6.1 第1课时 两个计数原理及其简单应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教A版)

该教案聚焦分类加法与分步乘法计数原理，以杭州亚运会志愿者交通情境导入，从具体方案问题抽象出原理，经定义、推广及“想一想”辨析分类与分步，结合例题与训练，构建从情境到应用的学习支架。 资料特色在于用亚运会交通、班级选学生等实例驱动，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。题型分层设计，例题与跟踪训练结合，助学生掌握原理应用，提升解题能力，也为教师提供清晰教学路径。

第六章　计数原理 6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 新课程标准解读 核心素养 1.通过实例，理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义 数学抽象、逻辑推理 2.能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题 数学建模、数学运算 第1课时　两个计数原理及其简单应用 　　杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会.一名志愿者从成都赴杭州为亚运会服务，从成都到杭州每天有6个航班，4列火车. 【问题】　（1）该志愿者从成都到杭州的方案可以分为几类？ （2）在这几类中各有几种方法？ （3）该志愿者从成都到杭州共有多少种不同的方法？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　分类加法计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　m＋n　种不同的方法. 2.分类加法计数原理的推广 完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　m1＋m2＋…＋mn　种不同的方法. 提醒　分类加法计数原理中每类方案都能独立完成这件事，它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事. 知识点二　分步乘法计数原理 1.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　m×n　种不同的方法. 2.分步乘法计数原理的推广 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　m1×m2×…×mn　种不同的方法. 提醒　分步乘法计数原理中每一步得到的只是其中某一步的结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事. 【想一想】 　如何区分“完成一件事”是分类还是分步？ 提示：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.（　×　） （2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.（　√　） （3）在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成.（　√　） （4）从甲地经丙地到乙地是分步问题.（　√　） 2.从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为（　　） A.6　　　 　 B.5　　　 　 C.3　　　 　 D.2 解析：B　由分类加法计数原理可得不同的选法种数为3＋2＝5. 3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，若一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为（　　） A.7　　 B.12　　 C.64　　 D.81 解析：B　第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法.故共有4×3＝12（种）不同的配法. 题型一 分类加法计数原理的应用 【例1】　某校高三年级共有三个班，各班人数如下表： 男生人数 女生人数 总人数 高三（1）班 30 20 50 高三（2）班 30 30 60 高三（3）班 35 20 55 （1）从三个班的学生中选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？ （2）从高三（1）班、高三（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 解：（1）从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案. 第1类，从高三（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法； 第2类，从高三（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法； 第3类，从高三（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法. 根据分类加法计数原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会主席，不同选法的种数为50＋60＋55＝165. （2）从高三（1）班男生、（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案. 第1类，从高三（1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第2类，从高三（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第3类，从高三（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法. 根据分类加法计数原理知，从高三（1）班男生、高三（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，不同选法的种数为30＋30＋20＝80. 通性通法 利用分类加法计数原理的解题流程 【跟踪训练】 1.某中学需从2024年师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学生中选聘1人，则不同的选法种数为（　　） A.6　 B.5 C.3　 D.2 解析：B　选取的方法可分为两类：从3名女大学生中选聘1人，有3种选法；从2名男大学生中选聘1人，有2种选法，根据分类加法计数原理，可知不同的选法种数为3＋2＝5，故选B. 2.已知两条异面直线a，b上分别有4个点和7个点，则这11个点可以确定不同的平面个数为　11　. 解析：分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的7个点可以确定7个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的4个点可以确定4个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定7＋4＝11个不同的平面. 题型二 分步乘法计数原理的应用 【例2】　从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为（　　） A.50　 B.100 C.150　 D.200 解析：B　由题意知a不能为0，故a的值有5种选法；b的值也有5种选法；c的值有4种选法.由分步乘法计数原理得，可以组成抛物线的条数为5×5×4＝100. 【母题探究】 1.（变条件）本例中若二次函数图象开口向下，则可以组成抛物线的条数又为多少？ 解：需分三步完成，第一步确定a有2种方法，第二步确定b有5种方法，第三步确定c有4种方法，故可组成2×5×4＝40（条）抛物线. 2.（变条件，变设问）若从本例的六个数字中选2个作为椭圆＋＝1的参数m，n.则可以组成椭圆的个数是多少？ 解：据条件知m＞0，n＞0，且m≠n，故需分两步完成，第一步确定m，有3种方法，第二步确定n，有2种方法，故可以组成椭圆的个数为3×2＝6. 通性通法 利用分步乘法计数原理的解题流程 【跟踪训练】 1.若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（　　） A.6种　 B.24种 C.64种　 D.81种 解析：D　每位学生都有3种选择，则4位学生的报名方式共有34＝81（种）.故选D. 2.在如图所示的电路（规定只能闭合其中2个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有　6　种. 解析：由题意可知，在该电路中，只有先闭合A组2个开关中的任意1个，再闭合B组3个开关中的任意1个后，接通电源，灯泡才能发光.因此要完成这件事，需要分两步，所以接通电源使灯泡发光的方法种数为2×3＝6. 题型三 两个计数原理的简单应用 【例3】　现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画. （1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ （2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ （3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 解：（1）分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法.根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14（种）不同的选法. （2）分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70（种）不同的选法. （3）分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10（种）不同的选法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35（种）不同的选法； 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14（种）不同的选法. 所以共有10＋35＋14＝59（种）不同的选法. 通性通法 1.使用两个计数原理的原则 使用两个计数原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决. 2.应用两个计数原理解题的四个步骤 （1）明确完成的这件事是什么； （2）思考如何完成这件事； （3）判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类； （4）选择计数原理进行计算. 【跟踪训练】 　集合A＝{1，2，－3}，B＝{－1，－2，3，4}.现从A，B中各取一个元素作为点P（x，y）的坐标. （1）可以得到多少个不同的点？ （2）在这些点中，位于第一象限的有几个？ 解：（1）一个点的坐标由x，y两个元素确定，若它们有一个不同，则表示不同的点，可分为两类： 第一类：选A中的元素为x，B中的元素为y，有3×4＝12（个）不同的点； 第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3＝12（个）不同的点. 由分类加法计数原理得不同的点的个数为12＋12＝24. （2）第一象限内的点x，y必须为正数，从而只能取A，B中的正数，同样可分为两类，类似于（1），得适合题意的不同点的个数为2×2＋2×2＝8. 1.一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同.从两个袋子里各取一个球，不同取法的种数为（　　） A.182　 B.14 C.48　 D.91 解析：C　由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48.故选C. 2.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（　　） A.3　 B.9 C.24　 D.以上都不对 解析：B　根据分类加法计数原理可得，一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为3＋4＋2＝9. 3.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有4条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.则从甲地到丁地共有　16　条不同的路. 解析：如果由甲地经乙地到丁地，则有2×4＝8种不同的路线；如果由甲地经丙地到丁地，则有4×2＝8种不同的路线.因此，从甲地到丁地共有8＋8＝16种不同的路线. 1.音乐播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，任选一首歌曲进行播放，不同的选法种数为（　　） A.21　 B.30 C.160　 D.240 解析：A　依题意一共有10＋8＋3＝21种选法. 2.从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中纯虚数的个数为（　　） A.0　 B.3 C.6　 D.36 解析：C　由复数a＋bi为纯虚数，所以a＝0，此时b有6种取法，故纯虚数共有6个. 3.阅读课上，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（　　） A.50　 B.60 C.125　 D.243 解析：D　由题意，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，其中，每名同学都有3种不同的选法，所以不同的选法种数是35＝243.故选D. 4.某班小张等4名同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每名同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有（　　） A.27种　 B.36种 C.54种　 D.81种 解析：C　小张的报名方法有2种，其他3名同学的报名方法各有3种，由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54（种）不同的报名方法，故选C. 5.（多选）已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，r∈{8，9}，则方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2可表示不同的圆的个数用式子表示为（　　） A.4＋4＋4＋4＋4＋4　 B.4＋4＋4＋4 C.3×4　 D.3×4×2 解析：AD　法一　完成表示不同的圆这件事有三步：第1步，确定a有3种不同的选取方法；第2步，确定b有4种不同的选取方法；第3步，确定r有2种不同的选取方法.由分步乘法计数原理，方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2（个）. 法二　由分类加法计数原理得，当a＝1时，b＝4，5，6，7，r＝8或9，有4＋4（个）；当a＝2时，b＝4，5，6，7，r＝8或9，有4＋4（个）；当a＝3时，b＝4，5，6，7，r＝8或9，有4＋4（个），故方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2可表示不同的圆共有4＋4＋4＋4＋4＋4（个）. 6.（多选）设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2，3，3，4条路，只从一面上山，而从其他任意一面下山，不同的走法种数可能为（　　） A.20　 B.27 C.32　 D.30 解析：ABC　东面上山的种数为2×（3＋3＋4）＝20，西面上山的种数为3×（2＋3＋4）＝27，南面上山的种数为3×（2＋3＋4）＝27，北面上山的种数为4×（2＋3＋3）＝32，故只从一面上山，而从其他任意一面下山的走法种数可能为20，27，32. 7.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共有　　种. 答案：7 解析：分3类：买1本书，买2本书和买3本书.各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7（种）. 8.某校高三教学大楼共有四层，每层均有两个楼梯，一学生由该楼第一层走到第四层的方法共有　8　种（用数字作答）. 解析：学生由该楼第一层走到第四层共分为三步：即一层到二层，二层到三层，三层到四层，∵每层均有两个楼梯，即每层都有2种走法，∴学生由该楼第一层走到第四层的方法共有2×2×2＝23＝8种. 9.甲、乙、丙3个班各有3名、5名、2名三好学生，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有　31　种推选方法. 解析：分为三类：①甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×5＝15（种）选法；②甲班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×2＝6（种）选法；③乙班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有5×2＝10（种）选法.综上，根据分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31（种）推选方法. 10.用10元、5元和1元的现金来支付20元钱的书款，不同的支付方法有（　　） A.3种　 B.5种 C.9种　 D.12种 解析：C　只用一种币值有2张10元；4张5元；20张1元，共3种.用两种币值的有1张10元，2张5元；1张10元，10张1元；3张5元，5张1元；2张5元，10张1元；1张5元，15张1元，共5种.用三种币值的有1张10元，1张5元，5张1元，共1种.由分类加法计数原理可知，共有3＋5＋1＝9（种）. 11.（多选）如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以为（　　） A.18　 B.19 C.24　 D.26 解析：AB　第一条线路单位时间内传递的最大信息量为3；第二条线路单位时间内传递的最大信息量为4；第三条线路单位时间内传递的最大信息量为6；第四条线路单位时间内传递的最大信息量为6.因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19，故选A、B. 12.某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，则有　20　种不同的选法. 解析：由题意可知，有1人既会钢琴又会小号（记为甲），只会钢琴的有6人，只会小号的有2人.本题可分两类：第1类，甲入选，此时，只需从其他8人中任选1人，故这类选法共有8种.第2类，甲不入选，此时，选法共有6×2＝12（种）.因此共有8＋12＝20（种）不同的选法. 13.设a，b，c∈{1，2，3，4}，若以a，b，c为三条边的长构成一个等腰三角形，则这样的三角形有　12　个. 解析：设a，b是腰长，根据腰长分四类：第1类，当a＝b＝1时，c＜a＋b＝2，则c＝1； 第2类，当a＝b＝2时，c＜a＋b＝4，则c＝1，2，3；第3类，当a＝b＝3时，c＜a＋b＝6，则c＝1，2，3，4；第4类，当a＝b＝4时，c＜a＋b＝8，则c＝1，2，3，4.因此符合条件的三角形的个数为1＋3＋4＋4＝12. 14.用1，2，3，4四个数字（可重复）排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}. （1）写出这个数列的前11项； （2）这个数列共有多少项？ （3）若an＝341，求n. 解：（1）111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133. （2）这个数列的项数就是用1，2，3，4排成的三位数的个数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64（项）. （3）比an＝341小的数有两类： ① 1 × × 2 × × ② 3 1 × 3 2 × 3 3 × 共有2×4×4＋1×3×4＝44（项）. 所以n＝44＋1＝45. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $