6.3.1 二项式定理-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该教案聚焦二项式定理，通过观察（a+b）^1到（a+b）^4展开式，引导学生发现系数规律与组合数联系，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接多项式运算与计数原理，为定理证明奠定基础。 资料以问题链驱动探究，通过正用逆用定理、求特定项等例题，强化逻辑推理与数学运算核心素养，如逆用二项式定理化简多项式培养推理能力，求常数项提升运算精度。助力学生掌握通性通法，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

6.3　二项式定理 6.3.1　二项式定理 新课程标准解读 核心素养 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理 逻辑推理 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 数学运算 　　观察以下各式： （a＋b）1＝a＋b， （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2， （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， （a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4， … 【问题】　（1）它们的系数之间有何规律？ （2）各项系数与我们学过的组合数有何联系？ （3）那么（a＋b）n的展开式又是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　二项式定理 二项式定理 （a＋b）n＝　an＋b1bk＋…＋bn　（n∈N*） 二项展开式 右边的多项式 二项式系数 各项的系数　（k＝0，1，2，…，n）　 二项展开 式的通项 ＝　bk　 提醒　二项展开式的特点：①展开式共有n＋1项；②各项中a，b的次数和都等于二项式的幂指数n；③字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.（　×　） （2）an－rbr是（a＋b）n展开式中的第r项.（　×　） （3）（a－b）n与（a＋b）n的二项式展开式的二项式系数相同.（　√　） 2.（2x－3）4的展开式中的第3项为（　　） A.－216　 B.－216x C.216　 D.216x2 解析：D　T3＝（2x）2（－3）2＝216x2. 3.在（1－2x）6的展开式中，x2的系数为　60　（用数字作答）. 解析：（1－2x）6的展开式的通项Tk＋1＝（－2）kxk，当k＝2时，T3＝（－2）2x2＝60x2，所以x2的系数为60. 题型一 二项式定理的正用、逆用 【例1】　（1）求的展开式； （2）化简：（x＋1）n－（x＋1）n－1＋（x＋1）n－2－…＋（－1）k（x＋1）n－k＋…＋（－1）n. 解：（1）法一　＝（3）4＋（3）3·＋（3）2＋（3）· ＋＝81x2＋108x＋54＋＋. 法二　＝＝（1＋3x）4＝·[1＋·3x＋（3x）2＋（3x）3＋（3x）4]＝（1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4）＝＋＋54＋108x＋81x2. （2）原式＝（x＋1）n＋（x＋1）n－1（－1）＋（x＋1）n－2（－1）2＋…＋（x＋1）n－k（－1）k＋…＋（－1）n＝[（x＋1）＋（－1）]n＝xn. 通性通法 运用二项式定理解题的策略 （1）正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时要注意二项展开式的特点，前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如（a－b）n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开； （2）逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 提醒　逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是（a－b）n的形式. 【跟踪训练】 1.已知3n＋3n－1＋3n－2＋…＋3＋＝1 024，则n＝　5　. 解析：3n＋3n－1＋…＋3＋＝3n·10＋3n－1·11＋…＋31·1n－1＋30·1n＝（3＋1）n＝4n＝1 024＝210，即22n＝210，解得n＝5. 2.化简：（x＋）4－（x－）4. 解：原式＝x4＋x3·＋x2·（）2＋x（）3＋（）4－［x4－x3·＋x2·（）2－x·（）3＋（）4］＝2［x3·＋x·（）3］＝8x2＋. 题型二 求二项展开式中的特定项 【例2】　在二项式（x－）12的展开式中，求：（1）第4项；（2）常数项；（3）有理项. 解：二项展开式的第r＋1项是Tr＋1＝x12－r·（－）r＝（－1）r. （1）令r＝3，则T4＝（－1）3＝－220x8. （2）令12－r＝0，则r＝9，从而常数项为（－1）9＝－220. （3）若求展开式中的有理项，则12－r为整数，即r＝0，3，6，9，12，故有理项分别为T1＝x12，T4＝－x8＝－220x8，T7＝x4＝924x4，T10＝－＝－220，T13＝x－4. 通性通法 求二项展开式特定项的步骤 【跟踪训练】 1.二项式（2x2－）6的展开式的中间项是　－x3　. 解析：二项式展开式的通项为Tk＋1＝（2x2）6－k·（－）k＝（－）k26－kx12－3k，二项展开式一共有7项，所以第4项为中间项，即k＝3，T4＝（－）326－3x12－3×3＝－x3. 2.若（x－）6展开式的常数项为60，则常数a的值为　4　. 解析：（x－）6的展开式的通项是Tr＋1＝x6－r·（－）rx－2r＝x6－3r（－）r，令6－3r＝0，得r＝2，即当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是a，根据已知得a＝60，解得a＝4. 题型三 二项式系数与项的系数问题 【例3】　已知（－）n的二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3. （1）求n的值； （2）求展开式中x3项的系数及含x3项的二项式系数. 解：（1）∵第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3， ∴∶＝8∶3，∴＝，∴n＝10. （2）（－）n＝（－）10，其通项公式为Tk＋1＝（－2）kx5－k， 令5－k＝3，可得k＝2， ∴展开式中x3项的系数为（－2）2×＝180. 展开式中含x3项的二项式系数为＝45. 通性通法 1.二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关. 2.求二项式系数可直接代入求解.求二项展开式某项的系数可以分为两步完成：（1）根据所给出的条件和通项公式，建立方程来确定指数，求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件（n为正整数，r为非负整数，n≥r）；（2）根据所求的指数，求所求解的项或项的系数. 【跟踪训练】 1.若（1－2x）n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为（　　） A.5　 B.6 C.7　 D.8 解析：B　（1－2x）n的展开式的通项为Tk＋1＝1n－k·（－2x）k＝（－2）kxk，又展开式中x3的系数为－160，则（－2）3＝－160，则＝20，解得n＝6. 2.已知（ －）n的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，则n的值为　6　. 解析：因为（ －）n的二项展开式为Tr＋1＝（）n－r（－）r，所以它的第二项的系数为T2＝（－2），该二项式的展开式中第二项的二项式系数为，由（ －）n的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，所以－（－2）＝18⇒n＝6. 1.在（x－）10的展开式中，含x6的项的系数是（　　） A.－27　 B.27　　C.－9　 D.9 解析：D　含x6的项是T5＝x6（－）4＝9x6. 2.在的展开式中常数项是（　　） A.－28　 B.－7　　C.7　 D.28 解析：C　Tr＋1＝··＝（－1）r···，当8－r＝0，即r＝6，则T7＝（－1）6··＝7. 3.代数式（x＋1）4－4（x＋1）3＋6（x＋1）2－4（x＋1）＋1可化简为　x4　. 解析：（x＋1）4－4（x＋1）3＋6（x＋1）2－4（x＋1）＋1＝（x＋1）4＋（x＋1）3（－1）1＋（x＋1）2（－1）2＋（x＋1）·（－1）3＋（－1）4＝[（x＋1）－1]4＝x4. 4.在（x－）8的展开式中. （1）求第3项；（2）求含项的系数. 解：（1）（x－）8＝（x－2x－2）8， 所以第3项为T3＝x8－2（－2x－2）2＝（－2）2x6x－4＝4x2＝112x2. （2）Tr＋1＝x8－r（－2x－2）r＝（－1）r2rx8－3r， 令8－3r＝－1，解得r＝3， 所以T4＝（－1）323x－1＝－. 所以含项的系数为－448. 1.（x＋）9的展开式中的第4项是（　　） A.56x3　 B.84x3 C.56x4　 D.84x4 解析：B　由展开式的通项知T4＝x6（）3＝84x3. 2.（x－y）10的展开式中x6y4的系数是（　　） A.－840　 B.840 C.210　 D.－210 解析：B　在通项公式Tk＋1＝（－y）kx10－k中，令k＝4，得x6y4的系数为（－）4＝840. 3.若实数a＝2－，则a10－2a9＋22a8－…＋210＝（　　） A.32　 B.－32 C.1 024　 D.512 解析：A　a10－2a9＋22a8－…＋210＝（a－2）10，当a＝2－时，（a－2）10＝32. 4.若二项式（2x＋）7的展开式中的系数是84，则实数a＝（　　） A.2　 B.5 C.1　 D. 解析：C　二项式（2x＋）7的展开式即（＋2x）7的展开式，通项公式为Tr＋1＝（）7－r（2x）r＝2ra7－rx－7＋2r，令－7＋2r＝－3，解得r＝2，代入得×22a5＝84，解得a＝1，故选C. 5.使 （n∈N*）的展开式中含有常数项的最小的n为（　　） A.4　 B.5 C.6　 D.7 解析：B　Tr＋1＝（3x）n－r＝3n－r，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立. 6.（多选）对于（2x－）6的展开式，下列说法正确的是（　　） A.展开式共有6项 B.展开式中的常数项是240 C.展开式中x－3的系数为－160 D.展开式中x－6的系数为60 解析：BCD　因为n＝6，故（2x－）6的展开式共有7项，故选项A错误；（2x－）6的展开式的通项公式为Tk＋1＝（2x）6－k（－1）k·（x－2）k＝（－1）k26－kx6－3k，当k＝2时，展开式的常数项为（－1）2·24·＝240，故选项B正确；令6－3k＝－3，得k＝3，展开式中x－3的系数为（－1）323＝－160，故选项C正确；令6－3k＝－6，得k＝4，展开式中x－6的系数为（－1）422＝60，故选项D正确. 7.在（x2－）9的展开式中，第6项的二项式系数为　126　，第3项的系数为　9　. 解析：由二项式定理及展开式的通项可得，第6项的二项式系数为＝126.由题意可知，T3＝·（x2）7·（－）2＝9x12，故第3项的系数为9. 8.在（1－x）5－（1－x）6的展开式中，含x3项的系数为　10　. 解析：（1－x）5中x3的系数为－＝－10，－（1－x）6中x3的系数为－·（－1）3＝20，故（1－x）5－（1－x）6的展开式中x3的系数为10. 9.设（x－）6（a＞0）的展开式中含x3项的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a＝　2　. 解析：（x－）6（a＞0）的展开式的通项Tk＋1＝x6－k（－）k＝（－a）k.令6－＝3，得k＝2，∴A＝a2＝15a2；令6－＝0，得k＝4，∴B＝a4＝15a4.∵B＝4A，∴15a4＝4×15a2，又a＞0，∴a＝2. 10.在二项式（－）n的展开式中，前3项系数的绝对值成等差数列. （1）求展开式的第4项； （2）求展开式的常数项. 解：Tr＋1＝（）n－r（－）r＝（－）r， 由前三项系数的绝对值成等差数列，得＋（－）2＝2×， 解这个方程得n＝8或n＝1（舍去）. （1）展开式的第4项为：T4＝（－）3＝－7. （2）当－r＝0，即r＝4时，常数项为（－）4＝. 11.（a－）6的展开式中（即分子a的指数和分母b的指数相同）项的系数为（　　） A.－15　 B.15 C.－20　 D.20 解析：B　通项公式Tr＋1＝a6－r（－1）r，由可得＝6－r，故r＝4，所以系数为（－1）4＝15.故选B. 12.（多选）对于二项式（n∈N*），以下判断正确的有（　　） A.存在n∈N*，展开式中有常数项 B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*，展开式中没有含x的项 D.存在n∈N*，展开式中有含x的项 解析：AD　设二项式（n∈N*）展开式的通项为Tk＋1，则Tk＋1＝（x3）k＝x4k－n，不妨令n＝4，则当k＝1时，展开式中有常数项，故A正确，B错误；令n＝3，则当k＝1时，展开式中有含x的项，故C错误，D正确. 13.（x＋）100的展开式中，系数为有理数的共有　17　项. 解析：（x＋）100的展开式的通项Tk＋1＝x100－k··.若Tk＋1的系数为有理数，则，均为整数，即k为6的整数倍.由0≤k≤100，k∈N，知k的可能取值为0，6，12，…，96，共17个，即系数为有理数的共有17项. 14.已知在（－）10的展开式中满足a＞0，且常数项为. （1）求a的值； （2）从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法. 解：（1）展开式的通项为Tk＋1＝（－1）k（）10－k， 令20－k＝0，解得k＝8， 即k＝8时，常数项为T9＝（－1）8（）2＝， 解得a＝1. （2）令20－k＝m，m∈Z，又0≤k≤10，k∈N， 解得k＝0，2，4，6，8，10， 即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项， 所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有＋＝135种. 15.若对∀x∈R，（ax＋b）5＝（x＋2）5－5（x＋2）4＋10（x＋2）3－10（x＋2）2＋5（x＋2）－1恒成立，其中a，b∈R，则a＋b＝（　　） A.－1　　　 B.0　　　　C.2　　　 D.3 解析：C　由（x＋2）5－5（x＋2）4＋10（x＋2）3－10（x＋2）2＋5（x＋2）－1＝（x＋2－1）5＝（x＋1）5，得（ax＋b）5＝（x＋1）5，所以a＝b＝1，a＋b＝2.故选C. 16.已知数列{an}（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列. （1）求：a1－a2＋a3，a1－a2＋a3－a4； （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明. 解：（1）a1－a2＋a3＝a1－2a1q＋a1q2＝a1（1－q）2， a1－a2＋a3－a4＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3＝a1（1－q）3. （2）归纳概括的结论为： 若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则 a1－a2＋a3－a4＋…＋（－1）nan＋1· ＝a1（1－q）n，n为正整数. 证明：a1－a2＋a3－a4＋…＋（－1）nan＋1· ＝a1－a1q＋a1q2－a1q3＋…＋（－1）na1qn ＝a1[－q＋q2－q3＋…＋（－1）nqn]＝a1（1－q）n. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $