培优课 排列与组合-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦排列与组合核心知识，涵盖定序问题、排列组合综合问题（类中有步、步中有类）等内容。通过典型例题（如6人排队定序、涂色问题）导入，搭建从具体实例到通性通法的学习支架，帮助学生逐步掌握解题思路。 其亮点是以例题精研为核心，定序问题（如甲在乙前）培养数学眼光（抽象能力），综合问题（如分类讨论涂色）发展数学思维（推理能力），跟踪训练与知能演练强化数学语言表达（模型意识）。学生能提升逻辑思维与解题能力，教师可直接使用系统内容提高教学效率。

培优课　排列与组合 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 定序问题 【例1】　6人站成一排. （1）甲必须在乙的前面（不一定相邻），则有多少种不同的排列 方法？ 解： 甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有 ＝360（种）不同的排法. 目录 数学·必修第一册 （2）甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻），则有多 少不同的排列方法？ 解： 甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙 自左向右顺序的排法种数占全排列种数的 .故有 ＝120 （种）不同的排法. 目录 数学·必修第一册 通性通法 定序问题的求解方法 　　n个不同元素的全排列有 种排法，m个特殊元素的全排列有 种排法.当这m个元素顺序确定时，共有 种排法. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5， 7的顺序一定，求有多少个符合条件的七位数？ 解：法一（直接转化法）　七个位置先安排2，4，6三个数的排法为 ，然后1，3，5，7的顺序按照要求只能是1种，由分步乘法计数原 理得符合条件的七位数的个数为 ×1＝210. 法二（重复插空法）　先将1，3，5，7按固定顺序排好，这四个数有 5个空隙，将2插入，有5个空隙可以选择，然后再将4插入，有6个空 隙可以选择，最后将7插入，有7个空隙可以选择，所以由分步乘法计 数原理得符合条件的七位数的个数为5×6×7＝210. 目录 数学·必修第一册 题型二 排列与组合的综合问题 角度1　“类中有步”的计数问题 【例2】　甲、乙、丙、丁四个人中秋节分别选择到东湖公园、茶经 楼、历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人 去，则不同的参观方式共有（　　） A. 24种 B. 96种 C. 174种 D. 175种 目录 数学·必修第一册 解析： 　按照去茶经楼的人数进行分类讨论.第一类，若4个人均去 茶经楼，则有1种参观方式；第二类，若有3个人去茶经楼，分两步， 从4个人中选择3个人去茶经楼，余下1个人从另外的3处景点中任意选 择一处，有 ＝12（种）参观方式；第三类，若有2个人去茶经 楼，分三步，从4个人中选择2个人去茶经楼，余下2个人分别从另外 的3处景点中任意选择一处，有 ＝54（种）参观方式；第四 类，若有1个人去茶经楼，分四步，从4个人中选择1个人去茶经楼， 余下3个人分别从另外的3处景点中任意选择一处，有 ＝108 （种）参观方式.综上，由分类加法计数原理，共有1＋12＋54＋108 ＝175（种）参观方式，故选D. 目录 数学·必修第一册 角度2　“步中有类”的计数问题 【例3】　如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色 至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相 同，则区域A，B，C，D和A1，B1，C1，D1分别各涂2种不同颜色 的涂色方法共有 种；区域A，B，C，D和A1，B1，C1，D1分 别各涂4种不同颜色的涂色方法共有 种. 24　 216　 目录 数学·必修第一册 解析：区域A，B，C，D和A1，B1，C1，D1分别各涂2种不同颜 色，则区域A和C同色，B和D同色，A1和C1同色，B1和D1同色，所 以先涂区域A和C，B和D，从4种颜色中选两种，有 种.再涂区域 A1和C1，B1和D1，用另外两种颜色去涂，有 种.所以由分步乘法计 数原理共有 ＝24（种）涂色方法.设四种不同的颜色为a，b， c，d，第一步先涂区域A，B，C，D共有 ＝24（种）方法，第二 步涂区域A1，B1，C1，D1，在给区域A1，B1，C1，D1涂色时，与相 应的区域A，B，C，D颜色不能相同，不妨设区域A，B，C，D对 应的颜色是a，b，c，d，那么区域A1，B1，C1，D1对应的颜色可能情况有如下几类，（b，a，d，c），（b，c，d，a），（b，d，a，c），（c，a，d，b），（c，d，a，b），（c，d，b，a），（d，a，b，c），（d，c，a，b），（d，c，b，a），共9种情况，所以共有24×9＝216（种）涂色方法. 目录 数学·必修第一册 通性通法 1. 解排列与组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符 合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列. 2. 解排列与组合综合问题时要注意的两点 （1）元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是 组合问题，有序的问题是排列问题； （2）对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条 件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列与组合综合 问题的一般方法. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 已知集合A＝{4，5，6，7}，B＝{5，6，7，8，9}，从集合A中 取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成无重复数字且比 5 000大的自然数的个数共有（　　） A. 180 B. 300 C. 468 D. 564 目录 数学·必修第一册 解析： 　由两个集合中的数字大小，以及要求组成比5 000大的自 然数，可分为两类讨论.第一类，若从集合A中取出元素4，则4不 能作千位上的数字，只能先排在个位、十位或百位上，有 种方 法，再从B中选3个数字排在另外三个数位上有 种方法，从而共 有 ＝180（个）满足题意的自然数.第二类，从集合A中的元 素5，6，7中取1个，有3种方法，若集合A中取出元素5，则集合B 只能从6，7，8，9中取3个数字，有 种取法，故可有 （个）满足题意的自然数.集合A中取元素6，7时同理.故共有 3 ＝288（个）满足题意的自然数.综上，由分类加法计数原理 可得，满足题意的自然数共有180＋288＝468（个），故选C. 目录 数学·必修第一册 2. 将6个不同的乒乓球全部放入两个不同的球袋中，每个球袋中至少 放1个乒乓球，则不同的放法有（　　） A. 82种 B. 62种 C. 112种 D. 84种 解析： 　先将6个不同的乒乓球分为两组，可分为1个和5个，2个 和4个，3个和3个三种情况，共有 ＋ ＋ ＝31（种）分法， 再将分好的两组分别放入不同的球袋中，则共有31× ＝62 （种）放法. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. ＝（　　） A. 120 B. 160 C. 180 D. 240 解析： 　 ＝ ＝120. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 2. 从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作， 则不同的选派方案共有（　　） A. 60种 B. 80种 C. 100种 D. 120种 解析： 　从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三 项不同的工作，则不同的选派方案共有 ＝6×5×4＝120 （种）.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 3. 在1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位 数字之和为偶数的共有（　　） A. 36个 B. 24个 C. 18个 D. 6个 解析： 　若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故有 ＝36（个）符合要求的数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 4. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站 的位置，则不同的站法种数是（　　） A. 257 B. 336 C. 343 D. 384 解析： 　由题意知可分为三类：第一类是3人各站一级台阶，有 种站法；第二类是有一级台阶有2人，另一级台阶有1人，共有 种站法；第三类是3人站在一级台阶上，有 种站法.所以根 据分类加法计数原理知共有不同的站法种数是 ＋ ＋ ＝ 343.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 5. 元宵节灯展后，悬挂的8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次 取1盏，则不同的取法共有（　　） A. 32种 B. 70种 C. 90种 D. 280种 解析： 　因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面 的灯，即每串灯取下的顺序确定，取下的方法有 ＝70（种）. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 6. 某校从8名青年教师中选派4名分别作为四个学生社团的指导教师， 每个社团各派去1名教师，其中教师甲和乙不能同时参加，甲和丙 只能都参加或都不参加，则不同的选派方案有（　　） A. 360种 B. 480种 C. 600种 D. 720种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 解析： ​ ​ ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 7. （多选）集合M＝{x｜x＝ ，n≥0且n∈N*}，集合Q＝{1， 2，3，4}，则下列结论正确的是（　　） A. M＝{1，4，6} B. Q⊆M C. M⊆Q D. M∩Q＝{1，4} 解析： 　由 知，n＝0，1，2，3，4，又 ＝1， ＝4， ＝ ＝6， ＝ ＝4， ＝1.所以M＝{1，4，6}.故 M∩Q＝{1，4}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 8. （多选）将四个不同的小球放入三个分别标有1号、2号、3号的盒 子中且不允许有空盒子的放法有（　　） A. 种 B. 种 C. 种 D. 18种 解析： 　根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1号、2 号、3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个盒子中放2个 球，剩下的2个盒子中各放1个球，则可以有两种方法进行分析： （1）①先将四个不同的小球分成3组，有 种分组方法；②将分 好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有 种放法.则没有空盒的 放法有 种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 （2）①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个 小球放入选出的小盒中，有 种情况；②将剩下的2个小球全排 列，放入剩下的2个小盒中，有 种放法.则没有空盒的放法有 种.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 9. （多选）现有5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能 报一个小组，则下列说法正确的是（　　） A. 若报名没有任何限制，则共有53种不同的安排方法 B. 若报名没有任何限制，则共有35种不同的安排方法 C. 若每个小组至少要有1人参加，则共有540种不同的安排方法 D. 若每个小组至少要有1人参加，则共有150种不同的安排方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 解析： 　5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能 报一个小组，若报名没有任何限制，则每人都有3种选择，故共有 35种不同的安排方法，故B正确，A错误；若每个小组至少要有1人 参加，则先分组后排列，先将5名同学分为三组有 ＋ ＝25 （种）方法，再将分好的三组分到3个不同的课后服务小组有 ＝ 6（种）情况，所以每个小组至少要有1人参加，则共有25×6＝150 （种）不同的安排方法，故C错误，D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 10. 旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲、乙、丙、丁这四个景 区进行体验式旅游.已知他不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙 景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线数为 ⁠. 解析：小李可选的旅游路线分两种情况：①最后去甲景区旅游， 则可选的路线有 种；②不最后去甲景区旅游，则可选的路线有 种.所以小李可选的旅游路线数为 ＋ ＝10. 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 11. 如图，将1，2，3，4四个数字填在6个“ ”中，每个“ ”中 填一个数字，有线段连接的两个“ ”不能填相同数字，四个数 字不必均使用，则不同填数方法有 种. 264　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 解析：如图，计算不同填数方法有两类办 法：当用四个数字时，先填A，E，D，有 种填法，再从B，F，C中选一处填第四个 数，如B，再填F，若F与D同，则C有2种填法，若F与D不同，则C有1种填法，于是得有 （2＋1）种填法；当用三个数字时，先填A，E，D，有 种填法，再填B，有2种填法，则F，C各有1种填法，于是得有2 种填法.利用分类加法计数原理得不同填数方法有 （2＋1）＋2 ＝216＋48＝264（种）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 12. 为弘扬我国古代的六艺文化，某夏令营主办单位计划利用暑期开 设礼乐射御书数六门体验课程. （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求其中射不排在第一 周，数不排在最后一周的所有可能排法种数； 解： 分两组情况讨论： ①射排在最后一周时，则有 ＝120种排法. ②当射不排在最后一周，则射有4种排法，数也有4种排法， 剩下的4门课程全排列，有4×4× ＝384种排法， 所以共有120＋384＝504种不同排法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 （2）甲、乙、丙、丁、戊五名教师教这六门课程，每名教师至少 任教一门课程，求其中甲不任教数的课程安排方案种数. 解： 分两种情况讨论： 当甲教两科时，则有 ＝240种安排方法； 当甲教一科时，则有 ＝1 200种安排方法. 所以共有240＋1 200＝1 440种不同安排方案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 13. 在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要 通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放 回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. （1）若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少 种不同的抽法； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 解： 由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束， 第1次抽到的是正品有 种抽法；第2次抽到的是次品有 种抽法；第3次抽到的是正品有 种抽法； 当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有 ＝24种抽法； 当抽取5次结束时，若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是正品，则共有 ＝48种抽法； 若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有 ＝48种抽法； 综上，第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品共有120种抽法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 （2）已知每检测一件产品需要检测费用100元，求检测结束时检 测费用为400元的抽法有多少种？ 解： 由题意知，检测费用为400元，说明一共抽取了4 次检测结束，共有以下两种情况： ①4次抽到的均为正品，共有 ＝24种抽法； ②前3次抽到2件正品，1件次品，且第4次抽到的是次品，共 有 · · ＝72种抽法. 所以，检测结束时，检测费用为400元的抽法共有96种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 $