第6章 计数原理 章末复习与总结-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦两个计数原理、排列、组合及二项式定理，通过知识梳理构建体系，以例题解析（如学生报名、四棱锥染色）和跟踪训练（如回文数问题）为支架，衔接原理与应用，帮助学生形成完整知识脉络。 其亮点在于结合生活情境例题（如夏令营安排）培养数学思维，通过反思感悟总结方法（如分类分步、捆绑插空）提升数学语言表达，跟踪训练从具体到抽象（如2n+1位回文数）发展数学眼光。学生能提升解题能力，教师可高效开展章末复习。

章末复习与总结 数学·必修第一册 一、两个计数原理 　　分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础， 在进行计数过程中，常因分类不明、分步不清导致增（漏）解，因此 在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性，甚至还 要考虑步与步之间的连贯性. 数学·必修第一册 【例1】　（1）设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方 案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米跑、跳远、铅球3项比 赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（　C　） A. （34，34） B. （43，34） C. （34，43） D. （ ， ） C 解析： 每名学生报名有3种选择，有4名学生，根据分步乘法计数原理知共有34种选择，每项冠军有4种可能结果，3项冠军，根据分步乘法计数原理知共有43种可能结果.故选C. 数学·必修第一册 （2）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色.如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法共有 种. 420　 解析： 以S→A→B→C→D的顺序分步染色.第1步，对S点染色，有5种方法.第2步，对A点染色，A与S在同一条棱上，有4种方法.第3步，对B点染色，B与S，A分别在同一条棱上，有3种方法.第4步，对C点染色，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类.当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步乘法计数原理和分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×（3＋2×2）＝420种. 数学·必修第一册 反思感悟 应用两个计数原理计数的四个步骤 （1）明确完成的这件事是什么； （2）思考如何完成这件事； （3）判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后 分类； （4）选择计数原理进行计算. 数学·必修第一册 【跟踪训练】 （2024·驻马店一中月考）“回文数”是指从左到右与从右到左读都 一样的正整数.如22，121，3 443，94 249等.显然2位“回文数”有9 个：11，22，33，…，99；3位“回文数”有90个：101，111， 121，…，191，202，…，999；则 （1）4位“回文数”有 个； 解析： 4位“回文数”的特点为中间两位相同，千位和个 位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个数数字，共有9种 选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法，故4位“回文 数”有9×10＝90（个）. 90　 数学·必修第一册 （2）2n＋1（n∈N*）位“回文数”有 个. 解析： 第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二 步，分别选左边第2，3，4，…，n，n＋1位数字，共有 10×10×10×…×10＝10n（种）选法，故2n＋1（n∈N*）位 “回文数”有9×10n个. 9×10n　 数学·必修第一册 二、排列与组合 　　排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着 举足轻重的作用，解决排列与组合问题常用的方法有：（1）合理分 类，准确分步；（2）特殊优先，一般在后；（3）先取后排，间接排 除；（4）相邻捆绑，间隔插空；（5）抽象问题，构造模型；（6） 均分除序，定序除序. 【例2】　（1）（多选）某学校举行校园歌手大赛，共有4名男生，3 名女生参加，组委会对他们的出场顺序进行安排，则下列说法正确的 是（　BCD　） BCD A. 若3个女生不相邻，则有144种不同的出场顺序 B. 若女生甲在女生乙的前面，则有2 520种不同的出场顺序 C. 若4位男生相邻，则有576种不同的出场顺序 D. 若学生的节目顺序已确定，再增加两个教师节目，共有72种不同 的出场顺序 数学·必修第一册 解析： 若3个女生不相邻，则有 ＝1 440种不同的出场 顺序，A错误；若女生甲在女生乙的前面，则有 ＝2 520种 不同的出场顺序，B正确；若4位男生相邻，则有 ＝576种 不同的出场顺序，C正确；若学生的节目顺序确定，再增加两个 教师节目，可分为两步，第一步，原7个学生节目形成8个空， 插入1个教师节目，有8种情况；第二步，原7个学生节目和刚插 入的1个教师节目形成9个空，再插入1个教师节目，有9种情 况，所以这两位教师共有8×9＝72种不同的出场顺序，D正确. 故选B、C、D. 数学·必修第一册 （2）暑期安排包括大睿和小涛在内的7名学生去参加A，B，C三个 夏令营，其中A营安排3人，B，C各安排2人，要求大睿和小涛 不能在同一夏令营，则不同的安排方案有 种. 160　 解析：间接法：N＝ － － ＝160. 数学·必修第一册 反思感悟 解决排列、组合问题的注意点 （1）“在”与“不在”问题常是排列问题，一般贯彻特殊元素或特 殊位置要优先安排，没有限制条件的可以任意排列；“邻”与 “不邻”通常采用捆绑法与插空法，捆绑法时注意小团体内部 的排列，插空法要注意与“相间排列”的区别； （2）“含有”或“不含有”问题常是组合问题，“含”则先将这些 元素取出，再由另外元素补足；“不含”则先将这些元素剔 除，再从剩下的元素中选取.“至少”或“至多”含有几个元素 的组合问题常采用直接法和间接法，一般来说用直接法分类复 杂时，用间接法处理，即正难则反. 数学·必修第一册 【跟踪训练】 一条沿江公路上有18盏路灯，为节约用电，现打算关掉其中4盏路 灯，为安全起见，要求公路的头尾两盏路灯不可关闭，关掉的相邻两 个路灯之间至少有3盏亮着的路灯，则不同的方案共有 种. 35　 解析：先拿出15盏路灯，按如下顺序排好，（ⓧ表示灯亮；○表示 灯灭） ⓧ○ⓧⓧⓧ○ⓧⓧⓧ○ⓧⓧⓧ○ⓧ 再将剩下的三盏灯放进去，若三盏灯在一起，有 ＝5种方法；若 分成两组，有 ＝20种方法；若三盏灯均不在一起，有 ＝10 种方法，所以共有35种方法. 数学·必修第一册 三、二项式定理 　　二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证 明整除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于解决二项式相应 展开式中项的系数问题. 【例3】　（1）在（－1＋ ）（1＋ ）6的展开式中， 的系数为 （　C　） A. －60 B. 60 C. －80 D. 80 C 数学·必修第一册 解析： ∵（1＋ ）6展开式的通项为Tr＋1＝ （ ）r＝ 2r· · ，∴原式的展开式中含 的项为（－1）×24 · ＋ ×23 · ＝－ ，∴ 的系数为－80.故选C. 数学·必修第一册 （2）在（ax－y＋z）7的展开式中，记xmynzk项的系数为f（m， n，k），若f（3，2，2）＝ ，则a的值为 　 　. 解析： 因为在（ax－y＋z）7的展开式中，记xmynzk项的 系数为f（m，n，k），所以xmynzk项的系数f（m，n，k）＝ am （－1）n ，即f（m，n，k）＝（－1）n am ，由f（3，2，2）＝ ，可得（－1）2 a3 ＝ ，即35×6a3＝ ，所以a＝ . 　 数学·必修第一册 反思感悟 1. 处理几个多项式的和、积的展开式或三项式甚至多项式特定项问 题，都是转化为二项式问题，体现了转化与化归的数学思想. 2. 二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切数值都成 立.因此，可以将a，b设定为一些特殊值，在使用赋值法时，令 a，b取何值，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时 也取其他值. 数学·必修第一册 【跟踪训练】 已知二项式（a－2x）7＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a7 （x－1）7，其中a＞0，且此二项式的x3项的系数是－22 680.则实数 a＝ ；（a0＋a2＋a4＋a6）（a1＋a3＋a5＋a7）＝ （结 果可保留幂的形式）. 3　 　 数学·必修第一册 解析：二项式（a－2x）7的展开式中含x3的项为 a4（－2x）3＝－ 280a4x3，∴－280a4＝－22 680，则a4＝81，又a＞0，解得a＝3. ∴（a－2x）7＝[1－2（x－1）]7＝a0＋a1（x－1）＋…＋a7（x－ 1）7.令x＝2，则a0＋a1＋…＋a7＝（1－2）7＝－1①，令x＝0，则 a0－a1＋a2－…－a7＝（1＋2）7＝37②，∴由①＋②可得：a0＋a2＋ a4＋a6＝ ；由①－②可得：a1＋a3＋a5＋a7＝ .∴（a0＋a2 ＋a4＋a6）（a1＋a3＋a5＋a7）＝ × ＝ . 数学·必修第一册 $