7.2 离散型随机变量及其分布列-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件围绕离散型随机变量及其分布列展开，以射击命中环数情境导入，通过问题引导学生从具体结果抽象出随机变量概念，构建“情境—概念—性质—应用”的学习支架，衔接前后知识脉络。 其特色在于紧扣新课标核心素养，通过典型例题（如摸球、抽奖问题）和分层训练，强化数学抽象与运算能力，总结通性通法便于教师教学，助力学生形成逻辑思维，提升解决实际问题的能力。

7.2　 离散型随机变量及其分布列 新课程标准解读 核心素养 1.通过具体实例，了解随机变量、离散型随机 变量的概念 数学抽象 2.理解离散型随机变量的分布列，会求某些简 单的离散型随机变量的分布列 数学抽象、 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　在射击运动中，运动员射击一次，可能出现不中靶，命中1 环，……，命中10环等结果，若用变量X表示他一次射击所命中的 环数. 【问题】　（1）变量X的取值情况如何？ （2）X≥8表示什么含义？ 目录 数学·必修第一册 知识点一　随机变量的概念 随机变量 的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点 ω，都有 的实数X（ω）与之对应，称X为 随机变量 离散型随 机变量的 概念 可能取值为有限个或可以 ⁠的随机变 量，称为离散型随机变量 表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z 唯一　 一一列举　 目录 数学·必修第一册 提醒　离散型随机变量的特征：①可以用数值表示；②试验之前 可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；③试验结果 能一一列出. 目录 数学·必修第一册 【想一想】 1. 所有的随机变量的取值都能一一列举吗？ 提示：不一定. 2. 随机变量与函数有什么联系？ 提示：随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于 函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之 处在于Ω不一定是数集.随机变量的取值X（ω）随着试验结果ω的 变化而变化，这使我们可以比较方便地表示一些随机事件. 目录 数学·必修第一册 知识点二　离散型随机变量的分布列 1. 离散型随机变量的分布列 （1）定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1， x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P（X＝xi） ＝ ，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列； （2）表示：离散型随机变量的分布列可以用 表示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn pi　 表格　 （3）性质：①pi≥ ，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝ ⁠. 0　 1　 目录 数学·必修第一册 2. 两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”， 表示 “失败”，定义X＝如果P（A）＝p，则P（ ） ＝ ，那么X的分布列如表所示： X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布. 1－p　 目录 数学·必修第一册 提醒　（1）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个 范围内各个值的概率的和；（2）如果随机变量X的试验结果只有两 种可能，且它们的概率之和为1，则是两点分布，否则不是两点分布. 目录 数学·必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个. （　√　） （2）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为 随机变量. （　√　） （3）手机电池的使用寿命X是离散型随机变量. （　×　） （4）在离散型随机变量的分布列中，每一个可能值对应的概率可 以为任意的实数. （　×　） √ √ × × 目录 数学·必修第一册 2. 若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 3m 2m 则m＝（　　） A. B. 解析： 　由离散型随机变量分布列的性质可知，2m＋3m＝1， 所以m＝ . C. D. 目录 数学·必修第一册 3. 抛掷2枚正方体骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试 验结果是（　　） A. 2枚都是4点 B. 1枚是1点，另1枚是3点 C. 2枚都是2点 D. 1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点 解析： 　抛掷2枚骰子，其中1枚是x点，另一枚是y点，其中x， y＝1，2，…，6.而ξ＝x＋y，ξ＝4⇔或故选D. 目录 数学·必修第一册 4. 若随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝0.8，P（X＝1）＝ 0.2，令Y＝3X－2，则P（Y＝－2）＝ ⁠. 解析：由Y＝－2可知3X－2＝－2，即X＝0，∴P（Y＝－2）＝ P（X＝0）＝0.8. 0.8　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 随机变量的概念及分类 【例1】　（1）（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是 （　AB　） AB A. 从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张，被取出的 卡片的号数 B. 一个袋中装有9个正品和1个次品，从中任取3个，其中所含正品的 个数 C. 某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度 D. 某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差 目录 数学·必修第一册 解析： A项，只要取出一张，便有一个号码，因此被取出 的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；B项， 从10个产品中取3个产品，所含正品个数的可能取值为3，2，可 以一一列出，符合离散型随机变量的定义；C项，林场树木的高 度是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值，无法一一 列举，不是离散型随机变量；D项，实际测量值与规定值之间的 差值无法一一列出，不是离散型随机变量. 目录 数学·必修第一册 （2）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码， 任意抽取2个球，设2个球号码之和为Y，则Y所有可能取值的个 数是（　C　） A. 25 B. 10 C. 7 D. 6 C 解析： ∵Y表示取出的2个球的号码之和，又1＋2＝3，1＋3＝4， 1＋4＝5，1＋5＝6，2＋3＝5，2＋4＝6，2＋5＝7，3＋4＝7，3 ＋5＝8，4＋5＝9，故Y的所有可能取值为3，4，5，6，7，8， 9，共7个. 目录 数学·必修第一册 通性通法 离散型随机变量的判断方法 （1）明确随机试验的所有可能结果； （2）将随机试验的试验结果数量化； （3）确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果 能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 指出下列随机变量是否为离散型随机变量，并说明理由： （1）白炽灯的寿命； 解： 不是离散型随机变量.因为白炽灯的寿命的取值是一 个非负实数，而所有非负实数不能一一列出. （2）江西九江市长江水位监测站所测水位在（0，29]这一范围内变 化，该水位站所测水位； 解： 不是离散型随机变量.因为水位在（0，29]这一范围 内连续变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出. 目录 数学·必修第一册 （3）一个学习小组有5个男同学和5个女同学，从中任取3人，其中男 同学的个数. 解： 是离散型随机变量.从10个人中取3人，其中男同学人 数的可能取值为0，1，2，3，可以一一列出，符合离散型随机 变量的定义. 目录 数学·必修第一册 题型二 求离散型随机变量的分布列 【例2】　从6名教师中任选3人去参加进修活动，已知这6名教师中， 语文、数学、英语教师各2人.设X表示选出的3人中数学教师的人 数，求X的分布列. 解：由题意，X的可能取值为0，1，2. P（X＝0）＝ ＝0.2，P（X＝1）＝ ＝0.6， P（X＝2）＝ ＝0.2.所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.2 0.6 0.2 目录 数学·必修第一册 通性通法 求离散型随机变量的分布列的关键 （1）列出随机变量的所有可能的取值，不重不漏； （2）计算出每一个取值所对应的概率； （3）用所有概率之和是否为1来检验. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球.从中任意 摸出两个球，用Y＝0表示“两个球全是白球”，用Y＝1表示“两 个球不全是白球”，求Y的分布列. 解：由题意知P（Y＝0）＝ ＝ ， P（Y＝1）＝1－P（Y＝0）＝ . 故Y的分布列为 Y 0 1 P ​ ​ 目录 数学·必修第一册 2. 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同 的数.设X为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的分布列. 解：根据题意，X＝0，1，2，3，P（X＝0）＝ ＝ ＝ ， P（X＝1）＝ ＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ＝ ， P（X＝3）＝ ＝ ＝ ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 目录 数学·必修第一册 题型三 分布列的性质及应用 【例3】　设随机变量X的分布列为P（X＝i）＝ （i＝1，2，3， 4），求： （1）P（X＝1或X＝2）； 解： ∵ ＋ ＋ ＋ ＝1， ∴a＝10， 则P（X＝1或X＝2）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝ ＋ ＝ . 目录 数学·必修第一册 （2）P（ ＜X＜ ）. 解： 由a＝10， 得P（ ＜X＜ ）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3） ＝ ＋ ＋ ＝ . 目录 数学·必修第一册 通性通法 分布列的性质及其应用 （1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验， 以保证每个概率值均为非负数； （2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围 内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率 加法公式. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：（1）2X＋1的分布列； 目录 数学·必修第一册 （1）2X＋1的分布列为 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 解：由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 ｜X－1｜ 1 0 1 2 3 从而由上表得： 目录 数学·必修第一册 （2）｜X－1｜的分布列. 解： X－1｜的分布列为 ｜X－1｜ 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 目录 数学·必修第一册 1. 某一随机变量ξ的概率分布如表所示，且m＋2n＝1.2，则m－ ＝ （　　） ξ 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1 A. －0.2 B. 0.2 解析： 　由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1， 又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－ ＝0.2. C. 0.1 D. －0.1 目录 数学·必修第一册 2. 某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成 功次数，则P（X＝1）＝（　　） A. 0 B. C. D. 解析： 　设失败率为p，则成功率为2p，分布列如下，由p＋2p ＝1，得p＝ ，所以P（X＝1）＝2p＝ . X 0 1 P p 2p 目录 数学·必修第一册 3. （多选）下列问题中的随机变量服从两点分布的是（　　） A. 抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B. 某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X C. 从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝ D. 抛掷一枚硬币，出现正面向上的次数为随机变量X 解析： 选项A中随机变量X的可能取值有6个，不服从两点分布. 目录 数学·必修第一册 4. 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品 为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机 变量X，则P（ ≤X≤ ）＝ 　 　. 解析：设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有 个，总数为 个，∴X的分布列如下，∴P（ ≤X≤ ）＝P（X＝1）＝ . X 1 2 3 P ​ ​ ​ 　 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. 下列叙述中，随机变量X不是离散型随机变量的是（　　） A. 某座大桥一天经过的车辆数X B. 某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X C. 一天之内的温度X D. 一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0 分，用X表示该射击手在一次射击中的得分 解析： 　A、B、D中的X的可能取值可以一一列举出来，而C中 的X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的. 目录 数学·必修第一册 2. 下列表格可以作为ξ的分布列的是（　　） A. ξ 0 1 3 P a 1－a B. ξ 1 2 3 P － 1 C. ξ 4 5 P 0 1 D. ξ －1 1 2 P 2a a2＋2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 解析： 在A中，各概率之和为 ＞1，故A错误；在B中，P（ξ ＝2）＝－ ＜0，故B错误；在C中，满足0≤P≤1以及各概率之和 等于1，故C正确；在D中， ＋2a＋a2＋2＝（a＋1）2＋ ＞1，故 D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 3. 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 若随机变量Y＝X－2，则P（Y＝2）＝（　　） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 解析： 　由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.P（Y＝ 2）＝P（X＝4）＝0.3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 4. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P（X＝0）＝3 －4P（X＝1）＝a，则a＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　因为X的分布列服从两点分布，所以P（X＝0）＋P （X＝1）＝1.因为P（X＝0）＝3－4P（X＝1）＝a，所以P （X＝0）＝3－4[1－P（X＝0）]，所以P（X＝0）＝ ，所以a ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 5. （多选）抛掷两颗骰子各一次，记第一颗骰子掷出的点数与第二颗 骰子掷出的点数的差为X，则“X＞3”表示的试验的结果有 （　　） A. 第一颗为5点，第二颗为1点 B. 第一颗大于4点，第二颗也大于4点 C. 第一颗为6点，第二颗为1点 D. 第一颗为6点，第二颗为2点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 解析： 因为5－1＝4＞3，6－1＝5＞3，6－2＝4＞3，所以 选项A、C、D符合题意；对于B：第一颗大于4点，可以是5点，6 点，第二颗也大于4点，可以是5点，6点，因为5－5＝0＜3，5－6 ＝－1＜3，6－5＝1＜3，6－6＝0＜3，所以不符合题意.故选A、 C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 6. （多选）已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 4 6 P 0.2 m n 0.1 则下列选项正确的是（　　） A. m＋n＝0.7 B. 若m＝0.3，则P（X＞3）＝0.5 C. 若m＝0.9，则n＝－0.2 D. P（X＝1）＝2P（X＝6） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 解析： 　对于A中，由分布列的性质，可得0.2＋m＋n＋0.1 ＝1，解得m＋n＝0.7，所以A正确；对于B中，若m＝0.3，可得 n＝0.4，则P（X＞3）＝P（X＝4）＋P（X＝6）＝0.5，所以B 正确；对于C中，由概率的定义知m≥0，n≥0，所以C不正确；对 于D中，由P（X＝1）＝0.2，P（X＝6）＝0.1，则P（X＝1） ＝2P（X＝6），所以D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 7. 在某次考试中，需回答三个问题，每题回答正确得100分，回答不 正确得－100分，则某名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能 取值是 ⁠. 解析：答对0个问题得－300分；答对1个问题得－100分；答对2个 问题得100分；问题全答对得300分. －300，－100，100，300　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 8. 已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 1－2q q 则P（ ∈Z）＝ ⁠. 解析：由分布列的性质得1－2q≥0， q≥0，且 ＋1－2q＋ q＝ 1，解得q＝0.3，∴P（ ∈Z）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝ ＋1－2×0.3＝0.9. 0.9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 9. 由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失（以 “x，y”代替），其分布列如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20 则x，y的值依次为 ⁠. 解析：由0.20＋0.10＋（0.1×x＋0.05）＋0.10＋（0.1＋ 0.01×y）＋0.20＝1，得10x＋y＝25.又因为x，y∈{0，1，2， 3，4，5，6，7，8，9}，故x＝2，y＝5. 2，5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 10. 某电视台举行选拔大奖赛，在选手综合素质测试中，有一道把我 国四大文学名著《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》 与他们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，记一 位选手该题得分为X. （1）求该选手得分不少于6分的概率； 解： 由题意，该选手的得分不少于6分，则该选手的得 分为6分或12分， 可得P（X＝6）＝ ＝ ，P（X＝12）＝ ＝ ， 所以该选手得分不少于6分的概率为P＝P（X＝6）＋P （X＝12）＝ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 （2）求X的分布列. 解： 根据题意，可得随机变量X的可能取值为0，3，6，12， 则P（X＝3）＝ ＝ ，P（X＝0）＝1－ － ＝ ， 所以随机变量X的分别列为 X 0 3 6 12 P ​ ​ ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 11. 随机变量X的概率分布列的规律为P（X＝n）＝ （n＝1，2，3，4），其中a为常数，则P（X＝ ）＝（　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 解析： 　由P（X＝n）＝ ＝ （ － ），可知P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝ 4）＝1，即 （1－ ＋ － ＋ － ＋ － ）＝1，得a＝ .∴P （X＝ ）＝P（X＝2）＝ ×（ － ）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 12. （多选）口袋中有大小、形状都相同的4个红球和n个白球，每次 从中摸1个球，然后放回口袋中.摸到红球记2分，摸到白球记1分. 共摸球3次，设所得分数为随机变量ξ.若P（ξ＝3）＝ ，则摸 球3次，随机变量ξ的取值可能为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 解析： 　由题意知，摸到红球的概率是P1＝ ，摸到白球 的概率是P2＝ ，而ξ＝3表示得3分，即表示3次摸到的都是白 球，所以（ ）3＝ ，解得n＝3，所以ξ的可能取值为3，4， 5，6，故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 13. 袋中有4个红球、3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1 分，取到1个黑球得3分，记得分为随机变量ξ，则P（ξ≤6） ＝ ⁠. 解析：取出的4个球中红球的个数可能为4，3，2，1，相应的黑球 的个数为0，1，2，3，其得分ξ＝4，6，8，10，则P（ξ≤6）＝ P（ξ＝4）＋P（ξ＝6）＝ ＋ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 14. 某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干 千克A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩 余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数 量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量（单位：千 克），整理如表所示： 日需求量 140 150 160 170 180 190 200 频数 5 10 8 8 7 7 5 以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 （1）求该超市A水果日需求量n（单位：千克）的分布列； 解： n的分布列为 n 140 150 160 170 180 190 200 P 0.1 0.2 0.16 0.16 0.14 0.14 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 （2）若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得 的利润为X（单位：元），求X的分布列. 解： 若A水果日需求量为140千克，则X＝140×（15 －10）－（150－140）×（10－8）＝680（元），所以P （X＝680）＝ ＝0.1.若A水果日需求量不小于150千克， 则X＝150×（15－10）＝750（元），所以P（X＝750） ＝1－0.1＝0.9. 则X的所有可能取值为680，750， 故X的分布列为 X 680 750 P 0.1 0.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 15. 在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有1张一等奖，可获价 值50元的奖品；有3张二等奖，每张可获价值10元的奖品；其余6 张没有奖.某顾客从这10张中任抽2张.求： （1）该顾客中奖的概率； 解： 记顾客中奖为事件A，则P（A）＝ ＝ ＝ ，即该顾客中奖的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 （2）该顾客获得的奖品总价值X（元）的分布列. 解： X所有可能的取值为0，10，20，50，60， 且P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝10）＝ ＝ ， P（X＝20）＝ ＝ ，P（X＝50）＝ ＝ ， P（X＝60）＝ ＝ ， 故X的分布列如下： X 0 10 20 50 60 P ​ ​ ​ ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第一册 $