7.4.1 第2课时 二项分布的综合问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦二项分布的综合问题，核心涵盖均值方差计算、实际应用及概率最大问题。通过典型例题导入，从二项分布定义出发，衔接公式推导，再到生活情境应用，构建“定义-公式-应用”的学习支架。 其亮点是以高考志愿报考、投篮比赛等实例为载体，结合通性通法总结与分层训练，培养数学思维与数据观念。例如用应聘测试期望决策体现模型意识，助力学生提升应用能力，也为教师提供系统教学资源。

第2课时　 二项分布的综合问题 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 二项分布的均值与方差 【例1】　（1）随机变量X～B（100，p），且E（X）＝20，则D （2X－1）＝（　A　） A. 64 B. 128 C. 256 D. 32 解析： E（X）＝100p＝20，解得p＝0.2，D（X）＝ np（1－p）＝100×0.2×（1－0.2）＝16，D（2X－1）＝4D （X）＝64. A 目录 数学·必修第一册 （2）一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中 有且仅有一个选项是正确的，每道题答案选择正确得4分，不作 出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为 0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值为 ，方差 为 ⁠. 60　 96　 目录 数学·必修第一册 解析： 设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数 为X，所得的分数（成绩）为Y，则Y＝4X. 由题知X～B （25，0.6），所以E（X）＝25×0.6＝15，D（X）＝ 25×0.6×0.4＝6，E（Y）＝E（4X）＝4E（X）＝60，D （Y）＝D（4X）＝42×D（X）＝16×6＝96.所以该学生在这 次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96. 目录 数学·必修第一册 通性通法 求二项分布的均值和方差的步骤 （1）先判断随机变量是否服从二项分布； （2）若服从二项分布，则代入二项分布的均值和方差公式计算均值 和方差，即X～B（n，p），则E（X）＝np，D（X）＝np （1－p）.特别地，当n＝1时，X服从两点分布. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 已知随机变量X服从二项分布B（n，p）.若E（X）＝2，D （X）＝ ，则p＝（　　） A. B. C. D. 解析： 由随机变量X服从二项分布B（n，p），E（X）＝ 2，D（X）＝ ，可得解得p＝ .故选C. 目录 数学·必修第一册 2. 为了探究某市在高考志愿中报考“经济类”专业的情况，现从该市 考生中随机抽取50名学生进行调查，得到数据如下： 报考“经济类” 不报考“经济类” 合计 人数 20 30 50 以样本中各事件的频率作为概率估计全市考生的报考情况，现从该 市全体考生（人数众多）中随机抽取3人，设3人中报考“经济类” 专业的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列、均值与方差. 目录 数学·必修第一册 解：估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率P＝ ＝ . 随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，由题意，得X～B （3， ）， 则P（X＝k）＝ （ ）k（1－ ）3－k（k＝0，1，2，3）， ∴随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ ∴随机变量X的均值E（X）＝3× ＝ ，方差D（X）＝3× × （1－ ）＝ . 目录 数学·必修第一册 题型二 二项分布的均值和方差的实际应用 【例2】　某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应 聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后 进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率 均为 ；该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为 ， ，m，其中0＜m＜1，技能测试是否通过相互独立. 目录 数学·必修第一册 （1）若m＝ .求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两 项的概率； 解： 记“该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过 两项”为事件A， 由题设P（A）＝ × × × ＋ × × ＝ . 目录 数学·必修第一册 解： 分别记“该应聘者应聘甲、乙公司三项专业技能测试 中通过的项目数为ξ，η”， 由题设知：ξ～B（3， ），所以E（ξ）＝3× ＝2， η的所有可能取值为0，1，2，3， P（η＝0）＝ × ×（1－m）＝ ， P（η＝1）＝ × ×（1－m）＋ × ×（1－m）＋ × ×m ＝ ， （2）已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应 聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为 决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m 的取值范围. 目录 数学·必修第一册 P（η＝2）＝ × ×（1－m）＋ × ×m＋ × ×m＝ ， P（η＝3）＝ × ×m＝ ＝ ， 故η的分布列为 η 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 目录 数学·必修第一册 从而E（η）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ ， 由得解得 ＜m＜1. 故m的取值范围为（ ，1）. 目录 数学·必修第一册 通性通法 　　二项分布的均值与方差是反映随机变量取值的平均水平和随机变 量偏离均值的程度，从整体上刻画随机变量的取值情况，是生产实际 中用于方案制定（决策）的重要理论依据.求解二项分布的均值与方 差的应用问题时，可按随机变量的均值与方差的定义求解，也可先判 断随机变量的分布类型，再直接利用公式求E（X）及D（X）. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为 p，且每次投篮相互独立，经商定共设定5个投篮点，每个投篮点投球 一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5个投篮点投球，且每投中一 次可获得1分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行 下一次投篮，如没有投中，投篮中止，且每投中一次可获得2分. 按累 计得分高低确定胜负. 目录 数学·必修第一册 （1）若乙得6分的概率 ，求p； 解： 若乙得6分，则需乙前3个投篮投中，第4个投篮未中， 其概率为p3·（1－p），又0＜p＜1， 故p3·（1－p）＝ ，解得p＝ . 目录 数学·必修第一册 （2）由（1）问中求得的p值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能 性大？ 解： 设X为甲累计获得的分数，则X～B（5， ），所以 E（X）＝np＝5× ＝ ， 设Y为乙累计获得的分数，则Y的可能取值为0，2，4，6，8， 10， P（Y＝0）＝ ，P（Y＝2）＝ ×（1－ ）＝ ， P（Y＝4）＝（ ）2×（1－ ）＝ ， 目录 数学·必修第一册 P（Y＝6）＝（ ）3×（1－ ）＝ ， P（Y＝8）＝（ ）4×（1－ ）＝ ， P（Y＝10）＝（ ）5＝ ， 所以Y的分布列为 Y 0 2 4 6 8 10 P ​ ​ ​ ​ ​ ​ 所以E（Y）＝0× ＋2× ＋4× ＋6× ＋8× ＋10× ＝ ， 因为E（X）＞E（Y），所以甲获胜的可能性大. 目录 数学·必修第一册 1. 设X～B（40，p），且E（X）＝16，则p＝（　　） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 解析： 　∵E（X）＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.故选D. 目录 数学·必修第一册 2. 已知小明投篮10次，每次投篮的命中率均为0.7，记10次投篮中命 中的次数为X，则D（X）＝ ⁠. 解析：随机变量X～B（10，0.7），故D（X）＝10×0.7×（1 －0.7）＝2.1. 2.1　 目录 数学·必修第一册 3. 甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是0.51，乙每局赢的概率是0.49. 甲、乙一共进行了10局比赛.已知各局比赛相互独立，计算甲平均 赢多少局，乙平均赢多少局. 解：由题意，用X表示10局中甲赢的次数， 则X～B（10，0.51）， 所以E（X）＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢5.1局， 用Y表示10局中乙赢的次数，则Y～B（10，0.49）， 所以E（Y）＝10×0.49＝4.9， 即乙平均赢4.9局. 目录 数学·必修第一册 　二项分布概率最大问题 1. 如果某品种幼苗每株成活的概率为0.74，且每株幼苗是否成活相互 独立，那么种植10株这种幼苗，最有可能成活几株幼苗？ 解：假设最有可能成活幼苗的数量为k（k∈N且k≤10），则 ×0.74k×0.2610－k≥ ×0.74k＋1×0.269－k且 ×0.74k×0.2610－k≥ ×0.74k－1×0.2611－k，解得 ≤k≤ ，又k∈N，所以k＝8.故最有可能成活8株幼苗. 目录 数学·必修第一册 2. 如果X～B ，那么当P（X＝k）取得最大值时，k取何值？ 解：由题意知，X服从二项分布，所以P（X＝k）＝ × × ＝ × × ， P（X＝k－1）＝ × × ，k∈N且k≤20. 由不等式 ≤1，即 ≤1，解得k≤7. 所以当k≤7时，P（X＝k）≥P（X＝k－1）；当k＞7时，P （X＝k－1）＞P（X＝k）. 因为当k＝7时，P（X＝k－1）＝P（X＝k）. 所以k＝6或k＝7时，P（X＝k）取得最大值. 目录 数学·必修第一册 方法总结 二项分布概率最大问题的求解思路 如果X～B（n，p），其中0＜p＜1，求P（X＝k）最大值对 应的k值，一般是考查 与1的大小关系.因为 ＝ ＝1＋ （1≤k≤n），所以要使P（X＝k） ≥P（X＝k－1），则k≤（n＋1）p.故有： （1）若（n＋1）p＞n，则k＝n时P（X＝k）取得最大值； 目录 数学·必修第一册 （2）若（n＋1）p是不超过n的正整数，则当k＝（n＋1）p－1和k ＝（n＋1）p时，P（X＝k）取得最大值； （3）若（n＋1）p是不超过n的非整数，则当k＝[（n＋1）p] （注：[（n＋1）p]表示不超过（n＋1）p的最大整数）时P （X＝k）取得最大值. 提醒　还可以考虑用不等式组来 求解. 目录 数学·必修第一册 【迁移应用】 某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进 行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者 的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱 好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 [5，10] （10，15] （15，20] （20，25] 男性人数 15 22 14 9 女性人数 5 11 17 7 目录 数学·必修第一册 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲 拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否 超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧 魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率 最大）是多少？ 解：根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为 ＝ ， 设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ，则 ξ～B（20， ）， 目录 数学·必修第一册 其中P（ξ＝k）＝ （ ）k（ ）20－k，k＝0，1，2，…，20， 当k≥1时，由 得 化简得解得 ≤k≤ ， 又k∈Z，所以k＝4， 所以这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知X～B（n，p），E（X）＝8，D（X）＝1.6，则n与p的 值分别为（　　） A. 100和0.08 B. 20和0.4 C. 10和0.2 D. 10和0.8 解析： 　因为X～B（n，p），所以解得 n＝10，p＝0.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 2. 若随机变量X～B（n，0.4），且E（X）＝2，则P（X＝1）＝ （　　） A. 3×0.44 B. 2×0.45 C. 3×0.64 D. 2×0.64 解析： 　因为随机变量X～B（n，0.4），所以E（X）＝0.4n ＝2，解得n＝5，所以随机变量X～B（5，0.4），所以P（X＝ 1）＝ （1－0.4）4×0.41＝2×0.64，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 3. 某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是 ，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次 数，若Y＝3X＋5，则Y的标准差为（　　） A. B. 3 C. D. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 解析： 　因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响， 所以可看成3次独立重复试验，即X～B（3， ）.X的方差D （X）＝3× ×（1－ ）＝ ，所以Y的方差D（Y）＝32·D （X）＝9× ＝6，所以Y的标准差为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 4. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒该种种子，对 于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则 E（X）＝（　　） A. 50 B. 100 C. 200 D. 400 解析： 　由题意可知，不发芽的种子数（记为Y）服从二项分 布，即Y～B（1 000，0.1），所以E（Y）＝1 000×0.1＝100， 所以X的均值E（X）＝2×E（Y）＝200. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 5. （多选）已知ξ～B（n，p），且E（3ξ＋2）＝9.2，D（3ξ＋2） ＝12.96，则下列说法正确的有（　　） A. n＝6 B. p＝0.6 C. P（ξ＝4）＝ ×0.64×0.42 D. P（ξ≥1）＝1－0.66 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 解析： 　因为E（3ξ＋2）＝3E（ξ）＋2＝9.2，D（3ξ＋2）＝ 9D（ξ）＝12.96，所以E（ξ）＝2.4，D（ξ）＝1.44，由ξ～B （n，p），所以E（ξ）＝np＝2.4，D（ξ）＝np（1－p）＝ 1.44，所以n＝6，p＝0.4，故A正确，B错误；又P（ξ＝4）＝ ×0.62×0.44，故C错误；P（ξ≥1）＝1－P（ξ＝0）＝1－0.66， D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 6. （多选）小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人 同时随机等可能地选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人 数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，每次 游戏互不影响，记小明4次游戏得分之和为X，则下列结论正确的 是（　　） A. 每次游戏中小明得1分的概率是 B. X的均值是2 C. X的均值是3 D. X的方差是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 解析： 设小明为a，其他两位同学分别为b，c，每次游戏三 人选择的手势组合如下表： a b c 手心 手心 手背 手心 手心 手心 手心 手背 手背 手心 手背 手心 手背 手心 手背 手背 手心 手心 手背 手背 手背 手背 手背 手心 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 共有8种情况，小明得1分有6种情况，所以小明每次游戏得1分的概 率P＝ ，故A正确；由题意，X～B（4， ），所以E（X）＝ 4× ＝3，D（X）＝4× × ＝ ，故B错误，C正确，D错误.故 选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 7. 牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病 率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D（ξ）＝ ⁠. 解析：因为ξ～B（10，0.02），所以D（ξ）＝10×0.02×（1－ 0.02）＝0.196. 0.196　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 8. 某人参加驾照考试，共考4个科目，假设他通过各科考试的事件是 相互独立的，并且概率都是p，且p＞ ，若此人通过的科目数X的 方差是 ，则E（X）＝ 　 　. 解析：因为他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是 p，所以此人通过的科目数X～B（4，p），又此人通过的科目数 X的方差是 ，所以4p（1－p）＝ ，解得p＝ 或p＝ （舍 去），所以E（X）＝4× ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 9. 抛掷一枚质地均匀的硬币n（3≤n≤8）次，正面向上的次数ξ服从 二项分布B（n， ），若P（ξ＝1）＝ ，则方差D（ξ） ＝ ⁠. 解析：因为3≤n≤8，ξ服从二项分布B（n， ），且P（ξ＝1） ＝ ，所以 ·（ ）·（1－ ）n－1＝ ，即n（ ）n＝ ，解得 n＝6，所以方差D（ξ）＝np（1－p）＝6× ×（1－ ）＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 10. 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每 盏灯出现红灯的概率都是 ，出现绿灯的概率都是 .记这4盏灯中 出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时： （1）求ξ＝2时的概率； 解： 依题意知，ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好 有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是 ， 故P（ξ＝2）＝ ×（ ）2×（ ）2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 （2）求ξ的均值. 解： 法一　ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4， 依题意知，P（ξ＝k）＝ （ ）k（ ）4－k（k＝0，1， 2，3，4）.∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P ​ ​ ​ ​ ​ ∴E（ξ）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ . 法二　∵ξ服从二项分布，即ξ～B（4， ）， ∴E（ξ）＝4× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 11. 一个袋中有大小、形状相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现 随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的 红球数为X1；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 X2，则（　　） A. E（X1）＜E（X2），D（X1）＜D（X2） B. E（X1）＝E（X2），D（X1）＞D（X2） C. E（X1）＝E（X2），D（X1）＜D（X2） D. E（X1）＞E（X2），D（X1）＞D（X2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 解析： 　X1的可能取值为0，1，2，X1～B（2， ），E（X1） ＝2× ＝ ，D（X1）＝2× × ＝ ；X2的可能取值为0，1，P （X2＝0）＝ × ＝ ，P（X2＝1）＝ × ＋ × ＝ ，∴E （X2）＝0× ＋1× ＝ ，D（X2）＝（0－ ）2× ＋（1－ ） 2× ＝ .∴E（X1）＝E（X2），D（X1）＞D（X2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 12. 为舒缓高考压力，某中学高三年级开展了“葵花心语”活动，每 个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一互助 组，每组四人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长出三株花 苗，则该小组可评为“阳光小组”.已知每颗种子发芽概率为 0.8，全年级恰好共种了500盆，则大概有 ⁠个小组能评为 “阳光小组”.（结果四舍五入法保留整数） 410　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 解析：由题意知，每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株 花苗”和“长出四株花苗”两种情况，其概率为 ×0.84＋ ×（1－0.8）×0.83＝0.819 2，即一个小组能被评为“阳光小 组”的概率为0.819 2，且被评为“阳光小组”的个数X服从二项 分布X～B（500，0.819 2），所以能被评为“阳光小组”的约有 500×0.819 2＝409.6≈410个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 13. 我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制 造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防、抢险救灾、环境 监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投 弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次 投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为 ，每次 投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的 概率为 ，击中目标两次起火点被扑灭的概率为 ，击中目标三次 起火点必定被扑灭. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 （1）求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望； 解： 起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0，1，2，3， P（X＝0）＝（ ）3＝ ，P（X＝1）＝ × ×（ ）2＝ ， P（X＝2）＝ ×（ ）2× ＝ ， P（X＝3）＝（ ）3＝ . ∴X的分布列如下： X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ ∵X～B（3， ），∴E（X）＝3× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 （2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 解： 击中一次被扑灭的概率为P1＝ ×（ ）1× （ ）2× ＝ ， 击中两次被扑灭的概率为P2＝ ×（ ）2× × ＝ ， 击中三次被扑灭的概率为P3＝（ ）3＝ ， ∴所求概率P＝ ＋ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 14. 设随机变量X～B（n，p），若二项式（x＋p）n＝a0＋ x＋ x2＋…＋anxn，则（　　） A. E（X）＝3，D（X）＝2 B. E（X）＝4，D（X）＝2 C. E（X）＝3，D（X）＝1 D. E（X）＝2，D（X）＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 解析： 　由题意可知，（x＋p）n＝ pn＋ pn－1x＋ pn－2x2＋ pn－3x3＋…＋ xn，又（x＋p）n＝a0＋ x＋ x2 ＋…＋anxn，所以化简得n－1＝6p　①， 此时n－1＜6.若选项A成立，则解得 故A错误；若选项B成立，则解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 故B错误；若选项C成立，则解得 代入①验证不成立，故C错误；若选项D成立，则 解得代入①验证成立，故D正确.故 选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 15. 在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发 射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号 1的次数为X. （1）当n＝6时，求P（X≤2）； 解： 由已知X～B（6， ），所以P（X≤2）＝P （X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝2） ＝ （ ）6＋ ·（ ）5＋ （ ）2·（ ）4＝ ＋ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 （2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望 E（Y）和方差D（Y）均存在，则对任意正实数a，有P （｜Y－E（Y）｜＜a）≥1－ .根据该不等式可以 对事件“｜Y－E（Y）｜＜a”的概率作出下限估计.为了 至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之 间，试估计信号发射次数n的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 解： 由已知X～B（n，0.5），所以E（X）＝0.5n，D（X）＝0.25n， 若0.4≤ ≤0.6，则0.4n≤X≤0.6n，即－0.1n≤X－0.5n≤0.1n，即｜X－0.5n｜≤0.1n. 由切比雪夫不等式知P（｜X－0.5n｜≤0.1n）≥1－ ， 要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，则1－ ≥0.98， 解得n≥1 250，所以估计信号发射次数n的最小值为1 250. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 $