章末检测（6） 计数原理-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦计数原理，涵盖排列组合、二项式定理、同余问题等核心内容，通过分步递进的例题与检测题，搭建从基础概念到实际应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于以实际情境问题（如混合双打比赛组合、地铁票价分段计算）培养数学眼光，通过逻辑推理（如二项式系数推导）发展数学思维，用规范解答过程强化数学语言表达。题型全面且解析详尽，助力学生提升解决问题能力，也为教师提供系统教学资源。

章末检测（六）　 计数原理 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示，由电键组A、B组成的串联电路中，要接通电源使电灯 发光的方法有（　　） A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种 解析： 　要想通电，则需满足电路通畅，则并联电路中，至少有 一个键闭合，利用分步乘法计数原理，可得共有2×3＝6种方法.故 选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 2. 在（a＋b）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n＝ （　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析： 　因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故 ＋1 ＝4，即n＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 3. 用数字1，2，3，4，5，6组成无重复数字的三位数，然后由小到大 排成一个数列，这个数列的项数为（　　） A. 24 B. 46 C. 48 D. 120 解析： 　完成这件事需要分三步：第一步：确定百位数，有6种 方法；第二步：确定十位数，有5种方法；第三步：确定个位数， 有4种方法.根据分步乘法计数原理，共有6×5×4＝120（个）三位 数，所以这个数列的项数为120.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 4. 若 ＝18 ，则m＝（　　） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 解析： 　由 ＝m（m－1）（m－2）（m－3）＝ 18· ，且m≥4，m∈N*，得m－3＝3，m＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 5. 从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组 合方法种数为（　　） A. B. C. D. 解析： 　分两步进行：第一步，选出两名男选手，有 种方法； 第二步，从6名女选手中选出2名且与已选好的男选手配对，有 种.故有 种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 6. 在（x2＋3x＋2）5的展开式中x的系数为（　　） A. 140 B. 240 C. 360 D. 800 解析： 　由（x2＋3x＋2）5＝（x＋1）5（x＋2）5，知（x＋1） 5的展开式中x的系数为 ，常数项为1，（x＋2）5的展开式中x 的系数为 ·24，常数项为25.因此原式中x的系数为 ·25＋ ·24 ＝240. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 7. 对任意的实数x，x6＝a0＋a1（x－2）1＋a2（x－2）2＋…＋a6 （x－2）6，则a2＝（　　） A. 60 B. 120 C. 240 D. 480 解析： 　∵x6＝[（x－2）＋2]6＝ （x－2）6＋ （x－2） 5·2＋ （x－2）4·22＋ （x－2）3·23＋ （x－2）2·24＋ （x－2）1·25＋ ·26，∴a2＝ ·24＝240.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 8. 定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等， 则称a，b对于模m同余，记作a≡b（modm），比如：35≡25 （mod10）.已知：n＝ － 10＋ 102－ 103＋…＋ 1010，满足n≡p（mod7），则p可以是（　　） A. 26 B. 31 C. 32 D. 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析： 　因为n＝ － 10＋ 102－ 103＋…＋ 1010 ＝（1－10）10＝（7＋2）10，而n＝（7＋2）10＝ ·710＋ ·79·2 ＋…＋ ·7·29＋ ·210，因此n除以7的余数为 ·210＝1 024除 以7的余数2，而26，31，32除以7的余数分别为5，3，4，不符合题 意，37除以7的余数为2，即D满足.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列问题属于排列问题的是（　　） A. 从10人中选2人分别去种树和扫地 B. 从10人中选2人去扫地 C. 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D. 从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析： 　对于A，从10人中选2人分别去种树和扫地，选出的2 人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10人中选2人去扫地， 与顺序无关，是组合问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组 成一个篮球队，与顺序无关，是组合问题；对于D，从数字5，6， 7，8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一 样，是排列问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 10. 带有编号1，2，3，4，5的五个球，则下列说法正确的是（　　） A. 全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法 B. 放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有 种放法 C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有 · 种放法 D. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有 · 种不同的放法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析： 　五个球投入4个不同的盒子里共有45种放法，A选项 对，若要放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有 · 种放 法，B选项错，D选项对，将其中的4个球投入4个盒子里的一个 （另一个球不投入），共有 · 种放法，C选项对，故选A、 C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 11. 二项式（x－ ）8的展开式中x2的系数是－7，则下列选项正确的 是（　　） A. a＝ B. 展开式中含x6项的系数是－4 C. 展开式中含x－1项 D. 展开式中常数项为40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析： 　二项式（x－ ）8的展开式的通项公式为Tr＋1＝ x8－r（－ ）r＝（－a）r x8－2r，令8－2r＝2，解得r＝3，所 以展开式中x2的系数（－a）3 ＝－7，解得a＝ ，故A正 确；二项式（x－ ）8即为（x－ ）8，展开式的通项公式为Tr ＋1＝ x8－2r.令8－2r＝6，解得r＝1，所以展开式中含 x6项的系数是－ ＝－4，故B正确；令8－2r＝－1，解得r ＝ ，不为整数，故展开式中不含x－1项，故C错误；令8－2r＝0，解得r＝4，所以展开式中常数项为（－ ）4 ＝ ，故D错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中 横线上） 12. 若 ＝ （n∈N*），则n＝ ⁠. 解析：由题意可知2n＋6＝n＋2或2n＋6＝20－（n＋2），解得 n＝－4（舍去）或n＝4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 13. 第33届夏季奥运会预计于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举 办，这届奥运会将新增电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等5 个表演项目.现有三个场地A，B，C分别承担竞赛项目与表演项 目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能由A，B两地承办， 且各自承办其中一项.5个表演项目分别由A，B，C三个场地承 办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法 有 种. 300　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析：首先电子竞技和冲浪两个项目仅能由A，B两地举办， 且各自承办其中一项有 ＝2种安排；再次5个表演项目分别 由A，B，C三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项 目，则有 ＋ ＝150种，故总数为2×150＝300种 不同的安排方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 14. 已知（1＋2 024x）50＋（2 024－x）50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a50x50，其中a0，a1，a2，…，a50∈R，若ak＜0，k∈{0，1， 2，…，50}，则实数k的最大值为 ⁠. 解析：因为（1＋2 024x）50的展开式中xk的系数为 ·2 024k， （2 024－x）50的展开式中xk的系数为 2 02450－k（－1）k，所 以（1＋2 024x）50＋（2 024－x）50的展开式中xk的系数为 2 024k＋ 2 02450－k（－1）k＝ 2 024k[1＋2 02450－2k·（－1） k]，k＝0，1，2，…，50.要使ak＜0，则k为奇数，且2 02450－2k ＞1，所以50－2k＞0，则k＜25，则k的最大值为23. 23　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知（ － ）n的展开式中，第4项和第9 项的二项式系数相等. （1）求n； 解： 由第4项和第9项的二项式系数相等可得 ＝ ，解得n＝11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）求展开式中含x的项的系数. 解： 由（1）知，展开式的第r＋1项为Tr＋1＝ （ ）11－r（－ ）r＝（－2）r ，令 ＝1， 得r＝3，此时T3＋1＝（－2）3 x＝－1 320x.所以展开式 中含x的项的系数为－1 320. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 16. （本小题满分15分）有2名男生和3名女生排队，按下列要求各有 多少种排法，依题意列式作答： （1）若2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法； 解： 先将3名女生进行排列，有 ＝6种情况，再将2 名男生插空，有 ＝12种情况，故2名男同学不相邻，共有 6×12＝72种排法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）若2名男同学中间必须有1人，共有多少种不同的排法. 解： 先将两名男生进行排列，有 ＝2种情况，再选 出1名女生放在男同学中间，有 ＝3种情况，将两名男同 学和这名女同学看成一个整体和剩余的2名女同学进行全排 列，共有 ＝6种情况，故若2名男同学中间必须有1人，共 有2×3×6＝36种排法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 17. （本小题满分15分）在（3x－2y）20的展开式中，求： （1）二项式系数最大的项； 解： 二项式（3x－2y）20的展开式有21项，展开式的 通项为Tk＋1＝ （3x）20－k（－2y）k， 其二项式系数最大的项为第11项，T11＝ ·（3x）10·（－ 2y）10＝ ·610·x10y10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）系数绝对值最大的项. 解： 设系数绝对值最大的项是第k＋1（k∈N*）项， 则 即解得7 ≤k≤8 ， 所以k＝8，系数绝对值最大的项为T9＝ ·312·28·x12·y8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 18. （本小题满分17分）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定 按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地 铁票价如下表： 乘坐站数 0＜x≤3 3＜x≤7 7＜x≤12 票价（元） 3 5 7 现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘 坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是 相同的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （1）若甲、乙两人共付车费8元，则甲、乙下地铁的方案共有多 少种？ 解： 若甲、乙两人共付车费8元，则其中一人乘坐地铁 站数不超过3站，另外一人乘坐地铁站数超过3站且不超过7 站，共有 ＝24（种）， 故甲、乙下地铁的方案共有24种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的方案共有 多少种？ 解： 若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的情形有两类： 第一类，甲乘地铁站数不超过3站，乙乘地铁站数超过7站且不超过12站，有 ＝15（种）； 第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过3站且不超过7站，记地铁第四站至第七站分别为P4，P5，P6，P7，易知甲比乙先下地铁有以下三种情形： ①甲P4站下，乙下地铁方式有 种；②甲P5站下，乙下地铁方式有 种；③甲P6站下，乙只能从P7下地铁，共有1种方式，共有 ＋ ＋1＝6（种）， 依据分类加法计数原理，得15＋6＝21（种），故甲比乙先下地铁的方案共有21种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 19. （本小题满分17分）已知f（x）＝（1＋x）n＋1＋2（1＋x）n＋2 ＋…＋k（1＋x）n＋k＋…＋n（1＋x）2n（n∈N*）. （1）当n＝3时，求f（x）的展开式中含x3项的系数； 解： 当n＝3时，f（x）＝（1＋x）4＋2（1＋x）5＋3 （1＋x）6， ∴f（x）的展开式中含x3项的系数为 ＋2 ＋3 ＝84. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）证明：f（x）的展开式中含xn项的系数为（n＋1） ； 解： 证明：∵f（x）＝（1＋x）n＋1＋2（1＋x）n＋2 ＋…＋k（1＋x）n＋k＋…＋n（1＋x）2n（n∈N*）， 故f（x）的展开式中含xn项的系数为 ＋2 ＋3 ＋…＋n ＝ ＋2 ＋3 ＋…＋n . ∵k ＝k ＝ ＝（n＋1） ＝（n＋1） ， ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （3）定义： ai＝a1＋a2＋…＋an，化简： （i＋1） . 解： （i＋1） ＝2 ＋3 ＋…＋n ＋（n ＋1） ，　① （i＋1） ＝（n＋1） ＋n ＋…＋3 ＋ 2 ，　② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 在①②中分别添加 ，则得1＋ （i＋1） ＝ ＋2 ＋3 ＋…＋n ＋（n＋1） ，　③ 1＋ （i＋1） ＝（n＋1） ＋n ＋…＋3 ＋ 2 ＋ ，　④ ③＋④得2（1＋ （i＋1） ）＝（n＋2）（ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ）＝（n＋2）2n， ∴ （i＋1） ＝（n＋2）2n－1－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 $