件下，从甲箱中取出的两球是白球的概率. 解：（1）因为从甲箱中任意取两球放入乙箱仅有3种可能：取得两白球，取得一黑球和一白球，取得两黑球，分别用A1，A2，A3表示，则A1，A2，A3即为所求的一个完备事件组.设B表示从乙箱中取出的两球是白球，则有 P（A1）＝＝，P（A2）＝＝，P（A3）＝＝， P（B｜A1）＝＝，P（B｜A2）＝＝，P（B｜A3）＝0， 由全概率公式得到P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）＝×＋×＋×0＝. （2）P（A1｜B）＝＝＝. 15.“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是0.5.最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9.已知某个小孩说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：D　设事件A表示“小孩诚实”，事件B表示“小孩说谎”，则P（B｜A）＝0.1，P（B｜）＝0.5，P（A）＝0.9，P（）＝0.1，则P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝0.9×0.1＝0.09，P（B）＝P（）P（B｜）＝0.1×0.5＝0.05，故P（B）＝P（AB）＋P（B）＝0.14，故P（A｜B）＝＝＝.故选D. 16.某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响，且它们的优质品率分别为0.8，0.7与0.9.已知若三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；若有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；若有两个部件不是优质品，则组装后的仪器的不合格率为0.6；若三个部件都不是优质品，则组装后的仪器的不合格率为0.9. （1）求仪器的不合格率； （2）若已发现一台仪器不合格，则它有几个部件不是优质品的概率最大. 解：记事件B＝“仪器不合格”，Ai＝“仪器上有i个部件不是优质品”，i＝0，1，2，3，显然A0，A1，A2，A3构成一个完备事件组， P（B｜A0）＝0，P（B｜A1）＝0.2，P（B｜A2）＝0.6，P（B｜A3）＝0.9， P（A0）＝0.8×0.7×0.9＝0.504， P（A1）＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398， P（A3）＝0.2×0.3×0.1＝0.006， P（A2）＝1－P（A0）－P（A1）－P（A3）＝0.092. （1）应用全概率公式，有：P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）＝0.504×0＋0.398×0.2＋0.092×0.6＋0.006×0.9＝0.140 2. （2）应用贝叶斯公式，有：P（A0｜B）＝0， P（A1｜B）＝＝， P（A2｜B）＝＝， P（A3｜B）＝＝. 从计算结果可知，一台不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率最大. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $